1. Educación

ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIEROS
Propuesta Reforma Curricular 2010
Bibliografía:
Zill y Cullen, Ecuaciones diferenciales con problemas de modelado. Thompson Learning, 2006
Campbell y Haberman, Introducción a las ecuaciones diferenciales con problemas de valor de frontera. Mc Graw Hill, 1998
Justificación
En la ingeniería y en la física, aparecen diversas situaciones para las que se requiere analizar y predecir el comportamiento de alguna variable
de interés; en numerosos casos, tal descripción se traduce en una ecuación diferencial. Con este curso se brinda la oportunidad natural del
estudio de ciertos modelos matemáticos, y con ello de la aplicación concreta de los contenidos del cálculo diferencial e integral y algunos del
álgebra lineal, con el fin de resolver problemas dentro de un contexto.
Objetivos - Competencias
•
Aplicar las herramientas conceptuales y metodológicas para formular, transformar y resolver modelos de ecuaciones diferenciales
sencillos así como interpretar la solución de los mismos en el contexto de la situación física que los origina.
•
Aplicar conceptos y técnicas especiales utilizadas en la ingeniería para la resolución de ecuaciones diferenciales, tales como la
transformada de Laplace, la función de Heaviside y las funciones periódicas.
•
Desarrollar hábitos de análisis, precisión, uso adecuado del lenguaje y del razonamiento matemático.
•
Trabajar en forma efectiva tanto de forma individual como miembro activo de un equipo.
Propósito – Intenciones educativas
Proporcionar al estudiante los fundamentos y los métodos básicos de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias para su
aplicación en modelos matemáticos, provenientes de problemas de la física y la ingeniería, combinando los aspectos analíticos, gráficos y
cualitativos en la búsqueda, interpretación y análisis de las soluciones.
Contenido programático
Tema 1
Ecuaciones diferenciales de
primer orden
(18 horas)
Tema 2
Ecuaciones diferenciales de
orden superior
(12 horas)
Tema 3
Transformada de Laplace y su
aplicación a las ED
(18 horas)
Semana 1
Saber Conocer
Sesión 1
Introducción a las ED
PVI: Problemas de valor
inicial
Nociones de:
- ED, solución de una ED e intervalo de
definición.
- Orden, linealidad de una ED.
- Solución explícita; solución implícita.
- Intervalo de definición de una solución.
- Familia de funciones y familia de
soluciones. Solución singular.
Definiciones de:
- ED de orden n, solución de una ED e
intervalo de definición.
- Definición de un PVI y de solución de un
PVI.
Ejemplos de:
- PVI sin solución.
- PVI con varias soluciones.
- Ejemplos de PVI con infinitas soluciones.
Sesión 2
Existencia y unicidad
Resolución de ED y
de PVI de variables
separadas.
Condiciones suficientes para la existencia y
unicidad de la solución.
Método de resolución de ED de variables
separables.
Condición para la aparición de ciertas
soluciones singulares al separar variables.
Saber Hacer
Verificar que una función es solución de
una ED, en un cierto intervalo.
Verificar que una familia de funciones es
familia de soluciones de una ED.
Determinar la solución de un PVI, conocida
la familia uni-paramétrica de soluciones de
la ED.
Establecer el intervalo maximal de
definición de la solución de un PVI.
Aprendizaje autónomo
Actividad para apuntalar:
Determinar la solución de un
PVI, conocida la familia de
soluciones de la ED.
Establecer el intervalo de
definición de la solución.
Discriminar entre intervalo de
existencia y el dominio de la
función.
Discriminar entre intervalo de existencia y el
dominio de la función.
Asegurar existencia y unicidad de la
solución de un PVI, en cierta región del
plano.
Hallar la familia de soluciones de una ED,
por variables separables.
Establecer el intervalo de existencia de la
solución de un PVI.
Asegurar existencia y
unicidad de la solución de un
PVI, en cierta región del
plano.
Semana 2
Saber Conocer
Sesión 1
Resolución de ED y
de PVI de variables
separadas.
Saber Hacer
Condición para la aparición de ciertas
soluciones singulares al separar variables.
Recuperar soluciones singulares perdidas
al separar variables.
Modelos sencillos: crecimiento natural,
fechado por C14, interés compuesto
continuamente, enfriamiento y
calentamiento, crecimiento poblacional con
inmigración
Expresar simbólicamente relaciones donde
esté involucrada la derivada de una función.
