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ISSN 2007-1957
EL INGRESO PER CÁPITA DE LOS MEXICANOS
Ana María Islas Cortes
Instituto Politécnico Nacional, ESIT
[email protected]
Yolanda Montoya Vargas
Instituto Politécnico Nacional, ESIT
[email protected]
Gabriel Guillén Buendia
Instituto Politécnico Nacional, ESIME-Azcapotzalco
[email protected]
Resumen
En el presente estudio se ajustaron dos modelos logísticos, el primero de base
exponencial y, el segundo de base cuadrática, a los datos del ingreso per cápita de los
mexicanos durante el periodo de 1845 a 2015 y a la dinámica de crecimiento
poblacional de 1810 a 2015 respectivamente. La determinación numérica de ambos
modelos se realizó a través de su correspondiente transformación lineal y cuadrática,
conduciendo a valores de correlación y chi cuadrada significativos al 95% de confianza
estadística.
Palabras clave: Ingreso per cápita, crecimiento de población, modelo logístico.
170
Presión sanguínea (mmHg)
El análisis de regresión es una técnica
estadística para modelar la relación entre
variables. Son numerosas las aplicaciones de
la regresión, y las hay en cualquier campo,
ingeniería, ciencias físicas y químicas,
economía, administración, ciencias biológicas
y de la vida y en ciencias sociales
(Montgomery, 2002). En la figura 1 se ilustran
los datos del peso (lb) de personas del sexo
masculino con la misma edad y su
correspondiente tensión arterial (mmHg).
160
150
140
130
120
140
160
180
200
Peso personas (lb)
220
240
Figura 1.- Gráfica del peso de personas (lb) del
sexo masculino con la misma edad y su tensión
arterial (mmHg).
1
Ejemplar 15. Julio-diciembre de 2016
ISSN 2007-1957
En la figura 2 aparece el tiempo de entrega
(min) por parte de una persona de un cierto
número de productos.
30
y
1  C1 e  k t
2
Una modificación del modelo anterior, es:
y
25
Cantidad de cajas (No.)
y
1 e
y
a22 t  a1 t  a0
3
20
Datos econométricos de la República
Mexicana
15
10
5
0
0
20
40
60
Tiempo de entrega (min)
80
Figura 2.- Gráfica del tiempo de entrega (min) por
parte de una persona de un cierto número de
productos.
En el presente documento se ajustó el
modelo logístico de base exponencial (2), a los
datos del ingreso per cápita de los mexicanos,
en dólares americanos, durante el periodo de
1845 a 2015, ilustrados en la figura siguiente:
En la figura 3 se muestra la relación entre
el porcentaje de pulpa de madera (%) de un
producto y la resistencia a la tensión (psi).
Resistencia a la tensión (psi)
60
50
40
30
20
10
0
0
3
6
9
Pulpa de madera (%)
12
15
Figura 3.- Gráfica del porcentaje de pulpa de
madera y la resistencia a la tensión (psi).
En todos los casos anteriores es posible
ajustar una curva que nos indique la tendencia
de dicha relación.
En el presente estudio, se relacionó una
variable independiente y una respuesta
mediante la expresión logística [Larson,
2014]:

