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DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES
OBJETIVOS:

Establecer las propiedades de las desigualdades.

Resolver inecuaciones lineales con una incógnita.

Resolver gráficamente sistemas de inecuaciones lineales 2x2.

Utilizar la solución de inecuaciones lineales para resolver problemas de optimización.
INTRODUCCION:
En este taller trabajaremos las desigualdades en el sistema de los números reales y su
representación gráfica por medio de intervalos sobre la recta real, resolveremos
inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales gráficamente y la aplicaremos en la
interpretación y solución de problemas de programación lineal.
DESARROLLO:
Si a, b Є R, una y sólo una de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a=b

a<b
ó
a>b
Si a una desigualdad se le suma o resta una misma cantidad positiva, el sentido de la
desigualdad no cambia.
a > b
±c = ±c
a±c > b±c

Si a una desigualdad se le multiplica o divide por una misma cantidad positiva no nula,
es sentido de la desigualdad no cambia.
a > b

a > b
.c = .c
÷c = ÷c
a.c > b.c
a÷c > b÷c
Si una desigualdad se multiplica o divide por una misma cantidad negativa, el sentido
de la desigualdad cambia.
a > b
a > b
. (-c) = . (-c)
÷ (-c) = ÷ (-c)

–ac < –bc
a
c
 
b
c
Una desigualdad lineal en la variable x es una desigualdad que puede escribirse en la
siguiente forma
a.x + b < 0 o bien a.x + b ≤ 0,
en donde a y b son constantes y a ≠ 0.
Resolver una inecuación lineal dada significa encontrar todos los valores para los cuales la
desigualdad se verifica. Esto implica utilizar las propiedades enunciadas anteriormente.
Ejemplo:
Resolver cada una de las siguientes inecuaciones y representar la respuesta en forma
geométrica en la recta real:
a) 4x – 13 ≤ 7
Solución: El objetivo del ejercicio es tratar de que la variable x quede sola en el lado
izquierdo, por lo que se van aplicando las propiedades necesarias para tal fin, remplazando
la desigualdad dada por otra equivalente. Se comienza eliminando primero los sumandos y
luego los factores, así:
4x – 13 + 13 ≤ 7 + 13 →
4x ≤ 20
→
4 x 20

4
4
→
x≤5
Todas las desigualdades son equivalentes. De modo que, la desigualdad original es cierta
para todos los números reales menores o iguales a 5. Geométricamente, se representa en
una recta real mediante un trazo más grueso. El corchete indica que 5 está incluido en la
solución.
5
]
b) 3(2 – 3x) > 3 – 2(x – 1)
Solución: Se destruyen paréntesis y luego se aplican las propiedades de las desigualdades
estudiadas.
6 – 9x > 3 – 2x + 2
→
6 – 9x – 6 > 5 – 2x – 6
–9x + 2x > –1 – 2x + 2x
→
–7x > –1
→
→
–9x > –1 – 2x
 7x 1