Describir una situación práctica mediante el
ajuste de un modelo conocido.
Aprendizaje autónomo
Plantear el modelo adecuado
a una situación. Resolver el
modelo e interpretar el
resultado obtenido de
acuerdo al contexto.
Resolver un modelo e interpretar el
resultado obtenido, de acuerdo al contexto.
Reconocer una ED Autónoma (EDA)
Sesión 2
Análisis cualitativo
Para y’ = f(y), definiciones de
- Puntos críticos para f.
- Retrato de fase.
- Soluciones de equilibrio.
Nociones de: estabilidad, atractor y
repulsor.
Método de análisis del comportamiento de
la solución.
Determinar regiones del plano donde el
signo de la derivada de una función es
constante.
Representar el comportamiento asintótico
de las soluciones de una EDA, mediante un
retrato de fase.
Esbozar representantes de la familia de
soluciones de una EDA, utilizando el
análisis cualitativo.
Plantear el modelo adecuado
a una situación.
Analizar cualitativamente el
modelo y utilizar la gráfica
para obtener información.
Resolver el modelo e
interpretar el resultado
obtenido.
Semana 3
Saber Conocer
Sesión 1
ED Lineales de
primer orden
Forma de una EDL de 1er orden.
Forma estándar de una EDL de 1er orden.
Diferencia entre una EDL Homogénea y
una EDL No Homogénea.
Noción de factor integrante.
Método de resolución de EDL de 1er orden.
Forma general de la solución de una
EDL-NH, si los coeficientes son continuos.
Método de resolución EDL-NH si la función
de entrada tiene discontinuidad de salto en
una cantidad finita de puntos: solución no
clásica.
Sesión 2
ED Exactas
Definiciones de:
- Diferencial total de una función F, de dos
variables. Pendiente de una curva de nivel.
- Forma Diferencial Exacta.
- ED Exacta.
- Criterio de exactitud.
Saber Hacer
Resolver ED y PVI, lineales de primer
orden. Establecer el intervalo maximal de
definición de la solución.
Resolver ED y PVI, lineales
de primer orden. Establecer
el intervalo de definición de la
solución.
Construir una EDL a partir del
comportamiento asintótico de la solución.
Hallar una solución, no clásica de una EDL
– NH cuando la función de entrada tiene
discontinuidad de salto en una cantidad
finita de puntos:
Determinar si una ED es: lineal, separable
o exactas (no son excluyentes)
Resolver ED y PVI, exactas.
Resolver ED no exactas pero reducibles a
exactas mediante un factor integrante dado.
Método de resolución de ED Exactas.
Factor integrante, en una variable, para
reducir una ED a Exacta.
Aprendizaje autónomo
Determinar un factor integrante, cuando sea
posible, que permita reducir la ED en
exacta.
Construir una EDL a partir del
comportamiento asintótico de
la solución.
Resolver ED y PVI, exactas.
Resolver ED no exactas pero
reducibles a exactas
mediante un factor integrante
dado.
Semana 4
Saber Conocer
Sesión 1
Modelos que describen:
Modelos lineales y no
lineales
- Mezcla de soluciones.
- Movimiento en caída libre.
- Crecimiento poblacional logístico
Saber Hacer
Reconocer las ED asociadas a ciertos
modelos.
Describir una situación práctica mediante el
ajuste de un modelo conocido.
Reconocer el comportamiento asintótico de
la solución de un modelo e interpretarlo en
el contexto.
Aprendizaje autónomo
Mediante un cambio de
variable adecuado, reducir
ciertas ED a ED Lineales.
(ED homogéneas de grado )
Reconocer las ED asociadas
a ciertos modelos. Describir
una situación práctica
mediante el ajuste de un
modelo conocido.
Usar un modelo para obtener nuevos datos
y/o predecir comportamientos.
Sesión 2
Resumen – Revisión de
contenidos
Los contenidos vistos hasta esta semana
Contenidos del saber hacer hasta la
semana 4
Reconocer contenido focal en preguntas
de verdadero – falso y en preguntas de
desarrollo.
Procedimientos para comprobación de
respuestas.
Distinciones en el nivel de dificultad de una
pregunta al cambiar alguna de sus partes.
Simulacro de parcial
Semana 5
Saber Conocer
Sesión 1
Examen Parcial 1
Sesión 2
ED Lineales de
2do orden
Teoría básica
Saber Hacer
Los contenidos vistos hasta el momento
Aplicar los contenidos vistos hasta el
momento.
