1. Educación

ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No. 16
CÁLCULO DIFERENCIAL
CUADERNILLO DE TRABAJO EN CLASE
TERCER CUADERNILLLO DE CÁLCULO DIFERENCIAL
COMPETENCIAS A DESARROLLAR:
1. Interpreta gráficas de funciones continuas y discontinuas analizando el
dominio y contradominio; y argumenta el comportamiento gráfico de la
variable dependiente (y) en los punto (s) de discontinuidad.
2. Explica e interpreta los valores de una tabla, calcula valores cercanos a un
número y analiza el comportamiento en los valores de la variable
dependiente en problemas de su entorno social, económico y natural.
3. Argumenta la solución obtenida de un problema económico, administrativo,
natural o social, mediante la teoría de los límites.
4. Valora el uso de la TIC´s en el modelado gráfico y algebraico de los límites
para facilitar su interpretación y simulación en la resolución de problemas
presentes en su contexto.
5. Formula y resuelve problemas, a partir del cálculo de dominio y
contradominio de las funciones algebraicas para determinar sus límites,
demostrando su habilidad en la resolución de problemas algebraicos.
6. Determina límites para funciones racionales, exponenciales, logarítmicas y
trigonométricas.
OBJETOS DE APRENDIZAJE:
1. Los límites: su interpretación en una tabla, en una gráfica y su aplicación
en funciones algebraicas.
2. El cálculo de límites en funciones algebraicas y trascendentes.
3. Esperando un verdadero aprendizaje significativo.
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Y LIMITE DE FERMAT
Antecedentes del Cálculo:
Las matemáticas existe porque día a día nos encontramos frente a ellas,
sin ellas no podríamos hacer la mayoría de nuestra rutina, necesitamos las
matemáticas constantemente, en la escuela, en la oficina, cuando vamos a
preparar un platillo, etc. En las ciencias las matemáticas han tenido un
mayor auge porque representan la base de todo un conjunto de
conocimientos que el hombre ha ido adquiriendo. Pero lo más misterioso
de todo es que las matemáticas son el único medio que tenemos para
entender el mundo que nos rodea.
¿Cuáles son los beneficios de la Matemáticas en tu vida?
El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los
cambios en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y
mínimos de funciones, entre otras la determinación de longitudes, áreas y
volúmenes. El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del
estudio de los cambios en las variables, pendientes de curvas, valores
máximos y mínimos de funciones, entre otras la determinación de
longitudes, áreas y volúmenes.
ELABORÓ: JULIO CRISPÍN JIMÉNEZ RAMÍREZ
GRUPOS: 3°I Y 3°II
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Actividad 1.
En equipos de 2 integrantes, investiga lo que se te pide a continuación:
1.- Las aportaciones hechas por Newton y Leibniz.(línea del tiempo de
matemáticos)
2.-. ¿Cuál es la importancia y aplicaciones del Cálculo?
3.- Investiga el límite de Fermat (movimiento y pendiente de la secante una
curva)
4.- Al final se expone frente al grupo de clases.
5.- Elabora una portada para este cuadernillo.
En el estudio de la variación, se pueden encontrar diversos tipos de problemas
que se representan de diferentes formas, esto es: tablas, gráficas, entre otras. En
un problema importante es establecer la dependencia de las variables, es decir,
determinar cómo cambia una cantidad cuando varía otra, por ejemplo: El tiempo
que tarda un automóvil en recorrer una distancia determinada, depende de la
velocidad que lleva.
El volumen que hay en un recipiente expuesto a la intensidad del calor y el tiempo
que duraría expuesto. Cuando se tiene el registro numérico de un problema, tal
como la velocidad, fuerza, presión temperatura, se pueden analizar varios
aspectos (factores), se puede predecir el comportamiento futuro, bosquejar una
gráfica o bien, si no se tiene toda la información del problema, se pueden
determinar las condiciones iniciales en las que se llevó a cabo
Secuencia didáctica:
Materiales a utilizar:
 Hojas milimétricas
 Pegamento blanco
 Regla o escuadra graduada
 Hojas blancas
 Tijeras escolares
INSTRUCCIONES:
A. Dibuja en una hoja milimétrica y localiza en un plano cartesiano los
siguientes puntos:
A(-3,-4)
E(0,5)
B(3.-4)
F((-3, 2)
C(6,0)
G(0,0)
D(6,5)
H(3,2)
B. Ahora debes unir: A con G, A con B, A con F, D con C, D con H, D con E, F
con E, F con H, C con G, E con G, B con H y B con C.
C. Recorta lo obtenido y pega esta figura en una hoja en blanco.
D. Cuenta cuanto cuadros existen en toda la figura
E. Calcula su área y su volumen
F. Aplica lo aprendido en la vida real, con un ejemplo práctico.
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GRUPOS: 3°I Y 3°II
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SITUACIÓN DIDÁCTICA 1:
Los alumnos de la materia de cálculo realizaran desean elaborar una caja de
cartón sin tapa para archivar sus trabajos, a partir de una pieza de cartón de
dimensiones 60 por 40 cm, cortando cuadrados iguales de longitud x en cada una
de las esquinas y doblando los lados (como se muestra en la figura). Es obvio que
el tamaño de la caja va a variar y va a depender del tamaño de los cuadrados
que recortemos.
Conflicto cognitivo
— ¿Cuál será el tamaño más adecuado de los cortes para obtener la caja más
grande?
— ¿Cuál
será el modelo matemático para calcular el área de la base de la caja?
— ¿Cuál
será el modelo matemático para calcular el volumen de la caja?
— Para
cada modelo matemático obtenido, ¿podrías hacer una tabla de valores y
construir la gráfica?
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GRUPOS: 3°I Y 3°II
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Utilizando distintos colores, traza la gráfica del área y volumen con los datos
