Normas para la Presentación de Trabajos - Asociación Mexicana de

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DE
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PUERTO VALLARTA, JALISCO, MÉXICO, OCTUBRE 2014
AMH
INFLUENCIA DE LA DELIMITACIÓN DE REGIONES HOMOGÉNEAS EN LA ESTIMACIÓN
DE LLUVIAS MÁXIMAS DIARIAS
Escalante-Sandoval Carlos Agustín y Amores-Rovelo Leonardo
Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México. Circuito Exterior S/N, Ciudad Universitaria,
Del. Coyoacán, México D.F., México. C.P. 04510
caes@unam.mx, leonardo_amores@hotmail.com
Introducción
Para el diseño de una obra hidráulica se requiere de un caudal
asociado a cierto período de retorno. Este evento puede
obtenerse mediante el análisis de los escurrimientos máximos
anuales, o a través de un modelo lluvia-escurrimiento. Este
último, requiere a su vez de la estimación de las curvas
intensidad de lluvia-duración-periodo de retorno del sitio
analizado.
En el análisis de frecuencias de eventos hidrológicos
extremos, cuando la información existe pero no con la
longitud requerida para obtener parámetros confiables, el error
de los eventos asociados a diferentes periodos de retorno
puede ser grande e ineficiente para propósito de diseño. Un
medio para reducir este error es mediante la aplicación de
modelos de estimación conjunta donde la información del sitio
que cuenta con una longitud inadecuada de registro se asocia
con otros provenientes de estaciones vecinas. Un ejemplo de
estos modelos es la llamada técnica estaciones-año, la cual se
puede utilizar para obtener un estimador regional de la lluvia
máxima diaria (Cunnane, 1988).
Las técnicas regionales requieren que las estaciones
involucradas pertenezcan a la misma región homogénea.
Puesto que la inclusión o exclusión de información tiene un
impacto directo en la estimación de los eventos asociados a
diferentes periodos de retorno, se debe garantizar la correcta
homogeneidad de la región.
Una región homogénea se puede delimitar utilizando
características geográficas o pruebas estadísticas. En algunos
trabajos se han propuesto índices para evaluar la
incertidumbre y aplicación de estos métodos (Cunnane, 1988;
Rosbjerg, 1995; GREHYS, 1996a, 1996b; Campos, 1999; Lin
y Chen, 2003).
En este trabajo la delimitación de regiones homogéneas se
basa en la técnica de los momentos-L (Hosking y Wallis,
1997).
Materiales y métodos
Datos y Zona de Estudio
Para este estudio se utilizaron las series de lluvia máxima
diaria anual de 56 estaciones en el periodo 1900-2012 (n =
113 años), de la base de datos de la National Oceanic and
Atmospheric Administration (NOOA) ubicadas en la Costa
Oeste de Estados Unidos. Esta región está integrada por los
estados de California, Oregón y Washington, y se encuentra
localizada entre los 32° y 50° de latitud Norte y 114° y 126°
Longitud Oeste (Ilustración 1, Tabla 1).
Ilustración 1. Área de estudio y localización de las estaciones
climatológicas en la Costa Oeste de EUU.
Análisis de frecuencias
Se hace una comparación del análisis de frecuencia puntual y
regional en dos regiones homogéneas delimitadas mediante la
técnica de L-Momentos.
La estimación de la frecuencia de los eventos extremos
máximos es compleja, dado que los eventos extremos son
impredecibles y los registros de las series de observaciones
son demasiado cortos para poder extrapolar satisfactoriamente
pues la incertidumbre es alta dependiendo de la cantidad de
datos disponibles. De acuerdo con Hosking (1997), este
problema se resuelve "paliando la carencia en el tiempo con la
abundancia en el espacio".
Sin embargo cuando se tiene escaza información se obtiene
una mejor inferencia mediante un análisis de frecuencia
regional en comparación con el análisis de frecuencia puntual,
lo cual se demuestra en este trabajo.
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Tabla 1. Descripción de las estaciones climatológicas en la Costa
Oeste de EUU utilizadas en este estudio.
