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CAPÍTULO
4
Tasas de interés
nominales y efectivas
En todas las relaciones de la ingeniería económica hasta ahora desarrolladas,
la tasa de interés ha sido un valor constante anual. En un alto porcentaje de los
proyectos evaluados en la práctica por ingenieros profesionales, la tasa de
interés compuesto se calcula con mayor frecuencia para periodos diferentes a
un año; los periodos semestrales, trimestrales y mensuales son frecuentes. De
hecho, en algunas evaluaciones de proyectos llegan a presentarse cálculos de
interés compuesto semanal y diario. Asimismo, en nuestras vidas personales,
muchos de nuestros movimientos financieros —préstamos de todo tipo (hipotecas para vivienda, tarjetas de crédito, automóviles, muebles), cuentas de
cheques y de ahorro, inversiones, planes de acciones, etcétera—, poseen tasas de interés compuesto para periodos menores de un año. Este hecho requiere la introducción de dos términos nuevos: tasas de interés nominales y
efectivas.
En este capítulo se explicará y se mostrará cómo aplicar las tasas de interés nominal y efectiva tanto en la práctica de la ingeniería como en situaciones
de la vida diaria. El diagrama de flujo relacionado con la tasa de interés efectiva, localizado en el apéndice para este capítulo, constituye una referencia para
las secciones sobre las tasas nominales y efectivas, así como para las secciones
relacionadas con el cálculo continuo del interés. En este capítulo también se
llevan a cabo cálculos de equivalencia de frecuencias de capitalización en combinación con frecuencias de flujo de efectivo.
El estudio de caso incluye una evaluación de diferentes planes de financiamiento para la compra de una vivienda.
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OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
Objetivo general: Efectuar cálculos de naturaleza económica de tasa de interés y flujos de efectivo
para periodos de capitalización diferentes a un año.
Este capítulo ayudará al lector a:
Nominal y efectiva
1. Comprender las fórmulas de las tasas de interés nominal y efectiva.
Tasa de interés efectiva anual
2. Deducir y aplicar la fórmula de la tasa de interés anual efectiva.
Tasa de interés efectiva
3. Calcular la tasa de interés efectiva para cualquier periodo.
Comparación entre PP y PC
4. Determinar el método correcto para realizar cálculos de equivalencia para diferentes periodos de pago y de capitalización.
Pagos únicos: PP ≥ PC
5. Hacer cálculos de equivalencia para periodos de pago iguales o
mayores que el periodo de capitalización cuando sólo se presentan cantidades únicas.
Serie: PP ≥ PC
6. Efectuar cálculos de equivalencia cuando se presenta una serie
gradiente o uniforme para periodos de pago iguales o mayores
que el periodo de capitalización.
Único y en serie: PP < PC
7. Realizar cálculos de equivalencia para periodos de pago menores que el periodo de capitalización.
Capitalización continua
8. Calcular y utilizar la tasa de interés efectiva para la capitalización
continua.
Tasas variables
9. Considerar tasas de interés que varían con el tiempo cuando se
llevan a cabo cálculos de equivalencia.
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CAPÍTULO 4
4.1
Tasas de interés nominales y efectivas
FÓRMULAS PARA LAS TASAS DE INTERÉS
NOMINAL Y EFECTIVA
En el capítulo 1 aprendimos que la diferencia fundamental entre el interés simple y
el interés compuesto consiste en que el interés compuesto incluye el interés sobre el
interés ganado en el periodo anterior, mientras que el interés simple no lo incluye.
Aquí analizaremos las tasas de interés nominal y efectiva, que implican la misma
relación básica. En este caso la diferencia estriba en que los conceptos de nominal
y de efectivo se deben aplicar cuando se calcula el interés compuesto más de una
vez al año. Por ejemplo, si una tasa de interés es de 1% mensual, deben tomarse en
cuenta los términos nominal y efectivo para las tasas de interés.
Comprender y emplear correctamente las tasas de interés efectivas es importante para la práctica de la ingeniería y de las finanzas personales. Los proyectos de
ingeniería, según se estudiaron en el capítulo 1, se financian a través de deuda y
de capital propio. Los intereses por préstamos, hipotecas, bonos y acciones se basan en tasas de interés compuesto para periodos más frecuentes que un año. Un
estudio de ingeniería económica debe tomar en cuenta esos efectos. En nuestras
finanzas personales, administramos la mayoría de nuestros desembolsos e ingresos
de efectivo para periodos distintos a un año. De nuevo, se presenta el efecto de los
cálculos de interés compuesto para periodos más frecuentes que un año. Primero
analicemos una tasa de interés nominal.
La tasa de interés nominal, r, es una tasa de interés que no considera la
capitalización de intereses. Por definición,
r = tasa de interés por periodo × número de periodos
[4.1]
Una tasa nominal r puede fijarse para cualquier periodo: 1 año, 6 meses, 1 trimestre, 1 mes, 1 semana, 1 día, etcétera. La ecuación [4.1] se aplica para calcular el
valor equivalente de r para cualquier periodo menor o mayor. Por ejemplo, la tasa
nominal de r = 1.5% mensual es la misma que cada una de las siguientes tasas:
r = 1.5% mensual × 24 meses
= 36% por un periodo de 2 años
(mayor que 1 mes)
= 1.5% mensual × 12 meses
= 18% anual
(mayor que 1 mes)
= 1.5% mensual × 6 meses
= 9% por medio año
(mayor que 1 mes)
= 1.5% mensual × 3 meses
= 4.5% trimestral
(mayor que 1 mes)
= 1.5% mensual × 1 mes
= 1.5% mensual
(igual a 1 mes)
= 1.5% mensual × 0.231 mes
= 0.346% semanal
(menor que 1 mes)
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SECCIÓN 4.1
Fórmulas para las tasas de interés nominal y efectiva
Observe que ninguna de estas tasas nominales menciona la frecuencia de la composición. Todas ellas tienen la forma: “r% por periodo de tiempo t”.
Ahora consideremos una tasa de interés efectiva.
La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable a un periodo de tiempo
establecido. La tasa de interés efectiva toma en cuenta la acumulación del
interés durante el periodo de la tasa nominal correspondiente. Por lo general, se expresa como tasa anual efectiva ia, pero se puede utilizar cualquier
periodo como base.
La frecuencia de capitalización de la tasa efectiva se incluye en el enunciado de la
tasa nominal. Si la frecuencia de capitalización no se menciona explícitamente, se
considera que es la misma que el periodo de r, en cuyo caso las tasas nominal y
efectiva poseen el mismo valor. Los siguientes enunciados corresponden a tasas
nominales; sin embargo, los valores de las tasas de interés efectivas no serán los
mismos durante todos los periodos, como consecuencia de las diferentes frecuencias de capitalización.
4% anual, compuesto mensualmente
(composición más frecuente que
el periodo establecido)
12% anual, compuesto trimestralmente
(composición más frecuente que
el periodo establecido)
9% anual, compuesto diariamente
(composición más frecuente que
el periodo establecido)
3% cuatrimestral, compuesto mensualmente
(composición más frecuente que
el periodo establecido)
6% semestral, compuesto semanalmente
(composición más frecuente que
el periodo establecido)
3% trimestral, compuesto diariamente
(composición más frecuente que
el periodo establecido)
Observe que estas tasas hacen mención de la frecuencia de capitalización. Todas
tienen la forma: “r% por periodo de tiempo t, compuesto m-mente”. La m corresponde a un mes, trimestre, semana, o alguna otra unidad de tiempo. La fórmula para
calcular el valor de la tasa de interés efectiva para cualquier enunciado de tasa
nominal o efectiva, se estudia en la siguiente sección.
Para tomar en cuenta debidamente el valor del dinero en el tiempo, todas
las fórmulas de interés, factores, valores tabulados y relaciones de hoja de
cálculo deben incluir la tasa de interés efectiva.
Por lo tanto, es primordial determinar la tasa de interés efectiva antes de realizar los
cálculos del valor del dinero en el tiempo para un estudio de ingeniería económica.
Esto es especialmente cierto cuando se presentan flujos de efectivo en intervalos de
tiempo distintos de un año.
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131
132
CAPÍTULO 4
Tasas de interés nominales y efectivas
Las siglas TPA y RPA se utilizan en muchas situaciones financieras individuales
en lugar de las tasas de interés nominal y efectiva. La tasa porcentual anual (TPA)
es la misma que la tasa de interés nominal, y el rendimiento porcentual anual (RPA)
se utiliza en lugar de la tasa de interés efectiva. Las definiciones e interpretaciones
de este capítulo son las mismas para estos términos.
Sobre la base de estas descripciones, siempre hay dos unidades de tiempo asociadas con un enunciado relativo a una tasa de interés.
Periodo de tiempo, es el periodo en el que se expresa el interés. Ésta es la t del
enunciado de r% por periodo de tiempo t; por ejemplo, 1% mensual. La
unidad de tiempo de un año es por mucho la más común, de ahí que se
suponga así cuando no se especifica otra unidad.
Periodo de capitalización o composición (PC), es la unidad de tiempo más corta
durante la que se paga o gana interés, el cual se identifica por el término
capitalización (o composición*) en el enunciado de la tasa, por ejemplo 8%
anual compuesto mensualmente. Si no se especifica, entonces se supone que es
de 1 año.
Frecuencia de composición, es el número de veces que la capitalización m ocurre
dentro del periodo de tiempo t. Si los periodos de capitalización PC y de
tiempo t son los mismos, la frecuencia de capitalización es 1, por ejemplo
1% mensual compuesto mensualmente.
Considere la tasa de 8% anual, capitalizable mensualmente. Tiene un periodo de
tiempo t de 1 año, un periodo de capitalización PC de 1 mes, y una frecuencia de m
de 12 veces por año. Una tasa de 6% por año, capitalizable en forma semanal, tiene
t = 1 año, PC = 1 semana, y m = 52, con base en el estándar de 52 semanas por año.
En capítulos anteriores, todas las tasas de interés tenían valores de t y m de un
año. Esto significa que las tasas eran tasas efectivas y nominales, en virtud de que se
utilizaba la misma unidad de un año. Se acostumbra expresar la tasa efectiva sobre
la misma base de tiempo que el periodo de composición. La tasa efectiva correspondiente por PC se d--etermina mediante la fórmula
r% por periodo de tiempo t
r
Tasa efectiva por PC = –––––––––––––––––––––––––––– = ––
m periodos de composición por t m
[4.2]
Como ejemplo, suponga que r = 9% anual, compuesto mensualmente; así, m = 12.
La ecuación [4.2] se aplica para obtener la tasa efectiva de 9%/12 = 0.75% mensual, con un periodo de composición mensual. Es importante observar que el cambio del periodo fundamental t no altera el periodo de composición, que en este caso
es un mes.
* Las expresiones capitalizable o compuesto se usan en forma indistinta en español. NT.
EJEMPLO
4.1
A continuación se listan las diferentes tasas de préstamo bancario para tres proyectos
distintos de equipo de generación de electricidad. Determine en cada inciso la tasa efectiva considerando el periodo de composición.
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SECCIÓN 4.1
a)
b)
c)
133
Fórmulas para las tasas de interés nominal y efectiva
9% anual, compuesto trimestralmente.
9% anual, compuesto mensualmente.
4.5% por 6 meses, compuesto semanalmente.
Solución
Aplique la ecuación [4.2] para calcular la tasa efectiva por PC para diferentes frecuencias
de composición. La gráfica adjunta indica la distribución de la tasa de interés en el tiempo.
3
4
.75%
2
.75%
1
.75%
2.25%
.75%
0.75%
2.25%
.75%
12
2.25%
.75%
Mes
2.25%
.75%
2.25%
.75%
4
.75%
9% anual
Trimestre
Distribución a lo largo del periodo t
.75%
b)
9% anual
m
Tasa
efectiva
por PC
.75%
a)
Periodo de
composición
.75%
r%
nominal
por t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
0.173%
c)
4.5%
por 6 meses
Semana
26
0.173%
1
12 14 16
A veces no es evidente si la tasa establecida es nominal o efectiva. Básicamente
existen tres formas de expresar las tasas de interés, como lo indica la tabla 4.1. La
TABLA
4.1 Diversas formas de expresar las tasas de interés nominal y efectiva
Formato del enunciado
de la tasa
Ejemplos
del enunciado
¿Qué se dice de la
tasa efectiva?
Tasa de interés nominal
establecida, periodo de
composición establecido
Tasa efectiva establecida
8% anual
compuesto
trimestralmente
Tasa efectiva de 8.243%
anual con periodo de
composición trimestral
8% anual o 2%
trimestral
Se determina la tasa
efectiva
Tasa de interés establecida;
no se establece el periodo
de composición
La tasa efectiva se
utiliza directamente
La tasa es efectiva sólo
para el periodo
establecido, la tasa
efectiva debe calcularse
para otros periodos
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26
134
CAPÍTULO 4
Tasas de interés nominales y efectivas
columna de la derecha contiene el enunciado relativo a la tasa de interés efectiva.
Para el primer formato, no hay enunciado para las tasas nominal o efectiva; aunque
el periodo de composición está definido. Debe calcularse la tasa efectiva (lo cual
se analiza en las siguientes secciones). En el segundo formato, la tasa establecida se
identifica como efectiva (también se le denomina RPA), así que la tasa se utiliza
directamente en los cálculos.
En el tercer formato, no se identifica la frecuencia de composición; por ejemplo, 8% anual. En tal caso, dicha tasa es efectiva exclusivamente durante el periodo
(de composición) de un año. Para cualquier otro periodo, debe calcularse la tasa
efectiva.