7 7
obteniéndose x < 1/7.
)
1/7
El paréntesis indica que 1/7 no está incluido en la solución.
Una desigualdad lineal en las variables x e y es una desigualdad que puede escribirse de
la siguiente forma:
ax + by + c < 0 ( o bien ≤ 0, ≥ 0 , > 0),
en donde a, b y c son constantes y a y b no son ceros.
En términos geométricos, la solución de una inecuación lineal en dos variables consiste
en todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad. En particular, la
gráfica de la recta y = mx + b divide al plano en tres partes distintas:
y
y = mx + b
1. la misma recta, que consiste en todos
los puntos del plano que satisfacen
y = mx + b
y > mx + b
y < mx + b
2. La región que se encuentra por
encima de la recta, y que contiene
x
todos los puntos que satisfacen
y > mx + b
3. La región que se encuentra por debajo de la recta, y que contiene todos los puntos del
plano que satisfacen y < mx + b
La expresión y ≤ mx + b indica que la región incluye la línea recta.
Para graficar una inecuación lineal con dos incógnitas siga los siguientes pasos:
1. Convierta la inecuación lineal con dos incógnitas en una ecuación como se indica a
continuación:
ax + by + c ≤ 0
a
ax + by + c = 0
2. Grafique la ecuación lineal aplicando el método de los interceptos:
C
C
y b
a
A
B
3. Se remplaza las coordenadas del punto P(0,0) en la inecuación y se observa si el
resultado cumple con la desigualdad; si es así, el conjunto de puntos del plano que
satisface la inecuación incluye el punto (0,0), si no, el conjunto solución se
encuentra al otro lado de la recta.
Ej. Si P(0,0) entonces a(0) + b(0) ≤ 0,
por lo que se cumple la
desigualdad y el punto (0,0) se encuentra dentro de la solución, como se puede ver
en la siguiente gráfica:
y
x
P (0,0)
4. Las restricciones x ≥ 0, y ≥ 0 se les denomina “condiciones de no negatividad” e
indican que la región solución está en el primer cuadrante.
5. La solución de un sistema de inecuaciones o desigualdades consiste en todos los
puntos cuyas coordenadas satisfacen simultáneamente todas las desigualdades
dadas. A la región solución se le denomina “región factible”. Si se puede abarcar
una región factible con un círculo, se le denomina “región factible acotada”; si no,
es “no acotada”. En el primer caso, la función tiene un valor máximo o mínimo y
se puede encontrar este valor en un vértice.
6. La función que se desea maximizar o minimizar se le llama “función objetivo”. El
punto de la región factible que dé el valor máximo o mínimo de la función objetivo
se le llama “solución óptima”.
Ejemplo:
Hallar la solución gráfica del siguiente sistema de inecuaciones lineales:
2x – 3y ≥ – 12
3x + y ≤ 6
x≥0
y ≥0
Solución: Siguiendo los pasos recomendados, primero se convierten las desigualdades en
igualdades y se grafican; luego se toma el punto (0, 0) como prueba para determinar la
región que satisface la desigualdad dada; y por último, se busca la solución factible,
hallando el punto de corte de las dos rectas mediante la solución del sistema de ecuaciones
2x2 que forman, para así determinar todos los vértices de la región solución:
y
2x – 3y = – 12
3x + y = 6
2x – 3y = –12
6
4
-6
x 0
y 4
–6
0
3x + y = 6
0
2
x
x
y
0
6
2
0
El punto P (0, 0) satisface la inecuación 2x + 3y ≥ –12; en efecto, 2(0) + 3(0) = 0 + 0 = 0 ≥
–12, entonces, se raya desde la recta correspondiente hacia (0, 0). Así mismo,
P (0, 0)
satisface la inecuación 3x + y ≤ 6, o sea, 3(0) + 0 = 0 + 0 = 0 ≤ 6 y se raya la región que
contiene a (0, 0).
Las condiciones x ≥ 0, y ≥ 0 indican que la región solución está en el primer cuadrante, el
cual es el cuadrilátero que se muestra en la figura. De este cuadrilátero se conocen tres
puntos: (0, 0), (0, 4) y (2, 0), como falta el punto de corte de las dos rectas, debemos
resolver el sistema de ecuaciones que ellas forman.
2 x  3 y  12

