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Universidad Veracruzana
Facultad de Física e Inteligencia Artificial
CAPTURA DE MICROPARTÍCULAS
USANDO CAMPO EVANESCENTE
FOTORREFRACTIVO
TESIS
Para obtener el grado en
LICENCIADO EN FÍSICA
Presenta:
BRAULIO MISAEL VILLEGAS MARTÍNEZ
Director de Tesis:
DR. RUBÉN RAMOS GARCÍA
Diciembre del 2012
Xalapa, Ver.
I
RESUMEN
Las pinzas ópticas se considera una técnica sorprendente que permite la captura y
manipulación de nano/micro-partículas dieléctricas utilizando solo un haz de luz, su
capacidad no invasiva la ha convertido en un instrumento muy poderoso, sin embargo la
manipulación de muchas partículas al mismo tiempo no es factible debido a las altas
intensidades de luz requeridas.
La captura electrocinética es otra forma de captura para un conjunto de partículas por
di/electroforesis donde no requiere de gran intensidad laser; sin embargo esta técnica
necesita un suministro de voltaje externo. Estos gradientes de intensidad se pueden formar
utilizando cristales fotorrefractivos.
En este trabajo se presenta la captura de micro-partículas de óxido de silicio inmersas en
agua sobre la superficie de un cristal de LiNbO3: Fe; mediante un campo evanescente
fotorrefractivo en la superficie del cristal, originado por un campo de carga espacial dentro
del material debido a la iluminación no homogénea en la superficie del cristal; se
obtuvieron las componentes paralela y perpendicular a la superficie del cristal del campo
evanescente, la fuerza dielectroforética; las imágenes de captura realizadas para cada
potencia y la relación entre la potencia que llego a la superficie del material con el tiempo
en que se logro la captura de las micro-partículas.
II
A mis padres,
en especial a mi hermosa madre Balbina
por confiar en mí en todo momento a pesar
de las adversidades y la poca comunicación
que tuvimos estos 5 años. A mis primos y tíos
Les agradezco su apoyo moral y su constancia en apoyarme económicamente y solventar
todos mis caprichos durante mi preparación profesional.
III
AGRADECIMIENTOS

Al Dr. Rubén Ramos García por la paciencia y discusiones que finalizaron el
presente trabajo experimental realizado en el INAOE, así como las correcciones
otorgadas durante el transcurso de la realización de esta tesis.

A la Dr. Patricia Padilla Sosa por sus valiosos comentarios y consejos durante el
transcurso de la carrera.

A mis revisores el Dr. Rodrigo y Dr. Sergio Lerma por sus acertadas sugerencias en
la revisión de este trabajo.

A mis compañeros de generación los cuales aportaron experiencias para la
formación de una mejor persona, en especial a Eddie por aguantar mis tonterías,
problemas e incontrolables vicios. Iván por enseñarme humildad y siempre tomar lo
peor de un suceso con una sonrisa. A Martín y Ricardo por acompañarme a los
diversos viajes realizados durante la permanencia en la carrera; así les agradezco sus
sabios consejos en situaciones incomodas ocasionadas por este servidor.

A mis dos mejores amigos; Eder Abel y Josefa Enríquez con los cuales he
compartido grandes momentos en el transcurso de mi crecimiento como persona.

A mi novia Yazmín por comprenderme en momentos de estrés y desesperación
total, así como el apoyo brindado hasta el último momento en la culminación de
esta bonita etapa de mi vida.
IV
ÍNDICE
Página
Resumen
I
Dedicatoria
II
Agradecimientos
III
Lista de Figuras
VI
INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 1
1. Antecedentes históricos de las pinzas ópticas ................................................................. 2
1.1. Aplicaciones de las pinzas ópticas ........................................................................... 5
1.2. Captura electrocinética ............................................................................................. 5
1.3. Pinzas fotovoltaicas ................................................................................................. 6
1.4. Objetivos de la Tesis ............................................................................................... 7
1.5. Estructura de la tesis ................................................................................................. 8
2. MARCO TEÓRICO .................................................................................................... 10
2.1. La física de las pinzas ópticas ................................................................................ 11
2.1.1. Régimen de rayos ópticos ............................................................................ 11
2.1.2. Fuerza de esparcimiento y fuerza de gradiente ........................................... 12
2.1.3. Régimen de Rayleigh ................................................................................... 13
2.2. Dielectroforesis ...................................................................................................... 15
2.2.1. Fuerza dielectroforética ............................................................................... 15
2.3. Efecto Fotorrefractivo ........................................................................................... 20
2.3.1. Expresión para el campo de carga espacial en un material Fotorrefractivo . 22
2.4. Efecto fotovoltaico ................................................................................................. 33
V
2.4.1. Campo evanescente generado por el campo de carga espacial ................... 35
2.5. Niobato de litio ....................................................................................................... 40
3. DESARROLLO EXPERIMENTAL ......................................................................... 43
3.1. Micro-esferas de óxido de silicio ........................................................................... 43
3.2. Limpieza de los componentes ópticos .................................................................... 44
3.3. Alineación de lentes y espejos ............................................................................... 45
3.4. Arreglo experimental .............................................................................................. 45
3.4.1. Arreglo con Haz Gaussiano enfocado .......................................................... 46
3.4.2. Arreglo con patrones de franjas de interferencia ......................................... 50
4. RESULTADOS ............................................................................................................ 53
4.1. Captura con Haz Gaussiano enfocado .................................................................... 53
4.1.1. Campo Evanescente y fuerza de Dielectroforesis ........................................ 53
4.1.2. Captura de Micro-partículas ....................................................................... 55
4.1.3. Potencia y tiempo de captura ....................................................................... 59
4.2. Captura con Patrón de Interferencia ....................................................................... 60
4.2.1. Campo Evanescente y fuerza de Dielectroforesis ........................................ 60
4.2.2. Captura de Micro-partículas ....................................................................... 63
4.2.3. Potencia y tiempo de captura ....................................................................... 63
5. CONCLUSIONES ....................................................................................................... 65
APÉNDICES ...................................................................................................................... 67
A. Campo Evanescente y fuerza de Dielectroforesis ................................................. 67
B. Evanescente y fuerza de Dielectroforesis .............................................................. 69
REFERENCIAS .......................................................................................................... 73
VI
LISTA DE FIGURAS
Figura
Página
1
Primera observación experimental sobre pinzas ópticas.
2
Trazo de rayos mostrando descripción cualitativa de la fuerza
4
12
gradiente.
3
Fuerza de Dielectroforesis sobre una partícula polarizable que
16
se encuentra en un campo eléctrico no uniforme.
4
Modelo de banda de transporte
21
5
Los vectores de onda
23
y
inciden sobre el cristal creando
un patrón de interferencia que genera una rejilla de periodo .
6
Representación de la generación de un campo de carga
24
espacial debido a un patrón de interferencia.
7
a) El módulo y b) parte imaginaria
del campo de carga
31
espacial en función del periodo de la rejilla para un cristal
BSO para diferentes valores de campos eléctricos externos.
8
Efecto fotovoltaico.
33
9
Campo evanescente representado por las flechas como una
36
función de la posición (x, z) generada por un patrón de luz
sinusoidal.
VII
10
Fuerzas de dielectroforesis con dependencia en la dirección Z
37
con un patrón sinusoidal de campo eléctrico en el interior del
cristal.
11
Fuerza dielectroforética con dependencia en la dirección X y
39
Z, con un patrón no sinusoidal de campo eléctrico en el
interior del cristal.
12
Cristal de LiNbO3: Fe. Utilizado en la parte experimental de
40
esta tesis.
13
Estructura cristalina del Niobato de Litio.
41
14
Micro-esferas de óxido de silicio.
43
15
Contenedor de partículas de óxido de silicio de 15 ml.
44
16
Fotografía de los diafragmas alineados en una línea en
45
particular sobre la mesa óptica
17
Fotografías de la primer parte del arreglo.
46
18
Fotografía de la segunda parte del primer arreglo experimental
48
19
Esquema del primer arreglo experimental.
49
20
Sistema de lentes para colimar y enfocar un haz gaussiano.
50
21
Segundo arreglo experimental.
51
VIII
22
a) y b) Gráficas de la componente paralela y perpendicular del
53,54 y 55
campo evanescente, c) y d) fuerza dielectroforética en Z y X.
23
Captura de micro partículas con haz gaussiano.
56
24
Gráfica dimensional de distribución de intensidad de un haz
57
gaussiano.
25
Ajuste lineal.
26
a) y b) Gráficas de la componente paralela y perpendicular del
59
60,61 y 62
campo evanescente, c) y d) fuerza dielectroforética en Z y X.
27
Patrón de franjas y captura de partículas.
63
28
Ajuste lineal.
64
“Hay un libro abierto siempre para todos los ojos: la naturaleza.”
Jean Jacques Rousseau
INTRODUCCIÓN
En 1970 Arthur Ashkin investigador de los laboratorios Bell, se encontraba interesado en la
presión de radiación que podría ejercer un haz láser. En sus experimentos, Ashkin utilizó un
láser He-Ne y micros-partículas de látex con geometría esférica. Hacia chocar un haz con
las partículas y observó que éstas eran empujadas hasta la pared del recipiente que las
contenía. Ante este hallazgo dispuso a colocar otro haz en sentido opuesto, de tal manera
que equilibrara la presión de radiación del primero. El resultado fue el atrapamiento de una
partícula entre los dos haces. De esta forma se dio origen al primer atrapamiento óptico en
la historia.