4.2
TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS ANUALES
En esta sección sólo se estudiarán las tasas de interés efectivas anuales. Por lo
tanto, el periodo fundamental t será de un año, y el periodo de composición puede
ser cualquier periodo menor a un año. Por ejemplo, una tasa nominal de 6% anual
compuesta trimestralmente equivale a una tasa efectiva de 6.136% anual. Hasta
ahora éstas son las tasas más empleadas en la industria y los negocios. Las literales
utilizadas para representar las tasas de interés nominal y efectiva son las siguientes:
r = tasa de interés nominal anual
m = número de periodos de capitalización o composición por año
i = tasa de interés efectiva por periodo de composición (PC) = r/m
ia = tasa de interés efectiva anual
Secc. 2.1
Valor futuro
Como se señaló antes, el análisis de las tasas de interés nominal y efectiva es
análogo al del interés simple y compuesto. Como en el caso del interés compuesto,
una tasa de interés efectiva en cualquier punto del año incluye (capitaliza) la tasa de
interés de todos los periodos de composición previos del año. Por lo tanto, la deducción de una fórmula para la tasa de interés efectiva es semejante a la lógica que se
sigue para establecer la relación del valor futuro F = P(1 + i)n.
El valor futuro F al final de 1 año es el principal P más los intereses acumulados P(i) durante el año. Puesto que el interés se puede capitalizar varias veces durante el año, se reemplaza i con la tasa anual efectiva ia. Ahora escribamos la fórmula para F al final de 1 año.
F = P + Pia = P(1 + ia)
[4.3]
Como lo indica la figura 4.1, la tasa i por PC debe capitalizarse durante todos los m
periodos para obtener el efecto total de la capitalización al final del año. Esto significa que F también se representa de la siguiente manera:
F = P(1 + i)m
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[4.4]
SECCIÓN 4.2
Figura 4.1
P(1 + i)m = P(1 + ia)
Cálculo del valor futuro
a una tasa i, capitalizada
m veces en un año.
m–1
P(1 + i)
P(1 + i)m – 2
P(1 + i)3
P(1 + i)2
Cantidades en valor
futuro
P(1 + i)
P
i
i
i
1
2
3
i
m–2
Periodo de capitalización
i
i
m–1
m
Tasa efectiva i por
periodo de capitalización
Considere el valor F para un valor presente P de $1. Igualando estas dos expresiones para F y sustituyendo P por $1, se obtiene la fórmula para la tasa de interés
anual efectiva ia.
1 + ia = (1 + i)m
ia = (1 + i)m – 1
[4.5]
Así, la ecuación [4.5] sirve para calcular la tasa de interés anual efectiva para cualquier número de periodos de composición cuando i es la tasa para un periodo de
composición.
Si la tasa anual efectiva ia y la frecuencia de composición m tienen valores
conocidos, la ecuación [4.5] se resuelve para i y se determina la tasa de interés
efectiva por periodo de composición.
i = (1 + ia)1/m – 1
[4.6]
Además, es posible determinar la tasa anual nominal r utilizando la definición de i
antes dada, es decir, i = r/m.
r% anual = (i% por PC)(núm. de PCs por año) = (i)(m)
[4.7]
Esta expresión es la misma que la ecuación [4.1], donde PC representa el periodo
de tiempo.
EJEMPLO
135
Tasas de interés efectivas anuales
4.2
Jacki obtuvo una nueva tarjeta de crédito con un banco nacional (MBNA), con una tasa
establecida de 18% anual y un periodo de composición mensual. Para un saldo de $1 000
al principio del año, calcule la tasa anual efectiva y el adeudo total al banco MBNA des-
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136
CAPÍTULO 4
Tasas de interés nominales y efectivas
pués de un año, tomando en cuenta el hecho de que no se efectúa ningún pago durante el
año.
Solución
Hay 12 periodos de composición por año. Por lo tanto, m = 12 e i = 18%/12 = 1.5%
mensual. Si el saldo de $1 000 no se reduce durante el año, se aplica la ecuación [4.5] y
enseguida la ecuación [4.3] para obtener la información necesaria para Jacki.
ia = (1 + 0.015)12 – 1 = 1.19562 – 1 = 0.19562
F = $1 000(1.19562) = $1 195.62
Jacki pagará 19.562%, o $195.62 más los $1 000 del saldo, por la utilización del dinero
del banco durante el año.
En la tabla 4.2 se utiliza la tasa de 18% anual, capitalizada durante diferentes
periodos (anuales a semanales), para determinar las tasas de interés anuales efectivas durante estos periodos de composición diversos. En cada caso, la tasa del periodo de composición i se aplica m veces durante el año. Mediante la ecuación [4.5], la
tabla 4.3 resume la tasa anual efectiva para tasas nominales utilizadas con frecuencia. En los cálculos se utiliza un total de 52 semanas y 365 días por año. En la
sección 4.8 se analizan los valores de la columna correspondiente a la composición
continua.
Cuando se aplica la ecuación [4.5] el resultado normalmente no es un entero.
Por consiguiente, un factor de ingeniería económica no puede obtenerse directamente de las tablas de factores de interés. Existen tres alternativas para determinar
el valor del factor.
•
•
•
Se lleva a cabo una interpolación lineal entre dos tasas tabuladas (según se
indica en la sección 2.4).
Se utiliza la fórmula del factor sustituyendo i por ia.
Se crea una hoja de cálculo utilizando ia o i = r/m en las funciones, según lo
requiera la función de la hoja de cálculo.
En los ejemplos resueltos a mano se emplea el segundo método y el último en las
soluciones por computadora.
EJEMPLO
4.3
Joshua trabaja para Watson Bio, una compañía de ingeniería genética de I&D. Él acaba de
recibir un bono de $10 000 y desea invertir el dinero para los cinco años siguientes.
Joshua vio un Ad en el sitio web de MBNA America Bank sobre las tasas de interés
de los certificados de depósito (véase figura 4-2). Él piensa invertir los $10 000 en un CD
a 5 años para la preservación de su capital. En forma alternativa, considera invertir todo
en acciones para los dos años siguientes, en los que estima ganar una tasa efectiva anual
de 10%. Una vez que haya obtenido este rendimiento mayor por adelantado, entonces se
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4.2
1
2
4
12
52
Anual
Semestral
Trimestral
Mensual
Semanal
Frecuencia
de capitalización
por año, m
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0.34615%
1.5%
4.5%
9%
18%
Tasa por
periodo de
capitalización, i
2
3
4
2
1
1 2 3
1
4.5%
3
6
7
8
9
24
26
28
0.34615% en cada uno
5
1.5% en cada uno
4.5%
4
4.5%
50
52
10 11 12
2
1
4.5%
9%
9%
1
18%
Distribución de i durante
los periodos de capitalización del año
r = 18% anual con frecuencia de capitalización m
Cálculo de tasas de interés anuales efectivas aplicando la ecuación [4.5]
Periodo de
capitalización
TABLA
(1.0034615)52 – 1 = 19.684%
(1.015)12 – 1 = 19.562%
(1.045)4 – 1 = 19.252%
(1.09)2 – 1 = 18.81%
(1.18)1 – 1 = 18%
Tasa anual
efectiva, ia
SECCIÓN 4.2
Tasas de interés efectivas anuales
137
138
CAPÍTULO 4
TABLA
4.3
Tasas de interés nominales y efectivas
Tasas de interés anuales efectivas para ciertas tasas nominales
Tasa
nominal r%
Semianual
(m = 2)
Trimestral
(m = 4)
Mensual
(m = 12)
Semanal
(m = 52)
Diaria
(m = 365)
Continua
(m = ∞; er – 1)
0.25
0.50
1.00
1.50
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
18
20
25
30
40
50
0.250
0.501
1.003
1.506
2.010
3.023
4.040
5.063
6.090
7.123
8.160
9.203
10.250
12.360
15.563
18.810
21.000
26.563
32.250
44.000
56.250
0.250
0.501
1.004
1.508
2.015
3.034
4.060
5.095
6.136
7.186
8.243
9.308
10.381
12.551
15.865
19.252
21.551
27.443
33.547
46.410
60.181
0.250
0.501
1.005
1.510
2.018
3.042
4.074
5.116
6.168
7.229
8.300
9.381
10.471
12.683
16.076
19.562
21.939
28.073
34.489
48.213
63.209
0.250
0.501
1.005
1.511
2.020
3.044
4.079
5.124
6.180
7.246
8.322
9.409
10.506
12.734
16.158
19.684
22.093
28.325
34.869
48.954
64.479
0.250
0.501
1.005
1.511
2.020
3.045
4.081
5.126
6.180
7.247
8.328
9.417
10.516
12.745
16.177
19.714
22.132
28.390
34.968
49.150
64.816
0.250
0.501
1.005
1.511
2.020
3.046
4.081
5.127
6.184
7.251
8.329
9.417
10.517
12.750
16.183
19.722
22.140
28.403
34.986
49.182
64.872
volvería más conservador y colocaría la cantidad total en un CD para los tres años finales.
Se pide que el lector ayude a Joshua con lo siguiente:
a)
b)
Determine el periodo de capitalización para los CD a 3 y 5 años, ya que esta información no se incluye en el sitio web. Obténgalo tan exacto como sea posible al PRA
redondeado a dos decimales.
Determine la cantidad total que tendrá después de cinco años para las dos opciones
que analiza.
Solución
a) Se menciona la tasa de interés anual pero no el periodo de capitalización o la
frecuencia. Sustituya diferentes valores de m en la ecuación [4-5] para obtener el
valor ia correspondiente (use la ecuación [4-12] para capitalización continua),
compárela con la tasa PRA que se menciona en el sitio web (véase figura 4-2). De los
resultados que se aprecian más abajo y con un redondeo a dos decimales para las tasas
PRA estimadas, al parecer el banco aplica una capitalización mensual a sus tasas de
interés actualmente establecidas.
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SECCIÓN 4.2
Tasas de interés efectivas anuales
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Términos
(meses)
9
12
18
24
30
36
48
6a<9
a < 12
a < 18
a < 24
a < 30
a < 36
a < 48
a < 60
60
Tasa de
interés
actual
Porcentaje de
rendimiento
anual (PRA)
1.74%
1.89%
2.38%
2.72%
2.86%
3.20%
3.40%
3.83%
4.36%
1.75%
1.90%
2.40%
2.75%
2.90%
3.25%
3.45%
3.90%
4.45%
Solicitar información Kit
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(mencione el código HA04U)
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Llamadas por cobrar, marque el (302) 457-0719
* Los PRA del CD para los términos que aparecen arriba
son válidos para el periodo entre 06/07/04 y 06/13/04, y
suponen que el interés permanece en la cuenta hasta su
madurez. El balance mínimo de apertura es de $10 000
para todos los términos que se muestran arriba. Los
retiros y tarifas pueden reducir las ganancias de la
cuenta. Podría imponerse una penalización por un retiro
temprano del capital principal del CD.
Figura 4.2
Ad en Internet que muestra las tasas de interés de certificados de depósito. El Ad que se ilustra es una
muestra similar a otro que apareció el 11 de junio de 2004 en el sitio web de MBNA America Bank en la
dirección www.mbna.com. Las tasas que aparecen no son las actuales.)
Si la
La tasa
Para un
La tasa
frecuencia de
efectiva anual
término de de interés capitalización m
ia, o PRA
inversión de:
establecida es: estimada, es:
3 años
5 años
3.40%
4.36%
4 trimestres
12 meses
52 semanas
3.444
3.453
3.457
4 trimestres
12 meses
52 semanas
Continuo
4.432
4.448
4.455
4.456
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El periodo más
probable de
capitalización
usado por el
banco es:
Mensual
Mensual
139
140
CAPÍTULO 4
b)
Tasas de interés nominales y efectivas
Opción 1: CD a 5 años. Use la tasa PRA de 4.45% (véase figura 4-2) en el factor
F/P o en la función FV de Excel.
F = $10 000(F/P,4.45%,5) = 10 000(1.2432) = $12 432
Opción 2: 2 años en acciones y después 3 años en un CD. Ésta es una opción de
mayor riesgo, ya que el rendimiento sobre las acciones es incierto. Use 10% anual
para las acciones, que es la tasa efectiva anual estimada, seguida por 3 años con la
tasa anual efectiva del CD a 36 meses de 3.45% (es improbable que la tasa del CD
permanezca en este nivel por más de dos años, pero ésta es la mejor estimación
disponible ahora).
F = $10 000(F/P,10%,2)(F/P,3.45%,3)
= 10 000(1.21)(1.1071) = $13 396
Se estima que la segunda opción gane $964 más durante los cinco años.
Comentario
Las tasas de interés y los periodos de capitalización que se usan en este ejemplo sólo son
representativos; cambian con frecuencia y varían de una institución a otra. Revise el sitio
web de cualquier institución financiera que ofrezca servicios bancarios por Internet para
que aprenda más acerca de las tasas actuales.
Todas las situaciones económicas analizadas en esta sección implican tasas efectivas y nominales y flujos de efectivo anuales. Cuando los flujos de efectivo no son
anuales, es necesario descartar el supuesto anual del enunciado de la tasa de interés:
“r% anual con frecuencia de composición m-mente”. Se trata del tema de la siguiente sección.
