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Introducción a la mecánica cuántica
Jesús Hernández Trujillo
Facultad de Química, UNAM
Enero de 2017
Contenido:
Introducción
Álgebra de operadores
Postulados y teoremas de la mecánica cuántica
Intro cuántica/JHT
2 / 59
Introducción
Química cuántica
Mecánica estadística
Cinética
Termodinámica
Intro cuántica/JHT
3 / 59
Definiciones:
Mecánica cuántica. Estudio del comportamiento de la materia y la
energía a escala microscópica (atómos, moléculas, partículas
elementales)
Intro cuántica/JHT
4 / 59
Definiciones:
Mecánica cuántica. Estudio del comportamiento de la materia y la
energía a escala microscópica (atómos, moléculas, partículas
elementales)
Química cuántica. Aplicación de la mecánica cuántica al estudio de
la estructura atómica, molecular y la espectroscopía.
Intro cuántica/JHT
4 / 59
Intro cuántica/JHT
5 / 59
La química cuántica proporciona información sobre:
Propiedades moleculares (momentos dipolares, etc)
Geometrías moleculares
Props. espectroscópicas
(espectros UV, RMN, etc.)
Intro cuántica/JHT
Estados de transición
Energías de reacción
Barreras energéticas
Mecanismos de reacción
5 / 59
Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
La mecánica cuántica es una teoría microscópica.
Asume, además del carácter de partícula, un comportamiento
ondulatorio (ondas materiales).
No es posible asignar un modelo en términos de la experiencia
cotidiana.
Intro cuántica/JHT
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Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
La mecánica cuántica es una teoría microscópica.
Asume, además del carácter de partícula, un comportamiento
ondulatorio (ondas materiales).
No es posible asignar un modelo en términos de la experiencia
cotidiana.
Existe una función de onda. (Ψ(x, t) en una dimensión) que
representa el estado del sistema.
Intro cuántica/JHT
6 / 59
Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
La mecánica cuántica es una teoría microscópica.
Asume, además del carácter de partícula, un comportamiento
ondulatorio (ondas materiales).
No es posible asignar un modelo en términos de la experiencia
cotidiana.
Existe una función de onda. (Ψ(x, t) en una dimensión) que
representa el estado del sistema.
Se postula que Ψ(x, t) satisface la ecuación de Schrödinger
dependiente de t:
−
donde:
Intro cuántica/JHT
h̄ ∂Ψ(x, t)
i
∂t
=−
h̄2 ∂ 2 Ψ(x, t)
2m
∂x2
+ V (x, t)Ψ(x, t) ,
(1)
֒→ h̄ = h/2π; h = 6.626 × 10−34 J s: constante de Planck.
√
֒→ m: masa de la partícula,
֒→ i = −1
֒→ V (x, t): función de la energía potencial.
6 / 59
h̄ es una constante fundamental
Radiación del cuerpo negro: La energía de la radiación
electromagnética con frecuencia ν está cuantizada:
En = nhν, n = 0, 1, 2, . . . .
Efecto fotoeléctrico: La radiación electromagnética está compuesto de
fotones con energía discreta E = hν.
Mediante la conexión relativista entre energía y momento, p, para un
fotón:
c
h
pc = E = h ; p =
λ
λ
Intro cuántica/JHT
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Fórmula de dispersión de Compton: En la dispersión de rayos X por
electrones libres:
λ′ − λ =
h
(1
me c
− cos θγ )
Tomado de: Robinett, Quantum Mechanics
Intro cuántica/JHT
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Fórmula de dispersión de Compton: En la dispersión de rayos X por
electrones libres:
λ′ − λ =
h
(1
me c
− cos θγ )
Tomado de: Robinett, Quantum Mechanics
El momento angular del electrón en el átomo H está cuantizado:
L = nh̄, n = 1, 2, 3, . . .
Intro cuántica/JHT
8 / 59
Fórmula de dispersión de Compton: En la dispersión de rayos X por
electrones libres:
λ′ − λ =
h
(1
me c
− cos θγ )
Tomado de: Robinett, Quantum Mechanics
El momento angular del electrón en el átomo H está cuantizado:
L = nh̄, n = 1, 2, 3, . . .
Longitud de onda de de Broglie: la materia (ej. electrones) satisface:
λdB =
Intro cuántica/JHT
h
p
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Principio de incertidumbre
No es posible conocer con exactitud la posición, x, y el
momento, p = mv, de una partícula de manera simultánea y en cualquier instante.
El producto de las incertidumbres, σx y σp :
σx σp ≥
֒→
h̄
2
.
(2)
No es posible conocer la trayectoria de una partícula.