anteriores utilizando la escala que creas conveniente.
Actividad 2. A continuación se muestran ejemplos de diferentes tipos de
funciones algebraicas y funciones trascendentes con su respectiva gráfica, solo
como recordatorio; puede ser útil a lo largo del curso de Cálculo Diferencial.
Después se te presenta una actividad donde tendrás que realizarla de manera
individual y socializarla con el resto del grupo para obtener una conclusión.
Funciones algebraica:
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Funciones trascendentes:
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Instrucciones: En las siguientes gráficas, identifica las coordenadas donde la
función adquiere el valor más alto (máximo) y el valor menor (mínimo) y escríbelo
en el espacio correspondiente.
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Actividad 3. Trabajar en equipos de 2 integrantes, con una hoja de papel en la
cual el largo sea el doble que el ancho (puedes recortar la hoja). Desarrolla el
modelo matemático en función del ancho (x) para determinar el área y contesta lo
que se te pide posteriormente.
REGLAS DE
CÁLCULO
DERIVACION
Y
APLICACIONES
CON
Introducción
Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en
las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de
la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre
todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma
continua.
Evolución histórica
El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen
de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número
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infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y eudoxo y
arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un
círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin
embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas
de zenón de elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el
siglo xvii, francesco b. Cavalieri y evangelista torricelli ampliaron el uso de los
infinitesimales, y descartes y pierre de fermat utilizaron el álgebra para encontrar
el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos).
Fermat e isaac barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban
relacionados, aunque fueron isaac newton (hacia 1660) y gottfried w. Leibniz
(hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como
teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de newton, a partir de su
teoría de la gravedad, fue anterior al de leibniz, pero el retraso en su publicación
aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por
adoptarse la notación de leibniz.
En el siglo xviii aumentó considerablemente el número de aplicaciones del
cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así
como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre
sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo irlandés george
berkeley. En el siglo xix los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades
por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: bernhard
Bolzano y augustin louis cauchy definieron con precisión los límites y las
derivadas; cauchy y bernhard riemann hicieron lo propio con las integrales, y julius
dedekind y karl weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las
funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son
integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo xx, el análisis no
convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición
de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.
Incrementos
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Incremento de la variable independiente. Si se da a la variable independiente x un
valor inicial a y despues un valor final b, se llama incremento de la variable x a al
diferencia b – a.
Notación. El incremento de x se representa x, es decir, la letra griega delta
colocada delante de la variable x.
x = b - a
De esta última igualdad se tiene: b = a + x.
Signo: el incremento puede ser positivo, nulo o negativo, según que, el valor final
sea mayor, igual o menor que el valor inicial.
Ejemplo. 1. Calcular el incremento de una velocidad (v) al pasar de 50 km / h
a
95 km / h.
v.= 95 – 50 = 45 km / h.
2. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de los incrementos y
signos de algunas variables.
variable Valor inicial
Valor final
Incremento
X
2
5
3
X
4
-2
-6
U
-6
1
2
-6
1
3
0
1
6
V
Incremento de una función. Sea ahora, una función y = f(x). Si x varia de a a b, el
valor inicial de la función es f(a) y el valor final f(b). La diferencia f(b) – f(a) se
llama análogamente incremento de la función.
notación. Se expresa:
f(x) = y = f(b) – f(a) = f(a + x) – f(a)
Signo: como el caso de la variable independiente el incremento de una función
puede ser positivo, nulo o negativo.
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Ejemplo.
Calcular el incremento de la función y = 5x – 3 al pasar x: 1) de 3 a 5.5
2)
de 5 a –3.
1) valor inicial
y = f(3) = 15 – 3 = 12
y = f( 5.5 ) = 16.5 – 3 = 13.5
valor final
 y = 13.5 – 12 = 1.5 .
2) valor inicial
y = f(5) = 25 – 3 = 22
y = f( - 3 ) = -15 –3 = -18
valor final
y = -18 – 22 = - 40
En la siguiente tabla se muestran los incrementos de algunas funciones para los
valores iniciales y finales de la variable independiente que se indican:
Variable Función
Valor
inicial Valor
final Valor
indepen
de la variable de
diente
independient
variable
e.
dependiente función función
la inicial
de
Valor
Increment
final de o
la la
función
.
X
15x – 1
5
8
74
119
45
X
X2
-2
-6
4
36
32
X
x
36
16
6
4
-2
X
Log x
100
1000
2
3
1
Si y esta en función de x, tenemos
y = f(x)
