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Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Introducción a la Topología
Curso 2016
NOTAS TEÓRICO-PRÁCTICAS 10: COMPACIDAD II
1.
Caracterización de compacidad en espacios métricos
1.1. Espacios totalmente acotados
Un espacio métrico compacto es necesariamente acotado ya que todo cubrimiento por bolas
de radio 1 tiene un subcubrimiento nito. De lo visto en el práctico anterior (para espacios
Haudor) podemos concluir que en un espacio métrico los subconjuntos compactos son cerrados
y acotados. Además vimos una descripción completa de los compactos de Rn : los compactos
son los subconjuntos cerrados y acotados (Heine-Borel). Sin embargo este resultado no es cierto
en general.
Ejercicio 1. Sea X = {en : n ∈ N} ⊂ `2 (N), donde en es la sucesión que en el lugar n tiene
un 1 y el resto son ceros. Probar que X es cerrado, acotado, pero no compacto.
En particular la bola unidad cerrada de `2 (N) no es compacta.
Veamos a continuación una propiedad interesante que tienen los compactos.
Denición. Decimos que un espacio métrico es totalmente acotado si para todo ε > 0 se tiene
que X puede descomponerse en unión nita de conjuntos con diámetro menor que ε.
Observación. Observar que un espacio métrico X es totalmente acotado si y sólo para todo
ε > 0 el espacio puede escribirse como X = B(x1 , ε) ∪ · · · ∪ B(xn , ε). En este sentido, un
espacio métrico es totalmente acotado si para todo ε > 0 existe un conjunto nito de puntos
x1 , . . . , xn ∈ X tal que todo punto x ∈ X dista menos de ε de algún xi .
Observación. Es claro que un espacio métrico totalmente acotado, es acotado. En R, cualquier
subconjunto acotado, es totalmente acotado. Sin embargo, esto no ocurre en general.
Observación. En un espacio métrico, si un subconjunto A es acotado entonces diam(A) =
diam(A). Por lo tanto, en la descomposición de un espacio totalmente acotado podemos pedir
que los subconjuntos sean cerrados.
Ejercicio 2. Probar que si X es un espacio métrico totalmente acotado entonces es separable.
En particular, un espacio métrico compacto es separable.
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1.2. Bolzano-Weierstrass y compacidad secuencial
Denición. Decimos que un espacio X satisface la propiedad de Bolzano-Weierstrass si todo
subconjunto innito de X tiene un punto de acumulación en X .
Ejercicio 3. Probar que compacidad implica la propiedad de Bolzano-Weierstrass.
Ejemplo. El recíproco del resultado anterior no es cierto. Un ejemplo de esto es (Z, τ ), con la
topología τ generada por la base B := {(−n, n) ∩ Z : n ∈ N}. Vericar!
Denición. Un espacio X se dice secuencialmente compacto si toda sucesión tiene una subsucesión convergente.
Ejercicio 4. Probar que si X es secuencialmente compacto entonces cumple la propiedad de
Bolzano-Weierstrass.
Ejemplo. El recíproco no es cierto. Basta considerar el espacio topológico (Z, τ ) dado en el
ejemplo anterior. Vericar!
Teorema. Sea X un espacio métrico. Entonces son equivalentes:
(i) X es compacto;
(ii) X es satisface la propiedad de Bolzano-Weierstras;
(iii) X es secuencialmente compacto;
(iv) X es completo y totalmente acotado.
Ejercicio 5. Probar el teorema. Se sugiere hacerlo en el orden establecido. Para probar (iv)
implica (i) se sugiere seguir de manera análoga a la siguiente prueba del Teorema de Heine-Borel
en R.
S
Supongamos por absurdo que existe un cubrimiento abierto [a, b] ⊂ α∈I Uα , sin subcubrimiento
nito. Partiendo [a, b] en dos intervalos cerrados (por el punto medio), tenemos que alguno de los
dos intervalos no puede ser cubierto por una cantidad nita de Uα 's. Sea [a1 , b1 ] dicho intervalo.
De manera análoga construimos una sucesión de intervalos cerrados encajados que no tienen un
subcubrimiento nito. Dado que [a, b] es completo, por le teorema de encaje de Cantor tenemos
que existe un único punto c ∈ [a, b] común a todos los intervalos. Pero c pertenece a algún
abierto Uα lo cual es un absurdo dado que en algún momento los intervalos son interiores a ese
abierto, y por lo tanto son cubiertos por un abierto sólo.
Observación. Las propiedades (i), (ii) y (iii) son puramente topológicas, por consiguiente su
equivalencia sigue siendo válida para espacios topológicos metrizables.
Ejercicio 6. Usar la clasicación anterior para dar una prueba del Teorema de Tijonov para
el caso de productos numerables usando el proceso diagonal de cantor.
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1.3. Número de Lebesgue de un cubrimiento
Denición. Dado un cubrimiento de un espacio métrico X por conjuntos Cα , α ∈ I , el número
de Lebesgue del cubrimiento es el real > 0 tal que toda bola B(x, ε) en X está contenida en
al menos un Cα .
Ejercicio 7. Todo cubrimiento abierto de un espacio métrico compacto tiene un número de
Lebesgue. (Sug: considera la función distancia d(x, Uic ), denida en el Ejercicio 13, donde Ui es
un abierto del cubrimiento (nito). )
Ejercicio 8. Sea f : X → Y una función continua entre espacios métricos, donde X es
compacto. Entonces f es uniformemente continua.