Intro cuántica/JHT
9 / 59
Gráficamente:
Tomado de: Pilar, Elementary Quantum Chemistry
Intro cuántica/JHT
10 / 59
Interpretación estadística de la función de onda (Born):
Ψ(x, t)
↔
|Ψ(x, t)|2 dx = Ψ(x, t)⋆ Ψ(x, t)dx
|
{z
}
probabilidad de encontrar a la partícula entre
x y x + dx
|Ψ(x,t))|
2
dx
2
|Ψ(x,t)| dx
Intro cuántica/JHT
x
x+dx
|Ψ(x, t)|2 :
֒→
densidad de probabilidad
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Estadística:
Propiedad x:
Valores {xi |i = 1, . . . , n} y probabilidades {P (xi ), i = 1, . . . , n}
El valor promedio es
x̄ ≡ hxi =
Intro cuántica/JHT
n
X
xi P (xi ),
P (xi ) : distribución discreta.
i=1
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Estadística:
Propiedad x:
Valores {xi |i = 1, . . . , n} y probabilidades {P (xi ), i = 1, . . . , n}
El valor promedio es
x̄ ≡ hxi =
n
X
xi P (xi ),
P (xi ) : distribución discreta.
i=1
Función de distribución continua:
hxi =
Intro cuántica/JHT
Z
xρ(x)dx
12 / 59
Ejemplo:
Distribución normal (Gaussiana)
ρ(x) =
1
2
2
√ e−(x−µ) /(2σ )
σ 2π
tal que
Z ∞
ρ(x)dx = 1
−∞
Intro cuántica/JHT
y
2
σ =
Z ∞
−∞
2
D
(x − µ) ρ(x)dx = x
2
E
− hxi
→ (varianza)
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Ejemplo:
Distribución normal (Gaussiana)
ρ(x) =
1
2
2
√ e−(x−µ) /(2σ )
σ 2π
tal que
Z ∞
2
y
ρ(x)dx = 1
σ =
−∞
Z ∞
−∞
µ=1
1.0
D
2
(x − µ) ρ(x)dx = x
0.8
0.6
0.6
σ = 0.45
− hxi
0.2
x
−2 −1 0
1
ρ(x)
Intro cuántica/JHT
→ (varianza)
σ = 0.90
0.4
0.2
E
1.0
0.8
0.4
2
2
3
4
x
−2 −1 0
1
2
3
4
ρ(x)
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En mecánica cuántica:
ρ(x, t) ≡ |Ψ(x, t)|2
Valor promedio de la posición de una partícula:
hxi =
Z
b
x|Ψ(x, t)|2 dx .
(3)
a
x ∈ (−∞, ∞).
La mecánica cuántica es de naturaleza estadística
Intro cuántica/JHT
14 / 59
Ecuación de Schrödinger indep. del tiempo:
Caso particular:
Función de energía potencial independiente del tiempo: V = V (x)
Substituir en (1)
−
h̄ ∂Ψ(x, t)
i
Intro cuántica/JHT
∂t
=−
h̄2 ∂ 2 Ψ(x, t)
2m
∂x2
+ V (x)Ψ(x, t)
(4)
15 / 59
Ecuación de Schrödinger indep. del tiempo:
Caso particular:
Función de energía potencial independiente del tiempo: V = V (x)
Substituir en (1)
−
h̄ ∂Ψ(x, t)
i
Ejercicio:
Intro cuántica/JHT
∂t
=−
h̄2 ∂ 2 Ψ(x, t)
2m
∂x2
+ V (x)Ψ(x, t)
(4)
Mediante el procedimiento de separación de variables,
obtén la ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo.
15 / 59
Para ello, substituye
Ψ(x, t) = f (t)ψ(x)
(5)
en (4) y obtén
−
֒→
h̄2 d2 ψ(x)
2m
dx2
+ V (x)ψ(x) = Eψ(x)
(6)
ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
donde
Ψ(x, t) = e−Eit/h̄ ψ(x)
Intro cuántica/JHT
(7)
16 / 59
Postulado:
E es la energía de la partícula
En un problema particular, hay que definir:
V (x)
condiciones a la frontera
Intro cuántica/JHT
17 / 59
Postulado:
E es la energía de la partícula
En un problema particular, hay que definir:
V (x)
condiciones a la frontera
Además:
֒→ (6) es un postulado de la teoría.
֒→ Incógnitas: ψ(x) y E
Intro cuántica/JHT
17 / 59
A partir de (7):
|Ψ(x, t)|2 = Ψ(x, t)⋆ Ψ(x, t)
=
Es decir
h
e
+Eit/h̄
⋆
ψ(x)
i
[e−Eit/h̄ ψ(x)] = ψ(x)⋆ ψ(x)
|Ψ(x, t)|2 = |ψ(x)|2
(8)
Soluciones de la forma (7): estados estacionarios
Intro cuántica/JHT
18 / 59
Operadores
En mecánica
cuántica:
Intro cuántica/JHT
Cantidad física ↔ operador.
19 / 59
Operadores
En mecánica
cuántica:
Cantidad física ↔ operador.
Definición 1: (Operador) Es una regla de asociación entre elementos
de dos espacios vectoriales.
Ejemplos:
y = f (x) = 2/(1 + x)2 .
f asocia a x0 ∈ ℜ el elemento 2/(1 + x0 )2 ∈ ℜ.
Intro cuántica/JHT
19 / 59
Operadores
En mecánica
cuántica:
Cantidad física ↔ operador.
Definición 1: (Operador) Es una regla de asociación entre elementos
de dos espacios vectoriales.
Ejemplos:
y = f (x) = 2/(1 + x)2 .
f asocia a x0 ∈ ℜ el elemento 2/(1 + x0 )2 ∈ ℜ.
y = det(A), donde A ∈ Mn×n .
(det actúa sobre matrices cuadradas).
Intro cuántica/JHT
19 / 59
Operadores
En mecánica
cuántica:
Cantidad física ↔ operador.
Definición 1: (Operador) Es una regla de asociación entre elementos
de dos espacios vectoriales.