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de
la
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Cuando x recibe un incremento x, corresponde a la función un incremento y.
Gráficamente se expresa así:
Sea el punto b ( x, y ) de una curva cuya ecuación es de la forma y = f(x):
y
b
y
a
c
x
o
x
Los incrementos de x y de y son:
x = ac
:
y = bc
Incremento de una función continua, al tender a cero el incremento de la
variable independiente.
Analizaremos mediante algunos ejemplos el comportamiento que presenta el
incremento de una función continua cuando el incremento de la variable
independiente tiende a cero.
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Actividad 5. Forma equipos de 2 integrantes y contesten la siguiente situación.
Con un cartón de dimensiones de 20 por 30 cm respectivamente para la
elaboración de una caja (como se propuso en la situación didáctica), un galón de
leche vacío y otro lleno de arroz.
Dibuja cuadrados iguales en las cuatro esquinas, (tienes la libertad de elegir el
tamaño(x)) después se recortaran cuatro cuadrados en las esquinas como se
muestra en la figura.
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Contesta lo siguiente:
— ¿Cuál
es el modelo matemático (en función de x) para determinar el área de la
figura?
— ¿Cuál es el modelo matemático del volumen?
Llena la caja con arroz y vacíala en los galones.
Compara los volúmenes de las diferentes cajas con tus compañeros.
— ¿Qué
equipo obtuvo el máximo volumen?
se utiliza la misma pieza de cartón (20 x 30 cm) ¿Qué dimensión varia para
obtener los diferentes volúmenes de las cajas?
— Si
¿Para qué sirven los valores máximos y mínimos?
Los máximos y mínimos de una función de dos variables nos permiten medir las
altitudes máximas y mínimas sobre la superficie que integra la gráfica de la
función (estas altitudes son similares a las cotas del punto más elevado de una
colina o del punto más profundo de una hondonada).
Iniciaremos con el cálculo del máximo y del mínimo (valores críticos de la función)
aplicando el criterio de la primera derivada, después enunciaremos (sin
demostrarlo) el teorema que se conoce como el criterio de la segunda derivada, el
cual permite determinar (en ciertos casos) si un punto crítico determinado
corresponde a un máximo o a un mínimo relativo.
La aplicación de estos procedimientos se observa en todas las áreas; las ciencias
naturales, las ciencias sociales y las ciencias exactas.
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EJERCICIO:
Una compañía empacadora de uva de mesa necesita cajas abiertas para
almacenar su producto de volumen máximo y se van a construir a partir de un
trozo cuadrado de material que tiene 24 pulgadas por lado, cortando cuadrados
iguales de las esquinas y doblando los lados hacia arriba.
Dibuja cuadrados iguales en las cuatro esquinas, (tienes la libertad de elegir el
tamaño(x)) después se recortaran cuatro cuadrados en las esquinas como se
muestra en la figura.
a) Escriba el volumen V como función de x
b) Complete analíticamente seis renglones de una tabla como la que sigue. (Se
muestran los dos primeros renglones) Use la tabla para hacer una conjetura
acerca del volumen máximo.
c) Aplica el cálculo para hallar el número crítico de la función del inciso a y
encuentre el valor máximo .Use un medio para el efecto con el fin de construir la
gráfica del inciso a y verifique el volumen máximo a partir de esa gráfica.
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MÁXIMOS Y MÍNIMOS, CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.
Estas definiciones están basadas en la siguiente grafica que nos muestra cómo
cambia la recta tangente en un punto mínimo y máximo de la curva:
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Con estos conceptos podemos deducir un método para calcular máximos y
mínimos para cualquier función:
1er. paso: Se calcula la derivada de la función.
2do. Paso: Se iguala a cero la derivada obtenida y se resuelve la ecuación que la
forma, a las soluciones obtenidas las llamaremos valores críticos y probables
máximos y mínimos.
3er. paso: Se verifican cada uno de los valores críticos y se calculan los signos
de la derivada, empezando con la sustitución de un valor menor y después, se
hace lo mismo para otro valor mayor que él.
Los resultados numéricos obtenidos NO nos interesan, solo nos importa calcular
el signo resultante. Por ejemplo si primero obtenemos un signo (+) y después un
signo (–), entonces tenemos un máximo para la función. En caso contrario será un
mínimo. Si el signo no cambia entonces la función no tiene ni máximo ni mínimo.
NOTACION DE LA DERIVADA.
Para representar a la derivada para un valor x = a, y la función derivada se pueden
emplear varias notaciones :
Notación de cauchy
[ df(x)] x  a = derivada de f(x) para x = a
Df(x)
= función derivada de f(x).
Si se tiene y = f(x), la función derivada se simboliza por:
dx y
Que se lee: derivada de y respecto de x.
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Ejemplos:
1.-
[d( 6x2 - 7 ) ]x=2 = 24
2.- [ d ( 5x3 + 3 )]x = 5 = 375
Notación de lagrange:
Si la función es y = f(x), la función derivada se representa por y´ o por f´ (x), es decir:
y = f (x)
y´ = f´(x)
Ejemplos:
1.- f(x) = x3+ 3x2 – 5 , para x = 1
f´(1) = 9
2.- f(x) = x2 – 5, para x = 3
f´(3) = 6
Notación de leibnitz.
También recibe el nombre de notación americana. La derivada de una función y = f(x),
se simboliza:
dy
dx
o
df ( x)
dx
Esta notación tiene su origen el concepto de la diferencial. Reuniendo los tres
tipos de notación de la derivada de la función, la derivada de una función y =
f(x), puede ser escrita de la siguiente manera.
lim x 0
y
dy df ( x)
 Df ( x)  Dx y  f ( x)  y 