2.
Espacios localmente compactos
Denición. Decimos que un espacio topológico X es localmente compacto (l.cc.) si todo x ∈ X
contiene un entorno compacto, i.e., existe K ∈ Nx tal que x ∈ int(K).
Ejemplos. Todo espacio compacto es l.cc., R es l.cc. Todo espacio discreto es l.cc. Todo sub-
conjunto abierto o cerrado de un espacio métrico l.cc. es l.cc. Sin embargo Q, `2 (N) y cualquier
bola cerrada de `2 (N) no son l.cc.
Observación. Observar que la denición no es local: en general una espacio cumple una propiedad localmente si para todo x ∈ X y todo U ∈ Nx se tiene que existe V ∈ Nx que cumple
la propiedad P y V ⊂ U .
Ejercicio 9. Probar que si X es un espacio topológico Hausdor, entonces son equivalentes:
(i) X es localmente compacto;
(ii) Para todo x ∈ X y entorno U ∈ Nx , existe V ∈ Nx tal que V es compacto y V ⊂ U .
2.1. Compacticación por un punto
Denición. Una compacticación de un espacio X es un espacio X̃ compacto junto con una
inmersión (homeomorsmo sobre su imagen) ι : X → X̃ que cumple ι(X) = X̃ .
Tomemos (X, τ ) un espacio localmente compacto, Hausdor, y no compacto. Denimos
X̃ = X ∪ {X}, para simplicar la notación renombremos el punto agregado como ∞ = {X}.
Un entorno abierto de ∞ es VK = X̃ − K donde K es un compacto de X . Llamemos N∞ a
la familia de entornos abiertos de ∞ y consideramos la toplogía τ̃ generada por τ ∪ N∞ . El
espacio (X̃, τ̃ ) es la compacticación por un punto de (X, τ ).
Ejercicio 10. Probar que (X̃, τ̃ ) es efectivamente una compacticación de (X, τ ), es decir que
es compacto y que la inclusión es una inmersión con imágen densa. ¾Que sucede si no pedimos
que X sea no compacto?
Ejercicio 11. Probar que si (X̃, τ̃ , ι1 ) y (X̂, τ̂ , ι2 ) son dos compacticaciones de (X, τ ) tal que
X̃ − X y X̂ − X tienen un punto, entonces X̃ y X̂ son homemorfos.
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Observar que el círculo S 1 es la compacticación por un punto de R. (Otra posible compacticación de R es el intervalo [1, 1] con la inmersión ι(t) = π2 arctg(t).) Análogamente, la
compacticación de C = R2 es homeomorfo a la esfera S 2 (esfera de Riemann).
3.
Ejercicios complementarios
3.1. Propiedad de intersección nita
La noción de compacidad también puede ser formulada en términos de conjuntos cerrados.
Denición. Sean X un conjunto y F ⊂ P(X) una familia de subconjuntos de X . Decimos que
F satisface la propiedad de intersección nita si para toda subfamilia nita {F1 , . . . , Fn } ⊂ F
se tiene ∩ni=1 Fi 6= ∅.
Ejercicio 12. Probar que un espacio topológico X es compacto si y sólo si para
T toda familia
de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de intersección nita se tiene
F ∈F
F 6= ∅.
3.2. Distancias a conjuntos
Ejercicio 13. Sea (X, d) un espacio métrico, y A ⊂ X .
1. Recordar que el diámetro de un conjunto se dene por diam A := sup{d(a, b) : a, b ∈ A}
(en caso de que exista). Probar que si A es compacto entonces el diam A existe, y existen
a∗ , b∗ ∈ A tal que diam A = d(a∗ , b∗ ).
2. Si x ∈ X se dene d(x, A) := ı́nf{d(x, a) : a ∈ A}. Probar que x ∈ X 7→ d(x, A) ∈ R es
continua. Estudiar en qué casos esa distancia es realizada discutiendo según A cerrado,
compacto. (Sug: en `2 (N) considere d((0)n∈N , F ) donde F = {(1 + 1/n)en : n ∈ N}.)
3.3. Dimensión innita vs dimensión nita.
Ejercicio 14. Probar que no existe n ∈ N tal que l2 (N) sea homeomorfo a Rn con la distancia
usual. Observar, por otro lado, que para todo natural n se tiene un encaje isométrico i : Rn →
l2 (N), donde la distancia en Rn es la euclídea.
Ejercicio 15.
1. Probar que [0, 1][0,1] con la topología producto no es secuencialmetne compacto, aunque si compacto.
2. Probar que [0, 1][0,1] con la topología producto no es homeomorfo a [0, 1]n para ningún
n ∈ N.
3. Probar que el espacio vectorial Fb de las funciones acotadas del [0, 1] a R con la topología
producto heredada de R[0,1] no es homeomorfo a Rn para ningún n ∈ N.
Ejercicio 16. Se dene el cubo de Hilbert H ⊂ l2 (N) dado por H = {x ∈ l2 (N) : 0 ≤ xn ≤
for all n ∈ N}. Probar que H es compacto. Probar que para todo n ∈ N se cumple que
H tiene una copia del cubo n-dimensional [0, 1]n ⊂ Rn , es decir, H contiene un subconjunto
homeomorfo al cubo n-dimensional.
1
,
n
4