Ejemplos:
y = f (x) = 2/(1 + x)2 .
f asocia a x0 ∈ ℜ el elemento 2/(1 + x0 )2 ∈ ℜ.
y = det(A), donde A ∈ Mn×n .
(det actúa sobre matrices cuadradas).
Df = df /dx.
(D actúa sobre funciones).
Intro cuántica/JHT
19 / 59
Operadores
En mecánica
cuántica:
Cantidad física ↔ operador.
Definición 1: (Operador) Es una regla de asociación entre elementos
de dos espacios vectoriales.
Ejemplos:
y = f (x) = 2/(1 + x)2 .
f asocia a x0 ∈ ℜ el elemento 2/(1 + x0 )2 ∈ ℜ.
y = det(A), donde A ∈ Mn×n .
(det actúa sobre matrices cuadradas).
Df = df /dx.
(D actúa sobre funciones).
Rb
y = I[f (x)] = a f (x)dx.
(I actúa sobre funciones)
Intro cuántica/JHT
19 / 59
suma y la diferencia de operadores
 + B̂ f
= Âf + B̂f
(9)
 − B̂ f
= Âf − B̂f
(10)
Producto (composición) de operadores
ÂB̂ f ≡ Â B̂f
La acción de ÂB̂ sobre f es de derecha a izquierda:
Intro cuántica/JHT
(11)
(ÂB̂) f
←−
20 / 59
suma y la diferencia de operadores
 + B̂ f
= Âf + B̂f
(9)
 − B̂ f
= Âf − B̂f
(10)
Producto (composición) de operadores
ÂB̂ f ≡ Â B̂f
La acción de ÂB̂ sobre f es de derecha a izquierda:
Notación: Â2 ≡ ÂÂ
Intro cuántica/JHT
(11)
(ÂB̂) f
←−
20 / 59
suma y la diferencia de operadores
 + B̂ f
= Âf + B̂f
(9)
 − B̂ f
= Âf − B̂f
(10)
Producto (composición) de operadores
ÂB̂ f ≡ Â B̂f
La acción de ÂB̂ sobre f es de derecha a izquierda:
Notación: Â2 ≡ ÂÂ
(11)
(ÂB̂) f
←−
Ejemplo:
El operador segunda derivada es el producto de dos operadores:
2
d
d
d
=
D̂ 2 =
dx dx
dx2
Intro cuántica/JHT
20 / 59
Definición 2: (operador lineal) Â es lineal si y sólo si, ∀k1 , k2 ∈ C, se
cumple
 (k1 f1 + k2 f2 ) = k1 Âf1 + k2 Âf2
֒→
Intro cuántica/JHT
(12)
Los operadores de la mecánica
cuántica son lineales.
21 / 59
Definición 2: (operador lineal) Â es lineal si y sólo si, ∀k1 , k2 ∈ C, se
cumple
(12)
 (k1 f1 + k2 f2 ) = k1 Âf1 + k2 Âf2
֒→
Los operadores de la mecánica
cuántica son lineales.
Ejemplo: El operador derivada es un operador lineal
d
dx
[k1 f (x) + k2 g(x)] = k1
Intro cuántica/JHT
df
dx
+ k2
dg
dx
21 / 59
Definición 2: (operador lineal) Â es lineal si y sólo si, ∀k1 , k2 ∈ C, se
cumple
(12)
 (k1 f1 + k2 f2 ) = k1 Âf1 + k2 Âf2
֒→
Los operadores de la mecánica
cuántica son lineales.
Ejemplo: El operador derivada es un operador lineal
d
dx
[k1 f (x) + k2 g(x)] = k1
df
dx
+ k2
dg
dx
Ejercicio: Determina si el operador L̂2 = −d2 /d x2 + x2 es lineal.
Intro cuántica/JHT
21 / 59
En general:
ÂB̂ 6= B̂Â
Intro cuántica/JHT
22 / 59
En general:
ÂB̂ 6= B̂Â
Definición 3: (Conmutador) El conmutador de  y B̂] Se define como
h
i
Â, B̂ = ÂB̂ − B̂Â
h
i
Â, B̂ = 0̂
Intro cuántica/JHT
(13)
↔ Â y B̂ conmutan.