4.3
TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS PARA
CUALQUIER PERIODO
Ya se presentaron los conceptos de tasas de interés anual efectiva y nominal. Ahora,
además del periodo de composición (PC), es necesario considerar la frecuencia de
los pagos o ingresos; es decir, el periodo de transacción de flujo de efectivo. Por
sencillez, éste recibe el nombre de periodo de pago (PP). Es importante distinguir
entre el periodo de composición y el periodo de pago, ya que muchas veces no
coinciden. Por ejemplo, si una compañía deposita dinero cada mes en una cuenta que
da rendimientos con una tasa de interés nominal de 14% anual, con un periodo de
composición semestral, el periodo de pago es de un mes, mientras que el periodo de composición es de 6 meses (figura 4.3). Asimismo, si una persona deposita
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SECCIÓN 4.3
Figura 4.3
r = nominal al 14% anual; compuesto semestralmente
PC
6 meses
0
1
2
3
PC
6 meses
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Meses
PP
1 mes
dinero cada año en una cuenta de ahorros con un interés compuesto trimestral, el
periodo de pago es de un año, mientras que el periodo de composición es de 3 meses.
Para evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan con mayor frecuencia
que la anual, es decir, PP < 1 año, en las fórmulas de la ingeniería económica debe
utilizarse la tasa de interés efectiva durante el PP. La fórmula de la tasa de interés
anual efectiva se generaliza fácilmente para cualquier tasa nominal, sustituyendo la
tasa de interés del periodo por r/m en la ecuación [4.5].
i efectivo = (1 + r/m)m – 1
[4.8]
donde,
r = tasa de interés nominal por periodo de pago (PP)
m = número de periodos de composición por periodo de pago (PC por PP)
En lugar de ia, esta expresión general utiliza la literal i para representar el interés
efectivo. Este hecho coincide con los diferentes usos que se le dan a i en el resto de
la obra. Gracias a la ecuación [4.8], es posible tomar una tasa nominal (r% anual o
cualquier otro periodo) y convertirla en una tasa efectiva i para cualquier periodo
que se defina como base, el más común de los cuales es el periodo PP. Los siguientes 2 ejemplos ilustran cómo hacerlo.
EJEMPLO
141
Tasas de interés efectivas para cualquier periodo
4.4
Visteon, una compañía que salió de la Ford Motor Company, abastece de partes importantes de automóvil a los fabricantes de automóviles alrededor del mundo, y constituye el
abastecedor más importante de la Ford. Un ingeniero pertenece al comité de Visteon que
evalúa propuestas para incorporar maquinaria de medición de coordenadas, de la nueva
generación, a la fabricación automática de partes de alta precisión. Tres propuestas de
venta incluyen las tasas de interés que aparecen a continuación. Visteon hará pagos semestrales exclusivamente. El ingeniero se encuentra confundido respecto de las tasas de
interés efectivas (su valor anual y durante el periodo de pago de 6 meses).
Propuesta núm. 1: 9% anual, compuesto trimestralmente
Propuesta núm. 2: 3% trimestral, compuesto trimestralmente
Propuesta núm. 3: 8.8% anual, compuesto mensualmente
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Diagrama de flujo de
efectivo de un año para
un periodo de pago (PP)
mensual y un periodo de
composición (PC)
semestral.
142
CAPÍTULO 4
a)
b)
c)
Tasas de interés nominales y efectivas
Determine la tasa efectiva de cada propuesta si se harán pagos semestrales, y construya diagramas de flujo de efectivo semejantes a los de la figura 4.3 para las tasas de
las diferentes propuestas.
¿Cuáles son las tasas anuales efectivas? Éstas formarán parte de la elección de la
propuesta final.
¿Qué propuesta incluye la tasa anual efectiva más baja?
Solución
a) Fije el periodo de pago (PP) a 6 meses, convierta la tasa nominal r% a una tasa
semestral y, luego, determine m. Por último, aplique la ecuación [4.8] para calcular
la tasa de interés semestral efectiva i. Para la propuesta 1, los cálculos correctos son
los siguientes:
PP = 6 meses
r = 9% anual = 4.5% durante 6 meses
m = 2 trimestres durante 6 meses
2
⎛ 0.045 ⎞
i% efectiva durante 6 meses = 1 +
− 1 = 1.0455 – 1 = 4.55%
⎝
2 ⎠
b)
La tabla 4.4 (sección de la izquierda) resume las tasas semestrales efectivas de las tres
propuestas. La figura 4.4a representa el diagrama de flujo de efectivo de las propuestas 1 y 2, los pagos semestrales (PP = 6 meses) y el periodo de composición trimestral
(PC = 1 trimestre). La figura 4.4b es la misma para el periodo de composición mensual (propuesta 3).
Para la tasa anual efectiva, el periodo básico en la ecuación [4.8] es de un año. Éste
es igual a PP = 1 año. Para la propuesta 1,
r = 9% anual
m = 4 trimestres por año
4
0.09 ⎞
i% efectiva anual = ⎛1 +
− 1 = 1.0931 – 1 = 9.31%
⎝
4 ⎠
La sección de la derecha de la tabla 4.4 presenta un resumen de las tasas anuales
efectivas.
TABLA
4.4 Tasas de interés efectivas anuales y semestrales para las tres propuestas (ejemplo 4.4)
Tasas semestrales
Propuesta
#1
#2
#3
Tasas anuales
Nominal
durante
6 meses, r
PC por
PP, m
Ecuación
[4.8],
i efectiva
Nominal
por año, r
PC por
año, m
Ecuación
[4.8],
i efectiva
4.5%
6.0%
4.4%
2
2
6
4.55%
6.09%
4.48%
9%
12%
8.8%
4
4
12
9.31%
12.55%
9.16%
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SECCIÓN 4.3
143
Tasas de interés efectivas para cualquier periodo
PC = 1 mes
PC
1 trimestre
PC
1 trimestre
PC
1 trimestre
PC
1 trimestre
1
2
3
4
PP
6 meses
1
2
3
4
5
6
7
8
PP
6 meses
PP
6 meses
a) Composición trimestral
9
10
11
12
PP
6 meses
b) Composición mensual
Figura 4.4
Diagrama de flujo de efectivo que muestra el PC y el PP para a) las propuestas 1 y 2; b) la propuesta 3 (ejemplo 4.4).
c)
La propuesta 3 incluye la tasa anual efectiva menor de 9.16%, que equivale a una
tasa semestral efectiva de 4.48%.
Comentario
Las tasas efectivas de la propuesta 2 sólo se pueden encontrar directamente en la tabla 4.3.
Para determinar la tasa semestral efectiva, localice la línea de la tasa nominal de 6% bajo
m = 2, que representa el número de trimestres durante 6 meses. La tasa semestral efectiva
es 6.09%. Asimismo, en el caso de la tasa nominal de 12%, hay m = 4 trimestres por año;
por lo que la tasa anual efectiva i = 12.551%. Aunque la tabla 4.3 se diseñó originalmente
para tasas anuales nominales, es adecuada para otros periodos de tasa nominal, siempre y
cuando se incluya el valor apropiado de m en los encabezados de columna.
EJEMPLO
4.5
Una compañía punto-com planea invertir dinero en un nuevo fondo de capital riesgoso,
que actualmente reembolsa 18% anual con un periodo de composición diario. ¿Cuál es el
valor de la tasa de interés efectiva a) anual y b) semestral?
Solución
a) Aplique la ecuación [4.8], con r = 0.18 y m = 365.
0.18 ⎞
i% efectiva anual = ⎛1 +
⎝
365 ⎠
b)
365
– 1 = 19.716%
En este caso, r = 0.09 cada 6 meses y m = 182 días.
0.09 ⎞
i% efectiva cada 6 meses = ⎛1 +
⎝
182 ⎠
182
– 1 = 9.415%
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144
CAPÍTULO 4
4.4
Tasas de interés nominales y efectivas
RELACIONES DE EQUIVALENCIA: COMPARACIÓN
ENTRE LA DURACIÓN DEL PERIODO DE PAGO
Y DEL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN (PP VERSUS PC)
En los cálculos de equivalencia con porcentajes altos, la frecuencia de los flujos de
efectivo no es igual a la frecuencia de la capitalización de los intereses. Por ejemplo, los flujos de efectivo pueden ser mensuales, mientras que la capitalización
puede ser anual, trimestral o más frecuente. Considere los depósitos realizados en
una cuenta de ahorros cada mes, cuyos rendimientos tienen un periodo de capitalización trimestral. La duración del PC es de un trimestre, mientras que la duración
del PP es de un mes. Para llevar a cabo correctamente los cálculos de equivalencia,
resulta esencial que se utilice el mismo periodo para el periodo de capitalización y
el periodo de pago, y que en consecuencia la tasa de interés se ajuste.
Las siguientes tres secciones describen los procedimientos para determinar los
valores correctos de i y n, para los factores de la ingeniería económica y las soluciones en hoja de cálculo. Primero se compara la duración del PP y la duración del PC;
después se identifica la serie de flujos de efectivo con pagos únicos (P y F ) o con
una serie (A, G o g). La tabla 4.5 contiene las referencias a las diferentes secciones.
Cuando solamente existen pagos únicos, no hay periodo de pago PP definido en sí
por los flujos de efectivo. La duración del PP, por lo tanto, queda definida por el
periodo t del enunciado de la tasa de interés. Si la tasa es de 8% semestral, compuesto trimestralmente, el PP es semestral, el PC es trimestral, y PP > PC.
Observe que las referencias a las diferentes secciones de la tabla 4.5 son las
mismas cuando PP = PC y cuando PP > PC. Las ecuaciones para determinar los
valores de i y n son las mismas. Además, la técnica que toma en cuenta el valor del
dinero en el tiempo es la misma, en virtud de que sólo cuando se presentan flujos de
efectivo se determina el efecto de la tasa de interés. Por ejemplo, suponga que los
flujos de efectivo ocurren cada 6 meses (PP semestral), y que el interés tiene un
periodo de capitalización trimestral (PC trimestral). Después de 3 meses no hay
flujo de efectivo ni es necesario determinar el efecto de la composición trimestral.
Sin embargo, en el mes 6 es necesario considerar los intereses acumulados durante
los dos periodos de composición trimestrales anteriores.
TABLA
4.5 Referencias a las diferentes secciones relativas a los
cálculos de equivalencia basados en la comparación entre
el periodo de pago y el periodo de capitalización
Duración
del periodo
Cantidades únicas
(P y F exclusivamente)
Serie uniforme o serie
gradiente (A, G o g)
PP = PC
Sección 4.5
Sección 4.6
PP > PC
Sección 4.5
Sección 4.6
PP < PC
Sección 4.7
Sección 4.7
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SECCIÓN 4.5
4.5
Relaciones de equivalencia: pagos únicos con PP ≥ PC
145
RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS
CON PP ≥ PC
Cuando se trata exclusivamente de flujos de efectivo de pago único, hay dos formas
igualmente correctas de determinar i y n para los factores P/F y F/P. El método 1 es
más fácil de aplicar, porque las tablas de interés que aparecen en la parte posterior
del libro por lo común ofrecen el valor del factor. El método 2 quizá requiera cálculos mediante la fórmula para el factor, ya que la tasa de interés efectiva que resulta
no constituye un entero. En el caso de las hojas de cálculo, cualquier método es
aceptable; sin embargo, por lo general el método 1 es más fácil.
Método 1: Se determina la tasa de interés efectiva durante el periodo de composición PC, y se iguala n al número de periodos de composición entre P y F. Las
relaciones para calcular P y F son:
P = F(P/F, i% efectiva por PC, número total de periodos n)
[4.9]
F = P(F/P, i% efectiva por PC, número total de periodos n)
[4.10]
Por ejemplo, suponga que la tasa establecida de la tarjeta de crédito es una tasa
efectiva de 15% anual, compuesto mensualmente. En este caso, PC es igual a un
mes. Para calcular P o F a lo largo de un periodo de dos años, se calcula la tasa
mensual efectiva de 15%/12 = 1.25% y el total de meses de 2(12) = 24. Así, los
valores 1.25% y 24 se utilizan para el cálculo de los factores P/F y F/P.
Se puede utilizar cualquier periodo para determinar la tasa de interés efectiva;
sin embargo, el PC constituye el mejor fundamento. El valor del PC es mejor porque sólo a lo largo del PC una tasa de interés efectiva tiene el mismo valor numérico
que la tasa nominal durante el mismo periodo del PC, lo cual se estudió en la sección 4.1 y en la tabla 4.1. Esto significa que la tasa de interés efectiva durante el PC
por lo general es un número entero. Entonces, es posible utilizar las tablas de los
factores que aparecen en la parte posterior de este libro.
Método 2: Se determina la tasa de interés efectiva para el periodo t de la tasa
nominal, y sea n igual al número total de periodos utilizando el mismo periodo. Las
fórmulas de P y F son las mismas que las de las ecuaciones [4.9] y [4.10], salvo que
el término i% efectiva por t se sustituye por la tasa de interés.
En el caso de una tasa de tarjeta de crédito de 15% anual compuesto mensualmente, el periodo t es 1 año. La tasa de interés efectiva durante un año y los valores
n son:
12
0.15 ⎞
i% efectiva anual = ⎛1 +
– 1 = 16.076%
⎝
12 ⎠
n = 2 años
El factor P/F es el mismo por ambos métodos: (P/F,1.25%,24) = 0.7422, utilizando
la tabla 5; y (P/F,16.076%,2) = 0.7422 aplicando la fórmula del factor P/F.