Durante el análisis de este fenómeno, Ashkin observó que las partículas no solo son
empujadas por la presión de radiación, sino que además son atraídas hacia la parte más
intensa del haz. Por lo que procedió al análisis de trazado de rayos, y en 1986, realiza con
éxito atrapamiento con un solo haz de luz, enfocando con una lente el haz sobre una región
muy pequeña, donde las partículas serían atraídas y atrapadas [1]. A este tipo de
atrapamiento particular se le conoce como Pinza óptica.
El surgimiento de la pinza óptica posibilitó el atrapamiento de partículas de diferentes
tamaños. Ashkin se intereso en desarrollar técnicas que permitieran manipular átomos.
Utilizando este tipo de ideas, en 1997 el Dr. Steven Chu gana el premio Nobel por el
congelamiento y atrapamiento de un átomo.
Actualmente las pinzas ópticas son un área de investigación de gran importancia. Su
capacidad no invasiva para atrapar partículas la ha convertido en un instrumento muy
1
utilizado en el mundo microscópico. Esta herramienta de manipulación de partículas de
tamaños nanométricos y micrométricos tienen gran transcendencia en biotecnología,
biología molecular, medicina reproductiva, biología celular, entre otras. Proporcionando el
desarrollo de nuevas áreas de investigación que traen grandes beneficios a la sociedad. Por
lo tanto las pinzas ópticas son actualmente un área de interés científico y tecnológico.
1.
Antecedentes históricos de las pinzas ópticas
Desde su invención las pinzas ópticas han tenido un desarrollo histórico impresionante, con
solo 40 años de investigación se ha obtenido logros significativos, con una banda amplia de
aplicaciones en biología y física.
En 1609, el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630), propuso que la presión de la
luz solar ejercía una fuerza que desviaba la cola de un cometa, de forma que siempre
apuntaba en dirección contraria a la posición del sol [2]. Hoy en día se sabe que este efecto
se debe al viento solar, debido a que la fuerza de radiación de la luz solar no es lo bastante
fuerte. Fue hasta 1873 que el físico británico James Clerk Maxwell (1831-1879) demuestra
en su nueva teoría de las ondas electromagnéticas, que debido al comportamiento
ondulatorio de la luz, esta puede ejercer presión sobre un cuerpo. Posteriormente, con el
trabajo de Einstein y Planck, se pudo explicar que la luz también se comporta como un
fluido de corpúsculos llamados fotones que al igual que las partículas materiales, pueden
ejercer presión sobre los objetos, e incluso, transferir momento.
La existencia de presión de radiación, fue finalmente demostrada experimentalmente a
principios del siglo XX con el científico Ruso P. N. Lebedev, quien reveló que placas
paralelas en el vacio rotaban cuando eran iluminadas por una fuente de luz. Con la
invención del láser en 1960, se da un cambio trascendental en el estudio de la presión de
radiación.
2
Arthur Ashkin (nacido en 1922), científico estadounidense de los laboratorios Bell diseña el
primer atrapamiento de partículas utilizando la presión de radiación. Su interés en el tema
despertó en 1969 al intentar calcular la magnitud de la fuerza por presión de radiación de un
haz de luz (1 W de potencia) sobre un espejo totalmente reflejante, obteniendo un cambio
en el momento total de la luz por segundo o fuerza de 10 nN. Al imaginar que si dicha
potencia era focalizada a un punto de una micra, ocupado por una partícula reflejante del
mismo tamaño, obtenía una aceleración de
y considero que tal efecto debería
observarse sin mucha dificultad [3]. Por lo que Ashkin procedió a utilizar un laser He-Ne
débilmente enfocado, partículas esféricas de látex y dos microscopio de baja potencia.
Cuando enfocó el láser sobre las partículas, éstas se movían rápidamente y procedían a
moverse a la pared de salida de la celda como se muestra en la Figura 1.
Percibió que las partículas no solo eran empujadas en la dirección de propagación del láser;
por una fuerza debida al esparcimiento de la luz reflejada llamada fuerza de esparcimiento,
sino por una fuerza transversal que atraía a las partículas a la parte más intensa del haz, a la
cual nombró fuerza gradiente. Con estas observaciones se diseñó una trampa por medio de
dos haces contra-propagantes, reemplazando el microscopio M1 por un segundo haz tal
que las partículas quedaran atrapadas en algún punto de equilibrio entre los focos de los
haces.
3
Figura 1. Primera observación experimental sobre pinzas ópticas. Esferas de látex diluidas en agua dentro
de una celda de vidrio a base de portaobjetos de microscopios de baja potencia, M1 y M2.
En 1986 Ashkin y sus colaboradores publican un artículo sobre captura de micro-partículas.
Este tipo de trampa utiliza un solo haz láser fuertemente enfocado hacia abajo, el cual
capturaba establemente en tres dimensiones, partículas de un rango de tamaños de 23 nm a
10
suspendidas en agua. Este tipo de trampas es habitualmente conocidas como pinzas
ópticas.
Un año después demostró la utilidad de su técnica en organismos vivos atrapando virus,
bacterias y protozoos. Este tipo de trampas ópticas revoluciono las técnicas de
manipulación de micro-partículas.
Actualmente las pinzas ópticas son de gran importancia y utilidad en el desarrollo de
muchas áreas de la ciencia, como biofísica, biotecnología, medicina reproductiva y biología
celular y molecular, donde han hecho posible la manipulación incluso de una sola
4
molécula. Actualmente es difícil mencionar todas las aplicaciones que esta técnica de
manipulación tiene, sin embargo en el subtema siguiente se enlistan las más generales para
diferentes ámbitos.
1.1. Aplicaciones de las pinzas ópticas
Las pinzas ópticas son actualmente una herramienta moderna usada principalmente en
investigación biológica y médica. Para el estudio de un gran número de procesos biofísicos
y bioquímicos que van desde las propiedades mecánicas de polímeros biológicos a una gran
variedad de motores moleculares que conducen la dinámica interna de la célula. Un
instrumento de trabajo para estudiar tejidos como los organelos de una célula, las moléculas
de un virus, así como estirar y enrollar moléculas individuales de ADN; constituye una
tecnología de alta precisión, útil en microcirugía y en la aplicación de métodos de
reproducción asistida. Así como el estudio de la manipulación de micro y nano partículas
metálicas para la construcción de micro/nano estructuras.
1.2. Captura electrocinética
En contraste con la técnica anterior existe también, otra técnica de manipulación de
partículas que se ha desarrollado, llamada captura electrocinética.
Las técnicas de manipulación de partículas que emplean fuerzas electrocinéticas son las
más comunes en la manipulación de partículas. Estas fuerzas actúan sobre partículas
pequeñas alrededor de
metros de diámetro y en partículas más pequeñas, bajo la
acción de un campo eléctrico. Este tipo de captura se realiza mediante dos mecanismos:
dielectroforesis y electroforesis:
5
Dielectroforesis se define como el movimiento de partículas dieléctricas, polarizadas por la
acción del gradiente de campo eléctrico no uniforme. La dirección del movimiento
dielectroforético de la partícula es independiente de la dirección del campo eléctrico. La
dielectroforesis depende del tamaño y forma de las partículas, en la conductividad y
permitividades de la partícula y su medio de suspensión, y en la magnitud y el gradiente de
campo eléctrico aplicado.
La Electroforesis describe el movimiento de partículas con carga eléctrica superficial, en
relación con la solución que lo rodea, bajo la influencia de un campo eléctrico tanto
uniforme como no uniforme [4].
Este tipo de captura requiere del suministro de voltaje externo, sin embargo este campo
externo puede ser provisto por el campo de carga espacial generado en materiales
fotoconductores y proveer fuerzas para manipular pequeñas partículas dieléctricas a través
de dielectroforesis, y partículas cargadas a través de electroforesis en la misma forma que
un campo eléctrico externo lo haría.
1.3. Pinzas fotovoltaicas
Como se comento anteriormente la captura electrocinética requiere de un suministro de
voltaje externo para poder generar un campo eléctrico y capturar partículas por
electroforesis o dielectroforesis ; recientemente se ha logrado generar grandes campos
eléctricos mediante iluminación en materiales que presentan tendencias fotovoltaicas o de
manera más general presentan efectos fotorrefractivos, como LiNbO3; tales dispositivos de
captura se les ha acuñado el nombre de pinzas fotovoltaicas más propiamente que pinzas
fotorrefractiva [5], y han demostrado una gran promesa para la manipulación y captura de
micropartículas en la utilización de estos materiales.
6
Como ya hemos mencionado, el atrapamiento de partículas es de gran interés en el
desarrollo científico. En este trabajo experimental se plantea el uso de un cristal
fotorrefractivo. Las ventajas de utilizar un material fotorrefractivo es que podemos confinar
una gran cantidad de partículas mediante gradientes de intensidad generados por un campo
de carga espacial en un material fotorrefractivo, a diferencia de otros métodos que solo
permiten atrapar una por una como una trampa óptica convencional, además de no requerir
de gran potencia láser y principalmente por su sencillez.
