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Universidad del Valle
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Departamento de Matemáticas
Matemática I-B
Profesores: Daniela Vásquez y Manuel Villegas
Mayo de 2016
Taller adicional sobre funciones
√
1. Sea f (x) = 4x2 − 3x + 1. Determine f (0), 21 , f (− 2), f (−a), −f (a), f (x + 2), f (x) + 2, 3f (b)
y f (3b).
√
2x + 3
2. Determine el dominio de la función g(x) = 2
.
x − 4x − 5
3. Sean f y g dos funciones cuyas gráficas son:
y = f(x)
y = g(x)
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
x
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
10
-10
-8
-6
-4
-2
2
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
a) Determine el dominio de g y el rango de f .
b) Calcule
c) Calcule
(f + g)(4)
(g · f )(3)
y
(g ◦ g)(−3)
y
(f ◦ g)(−5)
d ) Los valores de x en el dominio de g tales que g(x) ≤ 0
4. Dada la función


1 − 2x
f (x) = x2 − 1


−x + 5
si −4 ≤ x < −2
si −2 ≤ x ≤ 2
si x > 2
a) Determine f (−2), f ( 35 ), f (3) f (1)
b) Trace la gráfica de f
c) Determine el dominio y el rango de f .
5. Dada la función f (x) =
x
x+1
f (x + h) − f (x)
; h 6= 0
h
b) Encuentre todos los valores de x para los cuales f (x) ≥ 0.
a) Simplifique al máximo la expresión
6. Dadas las funciones f (x) =
√
3x − 1
y
g(x) =
1
1 − x2
4
6
8
10
a) Halle el dominio de f .
b) Halle el dominio de g ◦ f y determine (g ◦ f )(x) , simplificando al máximo su expresión.
c) Dado que f es inyectiva, calcule f −1 (x).
7. Sea f (x) = 2x2 − 10x − 28. Esboce la gráfica de la función indicando: Dominio, Rango, intervalos de crecimiento y decrecimiento, cortes con los ejes coordenados y el valor máximo o
mı́nimo de f , según sea el caso.
8. Un granjero tiene 600 metros de cerca con los que construirá un corral rectangular. Parte de
la cerca se usará para construir dos cercas internas de división paralelas entre sı́ y perpendiculares a uno de los lados del corral. Exprese el área del corral en función de uno de los lados
del corral y determine el dominio de dicha función. Encuentre las dimensiones del corral que
maximizan su área.
9. Unos biólogos estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una
dieta que contenı́a un 10 % de proteı́na. La proteı́na consistı́a en levadura y harina de maı́z.
Al variar el porcentaje P de levadura en la mezcla de proteı́na, el grupo de biólogos estimaron
que el peso promedio ganado (en gramos) por una rata en un periodo fue
f (P ) = −
1 2
P + 2P + 20,
50
0 ≤ P ≤ 100.
Encuentre el peso máximo ganado y dibuje la gráfica de f .
10. Durante una tormenta usted ve el rayo antes de escuchar el trueno porque la luz viaja mucho
más rápido que el sonido. La distancia entre usted y la tormenta varı́a directamente proporcional al intervalo de tiempo que transcurre entre el rayo y el trueno.
a) Suponga que el trueno de una tormenta a 5400 pies de lejanı́a tarda 5 segundos para llegar
a usted. Determine la ecuación lineal, que describe la función distancia con respecto al
tiempo.
b) Si una persona escucha el trueno tres segundos después de usted. ¿A qué distancia está la
persona de la tormenta?