dy
y 

 k y  1 

dt
y
 

1
Al resolverla usando fracciones parciales, y
reduciendo conduce a:
Figura 4.- Datos del ingreso per cápita (dólares
americanos) de los mexicanos durante el periodo
de 1845 a 2015.
Como se observa en la figura anterior, los
datos evolucionan en forma sigmoidal, es
decir, una primera fase aproximadamente
constante, seguido de fase de crecimiento
notable en un pequeño intervalo de tiempo y,
finalmente una asíntota al final del mismo. Por
lo anterior, el modelo logístico de base
exponencial representó una buena opción.
La tabla 1 contiene los datos numéricos
codificados de la figura que da pie a éste
documento, es decir:
t codificada fecha 1845 .
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Ejemplar 15. Julio-diciembre de 2016
ISSN 2007-1957
Tabla 1.- Datos del ingreso per
cápita en dólares americanos de
los mexicanos durante el periodo
de 1845 al año 2015.
t codificada
(fecha 1845)
y
(dólares USA)
0
65
75
85
95
105
115
125
135
145
155
165
170
56.00
101.9
186.7
132.9
77.70
189.0
342.0
683.0
3520.0
3070.0
6650.0
8860.0
9010.0
Figura 5.- Transformación lineal del modelo
logístico base exponencial usando los datos de la
tabla 1.
De los valores de la pendiente y de la
intersección al eje de la correspondiente
transformación lineal (5), se obtiene:
k  0.0662, C  6658.170
Sustituyendo los valores numéricos (4) y
(7) en el modelo exponencial (2), se tiene la
ecuación numérico-funcional siguiente:
Para realizar el ajuste numérico del modelo
logístico de base exponencial (2) a los datos de
la tabla anterior, es necesario determinar
previamente el valor numérico de la asíntota
máxima mediante progresión geométrica, en
este caso:
y  9012.0
7
y dólares 
9012.0
1  6658.17033e 0.0662  t  1845 
8
La figura 6 muestra la bondad de ajuste
numérico del modelo logístico arriba señalado.
4
Ahora, a través de algebra se obtiene la
transformación lineal del modelo logístico (2),
esto es:
y

LN    1   LN C  k t
y


5
Al aplicar regresión lineal a la columna t
versus columna de transformación lineal de la
expresión (5), usando los datos de la tabla 1, se
obtiene:
y *   0.0662 t  8.8036
6
En la figura 5 ilustrada, aparece la
transformación lineal del modelo logístico,
significativa al 90% de confianza estadística.
Figura 6.- Bondad de ajuste numérico del modelo
logístico base exponencial, sobre los datos del
ingreso per cápita de los mexicanos del periodo de
1845 a 2015.
De acuerdo con los valores del coeficiente
de correlación y chi cuadrada (9), la bondad de
ajuste no es significativa.
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Ejemplar 15. Julio-diciembre de 2016
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r  0.43581, R 2  0.189932, χ 2  62287.048
9
logístico de base cuadrática sobre los datos en
estudio.
Con la intención de incrementar el nivel de
ajuste numérico del modelo anterior, se
procedió a determinar el modelo logístico
modificado, con base cuadrática como se
indica en la expresión (3) del documento. La
asíntota máxima ya fue determinada en (4).
Con ello, es posible la transformación
cuadrática [Islas, 2013] del modelo logístico
modificado, como indica la expresión:
y

LN    1   a22 t  a1 t  a0
 y

10
Entonces, aplicando mínimos cuadrados
[Wackerly, 2013] a la expresión anterior
usando los datos que da origen al documento,
conduce a:
y *   0.0008 t 2  0.0722 t  4.2273
11
En la figura 7, aparece la gráfica
correspondiente a la transformación cuadrática
del modelo logístico, significativa al 95% de
confianza estadística.
Figura 8- Bondad de ajuste del modelo logístico
de base cuadrática a datos del ingreso per cápita
de los mexicanos durante el periodo de 1845 a
2015.
De acuerdo con los valores del coeficiente
de correlación y chi cuadrada, señalados a
continuación, la bondad de ajuste es
significativa al 99% de confianza estadística.
r  0.847337, R 2  0.717979, χ 2 7484.625
13
Por otra parte, en el presente se estudió
también el crecimiento de la población
humana en la República Mexicana, durante el
periodo comprendido de 1810 a 2015; mismo
que se ilustró en la figura siguiente.
Figura 7.- Transformación cuadrática del modelo
logístico usando los datos de la tabla 1.
Sustituyendo los valores numéricos (4) y
(11) en el modelo logístico (3), se obtiene la
ecuación numérico-funcional siguiente:
y
9012.0
1 e
 0.0008  t  1845  2  0.0722  t  1845  4.2273
Figura 9.- Crecimiento de la población humana en
la República Mexicana correspondiente al periodo
de 1810 a 2015.
12
En la figura siguiente se ilustra la excelente
bondad de ajuste numérico del modelo
Los datos de la dinámica de crecimiento
anterior, aparecen codificados en la tabla 2,
donde:
4
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t codificada fecha 1810
crecimiento de la población correspondiente al
periodo indicado.
Tabla 2.- Datos de crecimiento
de la población en la República
Mexicana (1810-2015).
t codificada
(t  1810)
y
(millones hab.)
0
10
100
111
160
180
190
200
205
6.1
6.2
15.2
14.3
48.2
81.2
97.5
112.3
119.5
Figura 10.- Bondad de ajuste numérico del modelo
logístico base exponencial a datos de crecimiento
poblacional de la República Mexicana del periodo
de 1810 a 2015.
A los datos de la tabla de arriba, se ajustó
el modelo logístico de base exponencial (2),
previa determinación de la asíntota máxima a
través de progresión geométrica:
14
y  119.6
Posteriormente, se aplicó regresión lineal a
la columna t versus columna de
transformación lineal indicada en la expresión
(5), usando los datos de la tabla 2, por ello:
y *   0.0333 t  4.06
16