Los materiales fotorrefractivos tienen un comportamiento electroóptico y fotoconductivo.
Las cargas fotoexcitadas en el material crean un campo de carga espacial que produce un
campo eléctrico que afecta el índice de refracción del medio, siendo esto un efecto
electroóptico. [6].
Algunos cristales fotorrefractivos presentan un proceso de transferencia de carga
asimétrica, es decir, los portadores excitados se mueven en una dirección preferencial, por
lo general en la dirección del eje óptico [7]. A este fenómeno se le denomina efecto
fotovoltaico. Por medio del efecto fotovoltaico se pueden obtener campos eléctricos mucho
más grandes que por difusión o arrastre de carga en presencia de un campo eléctrico. Por tal
razón, en esta tesis utilizaremos Niobato de Litio debido que presenta efecto fotovoltaico.
1.4.
Objetivos de la Tesis
El objetivo del presente trabajo consiste en la manipulación de micro-partículas de óxido de
silicio (SiO2) de 1 μm, a través del campo evanescente de un material fotorrefractivo; en
este caso utilizando un cristal de Niobato de Litio dopado con hierro. Para esto se
desarrollaron dos configuraciones para la captura de las micro-esferas.
7

Mediante la creación de un campo eléctrico evanescente sobre un cristal
fotorrefractivo con un haz de perfil gaussiano enfocado de un láser verde (532 nm).

Mediante la generación de patrones de interferencia sobre el cristal fotorrefractivo
para formar el campo eléctrico espacialmente inhomogéneo para la captura múltiple
de partículas.
Es importante recalcar que no estamos interesados en el efecto electroóptico del material,
sino en el campo de carga espacial en la superficie de un material fotorrefractivo que nos
permita atrapar partículas.
1.5.
Estructura de la tesis.
El presente trabajo experimental se encuentra organizado de la siguiente manera:

Capítulo 2 Marco teórico: Se explica la física que hay detrás de las pinzas opticas y
de los fenómenos de dielectroforesis, efecto fotorrefractivo y efecto fotovoltaico, así
como las ecuaciones que los definen. Una vez establecidas se encuentra la relación
para el campo evanescente con el cual es posible el atrapamiento de las partículas
con modulación alta/baja. Al final del capítulo se mencionan algunas características
del Niobato de Litio que fue el cristal con el que se trabajó.
 Capítulo 3 Desarrollo Experimental: Se detalla el proceso de alineación de espejos y
lentes utilizados y limpieza de los elementos ópticos. De igual manera se ilustran
con detalle los dos arreglos experimentales empleados para atrapar partículas, desde
las componentes ópticas hasta los equipos utilizados, así como las características de
las partículas empleadas para hacer la captura.
8

Capítulo 4 Resultados: Se analizan los resultados conseguidos de ambos
experimentos, dentro de los cuales están las gráficas que relacionan la potencia del
láser con el tiempo de captura, el comportamiento de la componente paralela y
perpendicular del campo evanescente y la fuerza de dielectroforesis.

Capítulo 5 Conclusiones: Se discuta y explican de los resultados obtenidos de los
experimentos presentados en el capítulo 4, así como las principales conclusiones del
trabajo y una breve discusión y motivación para un posible trabajo a futuro.
En el Apéndice se muestran los respectivos programas en MatLab que se utilizaron
para los resultados de esta tesis.
9
“La sabiduría suprema es tener sueños bastante grandes para
no perderlos de vista mientras se persiguen”
William Faulkner
.
2.
MARCO TEÓRICO
En este trabajo experimental se presenta un nuevo método de captura de partículas, en el
cual se utiliza el campo de carga espacial generado por un material fotorrefractivo. El
campo de carga espacial producirá un campo evanescente en la superficie del material, el
cual hace posible la captura de las partículas.
La captura no requiere de grandes intensidades de luz para la generación del campo
evanescente; como el campo generado es no homogéneo y las partículas utilizadas son
dieléctricas, se presento el fenómeno de dielectroforesis y el atrapamiento es dado por
conjuntos grandes de partículas. Esto lo hace un método sencillo y atractivo, a diferencia
de las pinzas ópticas convencionales que requieren una gran intensidad de luz y el número
de partículas atrapadas es limitado. A continuación se presenta la física involucrada en la
captura de micro-partículas mediante un campo evanescente generado por un material
fotorrefractivo.
10
2.1.
La física de las Pinzas Ópticas
El principio físico del confinamiento de una micro-partícula puede describirse de acuerdo a
su tamaño. Si el diámetro de la partícula es menor que la longitud de onda del haz
,
nos encontramos en el régimen de Rayleigh. En caso contrario estamos en el régimen de
rayos ópticos.
En estos regímenes, solo necesitamos el uso de conceptos sencillos como conservación del
momento, rayos ópticos y ecuaciones clásicas de la teoría electromagnética para entender
las fuerzas básicas y el confinamiento óptico. Sin embargo en la mayoría de los casos de
atrapamiento de partículas cuyas dimensiones son semejantes con la longitud de onda del
láser (d ≈λ), existe una aproximación cuantitativa conocida como Régimen Generalizado de
Lorentz-Mie.
2.1.1.
Régimen de rayos ópticos
En este régimen las fuerzas de captura de la luz pueden ser comprendidas en términos de la
geometría de rayos ópticos. De esta forma se puede descomponer el haz de luz total en
rayos individuales, cada uno con determinada intensidad y dirección las cuales se propagan
en un medio de índice de refracción uniforme. Los rayos cambian de dirección cuando se
reflejan o refractan. Esto puede ser explicado cualitativamente por el concepto de
transferencia de momento y la tercera ley de Newton.
11
2.1.2.
Fuerza de esparcimiento y fuerza de gradiente
Existen dos fuerzas importantes en el atrapamiento de partículas, la fuerza de esparcimiento
o fuerza de presión de radiación que empuja a la partícula fuera del haz y la fuerza
gradiente o restauradora que empuja a la partícula hacia el haz.
Considere una esfera colocada fuera del eje de un haz con perfil de intensidad gaussiana.
Un par de rayos paralelos a y b provenientes del haz, inciden simétricamente respecto al
centro de la esfera de alto índice de refracción
índice de refracción menor
(véase figura 2), inmersa en un medio de
.
Figura 2. Trazo de rayos mostrando una descripción cualitativa de la fuerza gradiente. Se observa la
fuerza de esparcimiento debido a la reflexión que tiende a empujar a la partícula en dirección de propagación
del haz.
12
La refracción de la luz conduce a un cambio de dirección en la propagación de los rayos,
además debido que los rayos tienen diferente potencia, el cambio de momento de estos
rayos debido a la refracción,
>
y
, difieren en magnitud (
),esto es, por la conservación del momento lineal, la fuerza
partícula por el rayo apunta en sentido opuesto a
ejercida sobre la
, y de acuerdo a la conservación del
momento lineal, una fuerza neta resultante
dirigida hacia el eje del haz, como resultado
de la suma vectorial de las fuerzas
, llamada fuerza gradiente y apunta en la
y
dirección de más alta intensidad.
Ahora para la fuerza de esparcimiento nos enfocamos en las flechas azules, empezando por
el rayo incidente a. El análisis del cambio del momento de haz reflejado
produce una fuerza sobre la esfera en dirección opuesta a
manera análoga se obtiene
esparcimiento
, denotada como
, de
. Estas dos fuerzas dan como resultado la fuerza de
, la cual apunta en dirección de propagación del haz. Puesto que la luz
es altamente transmitida (partículas transparentes), la fuerza de esparcimiento es menor que
la fuerza gradiente, condición que debe cumplirse para el confinamiento.
2.1.3.
Régimen de Rayleigh
Para una partícula con diámetro mucho más pequeño que la longitud de onda del haz de
captura, se utiliza un modelo clásico de campo electromagnético para las fuerzas, aquí la
perturbación del frente de onda es mínima y la partícula puede ser vista como un dipolo
inducido.
13
La fuerza que se aplica a un dipolo en un campo eléctrico se conoce como fuerza de
Lorentz y está dada por
2.1
donde
es la carga neta de la partícula y
momento dipolar es
, donde
el campo eléctrico. Considerando que el
es la distancia entre las dos cargas, en el caso de un
dipolo puntual, la distancia es infinitesimal, dx. La fuerza es:
2.2
Asumiendo que la partícula dieléctrica es lineal, por lo que
, con
como la
polarizabilidad de la partícula, ahora utilizando la identidad vectorial
.La fuerza de un dipolo eléctrico se puede escribir como
2.3
La ecuación obtenida nos proporciona la fuerza aplicada a una partícula dieléctrica, cuando
se analiza como un dipolo puntual. La fuerza gradiente tiende atraer a la partícula a la
región de más alta intensidad.
Cuando d λ la aproximación de Rayleigh deja de funcionar por lo tanto se utiliza la Teoría
Generalizada de Lorentz-Mie la cual permite calcular tanto la fuerza por presión de
radiación como la fuerza gradiente sólo cuando la partícula es atrapada por un haz de perfil
Gaussiano.
14
2.2.
