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10/18/2016
Interferencia
Intensidad luminosa.
• Veremos más adelante que
• Para una onda plana
la energía es proporcional al
monocromática

cuadrado de la amplitud de
  A cosk  r  t  
 
 
una onda.
 Acos k  r cos t  senk  r sent 
• En el óptico (350-700 nm)
evaluamos el promedio
las frecuencias de oscilación T
 T
1
A2 
2
son grandes (~1014 Hz).
 dt  cos 2 k  r  cos 2 tdt 

T 
0
• No hay detector que pueda T 0
seguir estas frecuencias.
 T
2
2
 sen k  r  sen tdt 
• La intensidad en un
0
detector es proporcional al
 
 T

promedio temporal

sen
k

r
cos
k  r  sent cos tdt 
T
1
2
0

I    dt
T 0
A2

2
Evaluamos los promedios*.
• Coseno cuadrado
T
T
1
1
2
 cos tdt   1  cos 2t dt
T
2T
0
1

2T
0
T


 T  sen 2t   1

 2
2

0 

• Seno cuadrado
T
T
1
1
2
 sen tdt   1  cos 2t dt
T
2T
0
1

2T
0
T


 T  sen 2t   1

 2
2

0 

• Producto
T
1
1 sen 2t
sent cos tdt 
0
T 0
T 2 0
T
*Recordar que =2p/T
1
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Habíamos visto
• Dos fuentes luminosas
monocromáticas de la
misma frecuencia.
• Punto P de observación
a distancias x1 y x2 de
las fuentes.
 1  A1 coskx1  t 
 2  A2 coskx2  t 
   1  2
 A1 coskx1  t   A2 coskx2  t 
• La intensidad en el
punto P es proporcional
al promedio temporal
del cuadrado de esta
función:
T
I
• La superposición es

1
T
1
2
 dt 
T 0
T
 A coskx
1
1
 t   A2 coskx2  t  dt
2
0
Cuentas
• Calculamos el promedio temporal (Recordar que I =
A2/2)
T
I
T
1
A2 A2 2 A A
2
 dt  1  2  1 2  coskx1  t  coskx2  t dt
T 0
2
2
T 0
 I1  I 2 
2 A1 A2
T
T
 cos kx cos t  senkx sent 
1
1
0
 cos kx2 cos t  senkx2sent dt
 cos kx1 cos kx2 senkx1senkx2 
 I1  I 2  2 A1 A2 


2
2

 I1  I 2  2 I1 I 2 cos k ( x2  x1 )
• Cuando las dos intensidades son iguales
I  2 I 0 1  cos k ( x2  x1 )  4 I 0 cos 2
k ( x2  x1 )
2
Interferencia
• La intensidad en el punto P
tiene el término de
interferencia
2 I1 I 2 cos k ( x2  x1 )
– Interferencia constructiva:
cos k ( x2  x1 )  1
x2  x1  m
– Interferencia destructiva:
cos k ( x2  x1 )  1
1

