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PROBLEMA RESUELTO 3
Un cilindro hueco largo tiene radio interior a y radio exterior b, como muestra la figura
28. Este cilindro tiene una densidad de carga por unidad de volumen dada por ρ = k r ,
donde k es una constante y r es la distancia al eje. Hallar el campo eléctrico y el
potencial en las tres regiones: a) r < a;
b) a < r < b;
c) r > b
Fig. 28
Solución
Tomamos como superficie gaussiana un cilindro concéntrico de radio r y longitud L.
v
v
como el E es radial, entonces el flujo de E a través de la superficie gaussiana es
E 2π r L y la ley de Gauss dice:
E 2π r L =
E=
carga libre dentro
ε0
, de donde
carga libre dentro
, (1)
2πLε 0 r
v v
De otro lado dV = − E·dr , es decir:
∫ dV = −∫ E dr , (2)
a) Para r < a la carga encerrada por la superficie gaussiana es cero y (1) da E = 0 .
Este resultado se introduce en (2) y obtenemos V= constante
b) Para a < r < b la carga encerrada por la superficie gaussiana es
la ecuación (1) da: E =
k
L 2π r dr y
a r
∫
r
k (r − a )
. Este resultado se introduce en (2) así:
ε 0r
∫
v(r )
v(a)
dV = − ∫
K (r − a )
dr , de donde:
ε 0r
V (r ) − V (a) = −
K
ε0
(r − a) +
Ka
ε0
ln
r
a
c) Para r > b la carga encerrada es
da: E =
∫
v(r )
v (b)
∫
b
a
K
L 2π r dr = L 2π K (b − a) y la ecuación (1)
r
K (b − a )
. Este resultado se introduce en (2) así:
ε 0r
dV = − ∫
r
b
K (b − a)
dr , de donde:
ε 0r
V (r ) − V (b) = −
K (b − a)
ε0
ln
r
b