Dielectroforesis
El término dielectroforesis fue acuñado por Herber A. Pohl (1951) quien llevo a cabo
importantes experimentos con pequeñas partículas de plástico suspendidas en un líquido
dieléctrico y encontró que las partículas se movían en respuesta a la aplicación de un campo
eléctrico no uniformé [8]. A esta nueva fuerza le dio el nombre de “dielectroforesis”, la
cual combina la palabra griega “phoresis” que significa fuerza, con la palabra “dieléctrico”.
La nueva palabra pretendía describir la fuerza sobre partículas dieléctricas en virtud de su
polarizabilidad no de una carga neta.
El fenómeno de dielectroforesis se presenta cuando se ejerce una fuerza sobre el momento
dipolar inducido de una partícula dieléctrica polarizable sin carga neta, originado por un
campo eléctrico no uniforme. Además esta fuerza se observa en partículas cuyo diámetro se
encuentran en un rango aproximado de 1 a
2.2.1.
[9]
Fuerza Dielectroforética
La aplicación de un campo eléctrico de corriente alterna o directa sobre una partícula
polarizable, provoca la formación de un dipolo dentro de la misma y una acumulación de
carga en la superficie. Si el campo eléctrico es uniforme entonces existe una fuerza de
Coulomb sobre las cargas en ambos lados de la partícula iguales y opuestas, por lo que se
anulan y no hay fuerza neta aplicada en la partícula. Sin embargo si el campo no es
uniforme, se producirá un desbalance en las fuerzas electrostáticas en el dipolo, entonces la
fuerza de Coulomb de cada lado no será igual y existirá una fuerza neta sobre la partícula,
que se llama fuerza dielectroforética [10].
15
Consideremos una partícula esférica neutra en un campo eléctrico no homogéneo, tal como
se muestra en la figura 3. Esta partícula al polarizarse tendrá una distribución de cargas de
igual magnitud pero de signo opuestos, las cuales se encuentran separadas a una distancia
a lo largo del vector
(
).
Figura 3. Fuerza de Dielectroforesis sobre una partícula polarizable que se encuentra en un
campo eléctrico no uniforme; las fuerzas de Coulomb inducida en las carga en cada mitad del dipolo son
diferentes.
Como el campo eléctrico no es uniforme, las cargas positivas y negativas experimentan
diferentes fuerzas de campo eléctrico, dando lugar a una fuerza total expresada de la
siguiente manera
2.4
donde
es pequeño en comparación al tamaño del campo eléctrico no uniforme.
Expandiendo en serie de Taylor a primer orden, obtenemos que
16
2.5
Haciendo uso del momento dipolar, la ecuación (2.4) puede escribirse como
2.6
Para una esfera de radio
, el momento dipolar ese puede calcular multiplicando la
polarización por el volumen de la partícula [10]
2.7
donde
es el eje
y
de la partícula,
expuesto al vector de campo
es la polarización inducida por unidad de volumen dentro
y
es el campo eléctrico inducido en un elipsoide
a lo largo del eje
[10]
2.8
donde
es la constante dieléctrica del medio,
la constante dieléctrica de la partícula y
es la permitividad compleja de la partícula y del medio. La permitividad compleja
está dada por
2.9
donde
es la conductividad del medio y de la partícula respectivamente y
es la
frecuencia del campo eléctrico.
Utilizando lo anterior la ecuación (2.7) queda como
2.10
17
donde
es el factor de Clausius-Mossotti, el cual depende de las constantes dieléctricas
de la partícula y del medio que la rodea y se define como
2.11
El campo eléctrico puede estar cambiando ya sea en el espacio o en el tiempo. Esta
variación puede estar en la magnitud de la onda, la fase
o ambos. Considerando
la variación en tres dimensiones
2.12
y
2.13
Además del momento dipolar
2.14
y usando 2.10
2.15
De la ecuación (2.6) se obtiene que
2.16
donde
2.17
18
Tomando el promedio temporal, de la ecuación (2.16) se obtiene
2.18
con esto la ecuación (2.18) se reescribe de la siguiente manera.
2.19
Donde
es la magnitud del campo eléctrico r.m.s (raíz cuadrática media), que es igual a la
amplitud del campo eléctrico dividido por la raíz cuadrada de 2. Considerando que no hay
gradiente de fase, tenemos que la expresión general para la fuerza de dielectroforesis que
actúa sobre una partícula polarizable en un campo eléctrico no uniforme [10], puede
escribirse como
2.20
De la ecuación (2.20) se observa que es proporcional al volumen de las partículas y la
constante dieléctrica del medio y del gradiente del modulo al cuadrado del campo eléctrico
aplicado [16] [20]. Una característica importante es que la expresión para la fuerza
dielectroforética contiene el factor de Clausius-Mossotti , el cual puede tomar tanto valores
positivos o negativos. Esto tiene implicaciones para la dirección de la fuerza.
Las partículas con permitividad
mayor a la del medio
, exhibirán dielectroforesis
positiva, y serán atraídas hacia las regiones de mayor intensidad del campo eléctrico.
Contrariamente, las partículas con permitividad
menor a la del medio de inmersión
,
exhibirán dielectroforesis negativa, donde serán repelidas de las regiones de alta intensidad
de campo eléctrico y serán atraídas en la región de mínima intensidad de campo eléctrico
[11].
19
2.3.
Efecto Fotorrefractivo
El efecto fotorrefractivo es un fenómeno óptico no lineal donde el índice de refracción de
un material cambia en respuesta a una iluminación no homogénea. Los primeros análisis
sobre fotorrefractivos fueron realizados por Arthur Ashkin y colaboradores en 1966 en los
laboratorios Bell; la primera experiencia de este efecto fue con un cristal de Niobato de
Litio al cual le dirigió un rayo a través del cristal y después de algunos minutos el cristal
comenzó a distorsionar el rayo, esparciéndolo alrededor del laboratorio. Lo nombraron
“daño óptico” debido a que cuando se iluminaba con luz no homogénea ocasionaba
cambios en el índice de refracción en el cristal, algo que no era conveniente para los
experimentos que realizaban. Este “daño” se mantenía aún cuando el material ya no era
irradiado por luz, por esta razón, este tipo de cristales se empezaron a utilizar para hacer
grabaciones holográficas y a dicho fenómeno se le comenzó a llamar efecto fotorrefractivo
[12]. A diferencia de otros fenómenos ópticos no lineales, el efecto no es provocado de
forma directa por la intensidad del campo eléctrico de la luz que perturba nuestro material
fotorrefractivo.
Un cristal fotorrefractivo es un material fotoconductor y electroóptico, el cual contiene
portadores móviles (electrones y/o huecos) e impurezas cuyo nivel de energía se encuentran
en algún lugar de la banda prohibida, como el BSO, LiNbO3 y BaTiO3. En La Figura 4 se
muestra el modelo de la banda de transporte para el efecto fotorrefractivo.
En este modelo, el material cuenta con portadores de carga (electrones) y dos tipos de
impurezas llamadas aceptores y donadores con niveles de energía localizados sobre la
banda prohibida. Los donadores son aquellos átomos próximos a la banda de conducción y
20
los cuales proporcionará electrones, mientras que los aceptores se encuentran cerca de la
banda de valencia y se encargan de mantener la neutralidad de la carga.
Figura 4. Modelo de banda de transporte. Los electrones son excitados de las impurezas no ionizadas y
pasan a la banda de conducción, después se difunden y decaen hasta recombinarse con otras impurezas.
Cuando la luz con energía igual o mayor a la energía de activación de los electrones
las impurezas donadoras
de
incide sobre el material, los fotones excitan a los electrones de
los donadores hacia la banda de conducción creando al mismo tiempo una impureza
ionizada
(las
se caracterizan porque pueden ser ionizadas por la absorción de
fotones ver figura 4), los electrones generados dejan a su vez estados desocupados lo que
implica que la densidad de
es de igual manera la densidad de impurezas que pueden
atrapar electrones provenientes de otras impurezas
Por lo tanto
vecinas.
es la cantidad de impurezas no ionizadas dispuestas para
recombinarse con algún electrón. Por otra parte una carga deja de estar en movimiento
cuando es atrapada por una impureza aceptora
21
en zonas con menor intensidad de luz
debido a que disminuye la probabilidad de ionizar una nueva
que conceda su lugar para
atrapar otro electrón.
Debido a que los donantes y aceptores ionizados son inmóviles, un campo de carga espacial
se manifestara como consecuencia de la separación de carga. El campo de carga espacial
inducirá en el cristal un campo eléctrico, el cual es responsable del cambio en la constante
dieléctrica del material, produciendo una variación en el índice de refracción en el cristal
electro-óptico [12].
2.3.1.
Expresión del campo de carga espacial en un material fotorrefractivo
Para encontrar la relación que define al campo de carga espacial se sigue el tratamiento de
Kukhtarev et al. [13] [14]. Este tipo de ecuaciones diferenciales no lineales describirán
cómo cambia el cristal fotorrefractivo cuando se le incide una intensidad óptica de la forma
2.21
es un término constante y
un término que varía periódicamente, el cual es
considerado como una pequeña perturbación, dada por
2.22
donde
es complejo y
es la modulación del patrón de interferencia
2.23
Consideremos un par de haces coherentes que inciden sobre el material fotorrefractivo con
un ángulo
y
onda,
generando un patrón de interferencia como se muestra en la Figura 5. Donde
son los vectores de onda entrante, se encuentran relacionados con la longitud de
, de la forma
y donde
es el vector de la rejilla que se
22
relaciona con el periodo espacial,
, de manera
, por lo que la condición de
Bragg podemos escribirla como
2.24
Figura 5. Los vectores de onda
y
inciden sobre el cristal creando un patrón de interferencia que
genera una rejilla de periodo . Los vectores de onda y el vector
satisfacen la condición de Bragg.