x2  x1   m  
2

2
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Interferencia: división del frente de ondas.
• Experimento de Young:
doble rendija.
• Para obtener dos fuentes
puntuales coherentes de
luz se colocan dos
ranuras en el frente de
ondas de una fuente
puntual.
• Se observa el patrón de
interferencia después de
las dos ranuras.
Análisis
s1 y s2 fuentes de ondas esféricas.
La superposición es:
P
s1
a
y
q
s2
L
La diferencia r2-r1 se puede escribir como
y
r2  r1  asenq  a
L
A1
A
coskr1  t   2 coskr2  t 
r1
r2
En una pantalla lejana nos fijamos
en la intensidad en el punto P.
Suponemos misma amplitud A y
en los denominadores hacemos
r1~r2~r, resultando una expresión
conocida:
A
coskr1  t   coskr2  t 
r
4 A2
I  2 cos 2 k r2  r1 
r
Interferencia
L
Constructiva y  a m
Destructiva
y
L
1
 m  
a
2
DIVISIÓN DE AMPLITUD
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Tratamiento de Stokes
t’tA
A
rA
r2A
rA
tA
trA
tA
r’tA
• Comportamiento de amplitudes
en reflexión y refracción:
reversibilidad.
• Directo: A es la amplitud
incidente, rA la amplitud
reflejada y tA la amplitud
refractada.
• Invirtiendo flechas:
– Arriba incide amplitud rA que se
refleja r2A y se refracta trA.
– Abajo incide tA que se refleja r’tA
y se refracta t’tA.
• Proceso directo y con flechas
invertidas deben dar el mismo
resultado, por consiguiente:
r 2  tt '  1
Proceso directo (izquierda) y el que se
obtiene al revertir las flechas y aplicar la
óptica (derecha).
rt  r ' t  0  r  r '
Interferencia por división de amplitud.
• Primer ejemplo:
interferómetro de
Michelson.
– Fuente extendida de luz
incide sobre un espejo
semi-plateado que refleja
el 50% y transmite el 50%.
– Los dos haces se reflejan
en espejos y se
recombinan hacia el
detector.
• ¿Qué se observa en el
detector?
Análisis
q
P1
d
P2
2d
D
E1
E2
F1
Diagrama para el análisis del interferómetro
de Michelson. E1 y E2 son los espejos
separados una distancia d y que producen las
imágenes F1 y F2 de la fuente extendida de
luz.
F2
• P1 y P2 son las
imágenes de un punto
en la fuente extendida.
Estan separadas una
distancia 2d.
• Al ángulo q la
diferencia en caminos
ópticos es 2dcosq.
• Además hay un cambio
de fase en una de las
reflexiones. Por tanto
hay interferencia
constructiva cuando
1

2d cos q   m  
2

y destructiva cuando
2d cos q  m
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Patrón de interferencia
• Se obtiene un patrón de
interferencia de franjas
claras y oscuras.
• Al cambiar la separación
relativa:
– El número de franjas crece
al crecer la separación.
– El número de franjas
disminuye con la
separación.
– Si d=0 sólo aparece la
franja oscura.
¿Qué pasa si los espejos no son paralelos?
Se forman dos imágenes localizadas de
cada punto de la fuente.
Si el ángulo entre las dos superficies no
es muy grande la expresión para la
diferencia en caminos ópticos es la
misma que en el caso anterior, pero
ahora la separación 2d cambia al
cambiar el punto entre las superficies.
Se observa un conjunto de franjas
localizadas. Hay interferencia
constructiva cuando 2d=(m+1/2) y
destructiva cuando 2d=m.
Si se ilumina con luz blanca las bandas
aparecen coloreadas (mancha de
aceite sobre asfalto).
Una superficie plana y una esférica.
Ocurre algo similar con una
superficie esférica y una superficie
plana.
En este caso el punto de contacto
(d=0) es oscuro (¿por qué?) y se
forman anillos claros y oscuros
(anillos de Newton).
Calculamos la separación entre las
superficies:
Ecuación de la superficie de
radio R
x2  y  R  R2
2
2d 
x 2  m  1 / 2  constructiva

R m
destructiva
Despejamos y(=d) y suponemos
2
2

R>>y
 x   x
y  R 1  1     
 R   2 R

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INTERFERENCIA EN PELÍCULA
DELGADA
Caras planas paralelas
Haz incidente
sobre la película de
índice de
refracción n2
limitada por dos
superficies
paralelas
separadas una
distancia d y
rodeada de un
medio de índice n1
n1
n2
n1
Diferencia en fase entre haces consecutivos
• Diferencia en camino óptico
entre el primer y el segundo rayo
reflejados:
n1
qi
  n2 ( AB  BC )  n1 AD
D
qi
A
d
 n1 AD
cos q t
• Por otra parte
AD  ACsenqi  2d tanqt senqi
y empleando Snell
qt
d
 2n2
C
n2
B
Diferencia en fase:
  k0  
2p
0
 1
sen 2q t
  2n2 d 