x
dx
dx
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OBTENCION DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION.
La derivada de una función la podremos obtener partiendo desde dos puntos que son
muy semejantes, los cuales son:
A.- por medio de la definición ( método de los incrementos o comúnmente
llamado método de los
cuatro pasos).
b.- por la utilización de los teoremas. El primer caso para obtener la derivada
de una función es por medio de los siguientes pasos:
A.- método de los cuatro pasos.
1.- se da un incremento a la variable independiente x
2.- se calcula el incremento correspondiente a la función y
3.- se encuentra el cociente entre los incrementos de la variable independiente con
respecto a el de la función y que es:
4.- se calcula el lim x 0
y
.
x
y
x
Ejemplos:
1.- calcular la derivada de la función y = 8x.
1.- se da el incremento a x y obtenemos: x + x
2.-se calcula el incremento en y, por lo que se obtiene y + y:
y + y = 8( x + x) = 8x + 8x
y como:
y
Haciendo la resta tenemos:
y =
3.- realizamos el cociente de:
y 8x

8
x
x
4.- calculando el limite cuando x0,
=
lim x 0
= 8x
= 8x
y
8
x
Por lo tanto la función derivada de y = 8x es 8 y se puede expresar de la siguiente
manera:
d 8x = 8
y´ = 8
f´(x) = 8
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dy
8
dx
2.- encontrar la derivada de y = -3x2 + 4
1.
Primero se da incremento a x y se tiene: -3(x +x)2 + 4
2.
Se obtiene el incremento para y y tenemos: y + y, por lo que :
y + y = -3( x +x)2 + 4 = - 3x2 – 6xx – 3(x)2 + 4
Por lo que:
y
= -3x2
=
haciendo la resta tenemos: y =
+ 4
+-6xx - 3(x )2
=
3.-dividiendo entre x, nos queda:
 6 xx  3(x) 2
y
=
= - 6x - 3x
x
x
4.- finalmente calculando el limite:
lim x o  6 x  3x 
-6x
Por lo tanto la derivada de la función y = -6x + 4 nos queda: y´ = - 6x.
3.- calcular la derivada de la función:
y=
x
1. Dando el incremento a x, se tiene:
( x  x)
2.- dando el incremento a y, tenemos:
yy
y + y =
Pro lo tanto:
y
=
3.dividiendo entre x, tenemos:
x
y =
Haciendo la resta, tenemos:
y

x
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( x  x)
( x  x) -
( x  x)  x
*
x
x
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lim x 0
4.- calculando el limite
( x  x)  x
y

x
x
multipicamos a el limite por uno tenemos:
( x  x)  x
( x  x)  x
*
x
( x  x)  x
realizando las operaciones y simplificando términos tenemos:
( ( x  x) ) 2  ( x ) 2
x  x  x
=
x( ( x  x )  x )
x( ( x  x)  x )
lim x 0
y

