Matematicas – Andalucia 2016 – Ejercicios Resueltos
PROFESORES SECUNDARIA. MATEMÁTICAS ANDALUCÍA 2016.
EJERCICIO 1: Resolver las siguientes cuestiones de divisibilidad:
a) En una batalla en la que participaron entre 10.000 y 11.000 soldados, resultaron
35
23
muertos
y heridos
del total respectivamente. Hallar cuántos soldados resultaron
165
143
ilesos.
b) Hallar el número N = 2m 5n sabiendo que la suma de sus divisores es 961.
SOLUCION:
Apartado a): Sea n
Como el m,c.m.{165=3.5.11 ; 143=11.13}=3.5.11.13= 2145
El número de soldados que resultaron ilesos es:
,
Teniendo en cuenta que “n” es un número natural, y que 1321 y 2145 son primos entre
sí, entonces esto implica que n es un múltiplo de 2145, y como 10000<n<11000 se
deduce que n=21455=10725
Por lo que resultaron ilesos 13215= 6605 soldados.
Apartado b): Se construye una tabla con todos los divisores de N = 2m 5n, y marginalmente
la sumas de las filas y/o columnas respectivas.
1
2
22
….
2m
5
2.5
22.5
…
2m.5
52
2.52
22.52
…
2m.52
…
…
…
…
…
5n
2.5n
22.5n
…
2m.5n
B=1+5+…+5n
2.B
22 .B
…
2n .B
A=1+2+…+2m
5.A
52 .A
…
5n .A
S =A.B
Como la suma de k términos consecutivos de una progresión geométrica es:
A y B son las sumas de progresiones geométricas m y n término consecutivos de razón 2 y 5
respectivamente, luego:
,
Y la suma de los divisores de N es:
,
de donde:
Teniendo en cuenta que (
) es un número impar tenemos las tres posibilidades
siguientes:
1)
2)
3)
Luego el número buscado es 400
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PROBLEMA 2.- Hallar a y b para que el polinomio:
una de sus raíces sea una raíz n-ésima de la unidad.
SOLUCIÓN: Sean
y
las dos raíces del polinomio, si
entonces será de la forma:
es una raíz n-ésima de la unidad
,
Y como a y b son números enteros y por tanto reales la otra raíz deberá ser la conjugada de esta
y por tanto:
Por las fórmulas de Cardano-Vieta:
Y como a es entero y:
Solución:
.
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EJERCICIO 3.- Dado un pentágono regular, al dibujar todas sus diagonales se obtiene otro
pentágono regular. Obtener la razón del área de este último con respecto al primero.
SOLUCIÓN: Consideremos un pentágono regular de lado “a”, (sin pérdida de generalidad
podríamos considerar el pentágono de lado unidad) ABCDE. Dibujemos sus 5 diagonales de
longitud “d” que se cortan formando un pentágono de lado “b”. Y dibujemos también la
circunferencia circunscrita al pentágono original.
Los arcos que determinan los vértices del pentágono en la circunferencia son todos iguales a
360/5=72º
El ángulo <BAG = <BAD también es inscrito y por tanto mide (72×2)/2 = 72º
El ángulo <BGA es interior y por tanto mide (72+72)/2 = 72º
Por lo que el triángulo ABG es isósceles y el lado BG = AB = a
El ángulo <ABF = <ABE es inscrito en la circunferencia y por tanto mide 72/2=36º Los
triángulos ABE y ABF son isósceles y como los ángulos iguales miden lo mismo para los dos
triángulos
eso
implica
que
los
triángulos
son
semejantes,
de
donde:
.
Como:
La razón entre los lados de los dos pentágonos es:
es:
.
y por tanto la razón entre las áreas
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EJERCICIO 4.- Dos enemigos A y B van a participar en un duelo de pistola. Cada uno tiene
una sola bala en la recámara. Si el que dispara primero acierta, su oponente muere en el acto,
y no es capaz de devolver el disparo. A es "rápido en sacar" y tiene una probabilidad de 0,6 de
disparar primero. Sin embargo, no tiene buena puntería, y la probabilidad de matar a su
oponente una vez ha disparado es 0,4, mientras que B tiene una probabilidad de 0,5 de matar
a su oponente cuando dispare. Calcular:
a) Probabilidad de que ambos sobrevivan.
b) Probabilidad de que A sobreviva.
c) Probabilidad de que A haya sacado primero, dado que ha sobrevivido.
d) Probabilidad de que el hombre que saque primero sobreviva.