Código
USC00040029
USC00040693
Nombre
Latitud
(Grados)
41.2
37.9
Longitud
(Grados)
-120.9
-122.3
Elevación
(msnm)
1278.6
94.5
38.2
-119.0
2551.2
39.5
41.5
39.8
-120.7
-120.2
-123.2
1641.3
1431.0
430.7
41.8
-124.2
13.1
33.0
-116.6
1414.3
38.5
-121.8
18.3
33.7
41.5
39.5
38.5
-117.3
-120.1
-123.8
-123.2
391.7
1442.3
37.5
34.1
USC00042805
USC00043157
USC00043161
USC00043191
Ca Adin rs
Ca Berkeley
Ca Bodie ca st
historic park
Ca Bowman dam
Ca Cedarville
Ca Covelo
Ca Crescent city
nnw
Ca Cuyamaca
Ca Davis wsw Exp
Farm
Ca Elsinore
Ca Ft Bidwell
Ca Ft Bragg n
Ca Ft Ross
USC00043452
Ca Glendora fc 287b
34.1
-117.8
284.4
USC00043747
USC00043875
USC00044232
USC00044890
USC00045032
USC00045123
USC00045532
Ca Hanford s
Ca Healdsburg
Ca Independence
Ca Lemon cove
Ca Lodi
Ca Los Gatos
Ca Merced
36.3
38.6
36.8
36.4
38.1
37.2
37.3
-119.6
-122.9
-118.2
-119.0
-121.3
-122.0
-120.5
72.2
32.9
1204.0
156.4
12.2
111.3
46.6
USC00045598
Ca Middletown 4se
38.7
-122.6
340.8
38.3
-122.3
10.7
39.2
34.1
35.6
45.7
42.2
43.1
-121.0
-118.1
-120.7
-120.2
-122.7
-124.4
847.6
263.3
222.5
84.4
532.2
6.1
44.6
-123.2
68.6
44.8
45.5
42.4
-123.5
-123.1
-123.3
210.3
54.9
283.5
45.4
-122.2
228.0
45.4
-119.6
574.5
45.7
-121.5
152.4
42.2
45.2
45.5
42.7
-120.4
-123.2
-120.7
-120.5
1490.5
47.2
570.0
1328.9
45.7
-118.8
317.0
42.8
-118.9
1283.2
44.3
43.0
45.6
44.0
42.2
47.0
48.5
49.0
47.6
47.4
46.7
47.8
47.6
47.2
-120.8
-123.4
-121.2
-117.2
-123.3
-123.8
-122.6
-122.8
-122.7
-121.8
-123.0
-120.0
-124.3
-120.9
888.5
207.3
45.7
682.8
442.0
3.0
6.1
18.3
33.5
475.5
56.4
335.0
24.4
579.1
USC00040943
USC00041018
USC00041614
USC00042081
USC00042147
USC00042239
USC00042294
USC00354670
USC00355384
USC00355734
USC00356426
Ca
Napa
State
Hospital
Ca Nevada City
Ca Pasadena
Ca Paso Robles
Or Arlington
Or Ashland
Or Bandon nne
Or Corvallis State
Univ
Or Falls City ssw
Or Forest Grove
Or Grants Pass
Or
Headworks
Portland wtr
Or Heppner
Or Hood River exp
stn
Or Lakeview nnw
Or Mc Minnville
Or Moro
Or Paisley
USC00356541
Or Pendleton Dwtn
USC00046074
USC00046136
USC00046719
USC00046730
USC00350265
USC00350304
USC00350471
USC00351862
USC00352800
USC00352997
USC00353445
USC00353770
USC00353827
USC00354003
USC00356853
USC00356883
USC00357169
USC00358407
USC00358797
USC00359390
USC00450008
USC00450176
USC00450729
USC00450872
USC00451233
USC00451276
USC00451350
USC00451496
USC00451504
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Or P-Ranch South
Place
Or Prineville
Or Riddle
Or The Dalles
Or Vale
Or Williams nw
Wa Aberdeen
Wa Anacortes
Wa Blaine
Wa Bremerton
Wa Cedar Lake
Wa Centralia
Wa Chelan
Wa Clearwater
Wa Cle Elum
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Análisis puntual de frecuencias
El análisis de frecuencia es adecuado para estimar los eventos
extremos como probabilidades de ocurrencia (Chow, 1964) en
un sitio de interés. En este trabajo se emplearon diferentes
distribuciones de probabilidad (Escalante y Reyes, 2005)
como lo son: Normal, Log Normal con dos parámetros y tres
parámetros, Gamma con dos parámetros y tres parámetros,
Log Pearson tipo III, Gumbel y General de Valores Extremos.