x
1
( x  x )  x )
Como x  0 , tenemos:
lim x 0
y

x
lim x 0
Por lo que la derivada de
y=
x
1
x x
y
1

x 2 x
es
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y ’ (x) =
1
2 x
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EJERCICIOS PARA CLASE.
1.- y = 2x – 4
2.- y = x + 3
3.- y = 5 + 2x – x2
4.-
y = 5x3 - 2
5.-
y=
6.-
y = 15x2
4
X 1
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7.-
y = ( x + 3 )( x – 5 )
8.- y =
9.-
x
x4
5x  2
y=
10.- y =
3
x2
Segundo caso para obtener la derivada de una función es por la utilización de los
teoremas de derivación.
Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si una función f se forma al
combinar dos funciones u y v, su derivada f¨ se puede obtener a partir de u, v y sus
respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada de la suma es
la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v (lo que significa que f(x) = u(x) + v(x) para
todas las x) entonces f´ = u´ + v´. Una regla similar se aplica para la diferencia: (u - v)´
= u´ - v´. Si una función se multiplica por una constante, su derivada queda multiplicada
por dicha constante, es decir, (cu)´ = cu´ para cualquier constante c. Las reglas para
productos y cocientes son más omplicadas: si f = u v entonces f ´ = u v´ + u´ v, y si f =
u
vu  uv
entonces f ´ =
siempre que v ( x ) ≠ 0.
v
v2
Utilizando estas reglas se pueden derivar funciones complicadas; por ejemplo, las
derivadas de x2 y x5 son 2x y 5x4, por lo que la derivada de la función 3x2 - 4x5 es
(3x2 - 4x5)´ = (3x2)´ - (4x5)´ = 3·(x2)´ - 4·(x5)´ = 3·(2x) - 4·(5 x4) = 6x - 20x4. En
general, la derivada de un polinomio cualquiera f(x) = a0 + a1x + ... + anxn es f´(x) = a1
+ 2a2x + ... + nanxn-1; como caso particular, la derivada de una función constante es 0.
Teoremas
1.- si y = c
y´ = 0
2.- si y = x .......................... Y´ = 1
3.- si y = x2 ......................... Y´ = 2x
4.- si y = cx ....................... Y´ = c
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5.- si y = xn ....................... Y´ = nxn-1
6.- si y = cxn .....................
Y´ = ncxn-1
7.- si y = u  v .........................
Y´ = u´  v´
8.- si y = uv ............................
Y´ = uv´+ vu´
9.- si y =
u
.............................
v
Y´ =
10.- si y =
x ............................
Y´ =
x ...........................
Y´ =
11.- si y =
n
vu´uv´
v2
1
2 x
1
n n x n 1
Ejemplos:
1.- sea el monomio 2x5. Encontrar la derivada por las reglas anteriores:
y = 2x5 = dx(2x5)
aplicando el teorema 6, tenemos:
y’(x) = d( 2x5 ) = 2 ( 5x4 )
y’(x) = 10x4
2.- sea el binomio 4x3 – 15x . Calcular la derivada.
y = 4x3 – 15x
y’(x) = dx ( 4x3 – 15x ) = dx(4x3) – dx( 15x )
Aplicando los teoremas 6 y 4 respectivamente, tenemos:
y ’(x) = 4 ( 3x2 ) – 15 (1)
y ‘ (x ) = 12x2 – 15
3.- sea el polinomio 5x4 – 25x2 + 36x – 6 . Calcular su derivada.
y = 5x4 – 25x2 + 36x – 6
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y ’ (x ) = dx(5x4 – 25x2 + 36x – 6 )
y ‘ (x) = dx(5x4) – dx(25x2) + dx(36x) – dx(6)
Aplicando los teoremas 6,4 y 1, tenemos:
y ‘(x)= 5 ( 4x3 ) – 25 ( 2x ) + 36 (1 ) – 0
Efectuando las operaciones indicadas.
y ´ (x) = 20x3 – 50x + 36
4.- sea el polinomio
x  3 x4  3 x 
y (x ) =
1
. Calcular su derivada.
x
x  3 x4  3 x 
1
x
y ’ (x) = d ( x  3 x 4  3 x 
1
)
x
1
x
y ’ ( x )= d ( x )  D(3 x 4 )  D(3 x )  D( )
aplicamos los teoremas 10,11 y 6
y ’ (x) =
1
2 x

