1. No category

Control Moderno - Ing. Electrónica
Ejercicio Resuelto 2: Transformaciones
1.
Introducción
Las transformaciones nos ayudan a percibir un problema de otra forma, sin que ello implique en
absoluto una modificación en las caracterı́sticas del mismo. Si a un sistema se le aplica una transformación lineal, éste conservará todas sus cualidades, como son: los autovalores, observabilidad,
controlabilidad, etc. El cambio de base del sistema de coordenadas de referencia que implica una
transformación es equivalente a una multiplicación de matrices: x = P z , donde existe una matriz
que relaciona ambas bases entre sı́. Esta matriz P es de suma importancia ya que es la que nos
permitirá pasar de un sistema a otro para poder aprovechar las ventajas de cálculo y retornar al sistema original con los resultados finales. Veamos que sucede con un modelo de estados al aplicar una
transformación lineal x = P z, donde x es el vector de estados original y z el vector transformado.
Sea el modelo de estados
ẋ = Ax + Bu, y = Cx.
(1)
Si aplicamos la trasformación x = P z y reemplazamos en (1), obtendremos
P ż = AP z + Bu,
y = CP z.
(2)
Premultiplicando por P −1
ż = P −1 AP z + P −1 Bu,
y = CP z
(3)
y reordenando, obtendremos un nuevo modelo de estados
ż = Az z + Bz u,
y = Cz z
(4)
donde Az = P −1 AP , Bz = P −1 B y Cz = CP .
2.
Aplicaciones
Estas transformaciones son útiles para expresar el modelo original en otras variables de estados
donde ciertas caracterı́sticas propias sean más fácilmente observadas. Tal vez las más utilizadas son
aquellas que nos permiten obtener un modelo de estados en forma diagonal (matriz A diagonal),
en forma de Jordan o en forma canónica controlable.
2.1. Forma diagonal
Consideremos el siguiente sistema
ẋ =
"
−14 −4
4 −4
#
x+
"
1
1
#
u,
y=
h
1 1
i
x.
(5)
Buscamos un modelo de estados alternativo cuya matriz A sea diagonal. Si el sistema presenta
autovalores reales y distintos (es este caso) la nueva matriz Ad será1
Ad =
1
"
λ1 0
0 λ2
#
,
¿Por qué la matriz Ad tiene esta estructura, con los autovalores en la diagonal?
1
(6)
donde λ1 , λ2 son los autovalores de A.
Para obtener el modelo diagonal debemos hallar la matriz de transformación P , tal que
P
−1
AP = Ad =
"
λ1 0
0 λ2
#
.
(7)
Esta condición puede reescribirse como
AP = P
"
#
λ1 0
0 λ2
(8)
y, si consideramos P compuesta por dos vectores columna v1 y v2 , es decir, P =
entonces
"
#
i h
i λ
h
0
1
A v1 v2 = v1 v2
0 λ2
h
i
v1 v2 ,
(9)
Luego, para hallar los vectores vi debemos resolver dos sistemas de ecuaciones de la forma
Avi = λi vi ,
(10)
donde vi es el autovector asociado al autovector λi de la matriz A.
Apliquemos estas ideas al ejemplo. Primero debemos encontrar los autovalores del sistema, esto es,
debemos resolver
|λI2×2 − A| = 0,
(λ + 14)
−4
4
(λ + 4)
de donde obtenemos λ1 = −6 y λ2 = −12.
= λ2 + 18λ + 72 = 0,
Una vez hallados los autovalores, debemos plantear la ecuación (10) para hallar los autovectores
asociados a cada uno de ellos.
Para λ1 = −6, la (10) corresponde a
reemplazando A y v1 =
h
v11 v21
"
iT
−14 −4
4 −4
Av1 = −6v1 ,
#"
v11
v21
#
=
"
−6v11
−6v21
→
(
#
.
Expandiendo,
(
−14v11 − 4v21 = −6v11
4v11 − 4v21
= −6v21
v11 = −v21 /2
v21 =
v21
Adoptando, por ejemplo, v21 = 1 entonces v11 = 1/2. El vector resultante puede dividirse por su
h
√
√ iT
norma para normalizarlo, con lo cual, v1 = 2/ 5 −1/ 5 .
Para λ2 = −12, debemos resolver Av2 = −12v2 , es decir,
"
donde v2 =
h
eligiendo v22
v12 v22
−14 −4
4 −4
#"
v12
v22
#
=
"
−12v12
−12v22
#
,
iT
. El sistema de ecuaciones anterior es equivalente a v12 = −2v22 . Luego,
h
√
√ iT
= 1 y normalizando v2 = 1/ 5 −2/ 5
.
Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio Resuelto 2: Transformaciones
2
Finalmente, la matriz de transformación P resulta
"
√
√ #
2/√5
1/√5
P =
−1/ 5 −2/ 5
y el nuevo modelo de estados
ż = Ad z + Bd u,
y = Cd z,
donde
Ad = P
−1
AP =
"
−6
0
0 −12
#
,
Bd = P
−1
B=
"
2
−1
#
,
Cd = CP =
h
1/2 1
i
.
2.2. Forma de Jordan
Consideremos el siguiente modelos de estados