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Secc. 4.1
Tasa efectiva i por PC
146
CAPÍTULO 4
EJEMPLO
Tasas de interés nominales y efectivas
4.6
Un ingeniero que trabaja como consultor privado realizó depósitos en una cuenta especial, para cubrir gastos de viaje no reembolsados. La figura 4.5 muestra el diagrama de
flujo de efectivo. Calcule cuánto hay en la cuenta después de 10 años a una tasa de interés
de 12% anual, compuesto semestralmente.
Solución
Sólo interesan los valores de P y F. Ambos métodos se ejemplifican para calcular F en el
año 10.
Método 1: Utilice el PC semestral para expresar la tasa efectiva semestral de 6% por
cada periodo de 6 meses. Hay n = (2)(número de años) periodos semestrales por cada
flujo de efectivo. Utilizando los valores de los factores de la tabla 11, se observa que el
valor futuro, por medio de la ecuación [4.10], es
F = 1 000(F/P,6%,20) + 3 000(F/P,6%,12) + 1 500(F/P,6%,8)
= 1 000(3.2071) + 3 000(2.0122) + 1 500(1.5938)
= $11 634
Método 2:
tral.
Exprese la tasa efectiva anual con base en un periodo de composición semes-
2
0.12 ⎞
i% efectiva anual = ⎛1 +
– 1 = 12.36%
⎝
2 ⎠
El valor de n es el número real de años. Utilice la fórmula del factor (F/P,i,n) = (1.1236)n
y la ecuación [4.10] para obtener la misma respuesta que con el método 1.
F = 1 000(F/P,12.36%,10) + 3 000(F/P,12.36%,6) + 1 500(F/P,12.36%,4)
= 1 000(3.2071) + 3 000(2.0122) + 1 500(1.5938)
= $11 634
F=?
0
1
2
3
4
5
6
$1 000
$1 500
$3 000
Figura 4.5
Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo 4.6).
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7
8
9
10
SECCIÓN 4.6
Relaciones de equivalencia: series con PP ≥ PC
Comentario
Para flujos de efectivo de pago único, cualquier combinación de i y n deducida de la tasa
nominal establecida se utiliza en los factores, siempre y cuando tenga como base el mismo periodo. Si se emplea 12% anual, con periodo de capitalización mensual, la tabla 4.6
presenta varias combinaciones aceptables de i y n. Existen otras combinaciones correctas,
tales como la tasa efectiva semanal para i con semanas para n.
TABLA
4.6
4.6 Diversos valores de i y n para ecuaciones
de pago único utilizando r = 12% anual,
compuesto mensualmente
Tasa de interés efectiva i
Unidades para n
1% mensual
3.03% trimestral
6.15% semestral
12.68% anual
26.97% por 2 años
Meses
Trimestres
Periodos semestrales
Años
Periodos de 2 años
RELACIONES DE EQUIVALENCIA:
SERIES CON PP ≥ PC
Cuando se incluyen series gradiente o uniformes en la sucesión de flujo de efectivo,
el procedimiento es esencialmente el mismo que el del método 2 antes expuesto,
salvo que ahora PP queda definido por la frecuencia de los flujos de efectivo. Esto
también establece la unidad de tiempo de la tasa de interés efectiva. Por ejemplo, si
los flujos de efectivo son trimestrales, el PP es de un trimestre y, por consiguiente,
se necesita una tasa de interés efectiva trimestral. El valor n es el número total de
trimestres. Si PP es igual a un trimestre, 5 años se traducen en un valor de n de 20
trimestres. Esto constituye una aplicación directa de la siguiente directriz general:
Cuando los flujos de efectivo implican una serie (por ejemplo, A, G, g) y el
periodo de pago es igual o mayor que el periodo de capitalización,
•
•
Se calcula la tasa de interés efectiva i por periodo de pago.
Se determina n como el número total de periodos de pago.
Al llevar a cabo cálculos de equivalencia para series, sólo estos valores de i y n se
pueden utilizar en las tablas de interés, las fórmulas de factores y las funciones de
hoja de cálculo. En otras palabras, no hay otras combinaciones que proporcionen
respuestas correctas, como en el caso de los flujos de efectivo de pago único.
La tabla 4.7 muestra la formulación correcta de diversas series de flujo de efectivo y tasas de interés. Observe que n siempre es igual al número total de periodos
de pago y que i es una tasa de interés efectiva que se expresa de acuerdo con el
mismo periodo que n.
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147
148
CAPÍTULO 4
TABLA
Tasas de interés nominales y efectivas
4.7 Ejemplos de valores de n e i, donde PP = PC o PP > PC
Serie de flujo
de efectivo
Tasa
de interés
Qué encontrar;
qué está dado
$500 semestralmente
durante 5 años
16% anual,
compuesto
mensualmente
24% anual,
compuesto
semestralmente
5% trimestral
Encontrar P,
dado A
P = 500(P/A,8%,10)
Encontrar F,
dado A
F = 75(F/A,2%,36)
Encontrar F,
dado A
Encontrar P,
dado G
F = 180(F/A,5%,60)
Encontrar A,
dado P
A = 5 000(A/P,3.03%,24)
$75 mensualmente
durante 3 años
$180 trimestralmente
durante 15 años
Incremento de
1% mensual
$25 mensualmente
durante 4 años
$5 000 trimestralmente 1% mensual
durante 6 años
EJEMPLO
Notación estándar
P = 25(P/G,1%,48)
4.7
Un ingeniero de control de calidad pagó $500 semestrales en los pasados 7 años por el
contrato de mantenimiento del software de una LAN. ¿Cuál es la cantidad equivalente
después del último pago, si estos fondos se obtienen de un consorcio que ha estado reembolsando 20% de intereses anuales con composición trimestral?
Solución
La figura 4.6 muestra el diagrama de flujo de efectivo. El periodo de pago (6 meses) es
más largo que el periodo de capitalización (trimestre); es decir, PP > PC. Si aplicamos la
directriz, es necesario determinar una tasa de interés efectiva semestral. Aplique la ecuación [4.8] con r = 0.10 por cada periodo de 6 meses y m = 2 trimestres por cada periodo
semestral.
2
0.10 ⎞
i% efectiva por 6 meses = ⎛1 +
– 1 = 10.25%
⎝
2 ⎠
La tasa de interés efectiva semestral también se obtiene de la tabla 4.3 utilizando un valor
r de 10% y m = 2 para llegar a i = 10.25%.
El valor i = 10.25% parece razonable, ya que esperamos que la tasa de interés efectiva sea ligeramente superior a la tasa de interés nominal de 10%, por cada periodo de 6
meses. El número total de periodos de pagos semestrales es n = 2(7) = 14. La relación para
F es:
F = A(F/A,10.25%,14)
= 500(28.4891)
= $14 244.50
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Relaciones de equivalencia: series con PP ≥ PC
SECCIÓN 4.6
F=?
i = 20% anual, compuesto trimestralmente
0
1
2
3
4
5
6
7 Años
A = $500
Figura 4.6
Diagrama de depósitos semestrales utilizado para determinar el valor de F (ejemplo 4.7).
EJEMPLO
4.8
Suponga que usted planea adquirir un automóvil y obtiene un préstamo de $12 500 al 9%
anual, compuesto mensualmente. Los pagos deben efectuarse mensualmente durante 4
años. Determine el pago mensual. Compare las soluciones manual y por computadora.
= PAGO (B3/12,B2,-B1)
Precio de compra
Número de pagos
Tasa de interés
Pagos mensuales
PAGO(B3/12,B2,B1)
Figura 4.7
Hoja de cálculo para el ejemplo 4.8.
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149
150
CAPÍTULO 4
Sol-R
Tasas de interés nominales y efectivas
Solución
Se busca una serie mensual A; los valores de PP y PC son de un mes. Utilice los pasos para
PP = PC en el caso de una serie uniforme. La tasa de interés efectiva mensual es de 9%/12
= 0.75%, y el número de pagos es (4 años)(12 meses por año) = 48.
Introduzca PAGO(9%/12,48,–12,500) en cualquier celda para que aparezca $311.06
en la pantalla.
La figura 4.7 muestra una hoja de cálculo completa con la función PAGO en la celda
B5 de acuerdo con el formato de referencia a celdas. Este pago mensual de $311.06 equivale a la siguiente solución a mano, empleando la notación convencional y las tablas de
factores.
A = $12 500(A/P,0.75%,48) = 12 500(0.02489) = $311.13
Comentario
Es incorrecto usar la tasa anual efectiva de i = 9.381% y n = 4 años, para calcular el valor
mensual A, ya sea que la solución se obtenga a mano o por computadora. El periodo de
pago, la tasa de interés efectiva y el número de pagos deben expresarse sobre la misma
base de tiempo, que en este caso es de un mes.
EJEMPLO
4.9
El Scott and White Health Plan (SWHP) compró un sistema robotizado de prescripción de
recetas médicas, para atender con mayor rapidez y exactitud al paciente, con medicación
estable en forma de píldoras. Los pacientes tienen problemas crónicos de salud, como
diabetes, tiroides y presión alta. Suponga que el sistema de alto volumen tiene un costo de
$3 millones de instalación y un costo estimado de $200 000 anuales para materiales, operación, personal y mantenimiento. La vida esperada es de 10 años. Un ingeniero biomédico
del SWHP desea calcular el total de ingresos que se requieren por cada periodo semestral
para recuperar la inversión, los intereses y los costos anuales. Determine este valor semestral A a mano y por computadora, si los fondos están evaluados a 8% anual utilizando
dos diferentes periodos de composición:
1.
2.
8% anual, compuesto semestralmente.
8% anual, compuesto mensualmente.
Solución
La figura 4.8 muestra el diagrama de flujo de efectivo. Durante los 20 periodos semestrales, los costos anuales se presentan cada dos periodos (un periodo sí y otro no); se busca la
serie de recuperación de capital para cada periodo de 6 meses. Este esquema vuelve algo
engorrosa la solución a mano si se utiliza el factor P/F, en lugar del factor P/A, para
determinar P en el caso de los 10 costos anuales de $200 000. Se recomienda la solución
por computadora en tales casos.
Solución a mano (tasa 1): A continuación se resumen los pasos para calcular el valor
semestral A:
PP = PC a 6 meses; se calcula la tasa de interés efectiva por cada periodo semestral.
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SECCIÓN 4.6
Relaciones de equivalencia: series con PP ≥ PC
Figura 4.8
A cada 6 meses = ?
0
151
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
6 meses
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Años
$200 000 anuales
i1 = 8%, compuesto semestralmente
i2 = 8%, compuesto mensualmente
P = $3 millones
Tasa de interés efectiva semestral i = 8%/2 = 4% por 6 meses, con un periodo de
composición semestral.
Número de periodos semestrales n = 2(10) = 20.
Se calcula P, utilizando el factor P/F para n = 2, 4,..., 20 periodos ya que los costos son
anuales, no semestrales. Después se utiliza el factor A/P a lo largo de los 20 periodos para
determinar el valor semestral de A.
⎡ 20
⎤
P = 3000 000 + 200 000 ⎢ ∑ ( P/ F, 4%, k ⎥
k
=
2
,
4
⎣
⎦
= 3 000 000 + 200 000(6.6620) = $4 332 400
A = $4 332 400(A/P,4%,20) = $318 778
Conclusión: se requiere un ingreso de $318 778 cada 6 meses para cubrir los costos y un
interés de 8% anual, con periodo de composición semestral.
Solución a mano (tasa 2): El PP es semestral; en cambio, el PC ahora es mensual; por lo
tanto, PP > PC. Para calcular la tasa semestral efectiva, la tasa de interés efectiva, ecuación [4.8], se aplica con r = 4% y m = 6 meses por cada periodo semestral.
6
0.04 ⎞
Tasa efectiva semestral i = ⎛1 +
– 1 = 4.067%
⎝
6 ⎠
⎡ 20
⎤
P = 3000 000 + 200 000 ⎢ ∑ ( P/ F, 4.067%, k )⎥
k
=
2
,
4
⎣
⎦
= 3 000 000 + 200 000(6.6204) = $4 324 080
A = $4 324 080(A/P,4.067%,20) = $320 064
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Diagrama de
flujos de
efectivo con
dos diferentes
periodos de
capitalización
(ejemplo 4.9).
152
CAPÍTULO 4
Tasas de interés nominales y efectivas
Ahora se requieren $320 064, es decir, $1 286 más cada 6 meses para cubrir la capitalización más frecuente de 8% de interés anual. Observe que todos los factores P/F y A/P
deben calcularse con las fórmulas de los factores al 4.067%. Este método, por lo general,
implica más cálculos y es más susceptible al error que la solución en hoja de cálculo.
Solución con computadora (tasas 1 y 2): La figura 4.9 muestra una solución general del
problema con ambas tasas. (Varios renglones en el fondo de la hoja de cálculo no se
perciben en la pantalla. Éstos siguen el patrón del flujo de efectivo de $200 000, 6 meses
sí y 6 no, hasta la celda B32.) Las funciones en C8 y E8 son expresiones generales para la
tasa de interés efectiva por cada PP expresado en meses. Esto permite llevar a cabo cierto
análisis de sensibilidad para diferentes valores de PP y PC. Observe la función en C7 y E7
para determinar m para las fórmulas de la tasa de interés efectiva. Dicha técnica funciona
bien para las hojas de cálculo una vez que se introducen los valores de PP y PC en la
unidad de tiempo del PC.
Cada periodo de 6 meses se incluye en los flujos de efectivo, incluyendo las entradas
con $0; de manera que las funciones VPN y PAGO funcionan correctamente. Los valores
finales de A en D14 ($318,784) y F14 ($320,069) son los mismos (salvo por el redondeo)
que los anteriores.