Análisis regional de frecuencias
Para asociar los resultados obtenidos de un análisis de
frecuencia de una estación o un grupo de estaciones a un área
determinada se debe aplicar el procedimiento conocido como
análisis regional hidrológico. Este procedimiento consiste
básicamente
en definir regiones meteorológicamente
homogéneas desde un punto estadístico.
En cada región los resultados de los análisis de frecuencia de
las estaciones pueden ser promediados para representar la
frecuencia característica de toda la región (Chow, 1964). Para
determinar que un grupo de estaciones conforman una región,
las estaciones deben cumplir el criterio de homogeneidad.
En este trabajo se emplea la técnica regional de EstacionesAño (Dalrymple, 1960) que fue utilizado en principio para la
estimación regional de caudales, fundamentado en el análisis
de frecuencia con la distribución de probabilidad Gumbel. Sin
embargo, este método ha mostrado su aplicabilidad en el
proceso de regionalización de lluvias extremas (Escalante,
2005; Domínguez 2005; Campos, 2008) y el criterio ha sido
extendido para aplicarlo con otras distribuciones.
El método de Estacione-Año considera el tratamiento de una
sola serie de datos conformada por registros estandarizados de
eventos, el cual una vez que se construye se ajusta a un
conjunto de distribuciones de probabilidad. Con referencia al
tamaño de la muestra aceptable en cada muestra participante
en el análisis, se recomienda que al menos sea de 10 años
(Escalante y Reyes, 2005).
Bondad de ajuste
Para identificar la distribución de probabilidad que mejor
ajusta a la serie de datos analizada, se emplearán tanto el
criterio del Error Estándar de Ajuste (Kite, 1988) (Ec. 1),
como el coeficiente de determinación R2 (Ec. 2).
(1)
(2)
La medida de estimación regional y puntual se identifico
mediante las pruebas de bondad de ajuste BIAS (Ec. 3) y
RMSE (Ec. 4).
(3)
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Donde
es el promedio de los eventos obtenidos de las
submuestras de tamaño
que corresponde al periodo de
retorno .
es el evento poblacional para una muestra de tamaño
que corresponde al periodo de retorno
(4)
Donde
es el promedio de las varianzas de los eventos
obtenidos de las submuestras de tamaño que corresponde al
periodo de retorno .
Identificación de regiones homogéneas
La identificación de regiones homogéneas no es tan simple
debido a los errores de medición o las tendencias asociadas a
diferentes cambios artificiales o naturales. Sin embargo,
Hosking y Wallis (1997) establecen que los cambios de
tendencia, valores incorrectos y demás errores de una muestra
quedan reflejados en sus momentos lineales (Momentos-L). Es
así como definen una medida de la discordancia entre grupos a
través de comparar los momentos-L de cada estación en una
región con los del resto de estaciones y los valores medios de
dicha región. El procedimiento es como sigue:
De la región propuesta con N sitios, para cada sitio i teniendo
una longitud de registro ni y sus respectivos momentos-L,
y denotados por
a la media regional LCV, L-Asimetria y L-Curtosis, proporsionales a cada longitud
de registro de los sitios (Ec.5).
(5)
Para calcular la desviación estándar ponderada (Ec.6) de la
muestra en el sitio es como sigue
Ilustración 2. Delimitación de regiones homogéneas mediante
Momentos-L.
Con la finalidad de determinar el efecto que tiene el tamaño de
muestra y la inclusión o exclusión de información adicional
dentro del análisis de frecuencias para la estimación de
eventos de diseño en el análisis hidrológico, se consideró para
fines ilustrativos los casos de las estaciones USC00046719 y
USC00450008. Esta estación está ubicada en la región
denotada por la letra A, y que es homogénea respecto a las
otras estaciones presentadas en la Tabla 2.
