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Elementos de la parábola.
Vamos a obtener analíticamente los elementos más característicos de la parábola que resulta de
2
representar una función cuadrática del tipo y = ax + bx + c
Obtención general del vértice y del eje de la parábola
En el apartado anterior vimos que las funciones cuadráticas
2
del tipo y = ax + bx, verifican que la primera coordenada del
vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos
0 y - b/a, es decir:
Y
5
4
p=−
3
V(p,h)
b
2a
2
p
1
V(p,0)
X
0
2
-
1
-
0
1
2
3
4
2
2
La gráfica de la función y = ax + bx + c es la misma gráfica que la de y = ax + bx trasladada
verticalmente c unidades.
Por tanto, la primera coordenada del vértice es x = −
La ecuación del eje de simetría es x = −
b
.
2a
b
2a
Ejemplos
Calcular el vértice y el eje de simetría de las siguientes funciones
2
1) f(x) = x - 4 x + 3
xv = −
b
(−4)
2
=−
= 2 ⇒ yv = f(2) = 2 - 4 · 2 + 3 = -1
2a
2
Luego el vértice será V = (2,-1) y el eje de simetría x = 2
2
2) f(x) = x + 6x + 5
xv = −
b
6
2
= − = −3 ⇒ yv = f(-3) = (-3) + 6·(-3) + 5 = -4
2a
2
Luego el vértice será V = (-3,-4) y el eje de simetría x = -3
Puntos de corte con los ejes de coordenadas
• Los puntos de corte de la parábola con el eje OX son los puntos de coordenadas (x,y) cuando y = 0.
Las coordenadas de los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0), en los que el valor de x viene
2
dado las soluciones de la ecuación ax + bx + c = 0
• El punto de corte de la parábola con el eje OY es el punto de coordenadas (x,y) cuando x = 0
2
Si x = 0 ⇒ y = a · 0 + b · 0 + c = c.
Por tanto, las coordenadas del punto su corte con el eje OY es (0,c)
Ejemplos
Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones con los ejes
a) y = - x2 + 2x + 3
4
2
-x + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.
x=
y
5
• Los puntos de corte con el eje X :(-1,0), (3,0).
3
−2 ± 4 + 12 −2 ± 4
=
= 1± 2
−2
−2
2
• El punto de corte con el eje Y : (0,3)
1
Si x = 0 ⇒ y = 3.
x
0
-2
b) y = x2 - 4x + 4
5
• Puntos de corte con el eje X:
4
-1
0
1
2
3
4
y
2
Resolviendo la ecuación x – 4x + 4 = 0, se obtiene
como única solución x = 2, que nos proporciona un solo
punto de corte con el eje X :(2,0).
• Punto de corte con el eje Y: (0,4).
3
2
1
x
0
0
1
c) y = x2 - 2x + 3
7
2
3
4
y
6
• Puntos de corte con el eje X:
5
2
Si resolvemos la ecuación x - 2x + 3 = 0 obtenemos
4
3
que
No existe solución, por tanto, no tiene cortes con el eje
X.
• Punto de corte con el eje Y: (0,3)
2
1
x
0
-2
-1
0
1
2
3
4
Gráfica de una parábola según sus elementos
Una segunda forma de representar la parábola sería:
1º.- Si a > 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia arriba y el vértice es el mínimo absoluto de la
función.
Si a< 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia abajo y el vértice es el máximo absoluto de la
función
2º.- Determinación de los puntos de corte con los ejes de coordenadas:
2
Corte eje OX: Estos puntos son las soluciones de la ecuación ax + bx + c = 0
Corte eje OY: (0,c)
3º.- Determinación del vértice:
La abscisa del vértice es el punto medio del segmento determinado por los dos puntos de corte con el
eje X. Se demuestra que el valor de la abscisa es xv = − b
2a
El valor de la ordenada del vértice se determina sustituyendo en la función la x por xv
4º. - Obtención del eje de simetría: x = xv
5º. - Obtención de algunos puntos de la parábola:
Construyendo una tabla de valores se obtiene algunos puntos por donde pasa la parábola
Ejemplos
2
1.- Representar la función y = x – 4x + 3.
•
8
x – 4x + 3 = 0 → x = 3, x = 1
2
•
El eje de simetría es x = 2, ya que pasa por el punto medio
de los dos puntos de corte con el eje OX.
•
Vértice: (2, -1)
7
6
5
4
3
o x v = 2 , ya que está sobre el eje de simetría.
2
1
2
o yv = 2 – 4·2 + 3 = -1
•
y
9
Los puntos de corte con el eje X son: (1,0) y (3, 0)
0
-2
Corte con el eje Y: (0, 3)
-1-1 0
1
2
3
4
5
6
x
-2
2
2.- Representar la función y = - x + 2x – 3.
•
Los puntos de corte con el eje X : No tiene
−2 ± 4 − 12
2
- x + 2x – 3= 0 ⇒ x =
−2
-1
0
-1
•
Corte con el eje Y: (0, -3)
-2
•
Vértice: (1, -2)
-3
xv = − b = − 2 = 1 → yv = - 12 + 2 – 3 = -2
2a
−2
-4
-5
•
El eje de simetría es x = 1
•
Otro punto de la parábola es (2, -3):
-6
Para x = 2 → y =-4 + 4 – 3= -3
y
0
-2
-7
x
1
2
3
2
3.- Representar la función y = x – 4x + 4
•
Los puntos de corte con el eje X : (2, 0)
2
10
x – 4x + 4 = 0 ⇒ x = 2
9
•
Corte con el eje Y: (0 ,4)
8
•
Vértice: (2, 0)
7
6
o xv = − b = − −4 = 2
2a
2
5
4
3
o yv = 22 – 4·2 + 4 = 0
•
•
y
2
Eje de simetría: x = 2
1
x
0
Otro punto de la parábola es (4, 4)
-1
0
1
2
3
4
5
Para x = 4 ⇒ y = 16 –16 + 4 = 4
Actividades
2
1. - Representa la siguiente parábola y = x – 3x + 2, indicando:
- Vértice
- Desplazamiento vertical
- Desplazamiento horizontal
- Coeficiente de abertura.
- Intervalo donde toma valores positivos.
2
2.- Dada la función: y = -4x – 4x – 1
a) Determina los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
b) Determina las coordenadas de su vértice.
c) Dibuja su gráfica.
3.- Dada la función y = −
x2
+2x −3 :
2
a) Dibuja la gráfica, calculando el vértice.
b) Demuestra analíticamente que la parábola no corta al eje X.
c) ¿En qué punto corta al eje Y?
4.- Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).
5.- Si una parábola pasa por los puntos A(2,-3) y B(-1,-3), ¿cuál es su eje de simetría?
6.- Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje OX sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el
eje OY sea (0,4).
7.- Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X sólo en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).
8.- Determina la ecuación de la parábola que pasa por el punto (1,3) y cuyo vértice es (-1,-5)
9.- Encontrar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos A(0,0), B(4,-4) y C(8,0).
2
2
10.- Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 3x sobre la parábola y = 3x – 9x + 4 .
2
2
11.- Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = x sobre la parábola y = x – 3x
2
2
12.- Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 2x sobre la parábola y = 2x + 3