Tasa #1
Tasa de interés nominal anual
Periodo de capitalización
Número de periodos, n
PP en meses
PC en meses
Número de PC por PP, m
Tasa de interés efectiva por PP
Tasa #2
Mes
Semestral
A32
E5/E6
((1((E2/(12/E5))/E7))^E7)1
Periodo
semestral Flujo de efectivo
VPN(E8,B13:B32)B12
Valor presente
A, $/semestre
PAGO(E8,E4,F12)
Figura 4.9
Solución en hoja de cálculo para la serie semestral A con diferentes periodos de composición (ejemplo 4.9).
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SECCIÓN 4.7
4.7
Relaciones de equivalencia: pagos únicos y series con PP < PC
RELACIONES DE EQUIVALENCIA: PAGOS ÚNICOS
Y SERIES CON PP < PC
Si una persona deposita dinero cada mes en una cuenta de ahorros con un interés
compuesto trimestral, ¿ganan intereses todos los depósitos mensualmente antes del
siguiente periodo de composición trimestral? Si un banco le cobra a una persona
intereses el día 15 del mes en sus pagos de la tarjeta de crédito, y si la persona hace
el pago completo el día primero, ¿reduce la institución financiera los intereses sobre la base de un pago anticipado? La respuesta común es no. Sin embargo, si una
empresa grande hiciera pagos mensuales para cubrir un préstamo bancario de $10
millones, con un interés compuesto trimestral, el ejecutivo de finanzas de la empresa probablemente insistiría en que el banco redujera la cantidad de intereses, basándose en el pago anticipado. Éstos constituyen ejemplos de PP < PC. El momento de
ocurrencia de las transacciones de flujo de efectivo entre puntos de capitalización
implica la pregunta de cómo manejar la capitalización interperiódica. Fundamentalmente existen dos políticas: los flujos de efectivo entre periodos no ganan intereses o ganan un interés compuesto.
En el caso de una política de no intereses interperiódicos, se considera que los
depósitos (flujos de efectivo negativos) se realizan al final del periodo de capitalización; asimismo, se considera que los retiros se hacen al principio. Como ejemplo, si se tiene un interés compuesto trimestral, los depósitos mensuales se trasladan al final del trimestre (no se obtienen intereses interperiódicos), y todos los retiros
se trasladan al principio (no se pagan intereses durante todo el trimestre). Tal procedimiento puede alterar significativamente la distribución de los flujos de efectivo,
antes de que se aplique la tasa de interés efectiva trimestral para determinar P, F o
A. Esto lleva, en efecto, a los flujos de efectivo a una situación donde PP = PC,
según se analizó en las secciones 4.5 y 4.6. El ejemplo 4.10 ilustra este procedimiento y el hecho económico de que, dentro de un marco temporal de un periodo de
capitalización, no hay ninguna ventaja en intereses si se efectúan pagos anticipados. Por supuesto, quizá se presenten factores no económicos.
EJEMPLO
4.10
Rob es el ingeniero de coordinación de obra en Alcoa Aluminum, donde se encuentra una
mina en renovación, en la cual un contratista local ha instalado un nuevo equipo de refinamiento de materiales. Rob desarrolló el diagrama de flujo de efectivo de la figura 4.10a en
unidades de $1 000 desde la perspectiva del proyecto. El diagrama incluye los pagos al
contratista que Rob autorizó para el año en curso y los anticipos aprobados por las oficinas centrales de Alcoa. Rob sabe que la tasa de interés sobre proyectos de campo de
equipo como éstos es de 12% anual, compuesto trimestralmente, y que Alcoa no va a
insistir en la capitalización interperiódica de los intereses. ¿Se encontrarán o no las finanzas del proyecto de Rob en números “rojos” al final del año? ¿Por cuánto?
Solución
Sin considerar algún interés entre periodos, la figura 4.10b refleja el traslado de los flujos
de efectivo. El valor futuro después de 4 trimestres requiere F a una tasa de interés efec-
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153
154
CAPÍTULO 4
Tasas de interés nominales y efectivas
Ingresos de las oficinas centrales
$120
$90
$45
1
0
0
1
2
3
4
5
6
$75
$100
$150
7
8
9
10
$50
11
Año
12
Mes
Pagos al contratista
$200
a)
F=?
$165
$90
0
1
0
1
2
3
2
4
5
6
3
7
8
9
4
10
11
12
$50
Trimestre
Mes
$150
$175
$200
F=?
b)
Figura 4.10
Flujos de efectivo a) actuales y b) trasladados (en $1 000) para los periodos de capitalización trimestral
sin interés entre periodos (ejemplo 4.10).
tiva trimestral de 12%/4 = 3%. La figura 4.10b muestra todos los flujos de efectivo negativos (pagos al contratista) trasladados al final del trimestre respectivo, y todos los flujos
de efectivo positivos (ingresos de las oficinas centrales) trasladados al principio del trimestre respectivo. Calcule el valor de F al 3%.
F = 1 000[–150(F/P,3%,4) – 200(F/P,3%,3) + (–175 + 90)(F/P,3%,2)
+ 165(F/P,3%,1) – 50]
= $–357 592
Rob puede concluir que las finanzas del proyecto en la obra se encontrarán en números
rojos por alrededor de $357 600 al final del año.
Si PP < PC y se obtienen intereses por composición entre periodos, los flujos de
efectivo no se trasladan; así, los valores equivalentes P, F o A se determinan utilizando la tasa de interés efectiva por periodo de pago. Las relaciones de la ingeniería
económica se determinan de la misma forma que en las acciones anteriores para PP
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SECCIÓN 4.8
Tasa de interés efectiva para capitalización continua
≥ PC. La fórmula de la tasa de interés efectiva tendrá un valor m menor que 1, ya que
tan sólo hay una parte fraccionaria del PC en un PP. Por ejemplo, los flujos de efectivo semanales y la composición trimestral requieren que m = 1/13 de un trimestre.
Cuando la tasa de interés nominal es de 12% anual, con periodo de composición
trimestral (el mismo que 3% cada trimestre, con composición trimestral), la tasa de
interés efectiva por cada PP es
i% efectiva semanal = (1.03)1/13 – 1 = 0.228% semanal
4.8
TASA DE INTERÉS EFECTIVA PARA
CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Si dejamos que la capitalización se presente con más frecuencia cada vez, los periodos de capitalización se van acortando. Entonces, el valor de m, es decir, el número
de periodos de composición por periodo de pago, aumenta. Esta situación ocurre en
los negocios con una gran cantidad de flujos de efectivo diarios; así, es adecuado
considerar intereses con periodos de capitalización continua. Conforme m se aproxima al infinito, la tasa de interés efectiva, ecuación [4.8], debe expresarse de otra
forma. Primero recordemos la definición de la base del logaritmo natural.
h
1
lím⎛1 + ⎞ = e = 2.71828 +
h→∞ ⎝
h⎠
[4.11]
El límite de la ecuación [4.8] conforme m se aproxima al infinito se determina
utilizando r/m = 1/h, de la cual se deduce m = hr.
m
r
lím i = lím ⎛1 + ⎞ – 1
m→∞
m→∞ ⎝
m⎠
⎛
= lím 1 +
h→∞ ⎝
i = er – 1
1⎞
h⎠
hr
⎡⎛
– 1 = lím ⎢ 1 +
h→∞ ⎝
⎣
r
h
1⎞ ⎤
⎥ –1
h⎠ ⎦
[4.12]
La ecuación [4.12] se aplica para calcular la tasa de interés efectiva continua, cuando los periodos para i y r son los mismos. Como ejemplo, si la tasa anual nominal r
= 15% anual, la tasa de interés efectiva continua anual es
i% = e0.15 – 1 = 16.183%
Por conveniencia, la tabla 4.3 incluye tasas de interés efectivas continuas para las
tasas nominales listadas.
EJEMPLO
a)
4.11
Calcule las tasas de interés anual y efectiva mensual, para una tasa de interés del
18% anual con composición continua.
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155
156
CAPÍTULO 4
b)
Tasas de interés nominales y efectivas
Un inversionista necesita un rendimiento efectivo de, por lo menos, el 15%. ¿Cuál es
la tasa nominal anual mínima aceptable para la composición continua?
Solución
a) La tasa mensual nominal es r = 18%/12 = 1.5%; es decir, 0.015 mensual. De acuerdo
con la ecuación [4.12], la tasa mensual efectiva es
i% mensual = er – 1 = e0.015 – 1 = 1.511%
Asimismo, la tasa anual efectiva, utilizando r = 0.18 anual, es
i% anual = er – 1 = e0.18 – 1 = 19.72%
b)
Resuelva la ecuación [4.12] para r considerando el logaritmo natural.
er – 1 = 0.15
er = 1.15
ln er = ln 1.15
r% = 13.976%
Por lo tanto, una tasa de 13.976% anual, con periodo de composición continua, generará 15% efectivo de rendimiento anual.
Comentario
La fórmula general para calcular la tasa nominal, dada la tasa efectiva continua i, es r =
ln(1 + i).
EJEMPLO
4.12
Las ingenieras Marci y Suzanne invierten $5 000 durante 10 años al 10% anual. Calcule
el valor futuro para ambas, si Marci recibe intereses anuales compuestos, y Suzanne,
intereses continuos.
Solución
Marci: El valor futuro para un periodo de composición anual es
F = P(F/P,10%,10) = 5 000(2.5937) = $12 969
Suzanne: Utilizando la ecuación [4.12], primero se encuentra la tasa efectiva i anual, para
usarla en el factor F/P.
i% efectiva = e0.10 – 1 = 10.517%
F = P(F/P,10.517%,10) = 5 000(2.7183) = $13 591
La composición continua genera $622 de incremento en ganancias. Por comparación, la
composición diaria genera una tasa efectiva de 10.516% (F = $13 590), apenas un poco
menor que el 10.517% de la composición continua.
En algunas actividades de negocios, los flujos de efectivo se presentan durante
el día. Ejemplos de costos son los costos de energía y agua, costos de inventario y
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SECCIÓN 4.9
157
Tasas de interés que varían con el tiempo
costos de mano de obra. Un modelo realista para estas actividades consiste en incrementar la frecuencia de los flujos de efectivo para que se tornen continuos. En tales
casos, el análisis económico puede llevarse a cabo para un flujo de efectivo continuo
(también denominado flujo continuo de fondos) y para la composición continua de
intereses antes estudiada. Entonces, es necesario derivar expresiones diversas para
los factores. De hecho, las diferencias económicas para los flujos de efectivo continuos, relativos al flujo de efectivo discreto y a los supuestos de composición discreta, normalmente no son muy grandes. En consecuencia, muchos estudios de ingeniería económica no exigen al analista que utilice estas formas matemáticas para
llevar a cabo la evaluación apropiada de un proyecto y tomar una decisión.
4.9
TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Las tasas de interés reales para una corporación varían año con año, dependiendo
del estado financiero de la empresa, de su sector en el mercado, de las economías
nacional e internacional, de las fuerzas de inflación y de muchos otros factores. Las
tasas de préstamo pueden incrementarse de un año a otro. Las hipotecas de bienes
inmuebles financiadas mediante un interés de tipo HTA (hipoteca de tasa ajustable)
constituyen un buen ejemplo. La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada año
para que refleje la antigüedad del préstamo, el costo actual del dinero de la hipoteca, etcétera. Un ejemplo de tasas de interés que se incrementan con el tiempo son
los bonos protegidos contra la inflación, emitidos por el gobierno de Estados Unidos y otras agencias. La tasa de dividendos que paga el bono permanece constante
a lo largo de su periodo de vida; sin embargo, a la cantidad global que se debe al
propietario del bono cuando alcanza su madurez se le aplica un ajuste ascendente,
de acuerdo con el índice de inflación del índice de precios al consumidor (IPC).
Esto significa que la tasa anual de rendimiento se incrementará cada año de acuerdo
con la inflación observada. (En los capítulos 5 y 14, respectivamente, se repasan los
bonos y la inflación.)
Cuando los valores de P, F y A se calculan utilizando una tasa de interés constante o promedio, durante la vida de un proyecto, las alzas y bajas de i son despreciables. Si la variación de i es grande, los valores equivalentes variarán de manera
considerable de aquellos que se calculan mediante la tasa constante. Aunque un
estudio de ingeniería económica puede ajustar matemáticamente los valores variables de i, los cálculos resultan más complicados.
Para definir el valor de P para los valores del flujo de efectivo futuro (Ft) con
diferentes valores de i (it) para cada año t, supondremos una composición anual. Sea
it = tasa de interés efectiva anual para el año t (t = años 1 a n)
Para determinar el valor presente, se calcula P para cada valor Ft, utilizando la it que
aplique y sumando los resultados. De acuerdo con la notación estándar y el factor
P/F,
P = F1(P/F,i1,1) + F2(P/F,i1,1)(P/F,i2,1) + ···
+ Fn(P/F,i1,1)(P/F,i2,1) · · · (P/F,In,1)
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[4.13]
Préstamo HTA
Estudio de caso
158
CAPÍTULO 4
Tasas de interés nominales y efectivas
Cuando sólo están involucradas cantidades únicas, es decir, una P y una F en el año
final n, el último término de la ecuación [4.13] es la expresión del valor presente del
flujo de efectivo futuro.