En el momento que los dos haces intersectan en el interior del cristal, interfieren
produciendo un patrón de interferencia con periodo , este patrón que se forma moverá las
cargas eléctricas generando una distribución de carga, en las franjas brillantes del patrón de
interferencia tendremos iones cargados positivamente y las franjas oscuras iones cargados
negativamente cuya magnitud variará sinusoidal/cosenoidalmente. Este reacomodo de
carga genera un campo eléctrico llamado campo de carga espacial, que distorsionará la
estructura de la red cristalina periódicamente produciendo cambios en el índice de
refracción, lo que origina una rejilla de índice de refracción. El patrón de interferencia y la
rejilla de índice de refracción tendrán el mismo comportamiento periódico, pero estarán
desfasados . En la Figura 6 se ilustra todo este proceso.
23
Figura 6. Representación de la generación de un campo de carga espacial debido a un patrón de
interferencia.
La interferencia de los haces produce una distribución espacial sinosoidal/cosenoidal, para
crear una modulación en la constante dieléctrica, que varía con el mismo periodo que el
patrón de interferencia [12]. La constante dieléctrica relativa varía de la forma
2.25
donde
es la constante dieléctrica de fondo,
la constante dieléctrica de la rejilla y
la frecuencia espacial de la rejilla.
24
es
La velocidad de generación de electrones
en el material está dada por la ecuación
2.26
donde s es la sección transversal de la fotoexitación, I la intensidad de la luz,
densidad de los donadores y
la
la densidad de donadores ionizados. Además, la velocidad
con la cual los electrones son recapturados por los donadores ionizados
es
2.27
donde
es la velocidad de recombinación y n la densidad de electrones o portadores
libres. Entonces tenemos que la velocidad de generación de la densidad de donadores
ionizados
dentro del cristal no es más que la diferencia entre la velocidad de
generación de electrones y la velocidad de recombinación de electrones. Esta relación se
expresa de la siguiente forma utilizando (2.26) y (2.27)
2.28
La velocidad de generación de densidad de electrones está dada por
2.29
siendo
la carga del electrón y
la densidad de corriente. Se observa de esta última
ecuación que la velocidad de generación de densidad de electrones es la misma que la de
generación de densidad de donadores ionizados más un término de densidad de corriente
generada.
25
Partiendo de la ecuación de Maxwell
2.30
donde
es el campo magnético y
es la constante dieléctrica del material. Si tomamos la
divergencia en ambos lados y asumiendo que existe variación solo en la dirección
transversal, tenemos que la corriente total es una constante
.
2.31
donde
es independiente de las coordenadas espaciales. Físicamente
puede considerarse
como la corriente total del cristal que tiene dos componentes, debido a la corriente debido
al flujo de transporte y esta expresa por
2.32
y la otra componente por la corriente desplazamiento
.
Sustituyendo (2.32) en (2.31) obtenemos
2.33
donde es la carga del electron,
Boltzmann,
es la movilidad de los electrones,
es la constante de
es la temperatura absoluta y x es la coordenada transversal. El término
es la corriente de arrastre,
es la corriente de difusión y
desplazamiento.
26
es la corriente
La ecuación que relaciona el campo eléctrico de carga espacial del desequilibrio de carga,
está dada por la ecuación de Poisson, de la forma
2.34
Ahora suponiendo que la solución de la ecuación diferencial de (2.28, 2.29 y 2.33) es de la
forma:
2.35
donde
es independiente del espacio y
supuesto cualquiera de nuestras variables
es la perturbación periódica,
, , o .
De las ecuaciones (2.28) y (2.33) se observa que
de las variables, mientras que
y
representa por
es el producto de la excitación y una
son productos de dos variables, en cada caso se
deberá linealizar las expresiones de la siguiente manera
2.36
2.37
2.38
27
Usando (2.36) a (2.38) podemos reescribir las ecuaciones diferenciales (2.28, 2.29 ,2.33) y
la ecuación (2.34) y separar los términos dependientes e independientes del espacio. Los
términos independientes del espacio son
2.39
2.40
2.41
2.42
En la ecuación (2.39) sustituimos
debido a que los electrones y los donantes
ionizados varían al mismo ritmo cuando la corriente es independiente del espacio. La
solución al orden cero de la densidad de electrones se escribe como
2.43
donde
es el tiempo de vida de la densidad del sistema. Para tiempos más
cortos que el tiempo de vida promedio la densidad de electrones aumenta linealmente con
el tiempo, y para tiempos más largos se alcanza la densidad de saturación
2.44
28
En general, el tiempo de la formación de la rejilla es mucho mayor que el tiempo de vida
del densidad del sistema
, así que la dependencia temporal de la ecuación (2.43) se
desprecia [12].
Obteniendo de manera similar ahora los términos dependientes del espacio de (2.28, 2.29 y
2.34) los cuales son
2.45
2.46
2.47
De la ecuación (2.35) se tiene que la perturbación periódica puede ser de la forma
2.48
Usando la relación anterior y de las ecuaciones (2.42, 2.44, 2.45-2.47) obtenemos la
ecuación diferencial para el campo de carga espacial
2.49
que tiene como solución
29
2.50
donde
2.51
es el tiempo de relajación dieléctrica y las constantes A y B son.
donde
es el campo externo aplicado,
saturación y
es el campo de difusión,
es el campo de
es el campo eléctrico que mueve un electrón a una distancia
durante
su tiempo de vida [13][14]. Las características de campo eléctrico descritos anteriormente
han sido introducidos por Kukhtarev en 1977 y pueden escribirse en términos de los
parámetros antes definidos;
2.52
2.53
30
2.54
En la figura 7 se describe el comportamiento del campo de carga espacial en estado
estacionario, es decir para un tiempo muy largo cuando el campo de carga espacial eleva
hasta su nivel de saturación donde
, en relación al periodo espacial de la rejilla,
para un cristal BSO que tiene como parámetros [12].
a) Modulo de
31
b) Parte imaginaria de
Figura 7. a) El módulo y b) parte imaginaria del campo de carga espacial en función del periodo de la
rejilla para un cristal BSO para diferentes valores de campos eléctricos externos.
Se observa en el módulo de
que en ausencia de un campo eléctrico externo, la
formación del campo de carga espacial para periodos grandes domina el campo de
saturación
(debido a la alta constante dieléctrica del material) el cual se mantiene
constante. El campo de carga espacial empieza a no depender del periodo de la rejilla. Para
periodos muy pequeños el campo de carga espacial crece linealmente y el campo de
difusión
domina.
Para la región en donde hay periodos pequeños la aplicación de un campo eléctrico externo
no favorece para incrementar la parte imaginaria del campo de carga por lo que el módulo
será de ayuda.
32
2.4.
Efecto fotovoltaico
En algunos materiales fotorrefractivos como LiNbO3 entre otros, es posible generar
campos de carga espacial equivalentes a los obtenidos en las gráficas de la Figura 7, sin
necesidad de campos eléctricos externos, esto es posible debido a un fenómeno conocido
como efecto fotovoltaico.
El efecto fotovoltaico fue descubierto por Glass en 1974 cuando se iluminó sobre un cristal
de LiNbO3. Este efecto se origina debido a que en estos materiales los portadores se
encuentran en pozos de potencial asimétricos, cuando éstos son excitados tienden a
moverse en una dirección preferencial dada por el eje óptico (eje c) del cristal [12][15]
como se muestra en la Figura 8. Este flujo de portadores en una dirección preferencial
induce una corriente llamada corriente fotovoltaica, la cual está dada por la ecuación
2.55
donde
es la constante fotovoltaica.
Figura 8. Efecto fotovoltaico. Se genera una distribución de carga en una dirección preferencial,
sobre el eje c.
33
Debido a que nuestro material presenta esta corriente fotovoltaica es necesario modificar la
ecuación (2.33) sumando esta nueva contribución para determinar la corriente dentro del
material, se obtiene que
2.56
El segundo término se le conoce como campo fotovoltaico [12],
periodo de la rejilla
el cual no depende del
y se puede reescribir de la forma
2.57
Realizando un análisis similar para obtener una expresión para el campo de carga espacial
introduciendo el efecto fotovoltaico, obtenemos que las constantes A y B de la ecuación
(2.50) son de la forma
Bajo condiciones estacionarias
y sin aplicar un campo eléctrico externo
,
el campo de carga espacial es
2.58
En general el LiNbO3 tiene un valor
y considerando que
obtiene que el campo de difusión y el campo de saturación son
34
, se
y
de tal manera que el campo de carga espacial se aproxima al campo
fotovoltaico [12], de la forma
2.59
2.4.1.