(6)
Tabla 2. Grupos de estaciones utilizadas.
Grupo
Se ajusta la distribución Kappa a los parámetros regionales
despues se realiza un numero largo de
simulaciones de una región con
sitios para cada simulación
de la región se calcula V. Apartir de las simulaciones se
determina la media y la desviación estándar de las
valores de V denominados como
y
.
Para calcular la medida de heterogeneidad es como sigue
y se define a la región como heterogénea si H es lo
suficientemente grande en la literatura se sugiere
en
caso contrario se tiene una región homogénea, de acuerdo con
Hosking y Wallis (1997) una región puede ser aceptablemente
homogénea si
.
Resultados
Después de haber aplicado la metodología en la zona de
estudio se establecieron las regiones homogéneas presentadas
en la Ilustración 2.
A
B
0
0
0
0
7
7
7
7
7
7
Estación
USC00042239
USC00042805
USC00043452
USC00046719
USC00450008
USC00451233
USC00451276
USC00451350
USC00451496
USC00451504
0.012
-0.003
0.042
0.041
-0.058
-0.058
0.002
-0.024
-0.026
-0.002
-0.04
3.10
0.286
-0.73
-0.29
-0.29
1.7
-0.80
0.94
-0.65
-0.93
-1.07
0.02
-0.42
0.14
0.14
-7.91
0.17
-0.75
1.41
El análisis se llevo a cabo de la siguiente forma:
Caso a. Muestra completa
Se obtienen los eventos de diseño de diferentes periodos de
retorno para la longitud total del registro de la estación
USC00046719. Estos eventos se considerarán como los
“poblacionales” o de “referencia” para saber cuál sería el
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En la tabla 3 se muestran los resultados de este procedimiento.
El mejor ajuste se obtuvo con la distribución General de
valores extremos (GVE) y la técnica de estimación de los
momentos-L (Ilustración 3).
RMSE
impacto en la inclusión o exclusión de información
hidrológica.
Tabla 3. Eventos estimados mediante la distribución GVE a la
serie de máximos de la estación USC00046719.
Periodo de retorno (años)
2
5
10 20 50 100 500 1000
73 107 128 148 173 191 231 247
Estimación
Momentos
Máxima Verosimilitud 72 105 128 150 178 200 251
274
Momentos L
262
72 107 129 150 177 197 243
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
Periodo de retorno Tr
200.00
RMSE
250.00
200.00
n=10
Análisis regional
Regional 1 menos
Regional 1 mas
Submuestra
Ilustración 4. RMSE estimado en la estación USC00046719 de
tamaño de muestra n=10.
150.00
Maximo anual en mm
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100.00
n=15
Regional
Regional 1 menos
Regional n igual
Regional 1 mas
Submuestra
50.00
150.00
0.00
100.00
Periodo de retorno Tr
50.00
0.00
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
Periodo de retorno T (años)
100.00
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
RMSE
Ilustración 3. Ajuste de la distribución GVE a la serie de máximos
de la estación USC00046719.
Ilustración 5. RMSE estimado en la estación USC00046719 de
tamaño de muestra n=15.
Caso b. Submuestras
Se obtienen los eventos de diseño de diferentes periodos de
retorno para los subconjuntos muestrales de tamaños de 10,
15, 20 y 25 años de la estación USC00046719.
Caso c. Análisis regional
Periodo de retorno Tr
Se toman a todas las estaciones del grupo A con longitud de
registro completa y a la estación USC00046719 en diferentes
tamaños de 10, 15, 20 y 25 años aplicándole posteriormente la
técnica regional de Estaciones-Año.
Ilustración 6. RMSE estimado en la estación USC00046719 de
tamaño de muestra n=20.
n=25
una de las estaciones
análisis regional se
de muestras de la
técnica regional de
Caso e. Análisis regional más una estación
En este caso se toman todas las estaciones de la región A y se
le añade la información de una estación que pertenece a otra
región homogénea, y se consideran los diferentes tamaños de
muestras de la estación USC00046719 aplicándole la técnica
regional de Estaciones-Año.