 cos q t cos q t
 2n2 d cos q t



2n2 d cos q t
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Amplitudes de haces consecutivos
A
rA
3
r´ttÁ
2
r´ tA
5
r´ tt´A
4
r´ tt´A
6
r´ tA
r´ tA
tA
r´tA
tt´A
3
r´ tA
2
r´ tt´A
5
r´ tA
4
r´ tt´A
• Empleamos coeficientes de
Stokes para relacionar
amplitudes:
–
–
–
–
r reflexión en n1
r´ reflexión en n2
t refracción de n1 a n2
t´ refracción de n2 a n1
• Además recordemos que
se satisfacen las
relaciones: r 2  tt´ 1
r´ r
Suma de fasores (reflexión)
• Tomamos las
• Escribimos la amplitud
contribuciones de cada haz
resultante como la suma
en reflexión:
Ar  rA  r ' tt ' Aei  r '3 tt ' Ae 2i  r '5 tt ' e3i 
A1  rA
 rA1  tt ' ei 1  r 2 ei  r 4 e 2i  
A2  r´tt´ A exp i
donde hemos utilizado la
A3  r´3 tt´ A exp i 2
segunda relación de Stokes
r’=-r.
A4  r´5 tt´ A exp i3
• La suma es la serie

geométrica del término
• A partir del segundo
x  r 2 exp(i )
término sólo aparecen
potencias impares de r´=-r
resultando la amplitud:

tt ' ei 
Ar  rA1 

1

r 2 e i 

Amplitud final (reflexión)
• Recordemos que esto es
válido siempre y cuando
r2<1.
• Usamos la relación tt´=1-r2
para escribir la amplitud
 (1  r 2 ) exp(i ) 
Ar  rA1 
1  r 2 exp(i ) 

1  r 2 exp i  (1  r 2 ) exp(i ) 
 rA

1  r 2 exp(i )


r (1  exp(i ))
A
1  r 2 exp(i )
• La intensidad que se
observa al ángulo de
reflexión es proporcional al
módulo al cuadrado de esta
amplitud
Ar Ar*
2
A2 r 2 (1  e i )(1  e i )

2 (1  r 2 e i )(1  r 2 e i )
Ir 
 I0
2r 2 (1  cos  )
1  r 4  2r 2 cos 
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Intensidad final (reflexión)
• Por último empleamos
la identidad
trigonométrica
Ir  I0
cos   1  2sen 2  / 2
 I0
para obtener la intensidad
reflejada
2r 2 1  1  2sen 2  / 2 
Ir  I0
(1  r 4 )  2r 2 1  2sen 2  / 2



4r 2sen 2  / 2
 I0
4
1  r  2r 2  4r 2sen 2  / 2
2r /(1  r ) sen  / 2
1  2r /(1  r ) sen  / 2
2
2
2
2
2
2
Fsen 2  / 2
1  Fsen 2  / 2
• Donde
 2r 
F 
2
1  r 

2
Amplitud final (transmisión)
• Tomamos ahora las
contribuciones de cada haz
en transmisión:
A1  Att´
• La amplitud resultante es
la suma

At  Att´ r 2 m exp(im )
m 0
A2  r´2 tt´ A exp i
• La serie geométrica se
suma igual, resultando
A3  r´4 tt´ A exp i 2

