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Universidad de la República
Facultad de Ingenierı́a - IMERL
Geometrı́a y Álgebra Lineal 2
Primer Semestre 2016
PRÁCTICO 7: PROYECCIÓN ORTOGONAL - MÍNIMOS CUADRADOS.
1.
Proyección ortogonal
Ejercicio 1. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno, S ⊂ V un
subespacio vectorial y PS (v) la proyección ortogonal de v sobre S; es decir PS (v) es el único vector
que verifica que PS (v) ∈ S y v − PS (v) ∈ S ⊥ .
Probar que:
1. PS (s) = s ∀s ∈ S.
2. PS (v) = ~0 ∀ v ∈ S ⊥ .
P
S
3. La función PS : V → V dada por v 7→
PS (v) es una transformación lineal.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Hallar la matriz asociada de PS en una base construı́da uniendo una base de S con una de S ⊥ .
Hallar el núcleo y la imagen de PS .
Hallar valores propios y subespacios propios de PS , ¿Es PS diagonalizable?
||v||2 = ||PS (v)||2 + ||PS ⊥ (v)||2 ∀v ∈ V.
||PS (v)|| ≤ ||v||.
hv, PS (v)i = ||PS (v)||2 ∀v ∈ V.
Ejercicio 2. En cada caso, dado el producto interno, el subespacio S y el vector v, hallar PS (v).
1. En R4 con el producto interno habitual; S = (1, −1, 1, 1), (2, 1, 0, 3) y v = (1, 2, 3, 4).
2. En R4 con el producto interno habitual; S = (1, −1, 1, 1), (2, 1, 0, 3) y v = (x, y, z, t) cualquiera.
3. En R3 con el producto interno dado por
(x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 4x2 y2 + x3 y3 ,
S = (x, y, z) ∈ R3 : y − z = 0 y v = (1, −1, 0).
4. En C3 con el producto interno usual; S = {(x, y, z) ∈ C3 : x + (1 + i)y − z = 0} y v = (0, 1, i).
Ejercicio 3. En los siguientes casos consideramos los productos internos usuales.
1. Sea PS : R3 −→ R3 la proyección ortogonal sobre el plano S = (x, y, z) ∈ R3 : x−2y+z = 0 .
Hallar la matriz asociada a PS en las bases canónicas de R3 .
2. Hallar la matriz asociada en la base canónica de la proyección (en R2 ), sobre la recta y = 3x.
R1
Ejercicio 4. Consideramos en R3 [x] el producto interno dado por hp, qi = −1
p(t)q(t) dt.
1. Hallar una base ortonormal del subespacio R2 [x] ⊂ R3 [x].
2. Hallar la proyección ortogonal del polinomio p : p(t) = t3 sobre el subespacio R2 [x].
3. Sea F : R3 → R tal que
Z 1
F (a, b, c) =
(at2 + bt + c − t3 )2 dt
−1
Hallar el mı́nimo de F en
R3
(Resolverlo como un problema de proyección).
Ejercicio 5. En el espacio C[−π, π] con el producto interno
Rπ
f (t)g(t)dt:
−π
1. Aplicar el proceso de Gramm-Schmidt al conjunto {1, cos t, sin t}.
1
2
2. Sea S el subespacio de C[−π, π] generado por B. Hallar el elemento de S más próximo a la
función f (x) = x.
2.
Aproximación por mı́nimos cuadrados
Ejercicio 6. Sea A ∈ Mm×n (R).
1. Probar que Im(A)⊥ = Ker(At ); es decir, que si S es el subespacio de Rm generado por las
→
−
columnas de A, entonces S ⊥ = {X ∈ Rm : At X = 0 }.
2. Dado Y ∈ Rm y S = Im(A), probar que s = PS (Y ) si y sólo si s = AXo con Xo ∈ Rn y
(At A)Xo = At Y .
3. Dado Y ∈ Rm , concluir que el vector que minimiza ||Y − AX|| es la solución del sistema
(At A)X = At Y .


 
1 0
1


 
Ejercicio 7. Sea AX = b un sistema de ecuaciones donde A =  0 1  y b =  1 .
1 1
0
1. Resolver AX = b .
2. Encontrar la “mejor solución” X aplicando el método de mı́nimos cuadrados; es decir, hallar
X que minimice ||AX − b||.
3. Sea s = AX . Verificar que el vector “error” b − s es ortogonal a las columnas de A .
Ejercicio 8. En un experimento se midió según el tiempo una cierta magnitud y, obteniéndose los
siguientes valores
t
0
1
3
4
y
0
1
2
5
1. Graficar y contra t .
2. Aplicando el método de mı́nimos cuadrados hallar la “mejor ” recta que ajuste los datos
anteriores ( y = αt + β ). Graficar la solución.
3. Aplicando el método de mı́nimos cuadrados hallar la “mejor ” parábola que ajuste los datos
anteriores ( y = αt2 + βt + γ ). Graficar la solución.
Ejercicio 9. En un experimento con 2 materiales radiactivos se mide la lectura y de un contador
Geiger en varios tiempos t . Se puede suponer basándose en la experiencia anterior que los datos
verifican el siguiente modelo
y = αe−λt + βe−µt
donde se conocen las vidas medias de ambos materiales: λ = 1 y µ =
de cada uno de ellos: α y β.
1
2
, pero se ignoran las cantidades
t
0
Se efectúan una serie de resultados obteniéndose los siguientes valores:
1
3
Plantear las ecuaciones normales que optimizan α y β según el criterio de
y
8
.
4
1
los mı́nimos cuadrados.
3
Ejercicio 10. La tabla de valores
que se
a continuación corresponde a medidas con error de
muestra
πt
. Aplicando el
4
t
0
los parámetros A y B que mejor ajustan f (t) a los datos:
2
4
una ley y = f (t) = A sin
πt
4
+ B cos
método de mı́nimos cuadrados, calcular
y
0
.
1
2