43 x
3
1

 ( 2 )
3
x
2 x
Simplificando las operaciones, nos queda:
y ’ (x) =
1
2 x

43 x
3
1

 2
3
2 x x
5.- derivar:
y(x) = (2x – 4x2 )( 6x – 8x3 )
aplicando el teorema de un producto 8 , tenemos:
y’(x) = (2x – 4x2 ) dx (6x – 8x3 ) + (6x – 8x3) dx (2x – 4x2 )
Efectuando la derivada por el teorema 6 y 4, tenemos:
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Y’(x) = (2x – 4x2 ) ( 6 – 24x2 ) + (6x – 8x3 ) ( 2 – 8x )
Realizando las operaciones indicadas y simplificando, nos queda:
y ’(x) = 160x4 –64x3 – 72x2 + 24x
6.- derivar:
4 x3  5 x
y=
4 x 2  16
Por el teorema del cociente de funciones 9, tenemos:
(4 x 2  16) D(4 x 2  5 x)  (4 x 2  5 x) D(4 x 2  16)
y ’ (x) =
(4 x 2  16)2
Aplicando el teorema 6 y 4, nos queda:
y ‘ (x) =
(4 x 2  16)(8 x  5)  (4 x 2  5 x)(8 x)
(4 x 2  16) 2
y ‘ (x ) =
20 x 2  128 x  80
(4 x 2  16) 2
Derivadas de funciones trascendentes, logarítmicas y exponenciales.
Y = sen u
y’(x) = cos u
du
dx
Y = cos u
y’(x) = -sen u
du
dx
du
dx
Y = tang u
y’(x) = sec2 u
Y = cotg u
y’ (x) = - csc2 u
Y = sec u
Y = csc u
du
dx
y’(x) = tang u secu
y’(x) = - csc u ctg u
du
dx
du
dx
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Y = au
y’(x) = auln a
u
du
y’(x) = e dx
Y=e
Y = ln u
du
dx
u
y’(x) =
1 du
u dx
Ejercicio 1.
Y = 3sen x
y ’(x) = 3 dx(sen x)
Por el teorema de derivación 1. Tenemos:
y ’ (x) = 3 cos x
Ejercicio 2
Y = tg x + ctg x
y ’ (x) = dx(tang x) + dx(ctg x)
Por los teoremas de derivación 3 y 4, tenemos:
y ’(x) = sec2 x + (-csc2 x )
Finalmente nos queda:
y ’(x) = sec2 x - csc2 x
Ejemplo 3
G(x) = x sen x + cos x
g’(x) = d( x sen x) + d (cos x )
Aplicamos el teorema 8 alg. Y 2, tenemos:
g ’(x) =[ x (d (sen x )) + sen x d ( x)] + d ( cos x)
g’(x) = [ x cos x + sen x (1) ] + (-sen x )
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g’(x) = x cos x + sen x – sen x
Simplificando términos , nos queda:
g ’(x) = x cos x
Ejercicio 4.
F ( x ) = 3 sec x tang x
Aplicando los teoremas de derivación algebraicos 8, nos queda:
f ’(x) = 3(sec x)d( tang x) + 3 tang x d ( sec x) + (secx ) (tang x) d (3)
Aplicamos los teoremas 3 y 5, tenemos:
f ’(x) = 3 (sec x ) (sec2 x) + 3(tang x ) (sec x tang x) + ( sec x) (tang x) ( 0 )
Simplificando:
f ’(x) = 3 sec3 x + 3 tang2 x sec x
Finalmente factorizando, tenemos:
f ’(x) = 3 sec x ( sec2 x + tang2 x )
Ejercicio 5.
y=
2 csc t  1
csc t  2
Aplicando el teorema del cociente
u
, tenemos:
v
y ’(x) =
(csc t  2) Dx (2 csc t  1)  (2 csc t  1) Dx (csc t  2)
(csc t  2) 2
y’(x) =
(csc t  2)(2 csc t  ctgt )  (2 csc t  1)( csc t  ctgt )
(csc t  2)
y’(x) =
 2 csc2 t  ctgt  4 csc t  ctgt  2 csc2 t  ctgt  csc t  ctgt
(csc t  2)2
Simplificando términos semejantes, nos queda:
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y ’ (x)=
 5 csc t  ctgt
(csc t  2) 2
Ejercicio 6.
Y = e-x
Y ’( x ) = dx( e-x )
Por medio del teorema 8, tenemos:
y ’ ( x ) = e-x dx(-x )
y ’ (x) = e-x(-1)
y ’(x) = -e-x
Ejercicio 7.
Y=
e x  e x
e x  e x
Por el teorema del cociente
y ‘(x) =
u
, tenemos:
v
(e x  e x )  Dx (e x  e x )  (e x  e x ) Dx (e x  e x )
(e x  e x )2
Por el teorema 8, tenemos:
y ’( x ) =
(e x  e x )(e x (1)  e x (1))  (e x  e x ) x (e x (1)  e x (1))
(e x  e  x ) 2
Simplificando, nos queda:
Y’ (x) =
(e x  e x )(e x  e x )  (e x  e x )(e x  e x )
(e x  e  x ) 2
(e2 x  2e x  x  e2 x )  (e2 x  2e x  x e x  e x )
Y’(x) =
(e x  e x )2
Y’(x) =
e2 x  2e x  x  e2 x  e2 x  2e x  x  e2 x
(e x  e  x ) 2
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y ’(x) =
4
(e  e  x ) 2
x
Ejercicios propuestos.
1.-
f(t) =( sen t ) ( tang t )
2.- f(x) = 4x2 cos x
3.-
f(y) = y3 – y2 cos y + 2ysen y + 2cos y
4.- f(x) = x sen x + cos x
 2 csc t  1 