En las Ilustraciones 4 a 7 se presenta el valor de RMSE para
los diferentes casos analizados y tamaños de muestra de la
estación USC00046719.
RMSE
Caso d. Análisis regional menos una estación
En este análisis se tomaron todas menos
del grupo A, y al igual que en el
consideraron los diferentes tamaños
estación USC00046719 aplicándole la
Estaciones-Año.
n=20
Regional
Regional 1 menos
Regional n igual
Regional 1 mas
Submuestra
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
Regional
Regional 1 menos
Regional n igual
Regional 1 mas
Submuestra
Periodo de retorno Tr
Ilustración 7. RMSE estimado en la estación USC00046719 de
tamaño de muestra n=25.
Los resultados para el caso de la estación USC00450008 se
dan en la Tabla 4 y las ilustraciones 9 a 12.
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Periodo de retorno (años)
2
5
10 20 50 100 500 1000
79 100 114 127 144 157 186 199
Estimación
Momentos
Máxima Verosimilitud 79 100 114 127 144 156 186
198
Momentos L
196
79 101 114 127 144 156 184
RMSE
Tabla 4. Eventos estimados mediante la distribución GVE a la
serie de máximos de la estación USC00450008.
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
n=20
Regional
Regional 1 menos
Regional n igual
Submuestra
Regional 1 mas
Ilustración 11. RMSE estimado en la estación USC00450008 de
tamaño de muestra n=20.
200.00
150.00
100.00
50.00
0.00
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
Periodo de retorno Tr
100.00
Ilustración 8. Ajuste de la distribución GVE a la serie de máximos
de la estación USC00450008.
RMSE
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
n=10
Regional
Regional 1 menos
Submuestra
Regional 1 mas
RMSE
Maximo anual en mm
Periodo de retorno Tr
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
n=25
Regional
Regional 1 menos
Regional n igual
Submuestra
Regional 1 mas
Periodo de retorno Tr
Ilustración 12. RMSE estimado en la estación USC00450008 de
tamaño de muestra n=25.
De los resultados obtenidos se observa que al utilizar muestras
pequeñas en la estimación eventos de grandes periodos de
retorno la incertidumbre aumenta de forma muy importante.
El realizar un análisis regional considerando el mayor número
de estaciones vecinas y que pertenezcan a la misma región
homogénea se tiende a reducir la incertidumbre de los eventos
de diferente periodo de retorno.
Se observó que a pesar de que se disminuya el número de
estaciones involucradas de la misma región homogénea los
estimadores siguen siendo mejores que los puntuales.
Periodo de retorno Tr
Ilustración 9. RMSE estimado en la estación USC00450008 de
tamaño de muestra n=10.
También se observa que la inclusión de información de
estaciones que no pertenecen a la misma región homogénea
tienden a producir estimadores similares a los que se
obtendrían si solo se hubiera considera de manera aislada la
muestra pequeña.
Conclusiones
RMSE
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
n=15
Regional
Regional 1 menos
Regional n igual
Submuestra
Regional 1 mas
Periodo de retorno Tr
Ilustración 10. RMSE estimado en la estación USC00450008 de
tamaño de muestra n=15.
Se presento un análisis para determinar la importancia del
análisis regional hidrológico en la estimación de eventos
asociados a diferentes periodos de retorno, los cuales son la
base del diseño de las obras hidráulicas.
De los resultados obtenidos en este trabajo se concluye que la
inclusión de información dentro de las técnicas regionales
reduce la incertidumbre en la estimación de los eventos
asociados a diferentes periodos de retorno, sin embargo, si la
información adicionada no pertenece a la misma región
homogénea las diferencias pudieran incrementar los costos en
construcción o el riesgo de inundación que afecta a la
población y sus bienes. Esto significa que el correcto diseño
de una obra hidráulica requiere reducir las incertidumbres en
el tamaño de muestra, la técnica de delimitación de regiones
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homogéneas, la técnica de análisis regional y la correcta
selección de la distribución de probabilidad que mejor ajusta a
la muestra regional.
Referencias
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