SOLUCIÓN: Vamos a nombrar los siguientes sucesos, y de acuerdo con el enunciado y
teniendo en cuenta que cada pareja constituyen dos sucesos elementales opuestos, sus
probabilidades son:
DA= “Dispara A en primer lugar”,
p(DA) = 0,6
DB= “Dispara B en primer lugar”,
P(DB) = 0,4
MB= “Muere B tras el primer disparo efectuado”,
p(MB| DA) = 0,4
VB= “Sobrevive B al primer disparo y efectúa el segundo disparo”, p(VB | DA) = 0,6
MA= “Muere A tras el primer disparo efectuado”,
p(MA | DB) = 0,5
VA= “Sobrevive A al primer disparo y efectúa el segundo disparo”, p(VA | DB) = 0,5
AM= “Muere A a consecuencia del segundo disparo”,
p(AM | (DA∩VB))= 0,5
AV= “Sobrevive A al segundo disparo”,
p(AV | (DA∩VB) = 0,5
BM= “Muere B a consecuencia del segundo disparo”,
p(BM | (DB∩VA)) = 0,4
BV= “Sobrevive B al segundo disparo”,
p(BV | (DB∩VA)) = 0,6
De donde se obtienen las probabilidades para los sucesos compuestos siguientes:
p(DA, MB) = 0,6×0,4 = 0,24.
p(DA,VB, AM) = 0,6×0,6×0,5 = 0,18.
p(DB, MA)=0,4×0,5= 0,20.
p(DB, VA, BM)=0,4×0,5×0,4=0,08.
p(DA, VB) = 0,6×0,6 = 0,36
p(DA,VB, AV) = 0,6×0,6×0,5=0,18
p(DB, VA)=0,4×0,5= 0,20
p(DB, VA, BV)=0,4×0,5×0,6=0,12
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Apartado a) Notamos con: A = “suceso de que al final del duelo A sobreviva”
B = “suceso de que al final del duelo B sobreviva”
Probabilidad de que ambos sobrevivan = p(A∩B) =
= p[(DA,VB,AV) ∪ (DB,VA,BV)] = 0,18+0,12 = 0,30.
Apartado b)
Probabilidad de que A sobreviva = p(A) =
= p[(DA,MB) ∪ (DA,VB, AV) ∪ (DB,VA)] = 0,24 + 0,18 + 0,20 = 0,62
Apartado c)
Probabilidad de que A haya sacado primero, dado que ha sobrevivido =
Apartado d)
Probabilidad de que el hombre que saque primero sobreviva =
=
= 1 - (0,18 + 0,08) = 0,74
En donde hemos notado con:
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EJERCICIO 5.- Discutir y resolver el siguiente sistema cuando sea posible.
SOLUCIÓN: Restando sucesivamente: a la cuarta ecuación la tercera, a la tercera la segunda y a
la segunda la primera; se obtiene el siguiente sistema escalonado, equivalente al dado:
Los valores de λ especialmente a estudiar son los que anulan a los coeficientes de las incógnitas
principales del sistema, incógnitas elegidas en el escalonamiento (de abajo a arriba: t, y, x, z).
I) Si λ= -1 el sistema es
que es un sistema incompatible
la segunda y la tercera ecuación son incompatibles entre ellas.
II) Si λ= 1 el sistema es
que es un sistema compatible indeterminado.
Solución=
III) Si λ=2 el sistema es
sustituyendo queda
que es por tanto un sistema incompatible.
IV) Si
, como los coeficientes de las incógnitas principales no se anulan, el sistema
es compatible y determinado.
Solución =
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PROBLEMA 6: Dada la función
calcular
a) Monotonía
b) Derivabilidad en 1 y -1
c) Dibujar la gráfica
d) Hallar el área comprendida entre f(x) y el eje de abscisas..
SOLUCIÓN: Vamos hacer un estudio completo de la función que recoja los tres primeros
apartados.
La función es continua en ℝ por ser el producto de dos funciones potenciales con exponente
positivo y cuyas bases son las compuestas de funciones afines con la función valor absoluto por
lo que son siempre positivas.
La gráfica de la función corta al eje de ordenadas en el punto (0,1) y al de abscisas en los puntos
(-1,0) y (1,0), en los demás puntos la gráfica está por encima del eje de abscisas.
La gráfica no tiene asíntotas (ni horizontales, ni verticales, ni oblicuas) las ramas son
parabólicas:
Desglosando la función tenemos:
La función derivada es:
1)
y como:
⇒La función es derivable en x=-1, f’(-1)=0
2)
tangente a la gráfica de y=f(x) en x=1 es vertical.
3) Si x∈(-∞,-1) ⇒f’(x)<0 ⇒la función es decreciente.
4) Si x∈(-1,1/2) ⇒f’(x) >0 ⇒la función es creciente.
5) Si x∈(1/2,1) ⇒f’(x)<0 ⇒la función es decreciente.
6) Si x∈(1,+∞) ⇒f’(x) >0 ⇒la función es creciente.
La función no es derivable en x=1. La
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La función posee un mínimo relativo y absoluto en x=-1 y en x=1. f(-1)=f(1)=0, en -1 la
tangente es horizontal y en 1 es vertical; y posee un máximo relativo con tangente horizontal en
x=1/2,
.
La segunda derivada es:
La función derivada segunda no está definida para x∈{-1,1} y se anula para
y para
donde tiene puntos de inflexión
i) Si
ii) Si
⇒ f’’(x)>0 ⇒la gráfica de y = f(x) es convexa.
⇒ f’’(x)<0 ⇒la gráfica de y = f(x) es cóncava.
iii) En x = -1 y en x = 1 no está definida la segunda derivada.
b) El área solicitada es:
A=
Haciendo:
queda
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