 csc t  2 
5.- f( t ) = 
6.- f ( x ) =
sec x
x
7.- f(x) = (cos x + 1 ) ( x sen x - 1 )
8.- f(x) = x sen x
9.- f(x) =
senx
1  cos x
10.- f(x) = x2 tang x.
11.- f(x) = x ln x
 2x 

 x  3
12.- f(x) = ex + 5 ln 
13.- f ( x ) = ln( sen 3x)
14.- g(x) = ecos4x
15.- g(x) = 4cos x - ln 5x2
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Derivada de una función compuesta.
( regla de la cadena ).
En algunos casos al aplicar las formulas de derivación que se indican en seguida, y
está en función de x por intermedio de u, de v o de ambas, a esto se la llama función de
funciones.
1.-
d
dv
du
(uv)  u  v
dx
dx
dx
2.-
d n
du
(u )  nu n 1
dx
dx
3.-
d u
 
dx  v 
v
du
dv
u
dx
dx
2
v
Si y = u(z) y z = v(x), de manera que y es una función de z y z es una función de x,
entonces y = u(v(x)), con lo que y es función de x, que se escribe y = f(x) donde f es la
composición de u y v; la regla de la cadena establece que
dy
dy dz
=
* , o lo que es lo
dx
dz dx
mismo, f´(x) = u´(v(x))·v´(x). Por ejemplo, si y = ez en donde e = 2,718... Es la constante
de la exponenciación, y z = ax donde a es una constante cualquiera, entonces y = eax;
según la tabla,
dy
dy
dz
= ez y
= a, por lo que
= aeax. Muchos problemas se pueden
dz
dx
dx
formular y resolver utilizando las derivadas. Por ejemplo, sea y la cantidad de material
radiactivo en una muestra dada en el instante x. Según la teoría y la experiencia, la
cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se reduce a una velocidad proporcional
a la cantidad restante, es decir,
dy
= ay con una cierta constante negativa a. Para
dx
hallar y en función de x, hay que encontrar una función y = f(x) tal que
dy
= ay para
dx
cualquier x. La forma general de esta función es y = ceax en donde c es una constante.
Como e0 = 1, entonces y = c para x = 0, así es que c es la cantidad inicial (tiempo
x
=0 ) de material en la muestra. Como a<0, se tiene que eax → 0 cuando x crece, por lo
que y → 0, confirmando que la muestra se reducirá gradualmente hasta la nada. Este
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es un ejemplo de caída exponencial que se muestra en la figura 2a. Si a es una
constante positiva, se obtiene la misma solución,
Y = ceax, pero en este caso cuando el tiempo transcurre, la y crece rápidamente (como
hace eax si a>0).
Esto es un crecimiento exponencial que se muestra en la figura 2b y que se pone de
manifiesto en explosiones nucleares. También ocurre en comunidades animales donde
la tasa de crecimiento es proporcional a la población.
Derivadas sucesivas de una funcion.
(derivadas de orden superior).
Es conveniente recordar que para estudios superiores, entre otros, de máximos y
mínimos relativos, sentido de la concavidad en un punto, y para determinar los
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Puntos de inflexión de una curva, es necesario obtener las derivadas sucesivas de una
función.
dy
dx
es la primera derivada
d  dy 
 
dx  dx 
la derivada de la primera derivada es la segunda derivada, que se expresa:
d2y
dx 2
d  d2y 