Campo evanescente generado por el campo de carga espacial
Para que la manipulación de partículas sea posible sobre la superficie de un material
fotorrefractivo que presenta efecto fotovoltaico, es indispensable tener un perfil de
intensidad de campo evanescente sobre la superficie del material. Esto constituye un
problema bidimensional donde se puede considerar un potencial electrostático, con una
distribución sinusoidal a lo largo del eje x en el plano z=0 que se atenúa de forma
exponencial con la distancia Z de la superficie de la muestra [16], y el cual se encuentra
dado por
2.60
Donde tenemos que el potencial para las tres regiones esta dado
2.61
Para
obtenemos las componentes paralela y perpendicular del campo eléctrico, en un
semiespacio vacío
2.62
2.63
35
Para
2.64
2.65
Los dos componentes del campo muestran perfiles sinusoidales con desfase de
y
amplitudes evanescentes cuando estén fuera del cristal. La Figura 9 muestra al campo
eléctrico fotovoltaico evanescente constante a lo largo del eje X pero varía en Z.
Figura 9.- Campo evanescente representado por las flechas como una función de la posición (x, z)
generada por un patrón de luz sinusoidal.
Aplicando nuestras condiciones a la frontera en z=0
2.66
obtenemos.
2.67
36
Sustituyendo (2.67) en las ecuaciones (2.62 y 2.63) y obteniendo el módulo al cuadrado del
campo eléctrico
llegamos a la siguiente expresión
2.68
La ecuación (2.68) nos establece que el modulo al cuadrado del campo evanescente, solo
dependerá de , de la constante dieléctrica, la modulación del patrón de interferencia y del
campo fotovoltaico. Haciendo uso de la relación anterior en la ecuación 2.20, obteniendo el
gradiente del campo obtenemos que la fuerza de captura de las partículas (fuerza
dielectroforética) solo tiene dependencia de la dirección
y es constante a lo largo del eje
X. Por lo tanto solo puede utilizarse para atrapar partículas encima de la superficie del
cristal, como se ilustra en la figura 10.
Figura 10. Fuerzas de dielectroforesis con dependencia en la dirección Z con un patrón sinusoidal de campo
eléctrico en el interior del cristal.
37
Este resultado se ha obtenido de los campos sinusoidales producidos por una modulación m
baja (régimen lineal). El comportamiento es diferente para altas modulaciones
y el
perfil de campo eléctrico en la dirección X se aleja mucho de un comportamiento sinusoidal
ocasionando fuerzas dependientes de X. Tomando segundos armónicos, el potencial de la
ecuación 2.60 es de la forma
2.69
Procediendo de la misma manera que en modulaciones bajas.
Para
las componentes paralela y perpendicular del campo eléctrico están dadas
2.70
2.71
para
2.72
2.73
De nuestras condiciones a la frontera en z=0
2.74
obtenemos.
2.75
2.76
sustituyendo (2.76) en (2.72 y 2.73) y obteniendo el módulo al cuadrado del campo
eléctrico
se obtiene la siguiente expresión:
38
2.77
En este caso la fuerza de dielectroforesis es función de las coordenadas Z y X como se
ilustra en la figura 11.
Figura 11.- Fuerza dielectroforética con dependencia en la dirección X y Z, con un patrón no sinusoidal
de campo eléctrico en el interior del cristal
Al trabajar con una modulación alta se tiene dos opciones de captura, ya sea en la superficie
de la muestra debido a la componente Z y el desplazamiento a lo largo de la superficie
debido al componente X. En este trabajo experimental se trabajo con una modulación
.
39
2.5.
Niobato de Litio
El Niobato de Litio (LiNbO3) es uno de los cristales más estudiados en la óptica no lineal,
ya que la mayoría de sus parámetros de importancia óptica son mayores que los de otras
sustancias ópticas no lineales. Este material contiene una alta constante fotovoltaica cuando
es dopado con impurezas de fierro (LiNbO3: Fe) por lo que presenta una alta tendencia al
efecto fotovoltaico. En la figura 12 se muestra una fotografía del cristal LiNbO3 dopado
0.05% de Fe, con dimensiones de 3.15 x 6.12 x 4.44 mm, material que fue utilizado para
los experimentos de esta tesis.
Figura 12. Cristal de LiNbO3: Fe. Utilizado en la parte experimental de esta tesis.
El LiNbO3 es cristal birrefringente con índices
y
donde
son los índices de refracción ordinario y extraordinario [17] Su
estructura cristalina se puede apreciar en la Figura 13.
40
Figura 13. Estructura cristalina del Niobato de Litio.
Cuando al LiNbO3 se le aplica un campo eléctrico, los índices de refracción cambian
dependiendo de la orientación del cristal. Para un campo de carga espacial que está
alineado a lo largo del eje óptico del material se obtiene
2.78
donde
es el coeficiente electroóptico [17]. El campo de carga espacial se puede
calcular con los parámetros del LiNbO3 [12], los cuales fueron utilizados en este trabajo.
Este tipo de material fotorrefractivo desempeña actualmente un papel importante en la
tecnología y avance científico, debido a su alta tendencia fotovoltaica que permite generar
41
campos eléctricos muy grandes utilizando bajos niveles de iluminación. Dichos campos
fotovoltaicos podrían tendrían aplicaciones biomédicas para eliminar células cancerosas y
proporcionar una terapia del cáncer [18]. El Niobato de Litio no existe naturalmente, sino
que es un material sintetizado.
42
“Si los hechos no encajan en la teoría, cambie los hechos”
Albert Einstein.
3.
DESARROLLO EXPERIMENTAL
En este capítulo se detalla la configuración de los dos arreglos experimentales empleados
en la captura de micro-partículas de 1 μm de óxido de silicio, sobre la superficie de un
cristal fotorrefractivo de Niobato de Litio. Se especificara los pasos para la alineación de
las componentes opticas, así como la limpieza de estos elementos. Además se presentan las
características de las micro-esferas que se emplearon en este trabajo experimental.
3.1. Micro-esferas de óxido de silicio
La presente información de las características de las micro-partículas de oxido de silicio;
fueron tomadas de la Ficha Técnica [19] y de la Hoja de Datos de Seguridad [20] de
Polysciencies, Inc. La figura 14 proporciona la imagen de las micro-esferas.
Figura 14. Micro-esferas de óxido de silicio. Obtenidas con un microscopio electrónico de barrido de
Polysciences, Inc.
43
PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE LAS PARTICULAS DE SiO2
Composición
SiO2, no porosa
Índice de refracción
1.43-1.46 (589 nm)
Densidad
2.0 g/cm3
Constante dieléctrica
3.8
Las micro-partículas de silicio poseen un diámetro
de 1.0 +/- 0.05 μm, con una
composición de 10% óxido de silicio y 90% agua, como se aprecia en Fig.15.
Figura 15. Contenedor de partículas de óxido de silicio de 15 ml.
3.2. Limpieza de los elementos ópticos
Los componentes ópticos usados en el sistema deben estar completamente limpios.
Cualquier suciedad en las componentes ópticas causara perdidas en la potencia. Aquí se
utilizo metanol y acetona para la limpieza de las lentes.
44
3.3. Alineación de lentes y espejos
Antes de montar el dispositivo, se coloca el láser en la mesa óptica, aquí los agujeros de la
mesa sirven de guía para dar seguimiento a una sola línea. Una vez establecido el láser en
una de las líneas, se trabaja en la mínima potencia del láser; se utilizan diafragmas para el
alineado de los dispositivos ópticos Fig.16.
Figura 16. Fotografía de los diafragmas alineados en una línea en particular sobre la mesa óptica
Estos diafragmas nos sirven como pantalla y nos permiten modificar que el haz del láser
vaya en una sola dirección y a una altura constante. La descripción de los arreglos
experimentales se presenta a continuación.
3.4. Arreglo experimental
El primer arreglo consistió en atrapar las micro-partículas utilizando un haz gaussiano
directamente enfocado y el segundo arreglo fue mediante un patrón de interferencia. Se
utilizó un láser de 532 nm, debido a que el LiNbO3 absorbe mejor la luz verde por lo que el
tiempo de generación del campo eléctrico sería menor.
45
3.4.1. Arreglo con haz gaussiano enfocado
En nuestro dispositivo se utilizó un láser de longitud de onda de 532 nm y cuya potencia
máxima de salida es de 84.5 mw, a 11 cm de la salida del láser se instaló un atenuador
variable, el cual regulaba la potencia de salida.
Después se colocan a 34.5 cm un objetivo de microscopio de 5x y a 10 cm de éste una
lente, el juego del objetivo y la lente nos da como resultado un haz colimado, el propósito
de la lente es convertir la salida del láser en un haz que permanezca paralelo y con un
diámetro aproximadamente igual a la apertura del objetivo de microscopio de 60 x.
Se colocaron dos espejos planos a 45°, Figura 17, para direccionar el haz a una posición
más alta. Los dos espejos se podrían omitir colocando bases más altas para elevar la primer
parte del arreglo, pero tal configuración seria inestable.
Figura 17. Fotografías de la primer parte del arreglo. 1. Salida del Láser, 2. Atenuador, 3. Objetivo de
Microscopio 5X, 4. Lente de f= 10 cm, 5. Espejo plano 1 y 6 Espejo plano 2.
El haz colimado incide sobre uno de los espejos situado a 34 cm de la lente, es desviado 22
cm de forma vertical donde se encuentra el segundo espejo. Después de los dos espejos, el
haz es direccionado 20 cm a un dicroico 50/50, el proposito del dicroico es reflejar la
46
emisión del láser hacia la entrada del objetivo de 60 x y dejar pasar la que no proviene de
ese haz. La luz reflejada por el dicroico a la entrada del objetivo, dejaba pasar el 75 % de la
luz que recibía a la salida del objetivo.