P = Fn(P/F,i1,1)(P/F,i2,1) · · · (P/F,in,1)
[4.14]
Si se requiere la serie uniforme equivalente A durante todos los n años, primero se
calcula P con cualquiera de las dos últimas ecuaciones; enseguida se sustituye el
símbolo A por cada símbolo Ft. Ya que el valor equivalente P se determinó numéricamente utilizando las tasas variables, esta nueva ecuación sólo tendrá una incógnita, A. El siguiente ejemplo ilustra tal procedimiento.
EJEMPLO
4.13
CE, Inc. arrienda equipo pesado para perforación de túneles. Las utilidades netas del equipo
para cada uno de los últimos 4 años han ido disminuyendo, como lo indica la siguiente
tabla. Ésta, además, incluye las tasas de rendimiento anuales sobre el capital invertido. La
tasa de rendimiento se ha ido incrementando. Determine el valor presente P y la serie
uniforme equivalente A de la serie de utilidades netas. Tome en cuenta la variación anual
de las tasas de rendimiento.
Año
Utilidad neta
Tasa anual
1
2
3
4
$70 000
7%
$70 000
7%
$35 000
9%
$25 000
10%
Solución
La figura 4.11 muestra los flujos de efectivo, las tasas de cada año y los valores equivalentes de P y A. La ecuación [4.13] se utiliza para calcular P. Ya que para los años 1 y 2 el
$70 000
A=?
$35 000
$25 000
0
0
1
2
3
4
i = 7%
1
7%
i = 7%
i = 9%
i = 10%
P=?
$172 816
Figura 4.11
Valores equivalentes de P y A para tasas de interés variables (ejemplo 4.13).
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2
7%
3
9%
4
10%
RESUMEN DEL CAPÍTULO
rendimiento neto es $70 000 y la tasa anual es 7%, el factor P/A se aplica exclusivamente
para estos dos años.
P = [70(P/A,7%,2) + 35(P/F,7%,2)(P/F,9%,1)
+ 25(P/F,7%,2)(P/F,9%,1)(P/F, 10%,1)](1 000)
= [70(1.8080) + 35(0.8013) + 25(0.7284)](1 000)
= $172 816
Para determinar una serie anual equivalente, se sustituye el símbolo A por los valores de
utilidad neta en la parte derecha de la ecuación [4.15], que se iguala a P = $172 816 y se
despeja A. Esta ecuación toma en cuenta los valores variables i de cada año. La figura 4.11
muestra la transformación del diagrama de flujo de efectivo.
$172 816 = A[(1.8080) + (0.8013) + (0.7284)] = A[3.3377]
A = $51 777 anuales
Comentario
Si se utiliza el promedio de las cuatro tasas anuales, es decir, 8.25%, el resultado es A =
$52 467. Esto representa $690 de presupuesto sobreestimado anual sobre la cantidad equivalente requerida.
Cuando hay un flujo de efectivo en el año 0 y las tasas de interés varían
anualmente, debe incluirse dicho flujo de efectivo cuando se determina el valor de P.
En el cálculo de la serie uniforme equivalente A durante todos los años, hay que
incluir el año 0, ya que es importante considerar este flujo de efectivo inicial en t = 0.
Esto se logra con la inserción del factor de valor para (P/F, i0, 0) en la relación para
A. Este factor de valor siempre es 1.00. También es correcto encontrar el valor A
usando una relación de valor futuro para F en el año n. En este caso, el valor A se
determina con el empleo del factor F/P, y el flujo de efectivo en el año n se toma en
cuenta con la inclusión del factor (F/Pi0, 0) = 1.00.
RESUMEN DEL CAPÍTULO
Como muchas situaciones reales implican frecuencias de flujo de efectivo y periodos de capitalización distintos a un año, es necesario utilizar las tasas de interés
nominal y efectiva. Cuando una tasa nominal r se establece, la tasa de interés efectiva por cada periodo de pago se determina aplicando la ecuación de la tasa de
interés efectiva.
m es el número de periodos de composición (PC) por periodo de pago (PP). Si la
composición de los intereses se torna cada vez más frecuente, la duración de un PC
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159
160
CAPÍTULO 4
Tasas de interés nominales y efectivas
se aproxima a cero, lo cual da como resultado una composición continua, y la tasa
de interés efectiva i es igual a er – 1.
Todos los factores de la ingeniería económica requieren el uso de una tasa
de interés efectiva. Los valores de i y n colocados en un factor dependen del tipo de
serie de flujo de efectivo. Si sólo hay cantidades únicas (P y F ), existen diversas
formas de llevar a cabo cálculos de equivalencia utilizando los factores. Sin embargo, cuando los flujos de efectivo en serie (A, G y g) se encuentran presentes, sólo
cierta combinación de la tasa de interés efectiva i y del número de periodos n es
correcta para los factores. Esto requiere que las duraciones relativas de PP y PC se
consideren conforme i y n se hayan determinado. La tasa de interés y los periodos
de pago deben tener la misma unidad de tiempo, con la finalidad de que los factores
tomen en cuenta correctamente el valor del dinero en el tiempo.
De un año (o periodo de interés) a otro, las tasas de interés variarán. Para llevar
a cabo cálculos de equivalencia con exactitud para P y A, cuando las tasas varían
significativamente, debe utilizarse la tasa de interés que se aplica, no una tasa promedio o constante. Los procedimientos y factores, ya sea que se efectúen a mano o
por computadora, son los mismos que los de las tasas de interés constantes; sin
embargo, se incrementa el número de cálculos.
PROBLEMAS
Tasas nominal y efectiva
4.1 Identifique el periodo de capitalización para
los intereses establecidos que siguen: a) 1%
mensual; b) 2.5% trimestral, y c) 9.3% anual,
compuestos semestralmente.
4.2 Identifique el periodo de capitalización para
los intereses que siguen: a) 7% nominal
anual, compuesto trimestralmente; b) 6.8%
efectivo anual, compuesto mensualmente, y
c) 3.4% efectivo trimestral, compuesto semanalmente.
4.3 Determine el número de veces que el interés
se capitalizaría en 1 año para los siguientes
intereses establecidos: a) 1% mensual; b) 2%
trimestral, y c) 8% anual, compuestos semestralmente.
4.4 Para una tasa de interés de 10% anual compuesta trimestralmente, determine el número
de veces que se capitalizaría el interés: a) por
trimestre, b) por año y c) en tres años.
4.5 Para una tasa de interés de 0.50% trimestral,
determine la tasa de interés nominal para:
a) en un semestre, b) anual y c) en dos años.
4.6 Para una tasa de interés de 12% anual capitalizable cada 2 meses, determine la tasa de
interés nominal para: a) 4 meses, b) 6 meses
y c) 2 años.
4.7 Para una tasa de interés de 10% por año,
compuesto trimestralmente, calcule la tasa
nominal por: a) 6 meses y b) 2 años.
4.8 Identifique las tasas de interés establecidas
como nominales o efectivas: a) 1.3% mensual; b) 1% semanal, compuesto semanalmente; c) 15% nominal anual, compuesto
mensualmente; d) 1.5% efectivo por mes, compuesto diariamente, y e) 15% anual, compuesto semestralmente.
4.9 ¿Qué tasa de interés efectiva por 6 meses es
equivalente a 14% anual, compuesto semestralmente?
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PROBLEMAS
4.10 Una tasa de interés de 16% anual, compuesto trimestralmente, ¿a qué tasa anual de interés efectivo equivale?
4.11 ¿Qué tasa de interés nominal por año equivale a 16% anual, compuesto semestralmente?
4.12 ¿Cuál es la tasa de interés efectivo anual que
equivale a 18% efectivo anual, compuesto
semestralmente?
4.13 ¿Qué periodo de capitalización se asocia con
las tasas nominal y efectiva de 18% y 18.81%
anual, respectivamente?
4.14 Una tasa de interés de 1% mensual, ¿a qué
tasa efectiva por dos meses equivale?
4.15 Un interés de 12% anual compuesto mensualmente, ¿a cuáles tasas nominal y efectiva por 6 meses equivale?
4.16 a) Una tasa de interés de 6.8% por periodo
semestral, compuesto semanalmente, ¿a
qué tasa de interés semanal es equivalente?
b) ¿La tasa semanal es nominal o efectiva?
Suponga 26 semanas por semestre.
Periodos de pago y de composición o
capitalización
4.17 Se realizan depósitos de $100 por semana
en una cuenta de ahorros que paga un interés
de 6% anual, compuesto trimestralmente.
Identifique los periodos de pago y capitalización.
4.18 Cierto banco nacional anuncia capitalización trimestral para las cuentas de cheques
de negocios. ¿Cuáles periodos de pago y capitalización se asocian con los depósitos
diarios de las entradas?
4.19 Determine el factor F/P para 3 años, con
una tasa de interés de 8% anual compuesto
semestralmente.
4.20 Calcule el factor P/G para 5 años, con una
tasa de interés efectivo de 6% anual, compuesta semestralmente.
161
Equivalencias para series y cantidades únicas
4.21 Un compañía que se especializa en el desarrollo de software para seguridad en línea,
quiere tener disponibles $85 millones para
dentro de 3 años pagar dividendos accionarios. ¿Cuánto dinero debe reservar ahora en
una cuenta que gana una tasa de interés de
8% anual, compuesto trimestralmente?
4.22 Debido a que las pruebas con bombas nucleares se detuvieron en 1992, el Departamento de Energía de los Estados Unidos ha
estado desarrollando un proyecto de láser
que permitirá a los ingenieros simular en el
laboratorio las condiciones de una reacción
termonuclear. Como los costos se dispararon
en exceso, un comité de congresistas emprendió una investigación y descubrió que
el costo estimado por el desarrollo del proyecto se incrementó a una tasa promedio de
3% mensual durante un periodo de 5 años.
Si la estimación del costo originalmente fue
de $2.7 mil millones hace 5 años, ¿cuál es
el costo que se espera hoy?
4.23 Hoy, una suma de $5 000 con tasa de interés
de 8% anual compuesto semestralmente, ¿a
cuánto dinero equivalía hace 8 años?
4.24 En un esfuerzo por garantizar la seguridad
de los usuarios de teléfonos celulares, la Comisión Federal de Comunicaciones de los
Estados Unidos (FCC) exige que los aparatos
tengan un número de radiación específica
absorbida (REA) de 1.6 watts por kilogramo
(W/kg) de tejido, o menos. Una compañía
nueva de teléfonos celulares considera que
si hace publicidad a su cantidad favorable
de 1.2 REA, incrementará sus ventas en $1.2
millones dentro de tres meses, cuando salgan a la venta sus equipos. Con una tasa de
interés de 20% anual, compuesto trimestralmente, ¿cuál es la cantidad máxima que ahora
debe gastar la compañía en publicidad, con
el fin de mantenerse en equilibrio?
4.25 La Identificación por Radio Frecuencia
(IDRF) es la tecnología que se usa para que
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162
CAPÍTULO 4
Tasas de interés nominales y efectivas
los conductores crucen rápido las casetas de
cobro, y también con la que los rancheros
rastrean el ganado de la granja al tenedor.
Wal-Mart espera comenzar a usarla para dar
seguimiento a los productos dentro de sus
tiendas. Si los productos con etiquetas de
IDRF dan lugar a un mejor control de los
inventarios, la compañía ahorraría $1.3
millones mensuales a partir de tres meses
después de hoy, ¿cuánto podría desembolsar
la empresa para implantar la tecnología, con
una tasa de interés de 12% anual, compuesto
mensualmente, si desea recuperar su
inversión en 21/2 años?
4.26 El misil Patriot, desarrollado por Lockheed
Martin para el ejército estadounidense, se
diseñó para derribar aeronaves y a otros misiles. El costo original del Patriot Avanzado
con Capacidad-3, estaba planeado para costar $3.9 mil millones, pero debido al tiempo
adicional requerido para crear el código de
computación y a las pruebas fallidas ocasionadas por vientos fuertes en la instalación
de White Sands Missile Range, el costo real
fue mucho más elevado. Si el tiempo total de desarrollo del proyecto fue de 10
años y los costos aumentaron a una tasa de
0.5% mensual, ¿a cuánto ascendió el costo
final?
4.27 Es común que las tarjetas de video basadas
en el procesador GTS GeForce de Nvidia
cuesten $250, pero esta compañía lanzó una
versión ligera del chip que cuesta $150. Si
cierto fabricante de juegos de video compraba 3 000 chips por trimestre, ¿cuál fue
el valor presente de los ahorros asociados
con el chip más barato, durante un periodo
de 2 años con una tasa de interés de 16%
anual, compuesto trimestralmente?
4.28 A fines del primer trimestre del año 2000,
una huelga de 40 días en Boeing dio como
resultado una reducción en 50 entregas de
aviones jet. Con un costo de 20 millones
por avión ¿cuál fue el costo equivalente a
final del año de la huelga (por ejemplo del
último trimestre) con una tasa de interés de
18% anual compuesto mensualmente?
4.29 La división de productos ópticos de Panasonic planea una expansión de su edificio
que tendrá un costo de $3.5 millones, para
fabricar su poderosa cámara digital Lumix
DMC. Si la compañía usa para todas las inversiones nuevas una tasa de interés de 20%
anual, compuesto trimestralmente, ¿cuál es
la cantidad uniforme por trimestre que debe
obtener para recuperar su inversión en 3
años?
4.30 Thermal Systems, compañía que se especializa en el control de olores, deposita hoy
$10 000, $25 000 al final del sexto mes, y
$30 000 al final del noveno mes. Calcule el
valor futuro (al final del año 1) de los
depósitos, con una tasa de interés de 16%
anual, compuesto trimestralmente.