22 / 59
Algunas propiedades:
h
Â, B̂ + Ĉ
h
h
kÂ, B̂
Â, B̂Ĉ
Intro cuántica/JHT
i
i
i
=
=
=
h
i
Â, Cˆ
(14)
Â, kB̂ = k Â, B̂
(15)
h
i
(16)
h
i
h
i
Â, B̂
h
+
i
h
i
Â, B̂ Ĉ + B̂ Â, Cˆ
23 / 59
Algunas propiedades:
h
Â, B̂ + Ĉ
h
h
kÂ, B̂
Â, B̂Ĉ
i
i
i
=
=
=
h
i
Â, Cˆ
(14)
Â, kB̂ = k Â, B̂
(15)
h
i
(16)
h
i
h
i
Â, B̂
h
+
i
h
i
Â, B̂ Ĉ + B̂ Â, Cˆ
Ejercicios:
h
i
h
i
Demuestra que Â, B̂ = − B̂, Â
Intro cuántica/JHT
23 / 59
Algunas propiedades:
h
Â, B̂ + Ĉ
h
h
kÂ, B̂
Â, B̂Ĉ
i
i
i
=
=
=
h
i
Â, Cˆ
(14)
Â, kB̂ = k Â, B̂
(15)
h
i
(16)
h
i
h
i
Â, B̂
h
+
i
h
i
Â, B̂ Ĉ + B̂ Â, Cˆ
Ejercicios:
h
i
h
i
Demuestra que Â, B̂ = − B̂, Â
Tarea: Demuestra la propiedad (16)
Intro cuántica/JHT
23 / 59
Algunas propiedades:
h
Â, B̂ + Ĉ
h
h
kÂ, B̂
Â, B̂Ĉ
i
i
i
=
=
=
h
i
Â, Cˆ
(14)
Â, kB̂ = k Â, B̂
(15)
h
i
(16)
h
i
h
i
Â, B̂
h
+
i
h
i
Â, B̂ Ĉ + B̂ Â, Cˆ
Ejercicios:
h
i
h
i
Demuestra que Â, B̂ = − B̂, Â
Tarea: Demuestra la propiedad (16)
Sean  = −d/dx y B̂ = x d/dx
1. Encuentra (Â + 2B̂)x2
Intro cuántica/JHT
23 / 59
Algunas propiedades:
h
Â, B̂ + Ĉ
h
h
kÂ, B̂
Â, B̂Ĉ
i
i
i
=
=
=
h
i
Â, Cˆ
(14)
Â, kB̂ = k Â, B̂
(15)
h
i
(16)
h
i
h
i
Â, B̂
h
+
i
h
i
Â, B̂ Ĉ + B̂ Â, Cˆ
Ejercicios:
h
i
h
i
Demuestra que Â, B̂ = − B̂, Â
Tarea: Demuestra la propiedad (16)
Sean  = −d/dx y B̂ = x d/dx
1. Encuentra (Â + 2B̂)x2
2. Obtén [Â, B̂]x3
Intro cuántica/JHT
23 / 59
Algunas propiedades:
h
Â, B̂ + Ĉ
h
h
kÂ, B̂
Â, B̂Ĉ
i
i
i
=
=
=
h
i
Â, Cˆ
(14)
Â, kB̂ = k Â, B̂
(15)
h
i
(16)
h
i
h
i
Â, B̂
h
+
i
h
i
Â, B̂ Ĉ + B̂ Â, Cˆ
Ejercicios:
h
i
h
i
Demuestra que Â, B̂ = − B̂, Â
Tarea: Demuestra la propiedad (16)
Sean  = −d/dx y B̂ = x d/dx
1. Encuentra (Â + 2B̂)x2
2. Obtén [Â, B̂]x3
Evalúa el conmutador [Â, B̂], donde  = d/dx + 2x2 y
B̂ = d/dx − x.
Intro cuántica/JHT
23 / 59
Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo:
"
−
h̄
2
d2
2m dx2
#
+ V (x) ψ(x) = Eψ(x)
Operador Hamiltoniano:
Ĥ = −
Intro cuántica/JHT
h̄2 d2
2m dx2
+ V (x)
(17)
24 / 59
Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo:
"
−
h̄
2
d2
2m dx2
#
+ V (x) ψ(x) = Eψ(x)
Operador Hamiltoniano:
Ĥ = −
h̄2 d2
2m dx2
+ V (x)
(17)
Por lo tanto:
Ĥψ(x) = Eψ(x)
(18)
Ĥ es un operador lineal
Intro cuántica/JHT
24 / 59
El problema de valores propios
La ecuación (18) es de la forma
Âφ(x) = aφ(x)
Intro cuántica/JHT
(19)
25 / 59
El problema de valores propios
La ecuación (18) es de la forma
Âφ(x) = aφ(x)
(19)
Definición 2: (Problema de valores propios)
Dado el operador Â, encontrar φ(x) y la constante a que satisfagan la
ecuación de valores propios, (19). La función φ(x) se llama la función
propia (eigenfunción) de  y la constante a el valor propio (eigenvalor)
de φ(x).
Intro cuántica/JHT
25 / 59
Ejercicio:
2
Determina si f (x) = e−x /2 es función propia de L̂2 = −D̂ 2 + x2 . Si lo
es, encuentra el correspondiente valor propio.
Intro cuántica/JHT
26 / 59
Ejercicio:
2
Determina si f (x) = e−x /2 es función propia de L̂2 = −D̂ 2 + x2 . Si lo
es, encuentra el correspondiente valor propio.
Ejercicios:
Verifica que las siguientes son funciones propias del operador
correspondiente y encuentra el valor propio.
g(x) = eikx , p̂ = −D̂.
Intro cuántica/JHT
26 / 59
Ejercicio:
2
Determina si f (x) = e−x /2 es función propia de L̂2 = −D̂ 2 + x2 . Si lo
es, encuentra el correspondiente valor propio.
Ejercicios:
Verifica que las siguientes son funciones propias del operador
correspondiente y encuentra el valor propio.
g(x) = eikx , p̂ = −D̂.
f (x, y, z) = sen(αx) sen(βy), Ô = −(1/2)∇2
Intro cuántica/JHT
26 / 59
Ejercicio:
2
Determina si f (x) = e−x /2 es función propia de L̂2 = −D̂ 2 + x2 . Si lo
es, encuentra el correspondiente valor propio.
