1. Ciencia

METODOS NUMERICOS 3006907
TALLER 6, SEMESTRE 02–2014
Tema: Interpolaci´on Polinomial
Se recomienda realizar los ejercicios propuestos en el texto gu´ıa, en particular los siguientes:
Secci´on 3.1: 1–10, 17–19, 22; secci´on 3.3: 1, 2, 7, 8, 10, 11.
1. Demuestre que el polinomio que interpola los siguientes datos es de grado 3
−2
1
x
f (x)
−1
4
0
11
1
16
2
13
3
−4
2. Los datos siguientes son tomados de un polinomio de grado ≤ 5. Cu´al es el grado del polinomio?
x
p(x)
-2
-5
-1
1
0
1
1
1
2
7
3
25
3. Determine el valor de α
−2
−1
x
f (x)
−1
3
1
2
α
1
−1
1
−1
3
23
si se sabe que P3 (0) = 1.
4. Sea P3 (x) el polinomio interpolante de la tabla
xj
yj
− 32
b
0
−1
Determine b sabiendo que el coeficiente de x3 en P3 (x) es
11
.
6
5. La tabla de diferencias divididas para el polinomio interpolante de una funci´on f (x) definida en [0, 0.7] est´a dada por
x0 = 0
x1 = 0.4
x2 = 0.7
f [x0 ]
f [x1 ]
f [x2 ] = 6
f [x0 , x1 ]
f [x1 , x2 ] = 10
f [x0 , x1 , x2 ] =
50
7
Encuentre f [x0 ] , f [x1 ] y f [x0 , x1 ].
6. Complete la siguiente tabla de diferencias divididas obtenida a partir de los valores de una funci´on f en los nodos
−2, −1, 0, 1 y 2:
xk
x0 = −2
x1 = −1
x2 = 0
x3 = 1
x4 = 2
f [xk ]
f [x0 ]
−1
f [x2 ]
1
5
f [xk−1 , xk ]
f [xk−2 , xk−1 , xk ]
f [xk−3 , xk−2 , xk−1 , xk ]
f [xk−4 , xk−3 , xk−2 , xk−1 , xk ]
−2
0
2
4
1
f [x1 , x2 , x3 ]
1
f [x0 x1 , x2 , x3 ]
f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
f [x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ]
Utilice esta tabla para construir polinomios interpolantes para f (x) en:
a. x = −1, 0, 1.
b. x = −1, 0, 1, 2.
7. Considere la funci´on f (x) =
c. x = −1, 0, 1, 2, 3.
x3 + sen (x)
y los nodos x0 = −3.5, x1 = −2.8, x2 = −1.1, x3 = 2.4, x4 = 5.1. Encontrar:
ex + 15
(a) El polinomio interpolante para f usando todos los nodos.
(b) El valor de f [−2.8, −1.1, 2.4].
8. Considere la funci´on f (x) =
d. x = 0, 1.
(c) El valor aproximado de f (7.8).
(d) El error relativo cometido al aproximar f (7.8) por
medio del polinomio interpolante hallado en a.
cos (x)
y los nodos x0 = −3.8, x1 = −1.8, x2 = 1.1, x3 = 2.4, x4 = 5.1. Encontrar:
ln (ex + 15)
(c) El valor aproximado de f (−7.6).
(a) El polinomio interpolante para f usando todos los nodos.
(d) El error relativo cometido al aproximar f (−7.6) por
medio del polinomio interpolante hallado en a.
(b) El valor de f [1.1, 2.4, 5.1].
9. Considere la nube de puntos dada en la siguiente tabla:
−3
12
x
f (x)
−2.8
1.3
−2
14
−0.8
1.8
2.1
5
3.5
−2.3
4.8
−6.3
Calcular:
(a) La diferencia dividida f [2.1, 3.5, 4.8].
(b) El coeficiente de L3 (x) que acompa˜na a x4 .
(c) El n´umero de raices que tiene el polinomio interpolante
en [−3, 4.8].
10. Considere los siguientes datos
t
y (t)
−4
−3700
−3
−500
(a) El polinomio que interpola estos datos.
2.3
1000
3.5
−1800
3.75
2800
(b) El valor aproximado de y (1.87).
(c) El coeficiente polin´omico de Lagrange L2 (x).
Halle:
11. Se llevan a cabo unos experimentos y se determinan los valores de capacidad calor´ıfica a diferentes temperaturas para un
metal
Temperatura, T
−50
−20
10
70
100
120
Capacidad, C 0.125 0.128 0.034 0.144 0.15 0.155
Utilice todos los puntos para hallar el polinomio interpolante que permite aproximar la capacidad calor´ıfica para cualquier
temperatura.
xi
yi
0
1
1
2
2
1
3
2
4
1
5
2
Para el polinomio interpolante p(x) de los datos en la tabla
determine p(5) (x). (Aqu´ı p(5) (x) representa la 5-´esima
derivada de p(x).)
xi
yi
0
1
1
0
2
0
3
0
4
2
5
0
Para el polinomio interpolante q(x) de los datos en la tabla,
determine las ra´ıces de la ecuaci´on q(x) = 0, diferentes de lo
obvios (es decir, diferentes de 1, 2, 3 y 5).