Forma. PVI y PVF
Familia de soluciones.
Hallar la solución de un PVI, conocida la
familia de soluciones.
Teorema de Existencia y Unicidad de las
soluciones para una ED Lineal de orden 2.
Hallar soluciones de una EDL, tanto
homogéneas como no homogéneas,
superponiendo soluciones dadas.
Conjunto de funciones linealmente
independiente. Conjunto fundamental de
soluciones CFS.
Wronskiano.
Solución general de una EDL Homogénea
Solución particular
Operador diferencial lineal. Propiedades.
Principio de superposición para EDH
Principio de superposición para ED No
Homogéneas
Solución general de una EDL NH.
Determinar independencia o dependencia
lineal de un conjunto de (dos o tres)
funciones.
Hallar una solución particular de ciertas
EDLNH por inspección directa (función de
entrada: constante, lineal, exponencial)
Hallar una solución particular de una EDLNH
con diversas entradas a partir de soluciones
particulares de las componentes.
Aprendizaje autónomo
Distinguir un operador
diferencial lineal de otro que
no lo sea y sus
consecuencias respecto a las
soluciones.
Hallar soluciones particulares
de EDLNH, mediante
superposición de soluciones
conocidas.
Comprobar que un conjunto
dado es CFS
Semana 6
Saber Conocer
Saber Hacer
Aprendizaje autónomo
Hallar la solución general de una EDLH de
orden 2 y superior.
Sesión 1
Resolución de EDLH de
orden 2, con
coeficientes constantes
Resolución de EDLH a coeficientes
constantes
Ecuación auxiliar.
Forma de la solución en cada caso: raíces
reales distintas, raíces reales repetidas y
raíces complejas de la ecuación auxiliar.
Comportamiento asintótico de la solución.
Resolver PVI, lineales homogéneas.
Esbozar la gráfica de la solución de un PVI,
de orden 2, tomando en cuenta el
comportamiento asintótico de la solución.
Aplicar el principio de superposición para
EDNH, a partir de soluciones particulares
dadas, si la ED es a coeficientes
constantes.
Problema de la cadena
deslizante.
Recuperar una EDLH de orden 2 y 3, a
partir de las raíces de la ecuación auxiliar.
Determinar la solución general de una
EDLNH, dada una solución particular de la
EDLNH.
Sesión 2
Coeficientes
indeterminados.
Método de los coeficientes indeterminados.
Métodos de resolución de ecuaciones lineales
algebraicas.
Principio de superposición de soluciones de
EDLNH
Hallar el CFS de la EDLH asociada.
Hallar la solución particular de una EDLNH
de orden 2 o superior, usando el método de
los coeficientes indeterminados.
Hallar la solución general de una EDLNH
de orden 2 o superior, usando el principio
de superposición.
Resolver PVI lineales a coeficientes
constantes de orden superior (3 ó 4)
Hallar la solución particular
de una EDL NH de orden 2 o
superior, usando el método
de los coeficientes
indeterminados.
Aplicar el método de CI y el
principio de superposición.
Semana 7
Saber Conocer
Sesión 1
Vibraciones mecánicas
o sistemas masa –
resorte.
Sesión 2
Vibraciones mecánicas
o sistemas masa –
resorte.
Modelo conceptual de un sistema resorte –
masa. Constante de elasticidad del resorte.
Ley de Hooke y 2da ley de Newton como
bases para la ecuación del MAS.
Aspectos distinguidos de la solución del MAS:
ciclo, frecuencia, período, amplitud.
Representación gráfica de estos aspectos.
Saber Hacer
Escribir la ecuación de un sistema masa –
resorte, a partir de la descripción del
sistema.
Resolver la ecuación diferencial,
representarla gráficamente y distinguir los
aspectos relevantes de la misma.
Expresar la solución en la forma “amplitud –
fase”.
Responder a interrogantes sobre el sistema
a partir del análisis de la solución.
Modelo conceptual de un sistema resorte –
masa, con fuerza de amortiguación y/o
fuerzas externas que actúen sobre el mismo
Plantear la ecuación de un sistema masa –
resorte, a partir de la descripción del
sistema.
Tipos de vibraciones: Movimiento armónico
simple (MAS), Movimiento libre amortiguado y
movimiento forzado.