Ejercicios:
Verifica que las siguientes son funciones propias del operador
correspondiente y encuentra el valor propio.
g(x) = eikx , p̂ = −D̂.
f (x, y, z) = sen(αx) sen(βy), Ô = −(1/2)∇2
Tarea:
Encuentra las funciones y los valores propios de D̂ 2
Intro cuántica/JHT
26 / 59
Degeneración
Cuando el conjunto de funciones propias
{ϕi , i = 1, . . . , m}
del operador  tiene el mismo valor propio a, se dice que el conjunto es
degenerado
Teorema 1. Una combinación lineal de funciones propias degeneradas
con valor propio a tiene el mismo valor propio a.
Ejercicio:
Demuestra este teorema.
Intro cuántica/JHT
27 / 59
Operadores de la mecánica cuántica
En mecánica cuántica:
propiedad física A
Intro cuántica/JHT
⇔
Â
28 / 59
Operadores de la mecánica cuántica
En mecánica cuántica:
propiedad física A
⇔
Â
energía
⇔
Ĥ
Ejemplo:
ψ(x) es función propia de Ĥ con valor propio E:
Ĥψ(x) = Eψ(x)
Intro cuántica/JHT
28 / 59
Operadores de la mecánica cuántica
En mecánica cuántica:
propiedad física A
⇔
Â
energía
⇔
Ĥ
Ejemplo:
ψ(x) es función propia de Ĥ con valor propio E:
Ĥψ(x) = Eψ(x)
Además:
Posible espectro discreto (condiciones a la frontera)
Algunas mediciones experimentales producen valores discretos para
ciertas propiedades.
Intro cuántica/JHT
28 / 59
Ĥ es de la forma:
donde:
Intro cuántica/JHT
Ĥ = T̂x + V̂
T̂x
V̂
⇔
⇔
(20)
energía cinética
energía potencial
29 / 59
Ĥ es de la forma:
donde:
El operador
Ĥ = T̂x + V̂
T̂x
V̂
T̂x = −
⇔
⇔
h̄2
energía cinética
energía potencial
d2
dx2
2m
se relaciona con el de momento lineal.
Intro cuántica/JHT
(20)
(21)
29 / 59
Ĥ es de la forma:
donde:
El operador
Ĥ = T̂x + V̂
T̂x
V̂
T̂x = −
⇔
⇔
h̄2
energía cinética
energía potencial
d2
dx2
2m
se relaciona con el de momento lineal.
En mecánica clásica:
Intro cuántica/JHT
(20)
(21)
p2 = 2m Ec
29 / 59
Ĥ es de la forma:
donde:
El operador
(20)
Ĥ = T̂x + V̂
T̂x
V̂
T̂x = −
⇔
⇔
h̄2
energía cinética
energía potencial
d2
(21)
dx2
2m
se relaciona con el de momento lineal.
En mecánica clásica:
En mecánica cuántica :
Intro cuántica/JHT
p2 = 2m Ec
p̂2x
= 2mT̂x = 2m −
h̄
2
d2
2m dx2
!
29 / 59
Ĥ es de la forma:
donde:
El operador
(20)
Ĥ = T̂x + V̂
T̂x
V̂
T̂x = −
⇔
⇔
h̄2
energía cinética
energía potencial
d2
(21)
dx2
2m
se relaciona con el de momento lineal.
En mecánica clásica:
En mecánica cuántica :
Es decir,
Intro cuántica/JHT
p2 = 2m Ec
p̂2x
= 2mT̂x = 2m −
p̂2x = −h̄2
d2
dx2
h̄
2
d2
2m dx2
!
(22)
29 / 59
Ĥ es de la forma:
donde:
El operador
(20)
Ĥ = T̂x + V̂
T̂x
V̂
T̂x = −
⇔
⇔
h̄2
energía cinética
energía potencial
d2
(21)
dx2
2m
se relaciona con el de momento lineal.
En mecánica clásica:
En mecánica cuántica :
Es decir,
p2 = 2m Ec
p̂2x
= 2mT̂x = 2m −
p̂2x = −h̄2
d2
dx2
h̄
2
d2
2m dx2
!
(22)
Además, p̂2x ≡ p̂x p̂x .
Intro cuántica/JHT
29 / 59
Ĥ es de la forma:
donde:
El operador
(20)
Ĥ = T̂x + V̂
T̂x
V̂
T̂x = −
⇔
⇔
h̄2
energía cinética
energía potencial
d2
(21)
dx2
2m
se relaciona con el de momento lineal.
En mecánica clásica:
En mecánica cuántica :
Es decir,
p2 = 2m Ec
p̂2x
= 2mT̂x = 2m −
p̂2x = −h̄2
Además, p̂2x ≡ p̂x p̂x .
Por lo tanto:
Intro cuántica/JHT
p̂x = −ih̄
d2
dx2
d
dx
h̄
2
d2
2m dx2
!
(22)
(23)
29 / 59
Valor esperado (promedio)
En el caso de la posición:
x
⇔
x̂
֒→ x̂ es un operador multiplicativo.
hxi =
Intro cuántica/JHT
Z
b
2
x|Ψ(x, t)| dx =
a
Z
b
xΨ⋆ (x)Ψ(x, t) dx
a
30 / 59
Valor esperado (promedio)
En el caso de la posición:
x
⇔
x̂
֒→ x̂ es un operador multiplicativo.
hxi =
Z
hxi =
Z
b
2
x|Ψ(x, t)| dx =
a
b
Z
b
xΨ⋆ (x)Ψ(x, t) dx
a
Ψ⋆ (x, t)x̂Ψ(x, t) dx
(24)
a
donde x̂Ψ(x, t) = xΨ(x, t).