119.6
1  57.9743 e 0.0333  t  1810 
17 
18
Para incrementar la bondad de ajuste
numérico del modelo (17) se usó el modelo
logístico modificado (3). La asíntota máxima
está definida en (14). Ahora, aplicando
mínimos cuadrados a la transformación
cuadrática (10) usando los datos de la tabla 2,
conduce a:
y *   0.0003 t 2  0.0359 t  2.6159
Sustituyendo los valores numéricos (14) y
(15) en el modelo logístico de base
exponencial (2), se tiene la ecuación
numérico-funcional siguiente:
y 10 6 hab. 
r  0.864545,R 2  0.7475438,χ 2 76.8615
15
De los valores de la pendiente y de la
intersección al eje de la relación (5), se
obtiene:
k  0.0333, C  57.9743
La bondad de ajuste numérico anterior es
significativo al 90% de confianza estadística,
de acuerdo al coeficiente de correlación y chi
cuadrada.
19
Sustituyendo los valores numéricos (14) y
(19) en el modelo logístico de base cuadrática
(3), se obtiene la ecuación numéricofuncional:


y 10 6 hab. 
119.6
1 e
0.003 t  1810  2  0.036  t  1810  2.616
2 0
Finalmente, en la última figura se ilustra la
bondad de ajuste numérico del modelo
logístico de base cuadrática sobre los datos de
crecimiento de la población en la República
Mexicana en el periodo señalado.
En la figura 10 se ilustró la bondad de ajuste
numérico del modelo (17) usando los datos de
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Ejemplar 15. Julio-diciembre de 2016
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1810 a 2015, resultó significativo al 99% de
confianza estadística. El modelo señalado fue
resuelto a través de su transformación
cuadrática.
Referencias
Figura 11.- Bondad de ajuste numérico del modelo
logístico base cuadrática a datos de crecimiento
poblacional de la República Mexicana del periodo
de 1810 a 2015.
La bondad de ajuste es significativa al 99%
de confianza estadística, de acuerdo al
coeficiente de correlación y chi cuadrada.
r  0.99053, R 2  0.981145, χ 2  37.3929
21
Conclusiones
El ajuste numérico del modelo logístico de
base cuadrática a datos del ingreso per cápita e
incremento del número de habitantes en la
República Mexicana, durante el periodo de
Montgomery, D. C. et al., (2002), Introducción al
análisis de regresión lineal, Primera edición en
español, CECSA, p. 1.
Larson, R. & Edwards, B. (2014). Cálculo, tomo I,
CENGAGE Learning, Décima Edición, p. 419.
Islas, A. M., et al. (2013). Análisis entre regresión
no lineal y técnicas de transformación lineal en una
parábola, Tecnología humanística, ESIQIE IPN.
Wackerly, D. C. et al. (2013), Estadística
matemática con aplicaciones, Séptima Edición,
Cengage Learning.
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