Tipos de movimiento amortiguado y gráficas
típicas : sobre amortiguado, subamortiguado
y amortiguado críticamente.
Resolver la ecuación diferencial,
representarla gráficamente y distinguir los
aspectos relevantes de la misma.
Comportamiento de la solución general,
mediante la aplicación del principio de
superposición, en el caso forzado.
Fenómeno de resonancia
Describir un sistema resorte – masa, a
partir de la ecuación y las condiciones
iniciales.
Aprendizaje autónomo
Expresar la solución en la
forma “amplitud – fase”.
Responder a interrogantes
sobre el sistema a partir del
análisis de la solución.
Semana 8
Saber Conocer
Saber Hacer
Sesión 1
Los contenidos vistos hasta el momento
Examen Parcial 2
Sesión 2
Definición de Transformada de Laplace
Transformada de
Laplace
Propiedad de linealidad
Condiciones suficientes para la existencia.
Orden exponencial de una función
Comportamiento asintótico de la transformada
si la función es de orden exponencial.
Aplicar los contenidos vistos hasta el
momento.
Hallar, por definición, la transformada de
Laplace de algunas funciones.
Utilizar la linealidad y transformadas
conocidas para hallar nuevas
transformadas.
Calcular la transformada de algunas
funciones notables: f(t) =1, t, tn, exp(at),
senat, cosat.
Aprendizaje autónomo
Semana 9
Saber Conocer
Sesión 1
Noción de la Transformada inversa.
Propiedad de linealidad.
Transformada inversa
de Laplace
Método de separación en fracciones parciales
Transformada de derivadas.
Saber Hacer
Utilizar las propiedades y las transformadas
conocidas para hallar las transformadas
inversas de ciertas funciones.
Usar el método de las fracciones parciales
para descomponer una transformada dada.
Resolver ED Lineales mediante el uso de la
transformada de Laplace.
Sesión 2
Traslación de la transformada
Propiedades
operacionales de la TL
Función de Heaviside o escalón unitario. Uso
de la función de Heaviside para expresar
funciones continuas a trozos.
Expresar una función definida a trozos
mediante la función de Heaviside.
Formular una función definida a trozos, en
términos de la función de Heaviside, a partir
de la gráfica.
Transformada de la traslación
Dibujar la gráfica de una función que ha
sido definida mediante una expresión que
contiene a la función de Heaviside
Utilizar las propiedades estudiadas en la
resolución de PVI Lineales.
Aprendizaje autónomo
Semana 10
Saber Conocer
Saber Hacer
Derivadas de una transformada
Sesión 1
Propiedades
operacionales de la TL
Transformadas de integrales
Transformada de la convolución de dos
funciones.
Transformada de una función periódica
Utilizar las propiedades para hallar las
transformadas de ciertas funciones.
Aplicar las propiedades de la transformada
de Laplace en la resolución de problemas
de PVI Lineales o de ecuaciones integrodiferenciales.
Plantear un sistema de EDL
Sesión 2
Sistema lineal de ED.
Sistemas de EDL
Vector solución.
Modelos de sistemas de EDL
Aplicar las propiedades de la transformada
de Laplace en la resolución de situaciones
modeladas mediante un sistema de EDL.
Resortes acoplados.
Aprendizaje autónomo
Semana 11
Saber Conocer
Sesión 1
Expresión matricial de un sistema de EDLH.
Sistemas de EDL
Autovalores de una matriz
Saber Hacer
Aprendizaje autónomo
Expresar en forma matricial un sistema de
EDL.
Hallar los autovalores de la matriz de un
sistema.
Aplicar la transformada de Laplace en la
resolución de PVI lineales.
Relacionar la forma del vector solución con
los autovalores de la matriz del sistema.
Sesión 2
Resumen – Revisión de
contenidos
Los contenidos vistos hasta esta semana
Contenidos del saber hacer hasta la
semana 11
Reconocer contenido focal en preguntas
de verdadero – falso y en preguntas de
desarrollo.
Procedimientos para comprobación de
respuestas.
Distinciones en el nivel de dificultad de una
pregunta al cambiar alguna de sus partes.
Simulacro de parcial
Semana 12
Saber Conocer
Sesión 1
Examen Parcial 3
Sesión 2
Entrega de notas
Los contenidos vistos hasta el momento
Saber Hacer
Aplicar los contenidos vistos hasta el
momento.
Aprendizaje autónomo