1. Healthcare

Existen 3 casos de cocientes notables:
Caso 1
Este caso se produce cuando n es un número par o impar.
es más que un par de numeros relativos
Caso 2
Este caso se produce cuando n es un número impar.
Caso 3
Este caso se produce cuando n es un número impar.
Nota: Cuando arriba es más (+) y abajo es menos (-), no se genera un cociente notable
ya que la definición de cocientes notables es que son cociente
3.9. FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es
igual a la expresión propuesta.
La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación,
pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras
que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que
multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.
Factorización
   

24  2  2  2  3
24  2  3  4
24  4  6
24  8  3
24  12  2
  

Multiplicación
Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores.
Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos,
escribiremos 3  5  15 . En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide
que lo factoricemos; entonces tendremos 15  3  5
Al factorizar el número 20, tendremos 20  4  5 o 20  10  2 .
Advierte que 20  4  5 y 20  10  2 no están factorizados por completo. Contienen
factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11,
etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la
primera factorización 4  2  2 , de modo que 20  2  2  5 mientras que la
segunda factorización 10  2  5 , de modo que 20  2  5  2 , en cualquier caso la
factorización completa para 20 es 2  2  5 .
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir
factorizarlo por completo. Además se supone que los factores numéricos son números
20 
1
 80
4
.
primos. De esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas
expresiones algebraicas.
Factor común.
Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si
podemos descubrir un patrón.
4 x  4 y  4x  y 
5a  10b  5a  2b 
2 x 2  6 x  2 xx  3
3a 2  6ab  3aa  2b 
Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: ab  c  ab  ac
. Cuando factorizamos ab  ac  ab  c .
Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a
todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente
n
factorizada es seleccionar el máximo factor común, ax . Aquí tenemos como hacerlo:
n
Máximo factor común (MFC).- El término ax , es el MFC de un polinomio sí:
1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y
2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.
De
este
modo

para
6 x 3  18x 2  3x 2 x 2  6 x

factorizar
6 x 3  18 x 2 ,
podríamos
escribir
Pero no está factorizado por completo por que 2 x  6 x puede factorizarse aún más.
Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los
2
3
2
2
2
términos es x . De esta manera la factorización completa es 6 x  18 x  6 x x  3 .
2
Donde 6x es el MFC.
EJEMPLO:
8 x  24  8  x  8  3
 8 x  3
Factorizar
EJEMPLO:
 6 y  12  6  y  6  2
 6 y  2 
Factorizar
EJEMPLO:
10 x 2 25 x 3  5 x 2 2  5 x 2  5 x
 5 x 2  5 x 
2
Factorizar
EJEMPLO:
6 x 3 12 x 2  18 x  6 x x 2 6 x  2 x  6 x  3


 6x x 2  2x  3
Factorizar
EJEMPLO:
10 x 6 15 x 5  20 x 4  30 x 2  5x 2  2 x 4 5x 2  3x 3  5 x 2  4 x 2  5x 2  6

 5x 2 2 x 4 3x 3  4 x 2  6
Factorizar

EJEMPLO:
2 x 3 4 x 4  8 x 5  2 x 3  1  2 x 3  2 x  2 x 3  4 x 2

 2x 3 1  2x 3  4x 2
Factorizar

EJEMPLO:
3 2 1
5 1
1
1
x  x    3x 2   x   5
4
4
4 4
4
4
1
 3x 2  x  5
4
Factorizar
3.9.2. Diferencia de cuadrados.


Aquí tenemos un producto notable
 A  B A  B  A2  B 2
podemos utilizar esta
relación para factorizar una diferencia de cuadrados. A  B   A  B  A  B 
2
2
EJEMPLO:
x 2  4  x 2  22
 x  2x  2
Factorizar
EJEMPLO:
2
Factorizar 4 x  25  2 x   5  2 x  52 x  5
2
2
EJEMPLO:

8 4
4 2
Factorizar 9a b  49  3a b
  7  3a b
2
2
4
2

 7 3a 4 b 2  7

Trinomios con término de segundo grado.
Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un
trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.
x  32  x 2  6 x  9
 x  3 2  x 2  6 x  9
2
2
Los trinomios x  6 x  9, x  6 x  9 , son trinomios cuadrados porque son
cuadrados de un binomio.
Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.
2
2
A. Dos de los términos deben de ser cuadrados A y B
2
2
B. No debe haber signo de menos en A o en B
C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término
2AB o su inverso aditivo -2AB.
¿Es x  6 x  11 un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un
término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número.
2
Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:
A 2  2 AB  B 2  ( A  B) 2
A 2  2 AB  B 2  ( A  B) 2
Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible.
Suma y diferencia de cubos.
Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación,
las siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de dos cubos.

  A  B A
A3  B 3   A  B  A 2  AB  B 2
A3  B 3
2
 AB  B 2


EJEMPLO:
Factorizar y  27 , observemos primero que se puede escribir en otra forma: y  3
Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de
factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:
3
3

y 3  27  y 3  33   y  3 y 2  3 y  9
EJEMPLO:

3
3
2
Factorizar 8 x  27  2 x   3  2 x  3 4 x  6 x  9
3
EJEMPLO:

3



3
2
Factorizar t  1  t  1 t  t  1
Por Agrupación.
Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con
3
2
cuatro términos. Consideremos x  x  2 x  2 . No hay ningún factor diferente de 1.
3
2
Sin embargo podemos factorizar a x  x y 2x  2 por separado:
x 3  x 2  x 2 x  1
2x  2  2x  1
Por lo tanto x  x  2 x  2  x x  1  2x  1 . Podemos utilizar la propiedad
distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1
3
2
2

x 2 x  1  2x  1  x  1  2  x 2

Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las
expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método.
EJEMPLO:


6 x 3  9 x 2  4 x  6  6 x 3  9 x 2  4 x  6 
 3 x 2 2 x  3  22 x  3

 2 x  3 3 x 2  2

EJEMPLO:
Factorizar


x 3  x 2  x  1  x 3  x 2  x  1
 x  x  1  1x  1
2


  x  1 x 2  1
EJEMPLO:
Factorizar


x 3  2 x 2  x  2  x 3  2 x 2   x  2
 x 2 x  2  1 x  2
 x 2 x  2  1x  2


 x  2 x 2  1
 x  2x  1x  1
EJEMPLO:
Factorizar

 
 x  a y  b
x 2 y 2  ay 2  ab  bx 2  y 2 x 2  a  b x 2  a
2
2