4.31 Lotus Development tiene un plan de renta
de software denominado SmartSuite, disponible en web. Puede disponerse de cierto número de programas a $2.99 por 48 horas. Si
una compañía constructora usa el servicio
48 horas en promedio por semana, ¿cuál es
el valor presente de los costos por rentar durante 10 meses con una tasa de 1% de interés
mensual, compuesto semanalmente? (Suponga 4 semanas por mes.)
4.32 Northwest Iron and Steel analiza si incursiona en el comercio electrónico. Un paquete modesto de esta modalidad se encuentra
disponible por $20 000. Si la compañía desea recuperar el costo en 2 años, ¿cuál es la
cantidad equivalente del ingreso nuevo que
debe obtenerse cada 6 meses, si la tasa de
interés es de 3% trimestral?
4.33 Metropolitan Water Utilities compró una
superficie acuática del distrito de riego Elephant Butte, con un costo de $100 000 por
mes, para los meses de febrero a septiembre.
En lugar de hacer un pago mensual, la
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163
PROBLEMAS
empresa hará un solo pago de $800 000 al
final del año (es decir, al final de diciembre)
por el agua utilizada. El retraso del pago
representa en esencia un subsidio de parte
de la empresa al distrito de riego. Con una
tasa de interés de 0.25% mensual, ¿cuál es
el monto del subsidio?
4.34 Scott Specialty Manufacturing analiza consolidar todos sus servicios electrónicos con
una compañía. Si compra un teléfono digital
de AT&T Wireless la compañía podría comprar, por $6.99 al mes, servicios inalámbricos de correo electrónico y fax. Por $14.99
mensuales obtendría acceso ilimitado a la
web y funciones de organización de personal. Para un periodo de contratación de 2
años, ¿cuál es el valor presente de la diferencia entre los servicios, con una tasa de
12% de interés anual compuesto mensualmente?
4.35 Magnetek Instrument and Controls, fabricante de sensores de nivel líquido, espera
que las ventas de uno de sus modelos se
incrementen 20% cada 6 meses, durante el
futuro previsible. Si se espera que las ventas
para dentro de 6 meses sean de $150 000,
determine el valor semestral equivalente de
las ventas durante un periodo de 5 años, con
una tasa de 14% de interés anual compuesto
semestralmente.
4.36 Metalfab Pump and Filter proyecta que el
costo de las partes de acero para ciertas
válvulas aumente $2 cada 3 meses. Si se
espera que el costo para el primer trimestre
sea de $80, ¿cuál es el valor presente de los
costos para un periodo de 3 años, con una
tasa de 3% de interés trimestral?
4.37 Fieldsaver Technologies, fabricante de equipo de precisión para laboratorio, obtuvo un
préstamo de $2 millones para renovar una
de sus instalaciones de pruebas. El préstamo
se reembolsó en 2 años mediante pagos
trimestrales que aumentaban $50 000 en
cada ocasión. Con una tasa de interés de 3%
trimestral, ¿cuál fue el monto del pago del
primer trimestre?
4.38 Para los flujos de efectivo que se muestran
a continuación, determine el valor presente
(tiempo 0), usando una tasa de 18% de interés anual, compuesto mensualmente.
Mes
Flujo de efectivo, $/mes
0
1-12
13-28
1 000
2 000
3 000
4.39 A continuación se presentan los flujos de
efectivo (en miles) asociados con el sistema
de aprendizaje Touch, de Fisher Price. Calcule la serie uniforme trimestral, en los trimestres
0 a 8, que sería equivalente a los flujos de
efectivo mostrados, con una tasa de interés
de 16% anual, compuesto trimestralmente.
Trimestre
Flujo de efectivo, $/trimestre
1
2-3
5-8
1 000
2 000
3 000
Equivalencia cuando PP < PC
4.40 Un ingeniero deposita $300 por mes en una
cuenta de ahorros con una tasa de interés de
6% anual, compuesto semestralmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta al final de 15 años?
Suponga que no hay ningún periodo intermedio de capitalización.
4.41 En el tiempo t = 0, un ingeniero depositó
$10 000 en una cuenta que paga un interés
del 8% anual compuesto semianualmente.
Si retiras $1 000 en los meses 2, 11 y 23
¿cuál es el valor total de la cuenta al final
de 3 años? Considere que no hay composición alguna entre los periodos.
4.42 Para las transacciones que se muestran a
continuación, calcule la cantidad de dinero
en la cuenta al final del año 3, si la tasa de
interés es de 8% anual, compuesto semes-
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164
CAPÍTULO 4
Tasas de interés nominales y efectivas
tralmente. Suponga que no existe periodo
intermedio de capitalización.
Final del
trimestre
Monto
del depósito,
$/trimestre
1
2-4
7
11
900
700
1 000
—
Importe
del retiro,
$/trimestre
2 600
1 000
4.43 La Policía Estatal y de Seguridad Pública
de Nuevo México posee un helicóptero con
el que brinda transporte y apoyo logístico a
los funcionarios estatales de alto nivel. La
tarifa de $495 por hora cubre los gastos de
operación y el salario del piloto. Si el gobernador usa la nave un promedio de dos
días al mes durante 6 horas por día, ¿cuál es
el valor futuro equivalente de los costos por
un año, con una tasa de interés de 6% anual
compuesto trimestralmente? (Dé a los costos
el tratamiento de depósitos.)
Composición continua
4.44 ¿Qué tasa efectiva de interés anual, con capitalización continua, equivale a una tasa
nominal de 13% por año?
4.45 ¿Cuál es la tasa efectiva de interés por 6 meses que es igual a otra nominal de 2% mensual, compuesto continuamente?
4.46 ¿Qué tasa nominal trimestral equivale a una
tasa efectiva de 12.7% anual, compuesto de
manera continua?
4.47 Problemas de corrosión y defectos de manufactura hicieron que fallara un ducto de
gasolina con soldaduras longitudinales
ubicado entre El Paso y Phoenix. Por ello,
se redujo la presión a un 80% del valor considerado por el diseño. Si la presión reducida
originó que se distribuyera $100 000 menos
de producto al mes, ¿cuál será el valor del
ingreso perdido después de un periodo de 2
años, con una tasa de interés de 15% anual,
compuesto continuamente?
4.48 Debido a la crónica falta de agua en Santa Fe,
los campos deportivos deben usar césped artificial o plantas del desierto. Si el valor del
agua que se ahorra cada mes es de $6 000,
¿cuánto podría gastar en pasto artificial un
desarrollador privado si desea recuperar su
inversión en 5 años, con una tasa de interés de
18% anual, capitalizable de modo continuo?
4.49 Una compañía de Taiwán tuvo que declararse en bancarrota debido a la eliminación
paulatina en todo el país de éter metil-butil
terciario (EMBT). Si la empresa se reorganiza e invierte $50 millones en una instalación nueva para producir etanol, ¿cuánto
dinero debe obtener cada mes si desea
recuperar su inversión en tres años, con una
tasa de interés de 2% mensual capitalizable
continuamente?
4.50 A fin de contar con $85 000 dentro de cuatro
años para reemplazar equipo, una empresa
constructora planea reservar el dinero ahora
en bonos respaldados por el gobierno. Si éstos dan un interés de 6% anual, capitalizable
en forma continua, ¿cuánto dinero debe
invertir la compañía?
4.51 ¿Cuánto tiempo le tomará a una inversión
única duplicar su valor, con una tasa de 1.5%
de interés mensual, capitalizable continuamente?
4.52 ¿Qué tasa efectiva de interés mensual, compuesto de manera continua, se requerirá para
que un depósito único triplique su valor en
5 años?
Tasas de interés variables
4.53 ¿Cuánto dinero podría desembolsar hoy un
fabricante de abrasivos de estrato fluido, en
vez de gastar $150 000 en el quinto año, si
la tasa de interés es de 10% en los años 1 a 3,
y 12% en los años 4 y 5?
4.54 ¿Cuál es el valor futuro en el año 8 de una
suma presente de $50 000, si la tasa de interés es 10% anual en los años 1 a 4, y 1% en
los años 5 a 8?
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165
PROBLEMAS DE REPASO FI
4.55 Para los flujos de efectivo que se muestran
a continuación, determine a) el valor futuro
en el año 5, y b) el valor equivalente A para
los años 0 a 5.
Año
Flujo de
efectivo, $/año
Tasa de interés
por año, %
0
1-4
5
5 000
6 000
9 000
12
12
20
4.56 Para la serie de flujo de efectivo que se encuentra en seguida, calcule el valor equivalente A en los años 1 a 5.
Año
Flujo de
efectivo, $/año
Tasa de interés
por año, %
0
1-3
4-5
0
5 000
7 000
10
12
PROBLEMAS DE REPASO FI
4.57 Una tasa de interés efectivo de 14% mensual, compuesto en forma semanal, es:
a) Una tasa efectiva anual
b) Una tasa efectiva mensual
c) Una tasa nominal anual
d) Una tasa nominal mensual
4.58 Una tasa de 2% mensual es la misma que:
a) 24% por año, compuesto mensualmente
b) 24% nominal anual, compuesto mensualmente
c) 24% efectivo por año, compuesto mensualmente
d) Tanto a) como b)
4.59 Una tasa de interés de 12% anual, compuesto mensualmente, está muy cerca de:
a) 12.08% anual
b) 12.28% anual
c) 12.48% anual
d) 12.68% anual
4.60 Una tasa de 1.5% mensual, compuesto continuamente, está muy cerca de:
a) 1.51 % trimestral
b) 4.5% trimestral
c) 4.6% trimestral
d) 9% semestral
4.61 Una tasa de interés de 2% trimestral, es la
misma que:
a) 2% nominal trimestral
b) 6% nominal anual, compuesto trimestralmente
c) 2% efectivo, cada 4 meses
d) 2% efectivo, cada 3 meses
4.62 Una tasa de interés expresada como 12%
efectivo anual, compuesto mensualmente,
es igual a:
a) 12% anual
b) 1% mensual
c) 12.68% anual
d) Cualquiera de las anteriores
4.63 Una tasa de interés de 20% anual, compuesto continuamente, está muy cerca de la tasa
de interés siguiente:
a) 22% simple anual
b) 21% anual, compuesto trimestralmente
c) 21% anual, compuesto mensualmente
d) 22% anual, compuesto semestralmente
4.64 Para una tasa de interés de 1% trimestral,
compuesto continuamente, la tasa de interés
semestral efectiva es la más cercana a:
a) Menos de 2.0%
b) 2.02%
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166
CAPÍTULO 4
Tasas de interés nominales y efectivas
c) 2.20%
d) Más de 2.25%
c) $116 355 000
d) Más de 117 000 000
4.65 La única vez que se cambia la cantidad y el
tiempo de los flujos de efectivo originales
en los problemas que involucran una serie
uniforme es cuando:
a) El periodo de pago es más largo que el
periodo de capitalización
b) El periodo de pago es igual al periodo
de capitalización
c) El periodo de pago es más corto que el
periodo de capitalización
d) En cualquiera de los casos anteriores,
en función de cómo se calcule la tasa
de interés efectiva
4.66 Exotic Faucets and Sinks, Ltd., garantiza
que su nuevo grifo de sensor infrarrojo
ahorrará, en cualquier hogar que tenga dos
o más niños, al menos $30 por mes en costos
de agua, a partir de 1 mes después de que se
instale. Si el grifo tiene una garantía total
de 5 años, la cantidad mínima que una familia debería gastar ahora por adquirirlo, con
una tasa de 6% de interés anual, compuesto
mensualmente, es de:
a) $149
b) $1 552
c) $1 787
d) $1 890
4.67 La lotería de estados múltiples Powerball,
que ofrece un premio de $182 millones, fue
ganada por un solo individuo que compró
cinco boletos de $1 cada uno. A esta persona
se le ofrecieron dos opciones: recibir 26 pagos de $7 millones cada uno, el primero de
los cuales ocurriría ahora y el resto al final
de cada uno de los 25 años siguientes; o
recibir un pago en una sola exhibición ahora
que sería equivalente a los 26 pagos de $7
millones cada uno. Si el estado usa una tasa
de interés de 4% anual, la cantidad del pago
único estaría muy cerca de:
a) Menos de $109 000 000
b) $109 355 000
4.68 Las utilidades que se paga a los accionistas
con derechos de explotación minera tienden
a disminuir con el tiempo conforme los recursos se agotan. En un caso particular, la
tenedora de acciones recibió un cheque por
$18 000 seis meses después a la firma del
arrendamiento. Ella continuó recibiendo cheques con intervalos de 6 meses, pero
la cantidad disminuía en $2 000 a cada vez.