Intro cuántica/JHT
30 / 59
Valor esperado (promedio)
En el caso de la posición:
x
⇔
x̂
֒→ x̂ es un operador multiplicativo.
hxi =
Z
hxi =
Z
b
2
x|Ψ(x, t)| dx =
a
b
Z
b
xΨ⋆ (x)Ψ(x, t) dx
a
Ψ⋆ (x, t)x̂Ψ(x, t) dx
(24)
a
donde x̂Ψ(x, t) = xΨ(x, t).
Dado que |Ψ(x, t)|2 es una función de distribución de probabilidad:
Z
b
a
|Ψ(x, t)|2 dx = 1
Intro cuántica/JHT
⇒ función de onda normalizada
(25)
30 / 59
Operador no multiplicativo:
f (x)p̂x 6= p̂x f (x)
Postulado:
hAi =
Intro cuántica/JHT
Z
b
a
Ψ⋆ (x, t)ÂΨ(x, t) dx
(26)
31 / 59
Operador no multiplicativo:
f (x)p̂x 6= p̂x f (x)
Postulado:
hAi =
Z
b
a
Ψ⋆ (x, t)ÂΨ(x, t) dx
(26)
Para una función de onda φ(x, t) cuadrático integrable no normalizada:
hAi =
Intro cuántica/JHT
Rb
a
φ⋆ (x, t)Âφ(x, t) dx
Rb
a
|φ(x, t)|2 dx
(27)
31 / 59
Teorema:
Sea φ(x, t) solución del problema de valores propios
Âφ(x, t) = aφ(x, t) ,
donde  es un operador lineal.
Sea k 6= 0. Entonces:
φ′ (x, t) = k φ(x, t)
también es solución del problema de valores propios y tiene el valor
propio a.
Intro cuántica/JHT
32 / 59
Toda φ(x, t) cuadrático integrable puede ser normalizada.
Sea
(28)
Ψ(x, t) = N φ(x, t)
N es tal que
Z
b
a
2
|Ψ(x, t)| dx =
Intro cuántica/JHT
Z
b
a
2
|N φ(x, t)| dx = N
= N 2α = 1
2
Z
b
a
|φ(x, t)|2 dx
33 / 59
Toda φ(x, t) cuadrático integrable puede ser normalizada.
Sea
(28)
Ψ(x, t) = N φ(x, t)
N es tal que
Z
b
a
2
|Ψ(x, t)| dx =
Z
b
a
2
|N φ(x, t)| dx = N
= N 2α = 1
2
Z
b
a
|φ(x, t)|2 dx
Por lo tanto
N =
Intro cuántica/JHT
s
Rb
a
1
|φ(x, t)|2 dx
=
s
1
α
(29)
33 / 59
Ejercicio:
Una partícula se describe por la función de onda no normalizada
2
−ar
Ψ(r, θ, φ) = N e
, donde a > 0 y r ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, π] y
φ ∈ [0, 2π] son las coordenadas esféricas. Encuentra la constante de
normalización.
→
Recuerda que dτ = r 2 sen θdrdθdφ.
→
Utiliza
Z
∞
0
Intro cuántica/JHT
r 2m e
−αr 2
dr =
(2m)!π 1/2
22m+1 m!αm+1/2
.
34 / 59
Ortogonalidad
Funciones ortogonales.
Dos funciones complejas f y g son ortogonales si y sólo si
Z
Intro cuántica/JHT
f ⋆ g dτ =
Z
g ⋆ f dτ = 0 .
(30)
35 / 59
Ortogonalidad
Funciones ortogonales.
Dos funciones complejas f y g son ortogonales si y sólo si
Z
f ⋆ g dτ =
Z
g ⋆ f dτ = 0 .
(30)
Además, si f y g están normalizadas, se dice que las funciones son
ortonormales.
Intro cuántica/JHT
35 / 59
Ortogonalidad
Funciones ortogonales.
Dos funciones complejas f y g son ortogonales si y sólo si
Z
f ⋆ g dτ =
Z
g ⋆ f dτ = 0 .
(30)
Además, si f y g están normalizadas, se dice que las funciones son
ortonormales.
Ejemplo:
2 − 1 y g(x) = x son ortogonales
Determina si las funciones
f
(x)
=
x
√ √
en el intervalo x ∈ [− 2, 2].
