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Matemática II
Integración (II Parte)
Prof. Laura Murillo.
Integrales con Funciones Trigonométricas
Z
Empezaremos calculando integrales de la forma
cosm x sinn xdx en donde m o n es impar. Para
esto recuerde que (sin x)0 = cos x y (cos x)0 = − sin x.
Ejemplo:
Z
Z
3
10
cos x sin xdx = cos2 x sin10 x cos xdx
Note que se reescribió la misma expresión salvo que la potencia impar se dividió en una potencia
par más una potencia de grado 1. Tomemos u = sin x ⇔ du = d(sin x) = cos xdx, realizando la
sustitución:
Z
Z
2
10
cos x sin x cos xdx =
cos2 xu10 du, note que aún hay que sustituir una parte, esto se debe
hacer utilizando la identidad trigonométrica:cos2 x = 1 − sin2 x.
Por lo que la integral original quedarı́a:
Z
Z
Z
u13
u11
2
10
2 10
10
12
−
, retornando a la variable
cos x sin x cos xdx = (1 − u )u du =
u −u =
11
13
original:
Z
sin11 x sin13 x
cos3 x sin10 xdx =
−
+C
11
13
Ejemplo:
Z
Calcule
sin3 x cos12 xdx. Note que por el ejemplo anterior la sustitución siempre se hará en
función del término con la potencia par, entonces, sea u = cos x ⇔ (cos x)0 = − sin xdx. Además:
sin2 x = 1 − cos2 x
Entonces,
13
Z
Z
Z
u15
cos13 x cos15 x
u
3
12
12
2
12
14
sin x cos xdx = u (1−u )·−du = − u −u = −
−
=−
+
+C
13
15
13
15
1
Matemática II
Ahora analizaremos el caso en que las potencias (ambas) son pares. Para estas integrales las
1 − cos(2x)
1 + cos(2x)
identidades trigonométricas a utilizar son: sin2 x =
y cos2 x =
2
2
Ejemplo:
Z
Calcule sin4 x cos2 xdx
En este caso, sustitutendo cada razón trigonométrica con ayuda de la respectiva identidad se
obtiene:
2
Z
Z
Z
1 + cos(2x) 1 − cos(2x)
4
2
2
2
2
Calcule sin x cos xdx = cos x(sin x) dx =
dx
2
2
Expandiendo la potencia:
Z
Z
1
4
2
sin x cos xdx =
(1 + cos x)(1 − 2 cos(2x) + cos2 (2x))dx
8
Distribuyendo las multiplicaciones:
Z
Z
Z
Z
Z
1
1
4
2
2
3
sin x cos xdx =
(1−cos(2x)−cos (2x)+cos (2x))dx =
1dx− cos(2x)dx− cos2 (2x)dx+
8
8
Z
cos3 (2x))dx
Integrando cada término por aparte:
R
Z 1dx = x
sin(2x)
cos(2x)dx =
Z
Z2
x sin(4x)
1 + cos(4x)
cos2 (2x)dx =
dx = +
2
2
Z
Z
Z2
Z
1
3
2
2
cos (2x)dx =
cos (2x) · cos(2x)dx = (1 − sin (2x) cos(2x)dx =
(1 − z 2 )dz Haga z =
2
sin(2x) sin3 (2x)
sin(2x) =
−
.
2
6
Finalmente,
Z
1 x sin(4x) sin3 (2x)
4
2
sin x cos xdx =
−
−
+ C.
8 2
8
6
Integración de funciones racionales
En el caso de las funciones racionales P (x) =
2
Q(x)
, se estudiarán los siguientes tipos de integrales:
R(x)
Matemática II
Z
1.
√
du
u
= arcsin + C
a
a2 − u2
Z
du
|u|
1
√
+C
= arcsec
2
2
a
a
u a −u
Z
du
u
1
arctan
+C
=
a2 + u 2
a
a
Z
Q(x)du
en este caso se empleará la separación en fracciones parciales.
R(x)
2.
3.
4.
Separación en fracciones parciales
Ejemplo:
Realice la separación en fracciones parciales de las siguientes fracciones racionales:
1.
3x + 5
(x − 4)(x − 7)
2.
5x + 7
(x − 1)(x + 3)(x − 8)
4x + 1
3.
(x − 4)(x − 2)3
4.
5.
x3
R/
R/
A
B
+
x−4 x−7
A
B
C
+
+
x−1 x+3 x−8
A
B
C
D 3
R/
+
+
+
x − 4 x − 2 (x − 2)2 x − 2
x−3
+ 2x2 + x
4x + 1
x2 (x2 + 1)(x − 3)
R/
R/
A
B
C
+
+
x x + 1 (x + 1)2
A B
Cx + D
E
+ 2+ 2
+
x x
x +1
x−3
Calcule las integrales indefinidas de los ejemplos anteriores.
26
17
log(7 − x) −
log(4 − x) + C
3
3
1
2.
(−33 log(1 − x) + 47 log(8 − x) − 14 log(x + 3) + C
77
1 34x − 50
3.
+ 17 log(4 − x − 17 log(x − 2)) + C
8 (x − 2)2
1.
−4
+ 3 log(x) + 3 log(x + 1) + C
x+1
1
60
2
5.
177 log(x + 1) +
+ 26 log(3 − x) − 260 log(x) − 18 arctan x + C
180
x
4.
3