El microscopio de 60x cumple dos funciones: por un lado enfoca al láser para lograr la
intensidad que se requiere y por otro nos permite observar las partículas mientras son
atraídas y atrapadas por el efecto fotorrefractivo de nuestro material.
A la salida del objetivo se colocó un portaobjetos y encima el cristal de LiNbO3, el cual se
encuentra dopado con 0.05 w% Fe, Fig. 18. El cristal presentaba medidas de 3.15 x 6.12
mm y 4.44 mm grosor. En la superficie del cristal se coloco una gota de agua con partículas
de óxido de silicio de 1 μm. Debajo de la muestra se ilumino mediante una lámpara de
LED’s blanca con el fin de poder visualizar las partículas a través de una cámara CCD. La
lámpara de LED evita calentar la muestra y por lo tanto, minimiza la evaporación del agua.
47
Figura 18. Fotografía de la segunda parte del primer arreglo experimental. 7. Espejo dicroico, 8. Objetivo
de microscopio 60X, 9. Gota de agua con partículas sobre la superficie de un cristal de Niobato de Litio
dopado con hierro y 10. Lámpara de LED’s blanca
Para la captura de imágenes se utilizó una cámara CCD (Dispositivo de Carga Acoplada) el
cual es un dispositivo electrónico muy sensible, ideado para captar la luz y formar una
imagen a partir de ella, convirtiendo la señal analógica a digital a través de nuestra
computadora. Para evitar la saturación debido al reflejo de la luz verde en el objetivo, se
coloco un filtro en la entrada de la CCD.
La Figura 19 muestra el bosquejo del primer arreglo experimental utilizado para la captura
de las partículas de 1 μm. Así como un acercamiento del cristal fotorrefractivo con la gota
de partículas sobre su superficie.
48
Figura 19. Esquema del primer arreglo experimental. 1. Salida del Láser, 2. Atenuador, 3. Objetivo de
Microscopio 5X, 4. Lente de f= 10 cm, 5. Espejo plano 1, 6. Espejo plano 2, 7. Espejo dicroico, 8. Objetivo
de microscopio 60X, 9. Gota de agua con partículas sobre la superficie de un cristal de Niobato de Litio
dopado con hierro, 10. Lámpara de LED’s blanca, 11. Filtro para luz verde y 12. Cámara CCD.
Una vez establecido el arreglo, se determinó el tamaño del haz enfocado que incide en la
superficie del material. Para esto se conocen los parámetros de los objetivos de
microscopio;
para el 5x,
para el 60x, y
para la
lente, como se muestra en la Figura 20, se puede encontrar el tamaño del haz enfocado a la
salida del objetivo de 60x.
49
Figura 20. Sistema de lentes para colimar y enfocar un haz gaussiano.
Esto fue posible mediante la relación
donde
es el diámetro del haz que incide sobre la muestra. El ángulo de divergencia
del láser se conoce por parte del fabricante.
También es posible calcular el tamaño del haz mediante la magnificación del objetivo de
60x, es decir
donde
es el diámetro del haz colimado.
3.4.2. Arreglo con patrones de franjas de interferencia
Para el arreglo interferométrico, solo fue necesario modificar la primera parte del primer
arreglo; el objetivo de 5X y la lente de 10 cm de focal fueron reemplazados por tres espejos
y un cubo divisor 50/50. El esquema de la nueva configuración se ilustra en la figura 21.
50
Figura 21. Segundo arreglo experimental. Se crearon los patrones de interferencia sobre la superficie del
cristal fotorrefractivo.
En esta nueva configuración no se requería colimar el haz, sino obtener dos haces a partir
de la salida de láser para obtener patrones de interferencia. Por este motivo se utilizó un
cubo divisor. El primer haz es reflejado hacia el espejo
el cual dirige el haz incidente
hacia el espejo 5 (véase figura 21), el segundo haz es transmitido e incide sobre el espejo
, para luego redirigirlo al espejo
y ser enviado hacia el espejo 5. Se quería obtener el
menor ángulo de interferencia, en este caso fue de alrededor de 4°. Con este ángulo se
obtuvo el periodo espacial sobre el cristal, el cual fue de
.
Una vez establecidos la configuración y el alineado de los arreglos experimentales; se
dispuso grabar los videos y las mediciones pertinentes de la potencia y del tiempo de
51
captura. Para las mediciones de las potencias, se procedió hacer la captura en ciertas áreas
del cristal con poca concentración de partículas, después de que se logra el atrapamiento, se
detiene la grabación del video, se bloquea el haz y se obtiene la potencia de entrada del
objetivo con un medidor de potencia; La potencia de salida del objetivo es igual a la
potencia de entrada por un factor de 0.75. Posteriormente nos desplazamos en una región
diferente en la superficie del cristal para tomar la siguiente medida. El tiempo de vida de la
solución de partículas en agua fue de 60 min, debido a que una pequeña cantidad se filtraba
por los bordes del cristal; ocasionado por el movimiento horizontal del objetivo de
microscopio cuando tomábamos una nueva medición en un área diferente en la superficie
del cristal. La otra pérdida era por la evaporación de la solución originada por iluminación
de la lámpara debajo del cristal, por lo que se obtuvieron pocos datos de captura. Es
importante resaltar que entre el cristal y la gota de solución no hay ningún cubreobjetos que
permita el sellado hermético (véase fig. 19), esto es porque el objetivo de 60x ante la
barrera de un cubreobjetos no permitía enfocar el spot en la superficie del material. Se
podía haber alargado el tiempo de vida de la muestra (gota de la solución), pero afectaría
las condiciones iniciales tales como la concentración de partículas sobre el material y la
pérdida visual de las zonas con el campo de carga espacial donde se obtuvieron los datos
anteriores.
52
"Preciso es encontrar lo infinitamente grande en lo
Infinitamente pequeño, para sentir la presencia de Dios."
Pitágoras
4.
RESULTADOS
En este capítulo se plantean las observaciones de cada uno de los arreglos experimentales.
Las gráficas obtenidas de las componentes paralela y perpendicular a la superficie del
cristal del campo evanescente, la fuerza de dielectroforesis y la relación de la potencia con
el tiempo de captura de las partículas.
4.1.
Captura con Haz Gaussiano Enfocado
Debido a que en el primer arreglo se utilizó un haz gaussiano, las ecuaciones descritas en el
capítulo 2 son validas considerando que el haz gaussiano es la mitad del periodo espacial,
tomando el diámetro del haz como una franja brillante mientras que la otra mitad del
período es la franja oscura.
4.1.1.
Campo Evanescente y Fuerza de Dielectroforesis
En las figura 22 se presentan las gráficas de las componentes perpendicular y paralela del
campo evanescente a la superficie del niobato de litio, así como la obtención de la fuerza
dielectroforética en las coordenadas espaciales X y Z, mediante las relaciones 2.20, 2.70,
2.71 y 2.77.
53
54
Figura 22. a) y b) Gráficas de la componente paralela y perpendicular del campo evanescente, c) y d) fuerza
dielectroforética en Z y X.
Se aprecia en las gráficas anteriores que en el eje z el campo evanescente decae de forma
exponencial, y en el eje x el comportamiento se asemeja a una función cosenoidal sin
embargo la distribución debe ser asimétrica por la alta modulación.
La fuerza dielectroforética en X y Z fueron positivas, esto se debe a que la constante
dieléctrica de las partículas es menor a la constante dieléctrica del agua
, y la
divergencia del campo evanescente es negativa. La fuerza de captura en Z es mayor a
comparación de la fuerza en X, pero decae conforme nos alejamos del cristal a partir de
.
4.1.2.
Captura de Micro-partículas
Se logró atrapar partículas con un haz enfocado de 14 micras a la salida del objetivo de
60X. Las mediciones que se hicieron fueron con potencias de 52.2, 51.22, 47.7, 39.15 y
31.5 mW. En la figura 23 se presentan las fotografías de captura para una potencia de 47.7
mw por minuto de exposición al láser.
55
Figura 23. Captura de micro partículas con haz gaussiano. La primera foto corresponde al haz enfocado
de 14 μm sobre la superficie del cristal, en las demás imágenes se observa el atrapamiento de las partículas en
la superficie expuesta al láser.
Como se puede apreciar en las fotografías, en los primeros minutos de exposición las
partículas van formando una circunferencia y después el círculo completo. Esto debido al
Campo evanescente generado por el gradiente de intensidad sobre la superficie del material.
Las partículas se acumularon alrededor del haz enfocado, entre la región brillante y la
región oscura. El láser permanecía prendido en el transcurso de la captura de las partículas,
después que se formaba el circulo completo se bloqueaba el láser y las partículas quedaban
adheridas a la superficie del cristal, esto es porque el campo de carga permanecía aun sin
ninguna fuente de iluminación.
Después de cierto tiempo un mayor número de partículas fueron atraídas hacia los
extremos, y se comenzaron acumular en el área ocupada por el haz. Además el
atrapamiento ocurre en un lado preferencial, esto se debe como ya señalamos en el capítulo
56
2, el campo generado provoca la captura en dirección del eje c del cristal. Si rotáramos el
cristal 180° la secuencia de fotografías del atrapamiento comenzaría por la parte de abajo.