Intro cuántica/JHT
35 / 59
Solución:
Z
√
−
2
√
f (x)g(x)dx =
2
Z
√
2
√
− 2
(x2 − 1) x dx =
Z
√
2
√ (x
− 2
3
− x)dx = 0
Gráficamente:
2
f (x)
1.5
1
g(x)
f (x)g(x)
El área bajo la curva de la
función f (x)
√g(x)
√ se anula
para x ∈ [− 2, 2]
0.5
0
-0.5
+
+
−
−
-1
-1.5
-2
-1.5
Intro cuántica/JHT
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
36 / 59
Operadores Hermitianos
Sea  un operador lineal que representa a la propiedad física A:
hAi =
Z
Ψ⋆ ÂΨdτ ≡
Z
h
i
Ψ⋆ ÂΨ dτ
Dado que hAi debe ser un número real:
hAi = hAi⋆
Intro cuántica/JHT
37 / 59
Operadores Hermitianos
Sea  un operador lineal que representa a la propiedad física A:
hAi =
Z
Ψ⋆ ÂΨdτ ≡
Z
h
i
Ψ⋆ ÂΨ dτ
Dado que hAi debe ser un número real:
hAi = hAi⋆
Es decir,
R
Ψ⋆ ÂΨdτ =
hR
Ψ⋆ ÂΨdτ
i⋆
=
R
Ψ ÂΨ
⋆
dτ
 es operador Hermitiano
Intro cuántica/JHT
37 / 59
Ejemplo:
Sea ψ(x), x ∈ (−∞, ∞):
Con primeras derivadas continuas
Cuadrático integrable
ψ(x) satisface las condiciones a la frontera:
(31)
ψ(−∞) = ψ(∞) = 0
El promedio de p̂x :
hp̂x i =
Z
∞
−∞
⋆
"
ψ (x) −ih̄
dψ(x)
dx
#
dx
Ejercicio:
Prueba que p̂x es Hermitiano.
Intro cuántica/JHT
38 / 59
Ejemplo:
Sea ψ(x), x ∈ (−∞, ∞):
Con primeras derivadas continuas
Cuadrático integrable
ψ(x) satisface las condiciones a la frontera:
(32)
ψ(−∞) = ψ(∞) = 0
El promedio de p̂x :
hp̂x i =
Z
∞
−∞
⋆
"
ψ (x) −ih̄
dψ(x)
dx
#
dx
Ejercicio:
Prueba que p̂x es Hermitiano.
Intro cuántica/JHT
39 / 59
Definición general:
Definición 1 (Operador Hermitiano). Sea  un operador lineal.  es
Hermitiano si satisface:
Z
⋆
f  gdτ =
Z
g Âf
⋆
dτ
(33)
Un operador Hermitiano también es llamado operador autoadjunto
En mecánica cuántica, una propiedad física A es representada
por un operador lineal Hermitiano, Â
Intro cuántica/JHT
40 / 59
Sean {φi } y {ai } funciones y valores propios del operador Â:
 φi = ai φi
(34)
Teorema: Los valores propios de un operador Hermitiano son números
reales:
ai = a⋆i
Intro cuántica/JHT
(35)
41 / 59
Teorema: Las funciones propias de un operador Hermitiano son o pueden
escogerse ortogonales.
caso 1
Z
ai 6= aj Ausencia de degeneración.
φ⋆i φj dτ = 0
(36)
֒→ las funciones propias de  son ortogonales
caso 2
ai = aj (degeneración)
R
φ⋆i φj dτ no es cero necesariamente
Aunque φi y φj pueden escogerse ortogonales (ortogonalización
de Gram–Schmidt)
Intro cuántica/JHT
42 / 59
Además, las funciones {φi }, pueden escogerse normalizadas:
Z
φ⋆i φj dτ =
Z
φ⋆j φi dτ = δij
(37)
donde
δij =
(
1
0
:
:
i=j
i 6= j
(38)
es la delta de Kronecker.
Intro cuántica/JHT
43 / 59
Teorema: Completitud. Las funciones propias de un operador
Hermitiano forman un conjunto completo.
f =
∞
X
(39)
ki φ i
i=0
Cuando el conjunto {φi } es ortonormal:
kj =
Z
φ⋆j (x)f (x)dx
(40)
֒→ kj en (40) es la proyección de f sobre φj
֒→ Obtén este resultado
Intro cuántica/JHT
44 / 59
Teorema: Si dos operadores lineales Hermitianos conmutan, entonces es
posible seleccionar un conjunto completo de funciones propias común.
Teorema: Si dos operadores lineales Hermitianos comparten un conjunto
completo de funciones propias entonces conmutan.
Intro cuántica/JHT
45 / 59
Postulados de la mecánica cuántica
Postulado 1. Función de onda.
Existe una función Ψ de las coordenadas y del tiempo que contiene
toda la información que puede ser determinada sobre un sistema.
Esta función es univaluada, continua, cuadrático–integrable y con
primeras derivadas continuas por secciones.
Intro cuántica/JHT
46 / 59
¿Cuál de las siguientes funciones es aceptable?
función exponencial
x0
x0
Intro cuántica/JHT
x
x
x
x0
x
47 / 59
Postulado 2. Operadores.
A cada propiedad física medible le corresponde un operador lineal
Hermitiano.
Para encontrar el operador
se escribe la expresión del observable en términos de coordenadas cartesianas y de las componentes del momento lineal
Se sustituye la coordenada x por el operador x̂ y la componente px del momento lineal por el operador p̂x = −ih̄∂/∂ x
Intro cuántica/JHT
48 / 59
Ejemplos:
propiedad
posición
m. lineal
e. cinética
e. potencial
e. total
Intro cuántica/JHT
símbolo
x
r
px
p
Tx
T
V (x)
V (x, y, z)
E
operador
multiplicar por x
multiplicar por r
−ih̄∂/∂ x
−ih̄∇
−(h̄2 /2m)∂ 2 /∂ x2
−(h̄2 /2m)∇2
mult. por V (x)
mult. por V (x, y, z)
−(h̄2 /2m)∇2 + Vb (x̂, ŷ, ẑ)
símbolo
x̂
r̂
p̂x
p̂
T̂x
T̂
c(x̂)
V
c(x̂, ŷ, ẑ)
V
c
H
49 / 59
Postulado 3. Valores medibles.