Con una tasa de interés de 6% anual, compuesto semestralmente, el valor uniforme
equivalente semestral de los pagos por utilidades para los 4 primeros años, está representado por:
a) A = 18 000 – 2 000(A/G,3%,8)
b) A = 18 000 – 2 000(A/G,6%,4)
c) A = 18 000(A/P,3%,8) – 2 000
d) A = 18 000 + 2 000(A/G,3%,8)
4.69 Se espera que el costo de acrecentar la capacidad de producción en cierta instalación
de manufactura se incremente 7% al año
durante el siguiente periodo de 5 años. Si el
costo al final del año 1 es de $39 000 y la
tasa de interés es de 10% anual, el valor presente de los costos hasta el final del periodo
de 5 años está determinado por:
a) P = 39 000{1 – [(1 + 0.07)6/(1 +
0.10)6]}/(0.10 – 0.07)
b) P = 39 000{1 – [(1 + 0.07)5/(1 +
0.10)5]}/(0.10 + 0.07)
c) P = 39 000{1 – [(1 + 0.07)4/(1 +
0.10)4]}/(0.10 – 0.07)
d) P = 39 000{1 – [(1 + 0.07)5/(1 +
0.10)5]}/(0.10 – 0.07)
4.70 El administrador de una planta desea conocer el valor presente de los costos de mantenimiento para cierta línea de montaje. Un
ingeniero industrial que diseñó el sistema
estima que los costos de mantenimiento que
pueden esperarse serán de cero para los tres
primeros años, $2 000 en el año 4, $2 500
en el año 5, y que las cantidades se incre-
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PROBLEMAS DE REPASO FI
mentarán $500 cada año hasta el año 10.
Con una tasa de interés de 8% anual, compuesto semestralmente, el valor de n por usar
en la ecuación P/G para este problema es:
a) 7
b) 8
c) 10
d) 14
4.71 Una compañía de relaciones públicas contratada por la ciudad de El Paso para incrementar el turismo hacia la Ciudad del Sol
propuso que ésta construyera la única montaña rusa que viajara a través de dos países
diferentes. La idea es construir la vía a lo
largo del Río Grande y tener una parte en los
Estados Unidos y la otra en México. El aparato se construiría de modo que los carros
pudieran partir de cualquier lado de la frontera, pero los pasajeros bajarían en el mismo
punto en que subieron. Una vez que la atracción sea funcional, se proyecta que el ingreso por turismo sea inicialmente de $1 millón
(es decir, en el momento 0), $1.05 millones
después del primer mes, $1.1025 millones después del segundo, y que las cantidades se incrementen 5% cada mes durante el
primer año. Con una tasa de interés de 12%
anual, compuesto mensualmente, el valor
presente (tiempo 0) del ingreso por el turismo generado por la montaña rusa está muy
cerca de:
a) $15.59 millones
b) $16.59 millones
c) $17.59 millones
d) Más de $18 millones
4.72 En los problemas que involucran un gradiente aritmético G, en los que el periodo
de pago es mayor que el periodo de interés,
la tasa por usar en las ecuaciones:
a) puede ser cualquier tasa efectiva, mientras las unidades de tiempo de i y n sean
las mismas
167
b) debe ser la tasa de interés que sea exactamente la misma establecida en el problema
c) debe ser una tasa efectiva de interés que
se exprese en un periodo de 1 año
d) debe ser la tasa de interés efectiva que
se exprese en el periodo de tiempo igual
al tiempo en el que ocurre el primer
cambio igual a G
4.73 Un ingeniero que analizaba los datos de
costo descubrió que la información para los
tres primeros años se había perdido. Sin embargo, él sabía que el costo en el año 4 era
de $1 250, y que se incrementaba 5% por
año de ahí en adelante. Si se aplicara la misma tendencia a los tres primeros años, el
costo en el año 1 estaría muy cerca de:
a) $1 235.70
b) $1 191.66
c) $1 133.79
d) $1 079.80
4.74 Encon Environmental Testing necesita comprar dentro de dos años equipo por $40 000.
Con una tasa de interés de 20% anual, compuesto trimestralmente, el valor uniforme
trimestral del equipo (trimestres 1 a 8), es
muy cercano a:
a) $3 958
b) $4 041
c) $4 189
d) Más de $4 200
4.75 Border Steel invirtió $800 000 en una unidad cortadora nueva. Con una tasa de interés
de 12% anual, compuesto trimestralmente,
el ingreso por trimestre que se requiere para
recuperar la inversión en 3 años es de:
a) $69 610
b) $75 880
c) $80 370
d) $83 550
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168
CAPÍTULO 4
Tasas de interés nominales y efectivas
ESTUDIO DE CASO
FINANCIAMIENTO DE VIVIENDA
Introducción
Cuando un individuo o una pareja deciden comprar una
vivienda, una de las cuestiones más importantes es el
financiamiento. Existen diversos métodos de financiamiento para la compra de una propiedad residencial,
cada uno de los cuales tiene ciertas ventajas, las cuales
permiten elegir uno de los métodos bajo cierto conjunto de circunstancias. La elección de uno de los métodos de acuerdo con determinado grupo de condiciones
constituye el tema de este caso. Se describen tres métodos de financiamiento con detalle. Se evalúan los planes A y B; se le pide al lector que evalúe el plan C y
que lleve a cabo un análisis adicional.
El criterio aplicado en este caso es el siguiente: elija el plan de financiamiento que tenga un saldo mayor
al final de un periodo de 10 años. Por lo tanto, calcule
el valor futuro de cada plan y elija el que tenga el mayor valor futuro.
Plan Descripción
A
B
C
Tasa de interés fija a 30 años de 10%
anual y 5% de pago de enganche
Tasa ajustable de hipoteca (TAH), 9%
en los primeros 3 años, 91/2% en el
año 4, 101/4% en los años 5 a 10
(supuesto), 5% de enganche
Tasa fija a 15 años al 91/2% de interés
anual, 5% de enganche
• Nuevos gastos por el préstamo: cuota de origen de
1%, cuota de avalúo de $300, cuota de investigación de $200, honorarios del abogado de $200, cuota de procesamiento de $350, cuotas de depósito de
$150 y $300 de otros gastos.
• Cualquier monto que no se gaste en el pago del enganche o en los pagos mensuales ganará intereses
libres de impuestos al 1/4% mensual.
Análisis de planes de financiamiento
Plan A: Tasa fija a 30 años
El monto de dinero que se requiere por adelantado es
de:
a) Pago del enganche (5% de $150 000)
$7 500
b) Cuota de origen (1% de $142 500)
1 425
c) Avalúo
300
d) Investigación
200
e) Honorarios del abogado
200
f) Réditos
350
g) Depósito
150
h) Otros gastos (registro, informe de
crédito, etc.)
300
Total
$10 425
La cantidad del préstamo es $142 500. El pago mensual equivalente (principal + intereses) se determina al
10%/12 mensual por 30(12) = 360 meses.
A = 142 500(A/P,10%/12 360)
= $1 250.56
Información adicional:
• El precio de la casa es de $150 000.
• La casa se venderá en 10 años en $170 000 (ingreso
neto después de deducir los gastos de venta).
• Los impuestos y el seguro (I&S) ascienden a $300
mensuales.
• Cantidad disponible: máximo de $40 000 para el
enganche, $1 600 mensuales, incluyendo impuestos y seguro.
Cuando los impuestos y el seguro se suman al pago de
intereses y capital, el monto del pago mensual total
PAGOA es
PAGOA = 1 250.56 + 300
= $1 550.56
Ahora se determina el valor futuro del plan A sumando
tres montos en valor futuro: los fondos que no se utili-
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ESTUDIO DE CASO
169
zaron para el pago del enganche y demás gastos iniciales (F1A), así como para los pagos mensuales (F2A), y
el incremento del valor de la casa (F3A). Puesto que el
dinero que no se gasta gana intereses a la tasa de 1/4%
mensual, en 10 años el primer valor futuro será
La suma mensual de pago de intereses y principal
durante los primeros 3 años se basa en 9% anual durante 30 años.
F1A = (40 000 – 10 425)(F/P,0.25%,120)
El pago total mensual durante los primeros 3 años es
= $39 907.13
A = 142 500(A/P,9%/12 360) = $1 146.58
PAGOB = $1 146.58 + 300 = $1 446.58
El dinero disponible que no se gasta en pagos mensuales es de $49.44 = $1 600 – 1 550.56. Su valor futuro
después de 10 años es
F2A = 49.44(F/A,0.25%,120) = $6 908.81
El dinero neto disponible de la venta de la casa es la
diferencia entre el precio de venta neto y el saldo del
préstamo. El saldo del préstamo es igual a
Saldo del préstamo = 142 500(F/P,10%/12 120)
– 1 250.56(F/A,10%/12 120)
Al final del año 3, la tasa de interés cambia a 91/2%
anual. Esta nueva tasa se aplica al saldo del préstamo
en dicho tiempo:
Saldo del préstamo
al final del año 3 = 142 500(F/P,0.75%,36)
– 1 146.58(F/A,0.75%,36)
= $139 297.08
El pago mensual de intereses y principal durante el año
4 ahora es
= 385 753.40 – 256 170.92
A = 139 297.08(A/P,9.5%/12,324) = $1 195.67
= $129 582.48
Como el ingreso neto de la venta de la casa es de
$170 000,
F3A = 170 000 – 129 582.48 = $40 417.52
El valor futuro total del plan A es
FA = F1A + F2A + F3A
= 39 907.13 + 6 908.81 + 40 417.52
= $87 233.46
El pago total mensual durante el año 4 es
PAGOB = 1 195.67 + 300 = $1 495.67
Al final del año 4, la tasa de interés cambia de nuevo;
esta vez a 101/4% anual, y se estabiliza por el resto del
periodo de 10 años. El saldo del préstamo al final del
año 4 es
Saldo del préstamo al final
del año 4 = 139 297.08(F/P,9.5%/12,12)
– 1 195.67(F/A,9.5%/12,12)
Plan B: Tasa ajustable de hipoteca
a 30 años
= $138 132.42
La tasa ajustable de hipoteca está sujeta a algún índice
como el índice de bonos del tesoro de Estados Unidos.
En este caso, se supone que la tasa es de 9% para los
primeros 3 años, 91/2% en el año 4, y 101/4% en los años
5 a 10. Puesto que esta opción también requiere un 5%
de enganche, el dinero por adelantado que se necesita
será el mismo que el del plan A, es decir, $10 425.
El nuevo monto del pago mensual de intereses y principal es
A = 138 132.42(A/P,10.25%/12 312) = $1 269.22
El nuevo pago total mensual durante los años 5 a 10 es
PAGOB = 1 269.22 + 300 = $1 569.22
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El saldo del préstamo al final de los 10 años es:
Saldo del préstamo
después de 10 años = 138 132.42(F/P,10.25%/12,72)
– 1 269.22(F/A,10.25%/12,72)
= $129 296.16
F1B = (40 000 – 10 425)(F/P,0.25%,120)
= $39 907.13
El valor futuro del dinero que no se gastó en pagos mensuales es más complejo que en el caso del plan A.
F2B = (1 600 – 1 446.58)(F/A,0.25%,36)
× (F/P,0.25%,84) + (1 600 – 1 495.67)
× (F/A,0.25%,12)(F/P,0.25%,72)
+ (1 600 – 1 569.22)(F/A,0.25%,72)
= $11 062.75
F3B = 170 000 – 129 296.16 = $40 703.84
El valor futuro total del plan B es
FB = F1B + F2B + F3B = $91 673.72
El valor futuro del plan B ahora se determina utilizando los mismos tres valores futuros. El valor futuro del
dinero que no se ha gastado en el pago del enganche es
el mismo que el del plan A.
= 7 118.61 + 1 519.31 + 2 424.83
El monto total que queda de la venta de la casa es
Ejercicios para el estudio de caso
1. Evalúe el plan C y elija el mejor método de financiamiento.
2. ¿Cuál es la cantidad total de intereses pagados en el
plan A durante el periodo de 10 años?
3. ¿Cuál es el monto total de intereses pagados en el
plan B durante el año 4?
4. ¿Cuál es la cantidad máxima de dinero disponible
para efectuar el pago del enganche en el plan A, si
$40 000 es la cantidad total disponible?
5. ¿Cuánto se incrementa el pago en el plan A por cada
1% de incremento en la tasa de interés?
6. Si usted desea reducir la tasa de interés de 10% a
9% en el plan A, ¿cuánto más de enganche habría
que pagar?
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APÉNDICE DEL CAPÍTULO 4: CÁLCULO DE UNA TASA DE INTERÉS EFECTIVA
Inicie
Identifique el periodo de pago,
(PP) (¿con qué frecuencia se
presentan los flujos de efectivo?)
Identifique el periodo
de capitalización (PC)
¿PC más
corto o igual que
el PP?
No
Sí
¿Es nominal
la tasa
de interés
dada?
Más corto
No; es tasa efectiva
Sí
Suponga que no se
pagan intereses sobre
pagos efectuados
dentro de un PC
¿Es el periodo
de la tasa más corto,
el mismo o más largo que el
periodo de la tasa de
interés efectiva que
se busca?
Se considera que los
flujos de efectivos
negativos (pagos) se
presentan al final del
PC
Más largo
r por
Sustituya m
–
la tasa dada
El mismo
Multiplique la tasa de interés
dada para determinar una
nueva tasa de interés
nominal, r, con un periodo
igual al periodo de la tasa
de interés efectiva que se busca
La tasa dada
es nominal, r,
con un periodo igual
al periodo de la tasa
de interés
efectiva que se busca
¿Composición
continua?
Divida la tasa dada para
calcular una nueva tasa
de interés nominal, r, con un
periodo igual al periodo
de la tasa de interés efectiva
que se busca
Utilice
r m
–
i 冢1 m
冣 1
Se considera que los
flujos de efectivo
positivos (retiros)
ocurren al principio
del PC
Utilice la tasa dada
en los factores
de interés compuesto
Sí
Utilice
i er 1
No
Determine el número de
periodos de capitalización,
m, por el periodo del interés
efectivo que se busca
Utilice
r m
–
i 冢1 m
冣 1
Aportación del doctor Mathias Sutton de la Universidad de Purdue.
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