12.
13.
´ - MATLAB
PROGRAMACION
14. Considere la funci´on f (x) = 10
ln(x2 +3)
x2
sen (5x) para x ∈ [1, 8].
(a) Aproximar la funci´on por medio de polinomios interpolantes P2 (x) , P3 (x) , P4 (x) y P5 (x) empleando nodos equidistantes.
(b) Graficar f (x) vs Pi (x) para i = 2, ..., 5.
(c) Graficar errores, es decir, E (x) = | f (x) − Pi (x)| para i = 2, ..., 5. ¿Cu´al produce menor error? ¿Qu´e puede concluir?
(d) Ahora, aproxime la funci´on f (x) para x ∈ [1, 8] por medio del polinomio interpolante P10 (x) empleando nodos equidistantes. Graficar el error. ¿Qu´e puede concluir?
Sugerencia: Para graficar errores genere un vector xx=linspace(1,8,1000) y grafique con plot el valor absoluto de
f (xx) − Pi (xx) . Para evaluar polinomios se utiliza la instrucci´on polyval.
2
15. Realizar un proceso similar al propuesto en el ejercicio anterior para f (x) = 8e−x + sen (3x) para x ∈ [−10, 10].
16. En la siguiente tabla se muestran temperaturas que fueron medidas cada hora, durante un lapso total de 5 horas, en Sevilla,
Espa˜na, un d´ıa 20 de Octubre
Hora
13 14 15 16 17 18
Grados (Celsius) 18 18 17 16 15 14
(a) Construir un polinomio interpolante correspondiente a los valores de la tabla que permita interpolar y extrapolar las
temperaturas en las diferentes horas del d´ıa.
(b) Aproximar la temperatura cuando eran las 8:00 a.m. y la temperatura que se espera a las 7:00 p.m.
(c) ¿La temperatura sigue decreciendo a lo largo del d´ıa?
2
´
METODO
DE CHEBYSHEV
17. a. Calcular los primeros polinomios de Chebyshev Tk (x) para k = 2, 3, 4, 5.
b. Hallar los ceros de los primeros polinomios de Chebyshev Tk (x) para k = 2, 3, 4, 5.
c. Hallar los nodos de Chebyshev necesarios para interpolar una funci´on f por medio de polinomios de grado 2, 3, 4, 5 en
el intervalo [−2, 9].
18. a. Hallar polinomios interpolantes de segundo y tercer grado para las siguientes funciones en [−1, 1], empleando los nodos
de Chebyshev.
f (x) = ex ,
g(x) = ln (x + 2),
h(x) = sen(x),
k(x) = x4 .
b. Encuentre las cotas para el error m´aximo de las aproximaciones de la parte a. en el intervalo [−1, 1].
19. a. Hallar polinomios interpolantes de tercer y cuarto grado para las siguientes funciones empleando los nodos de Chebyshev:
f (x) =
1
x
x ∈ [1, 3],
h(x) = e−x
x ∈ [−5, 2],
g(x) = x ln(x)
x ∈ [1, 5],
k(x) = sin(x)
π π
x∈ − ,
2 2
b. Encuentre las cotas para el error m´aximo de las aproximaciones de la parte a.
20. Para cada una de las siguientes funciones:
x3 + sen (x)
ex + 15
cos (x)
g (x) =
ln (ex + 15)
f (x) =
ln x2 + 3
sen (5x)
x2
2
k (x) = 8e−x + sen (3x)
15
q (x) = −
5 + 3x4
h (x) = 10
x ∈ [−10, 3],
z = −2.6
x ∈ [−1, 9],
z = 2.9
x ∈ [−5, 4],
z = −1.8
x ∈ [−3, 3],
z = 1.78
x ∈ [−5, 5],
z = 1.5
(a) Hallar el polinomio interpolante P5 (x) para f empleando nodos igualmente espaciados.
(b) Hallar el polinomio interpolante P5 (x) para f empleando nodos de Chebyshev.
(c) Hallar el valor aproximado de f (z).
(d) Hallar el error relativo cometido al aproximar la funci´on por medio del polinomio interpolante en z.
(e) Graficar f (x) vs P5 (x) y f (x) vs P5 (x).
(f) Graficar errores, es decir, E (x) = | f (x) − P5 (x)| y E (x) = f (x) − P5 (x) .
(g) Hallar cotas de error sobre la discretizaci´on x = linspace(a, b, 5000).
3