−1 −2
0
0




ẋ =  0 −1
0  x +  1  u,
3 −3 −5
1
y=
h
1 0 0
i
.
(11)
Al resolver la ecuación
|A − λI3×3 | = 0
(12)
obtenemos dos autovalores distintos λ1 = −5 y λ2 = −1, este último de multiplicidad 2. Cuando
A tiene autovalores reales pero no todos son distintos, no siempre tendremos los suficientes autovectores linealmente independientes para expresar la matriz A en forma diagonal. Si no tenemos
autovectores linealmente independientes la matriz de transformación P será singular. En este caso,
podemos hallar los denominados autovectores generalizados y expresar la matriz A en la forma de
Jordan, esto es


λ1 0 0


Az =  0 λ2 1  .
0 0 λ2
Observemos que Az estará formada por bloques, los bloques correspondientes a los autovalores
de multiplicidad 1 serán diagonales y los correspondientes a autovalores de multiplicidad mayor
tendrán la forma
"
#
λi 1
.
0 λi
Comencemos con el autovector asociado a λ1 = −5. Como este tiene multiplicidad 1 podemos hallar
un autovector asociado a λ1 usando (10), es decir,
(A + 5I3×3 )v1 = 0,
definiendo v1 =
h
v11 v21 v31
iT
(13)
, la (13) es equivalente a


 4v11 − 2v21
4v
21

 3v − 3v
11
21
de donde se verifica que el vector v1 =
h
0 0 1
iT
= 0,
= 0,
= 0,
(14)
es solución de (13).
Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio Resuelto 2: Transformaciones
3
El problema surge en los autovectores asociados al autovalor doble λ2 = −1. Si buscamos las
restantes columnas de P a partir de (10) sólo obtendremos vectores linealmente dependientes. Para
salvar el inconveniente reemplazamos (10) por las siguientes ecuaciones
(A − λ2 I3×3 )v2 = 0,
(15)
(A − λ2 I3×3 )v3 = v2 .
(16)
Reemplazando en (15) los valores del ejemplo considerado y v2 =




h
v12 v22 v32
iT
tenemos

0 −2
0
v12
0


 

0
0   v22  =  0  ,
 0
3 −3 −4
0
v32
(17)
que simplificando resulta en dos ecuaciones
(
−2v22 = 0,
3v12 − 3v22 − 4v32 = 0,
(18)
que son equivalente a 3v12 = 4v32 . Luego, adoptando v32 = 3 y normalizando, tenemos
v2 =
h
4/5 0 3/5
iT
.
Obtenido el vector v2 , reemplazamos en (16) y resolvemos el sistema de ecuaciones resultante

Simplificando,




0 −2
0
v13
4


 

0
0   v23  =  0  .
 0
v33
3 −3 −4
3
(
−2v23 = 4,
3v13 − 3v23 − 4v33 = 3.
(19)
(20)
Luego, esto implica que v23 = −2 y que 3v13 − 4v33 = −3. Adoptando v13 = 3 y normalizando,
h
√
√
√ iT
v2 = 3/ 22 −2/ 22 3/ 22 .
Finalmente, a partir de los tres autovectores obtenemos la matriz de transformación

√ 
0 4/5
3/√22


P = 0
0 −2/√22  .
1 3/5
3/ 22
Con esta transformación, la matriz Az tiene la forma Jordan correspondiente


−5
0
0


1 .
Az =  0 −1
0
0 −1
Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio Resuelto 2: Transformaciones
4