 
• Aquí sólo aparecen
potencias pares de r´=-r
Att '
1  r 2 exp(i )
A
1 r 2
1  r 2 exp(i )
Intensidad transmitida
• Calculamos el módulo al para obtener la intensidad
cuadrado de esta
transmitida
expresión
1  r 2 2
It  I0
 I0
1  r 
1  r exp i 1  r
1  r 
It  I0
2 2
2
2

expi 
2 2
1  r 4  2r 2 cos 
• Finalmente usamos
cos   1  2sen 2  / 2
1  r 4  2r 2 [1  2sen 2 ( / 2)]
1
 I0
1  [2r /(1  r 2 )]2 sen 2 ( / 2)
• Es muy importante
señalar que la suma
I r  It  I0
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La función de Airy
Llamamos el coeficiente
de fineza al término
0.8
2
A()
 2r 
F 
2
1  r 
1.0
0.1
0.2
0.4
0.8
0.9
0.99
0.6
0.4
con lo que las intensidades
reflejada y transmitida
resultan
I t  I 0 A( )
0.0
1.0
0.8
1-A()
I r  I 0 1  A( ) 
0.2
0.6
0.4
La función de Airy es
1
A( ) 
1  Fsen 2  / 2
0.2
0.0
-6
-4
-2
0
2
4
6

Fabry-Perot
Máximos de trasmisión.
• Si la fineza F >>1 la
función de Airy tiene
picos muy definidos.
• El máximo se alcanza
cuando (m entero).
 
sen m   0;
 2 
 m  2mp
• Se puede relacionar
este valor de la fase con
el valor de frecuencia
de la luz:
m 
m 
2p
0
2n2 d cos q t 
2p m
2n2 d cos q t
c
c
m
2n2 d cos q t
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Anchura de pico
• Para r no muy pequeña (r>0.71)
podemos calcular la anchura media
del pico 1/2 (valor de  en el que la
función vale la mitad del máximo).
• Pedimos
 
1  Fsen 2  1/ 2   2
 2 
• Resolvemos
2
1 r 2
 1 


r
F
 F
• En términos de la frecuencia:
1 r 2 
c


 1/ 2 
4pnd cos q  r 
1/ 2  2sen -1 
Resolución de frecuencias.
• Si tenemos dos frecuencias (1 y 2) ¿cómo nos damos cuenta que son
realmente dos?
• Poder de resolución: frecuencias separadas de manera que el máximo de una
queda en 1/2 de la otra.
Poder de resolución
Se define el poder de resolución como el
cociente entre la frecuencia a la que se
tiene el máximo entre el valor al que se
alcanza la mitad de la altura:


R m 
2 1/ 2 

cm
 
 2n2 d cos q t
 2pn2 d cos q t

c


F

 mp F
En términos de la longitud de onda.
Diferenciamos la relación c=
resultando
0  d c   d    d d

R





10
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Ejemplo
• Fabry-Perot con espejos
separados 1 cm y fineza • Qué significa la fineza:
2
de 36. Longitud de onda
4R
 2r 
F 

central de 500 nm.
2
2
1  r  1  R 
Incidencia normal.
R -> reflectividad de los
1. Calculamos m
espejos. En el ejemplo
m  2nd /   (2 102 ) /(500 10 9 )
F=36 -> R=0.718
4
 4 10
•
Si F=400 (R=0.905) se
2. Obtenemos el poder de
tendría un poder de
resolución
resolución de 8 p x 105.
m
5
 mp F  2.4 10 p
 1/ 2
Interferómetro Fabry-Perot
Barrido de frecuencias.
Variable: .
• Cambiar d (distancia
de separación).
Emplear material
piezoeléctrico. Muy
sensible a cambios de
temperatura.
• Cambiar n2. Si es aire,
por ejemplo, hacer el
barrido en
frecuencias en
función de la presión
del aire entre los
espejos.
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Ejemplo extremo
• La cavidad que emplean en
el laboratorio CQED en Paris
tiene un poder de
resolución de 109.
• ¿Cuál es la reflectividad de
los espejos si están a 27
mm y la frecuencia
resonante es de 50 GHz?
Calculamos la longitud de onda:  = c/n = 3x108/5x1010 = 6x10-3 m.
Calculamos el orden m = 2nd/ = 54/6 = 9.
El poder de resolución es / = mp√F = 9p√F. Por tanto F = 1.25x1015.
La reflectividad debe ser R = 0.99999994
Interferómetro de Mach-Zender
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