Los únicos valores posibles que pueden resultar de la medición de una
propiedad física A, son los valores propios ai de la ecuación de
valores propios Âφi = ai φi , donde  es el operador lineal Hermitiano
correspondiente a la propiedad A.
Intro cuántica/JHT
50 / 59
Postulado 3. Valores medibles.
Los únicos valores posibles que pueden resultar de la medición de una
propiedad física A, son los valores propios ai de la ecuación de
valores propios Âφi = ai φi , donde  es el operador lineal Hermitiano
correspondiente a la propiedad A.
Postulado 4. Completitud.
Las funciones propias de todo operador  que represente un
observable físico forman un conjunto completo.
Este postulado permite expresar una función de onda para cualquier
estado como superposición de funciones propias ortonormales {gi } de
cualquier operador mecánico cuántico:
Ψ=
X
ci gi .
i
Intro cuántica/JHT
50 / 59
Postulado 5. Valores promedio.
El valor promedio de la propiedad A de un sistema en un estado
descrito por la función de onda normalizada Ψ es
hAi =
Z
Ψ∗ ÂΨ dτ
⇓
Interpretación estadística de Ψ:
|Ψ|2 dτ es la probabilidad de encontrar
al sistema entre τ y τ + dτ .
Intro cuántica/JHT
51 / 59
Ejemplos:
hxi =
hri =
Z
Z
Ψ⋆ x̂Ψdx =
Ψ⋆ r̂Ψdτ =
hpx i = −ih̄
hpi = −ih̄
hEi =
Intro cuántica/JHT
Z
Ψ
Z
Z
⋆
Ψ
⋆
dΨ
dx
Z
Z
2
−
h̄
2m
Ψ⋆ rΨdτ
dx
Ψ⋆ ∇Ψdτ
"
Ψ⋆ xΨdx
#
∇2 + V (r) Ψdτ
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Postulado 6. Ecuación de Schrödinger.
La función de onda de un sistema evoluciona en el tiempo de acuerdo
con la ecuación de Schrödinger:
ĤΨ = ih̄
∂Ψ
∂t
,
donde Ĥ es el operador Hamiltoniano del sistema.
Intro cuántica/JHT
53 / 59
Superposición de estados
Sea  un operador asociado a la propiedad A con valores propios {ai } y
funciones propias {gi }:
Âgi = ai gi (q1 , q2 , . . . , qN )
donde {qi } son las coordenadas de las N partículas.
Dado que el conjunto {gi } es completo:
Ψ=
X
ci (t)gi (q1 , q2 , . . . , qn )
i
Si Ψ es una función de distribución de probabilidad:
Z
Ψ⋆ Ψdτ = 1
Intro cuántica/JHT
54 / 59
DadoZque  es Hermitiano, el conjunto {gi } es ortonormal:
gi⋆ gj dτ = δij
Por lo tanto:
X
i
|ci |2 = 1
hAi =
Como hAi =
Intro cuántica/JHT
P
i
X
i
|ci |2 ai
Pi ai , entonces
|ci (t)|2 es la probabilidad de que en la medición de
la propiedad A se obtenga el valor propio ai
55 / 59
Los coeficientes se obtienen mediante:
ci =
Z
gi⋆ Ψdτ
Amplitud de probabilidad
Algunas consecuencias:
Si un sistema se encuentra en un estado gi que es función propia de
Â, al medir A con certeza se obtiene el valor ai
Si un sistema se encuentra en un estado que no es función propia de
Â, al medir A el sistema evoluciona a un estado gi y se obtiene ai
con una probabilidad dada por |ci |2
Intro cuántica/JHT
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Medición simultánea de propiedades
Las cantidades físicas A1 y A2 que corresponden a operadores que
conmutan pueden ser medidas simultáneamente a cualquier precisión.
En general:
σA1 σA2
donde
σA1
σA2
=
=
Z
h
i
1
∗
≥ Ψ Â1 , Â2 Ψ dτ 2
q
A21
q
A22
− hA1 i2
− hA2 i2
Posteriormente se revisarán los
postulados correspondientes al espín
Intro cuántica/JHT
57 / 59
Ejemplo:
Obtén la relación de incertidumbre para x y p̂x .
Intro cuántica/JHT
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Ejemplo:
Obtén la relación de incertidumbre para x y p̂x .
Sea Ψ una función de onda normalizada.
Dado que [x̂, p̂x ] = h̄i:
σx σpx
≥
=
Intro cuántica/JHT
Z
Z
1
⋆
⋆
Ψ [x̂, p̂x ] Ψ dx = Ψ (h̄i) Ψ dx
2
2
Z
1
1
⋆
|h̄i| Ψ Ψ dx = |h̄i|
2
2
1 58 / 59
Además:
|h̄i|2 = (h̄i) (h̄i)⋆ = (h̄i) (−h̄i) = −h̄2 i2 = −h̄2 (−1) = h̄2
Por lo tanto:
|h̄i| = h̄
Sustituir en la relación de incertidumbre:
σx σpx ≥
h̄
(67)
2
֒→
Intro cuántica/JHT
Principio de incertidumbre de
Heissenberg
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