 la derivada de la segunda derivada es la tercera derivada, que se
dx  dx 2 
d3y
Expresa:
dx 3
asi sucesivamente, hasta la enésima derivada.
Notación:
dy
 y
dx
d2y
 y´´
dx 2
d3y
 y´´´
dx3
d4y
 y iv
4
dx
Derivada de funciones implícitas.
Como ya se comento que existen funciones de forma implícita y de forma explicita.
Por ejemplo, la función y =
(5  x 2 ) esta expresada en forma explicita; la misma
expresión en forma implícita quedaría de la siguiente forma y2+x2 = 5.
Hemos estudiado las formulas para derivar las funciones explicitas, pero sucede a
veces que debemos derivar una función implícita porque no es posible o resulta muy
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complicado despejar a la y. Esto lo resolvemos con el método de derivación implícita,
que constituye una aplicación de la derivación de una función de funciones.
Procedimiento para derivar una funcion implícita.
Primero derivamos término a término y se toma a y como función de x. En la expresión
resultante se despeja a
dy
como se hace en cualquier ecuación.
dx
Ejemplo.
Deriva la función implícita:
X2 + y2 = 5
Realizamos la derivación término a término con respecto a x:
d 2
(x )  2x
dx
d 2
dy
(y )  2y
dx
dx
Aplicando las formulas fundamentales, calcular la derivada de diversas funciones
algebraicas.
En los siguientes ejemplos demostrativos, se presentan diferentes modelos matemáticos,
los cuales se explican paso a paso con el fin de que el estudiante tenga una mayor
comprensión y entendimiento del proceso; también se les recomienda el uso y manejo del
formulario, mientras se logra la “ memorización “ de las mismas; por último se les indica
que en la mayor parte de los problemas de los ejemplos dados se hace uso de las
operaciones algebraicas fundamentales.
Ejercicios propuestos.
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1.-
y = x3 + 7
2.-
y = 2x2 + 4x
3.-
y = ( 3 – x2 )7
4.-
y=
5.-
y = 3x2
6.-
y=
7.-
y=
8.-
y=
9.-
y=
x2  a2
2x  1
4  x2
4  x2
3
9  x2
2  ax 2
2  ax 2
1  2x
1  2x
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2t 
1
t
10.-
y=
11.-
y = 4x3 – x2 + 5x – 1
12.-
y = 3x 2  x 2
13.-
y = 9x7 – 3x4
14.-
y=
1
1
2
3
 3  10
x
x
Carácter creciente y decreciente de una funcion.
La gráfica de una función continua facilita claramente dónde o en que intervalos la
función es creciente, constante o decreciente; por ejemplo, en la figura tenemos que:
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decreciente
creciente
creciente
-4 -3 -2 -1 0
constante
1
2
3
4 5
a) De x = -  hasta x = 0, la función es creciente
b) De x = 0 hasta x = 1, la función es decreciente
c) De x = 1 hasta x = 3, la función es constante
d) De x = 3 hasta x =  , la función es creciente.
Lo anterior, nos permite obtener las siguientes definiciones:
Funcion creciente.- una función y = f(x) es creciente si al aumentar algebraicamente “
x “ , también “ y “ aumenta, es decir, la función es creciente en un intervalo si es
creciente en todos los valores del intervalo.
Funcion decreciente.- una función y = f(x) es decreciente si al aumentar
algebraicamente “x”, la “y” disminuye, es decir, la función es decreciente en un
intervalo si es decreciente en todos los valores del intervalo.
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ejemplos gráficos.
y
y = f(x)
y
y = f(x)
x
y
x
0
función creciente
x
x’
0
función decreciente
Criterio para indicar el carácter creciente o decreciente de una función.
Al analizar el comportamiento de una función si es creciente o decreciente en un intervalo
dado, la derivada de la función es importante ya que si la derivada es positiva, la tangente
forma un ángulo agudo con el eje x y tiene pendiente positiva (función creciente); si la
derivada es negativa, la tangente forma un ángulo obtuso con el eje x y tiene pendiente
negativa (función decreciente); por lo anterior resulta el siguiente criterio para determinar
si una función es creciente o decreciente:
“Una función es creciente cuando su derivada es positiva; es decreciente
cuando su derivada es negativa.”
Ejemplos:
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1.- hallar los intervalos en los que y = x3 – 6x2 + 9x es creciente o decreciente.
solución: graficando la función dada, tenemos:
X Y
-2 -50
-1 -16
0 0
1 4
2 2
3 0
4 4
5 20
y = x3 – 6x2 +9x
y’ = 3x2 –12x + 9
y’ = (3x – 3) ( x – 3)
Igualando a cero cada uno de los factores de la derivada, tenemos:
3x – 3 = 0
y
3x = 3
x=
x–3=0
x=3
3
3
x=1
y
x=3
Por lo que los intervalos que tendremos que analizar serán:
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a) (-  , 1 )
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b) ( 1, 3)
c) (3,  )
De (-  , 1 ) tomamos un número entre el intervalo x = 0 y evaluamos a y’, resultando:
y’ = 3(0)2 –12 (0) + 9 = 9
Por lo tanto
y’ > 0, por lo que la función es creciente.
De ( 1, 3 ) tomando un valor del intervalo x = 2 y evaluando a y’, tenemos:
y’ = 3(2)2 – 12(2) + 9 =
y’ = 3(4) – 12(2) + 9 =
y’ = 12 – 24 +9 = -3
Por lo tanto:
y’ < 0, por lo que la función es decreciente.
De ( 3 ,  ) tomando un valor del intervalo x = 5 y evaluando a y’, tenemos:
y’ = 3(5)2 – 12(5) + 9 =
y’ = 3(25) – 60 + 9 =
y’ = 75 – 60 +9 =24
Por lo tanto:
y’ > 0, por lo que la función es creciente.
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