 3x  y  6
→
2 x  3 y  12

 9 x  3 y  18
11x
 6

donde, x = 6/11 e y = 48/11,
 6 48 
entonces, el cuarto punto es  ,  . Obsérvese que la región factible es acotada.
 11 11 
Problemas de aplicación:
a) Se elaboran dos productos A y B en una fábrica que posee dos departamentos de
producción. En el producto A se invierten dos horas en el Dpto. 1 y dos horas en el
Dpto. 2. En el producto B se invierten 3 horas en el Dpto. 1 y una hora en el Dpto. 2.
La capacidad horaria semanal del Dpto. 1 es de 30 horas y el del Dpto. 2 es de 20 horas.
Calcúlese gráficamente la producción óptima de A y B. R. (7.5, 5)
Solución: Los datos del problema se pueden resumir en la siguiente tabla
Dpto. 1
Dpto. 2
A
2 horas
2 horas
B
3 horas
1 hora
Horas/sem.
30 horas
20 horas
Sean: x el número de productos A a elaborar e y el número de productos B a elaborar.
Entonces, en el Dpto. 1 se necesitarían 2x horas para elaborar x productos de A y 3y horas
para la elaboración de y productos de B, pero como la capacidad horaria semanal del Dpto.
1 es de 30 horas, se obtiene la siguiente desigualdad: 2x + 3y ≤ 30
Igual razonamiento se hace con el Dpto. 2 y se obtiene la inecuación: 2x + y ≤ 20
Como el número de productos de A y B a fabricar no puede ser negativo, se tiene que:
≥ 0, y ≥ 0 e indica que la solución se encuentra en el primer cuadrante
x
Resumiendo, se obtiene el siguiente sistema de inecuaciones lineales:
2x + 3y ≤ 30
2x + y ≤ 20
x≥0
y ≥0
Y se procede a resolverlo.
y
2x + 3y = 30
x 0 15
y 10 0
20
2x + y = 20
10
2x + y = 20
2x + 3y = 30
15
0
x
x 0 10
y 20 0
10
La solución óptima es el punto de corte de las dos rectas, el cual se obtiene resolviendo el
sistema:
2x + 3y = 30
2x + y = 20
2 x  3 y  30
 2 x  y  20
de donde, y = 5 y x = 7.5
2 y  10
Por lo tanto, se deben elaborar 7.5 productos de A y 5 de B.
b) Una empresa productora de alimentos fabrica dos productos, A y B. La capacidad de
producción diaria total de la empresa es de 8 toneladas, y hay pedidos constantes de dos
toneladas de cada uno por día, los cuales deben satisfacerse. Cada tonelada de A
necesita 10 horas máquina para su fabricación, mientras que cada tonelada de B
necesita 30 horas máquina, pero el máximo disponible es de 180 horas máquina por día.
Si las utilidades respectivas por tonelada son de 40 mil pesos para A y 60 mil pesos
para B, hallar ¿cuánto de cada uno deberá producirse para obtener una utilidad máxima?
R. Deben producirse 3 del producto A y 5 del producto B.
Solución: Tabulando la información, se obtiene la siguiente tabla:
A
2 ton.
10 horas
40000
Pedidos
Horas máq./ ton.
Utilidades/ton.
B
2 ton.
30 horas
60000
Total
8 ton.
180 horas
Sean: x el número de toneladas del producto A a fabricar e y el número de toneladas del
producto B a fabricar. Como la capacidad de producción diaria total es de 8 toneladas,
entonces, x + y ≤ 8. Además, el tiempo máximo disponible de las máquinas es de 180
horas, por lo que, 10x + 30y ≤ 180.
Hay pedidos constantes de 2 toneladas de cada uno por día, por lo tanto, x ≥ 2, y ≥ 2
La utilidad U está dada por la función de utilidad U = 40000x + 60000y.
Resumiendo, se desea maximizar la función objetivo U = 40000x + 60000y sujeta a
las restricciones
x+y≤8
10x + 30y ≤ 180
x ≥2
y ≥2
Resolviendo gráfica y analíticamente,
y
x+y=8
x 0 0
y 8 8
x+y=8
x + 3y = 18
10x + 30y = 180
x 0 18
y 6 0
y=2
x
0
x=2
La solución óptima será:
x+y= 8
x + 3y = 18
 x  y  8
x  3 y  18
de donde, y = 5 y x = 3
2 y  10
La utilidad máxima será: U = 40000(3) + 60000(5) = 120000 + 300000 = 420000 pesos.
Por lo tanto, deben producirse 3 toneladas del producto A y 5 toneladas del producto B para
obtener la máxima utilidad de $ 420000