Es importante aclarar unos aspectos de la física involucrada en el atrapamiento de un solo
haz, en la secuencia de fotografías de la figura 23 se puede observar dos regiones de
atrapamiento en ambos lados de la dirección X (lados extremos del círculo), pero fuera del
spot brillante. Para la interpretación del patrón de atrapamiento observado, hemos recurrido
a lo reportado en la literatura [16], donde se asume que el patrón espacial de las fuerzas
eléctricas generadas por el efecto fotovoltaico es generado por una distribución de dipolos
fotovoltaicos, cuya distribución sigue el perfil de intensidad de la luz. El cálculo de la
intensidad de luz y campos fotovoltaico en la superficie de la muestra en el plano Z=cte se
observa en la figura 24 a y 24 b respectivamente por medio de mapas a color.
Figura 24. Gráfica dimensional de distribución de intensidad de un haz gaussiano. (a) el cuadrado del
campo eléctrico generado por dicho haz de iluminación (b) cuadrado del campo sobre la superficie de niobato
de litio, X representa el campo fotovoltaico.
57
En la figura 24b se aprecia que hay dos máximos de campo eléctrico en los bordes del haz
que incide sobre el material fotorrefractivo. En este caso para partículas con constante
dieléctrica menor que la del medio circundante (agua), se espera de las formulas 2.20 y 2.77
una polaridad efectiva y positiva. Entonces las partículas se concentran en las regiones de
mayor
que corresponden a los límites del perfil del haz a lo largo del campo fotovoltaico
en el eje X.
Es decir, las partículas escapan desde el centro del haz y se acumulan en los puntos donde
alcanza un valor máximo. Estas dos regiones (fig. 24 b) tienen una relación significativa
en los puntos de concentración de la figura 23.
Para corroborar que la captura de micro-partículas era debido al cristal fotorrefractivo y no
por el gradiente de intensidad del laser o corrientes térmicas, sobre un portaobjetos se
coloco una gota de la solución, se coloco la muestra debajo del respectivo objetivo de
microscopio y se incidió el láser sobre la superficie del portaobjetos, después de varios
minutos de iluminación no hubo atrapamiento de partículas.
58
4.1.3.
Potencia y tiempo de captura
En esta sección se presenta los datos de la potencia laser que llegaba a la superficie del
material y el tiempo en que se lograban atrapar las partículas en la región en donde se
incidía el haz. Es importante mencionar que el criterio del tiempo de captura fue
considerado cuando las partículas formaban un círculo completo, para el caso del
atrapamiento con un haz gaussiano.
La relación de la potencia del haz a la salida del objetivo de microscopio del 60X, con el
tiempo de captura de las partículas está graficada en la Figura 25, la grafica es lineal con
pendiente negativa.
Figura 25. Ajuste lineal .Potencia de incidencia sobre la superficie de LiNbO3:Fe en relación al tiempo
de captura de las partículas.
59
El significado físico de lo anterior es que cuando incidamos mayor potencia sobre la
superficie del material, el campo de carga espacial incrementa y el tiempo de respuesta de
la formación del campo de carga espacial es menor.
4.2.
Captura con Patrón de Interferencia
Para el caso con el arreglo interferométrico, las condiciones fueron las mismas exceptuando
por el valor del periodo espacial , el cual fue de
.Por lo que los resultados fueron
distintos al caso del haz enfocado, a continuación se presentan los resultados obtenidos.
4.2.1.
Campo Evanescente y Fuerza de Dielectroforesis
Las siguientes gráficas describen el comportamiento de la componente paralela y
perpendicular del campo evanescente en la superficie del material, así como la fuerza de
dielectroforesis mediante las relaciones 2.20, 2.70, 2.71 y 2.77. Los resultados
correspondientes son cálculos teóricos.
60
61
Figura 26. a) y b) Gráficas de las componente paralela y perpendicular del campo evanescente y c) y d)
fuerza dielectroforética en Z y X.
Se observa de la figura 26, a) y b) las componentes del campo evanescente tienen una
distribución asimétrica en vez de una distribución de la forma sinusoidal, debido a la alta
modulación de luz (m≈1).
Las fuerzas de dielectroforesis en este arreglo también son positivas. La componente
paralela de la fuerza dielectroforética presenta un valor máximo de 32.5 pN en una
distancia de
, pero decae muy rápido y desaparece en
primer arreglo donde presenta un pico en
. A comparación del
y es cero a una distancia de
, pero la
fuerza de captura es menor comparado con el arreglo interferométrico.
En cambio la componente perpendicular tiene un valor muy alto en
de
y es nula a partir
, mientras que en la arreglo con haz gaussiano es cero a una altura de
62
.
4.2.2.
Captura de Micro-partículas
Se manejaron potencias de 32.25, 29.48, 23.93, 21.6 y 11.1 mW para la captura de las
micro-partículas. En la fig. 27. Se presentan las fotografías de captura para una potencia de
23.93 mW (figura 27 a) y 11.1 mW (figura 27 b). Podemos apreciar que nuestras partículas
se orientan en las líneas iluminadas del patrón de interferencia, sobre la superficie del
material. El tiempo de captura fue considerado cuando las partículas formaban las líneas del
patrón de interferencia.
Figura 27. Patrón de franjas y captura de partículas. a) Potencia de 23.93 mW cada 30 segundos y b)
Potencia de 11.11 mW.
4.2.3.
Potencia y tiempo de captura
La grafica de la potencia en relación al tiempo de captura se presenta en la Figura 28, con
pendiente negativa; de la misma manera que en el arreglo gaussiano se aplicó un ajuste
lineal a los datos.
63
Figura 28. Ajuste lineal .Potencia de incidencia sobre la superficie de LiNbO3: Fe en relación al tiempo
de captura de las partículas.
En comparación con los resultados obtenidos del haz gaussiano, el tiempo y la potencia de
captura son menores usando un patrón de interferencia. La potencia mínima de captura en
este segundo arreglo es de 11.11 mW con un tiempo de 7 minutos, en cambio la potencia
mínima en el primer arreglo fue de 31.5 mW y un tiempo de captura de 14minutos y 30
segundos. Por lo que la eficiencia de atrapamiento es mayor utilizando un patrón de
interferencia.
64
“En Ciencia el reconocimiento se concede al hombre que convence
Al mundo, no a aquel a quien se le ocurre la idea”.
William Osler.
5.
CONCLUSIONES
Se logró demostrar experimentalmente, que al incidir luz con una determinada longitud de
onda. En este caso utilizando una iluminación con una longitud de onda de
, dentro
del marco de absorción de un material fotorrefractivo ,se produce dentro del cristal un
campo de carga espacial, el cual genera un campo evanescente en la superficie del material,
y varía cuando nos alejamos de la superficie. Los gradientes de intensidad generados por
este campo, permiten la captura de micro-partículas mediante la fuerza de dielectroforesis.
En este caso se utilizaron micro-partículas de óxido de silicio inmersas en agua. Y se logró
la captura utilizando un haz directo y por franjas de interferencia.
Campo Evanescente y Fuerza de Dielectroforesis
De las gráficas de las figuras 21 y 24 del capítulo anterior, se aprecia que ambos resultados
de la componente paralela y perpendicular del campo evanescente decae exponencialmente
en el eje z. Mientras que en el eje x las componentes del campo evanescente tienen una
distribución asimétrica en vez de una distribución de la forma sinusoidal, esto ocasionado
por la alta modulación m≈1 de la luz incidente, este comportamiento es más notorio en el
arreglo interferométrico.
En ambos experimentos los componentes de la fuerza de dielectroforesis fueron positivos,
lo que indica que las partículas serán atraídas hacia las regiones de mayor intensidad del
campo eléctrico. Las componentes paralela y perpendicular de la fuerza dielectroforética
son mayores para el experimento 2, pero decaen rápidamente hasta ser nula a partir de
; en cambio las fuerzas de captura con el haz gaussiano son menores, pero no decaen
tan
rápido
como
la
captura
con
65
franjas
de
interferencia.
Es decir, el rango en la captura es mayor tanto sobre la superficie, como lo a largo del
cristal.
Captura de micro-partículas
En el primer experimento las partículas se atraparon en los bordes izquierdo/derecho de la
circunferencia donde incidía el haz, que son las regiones de máximo valor de
debido a la
orientación del cristal en el eje óptico. La acumulación de partículas en las zonas dio origen
al círculo. Para el arreglo interferométrico, se observa de las fotografías que las partículas
fueron capturadas en las zonas brillantes del patrón de interferencia.
Potencia y tiempo de captura
La relación de la potencia con el tiempo de captura de las partículas fue lineal con una
pendiente negativa. Esto nos dice que cuando mayor sea la potencia de salida, el tiempo de
generación del campo de carga espacial es menor y el atrapamiento se logra en un tiempo
corto. En caso inverso, a menor potencia el tiempo para la captura es mayor.
La diferencia de captura entre los arreglos, es que hay una mayor eficiencia de
atrapamiento en el experimento con franjas de interferencia, el tiempo de captura es menor ,
e inclusive con una mínima potencia se puede atrapar con una eficiencia similar a la
potencia máxima de captura al utilizar un haz gaussiano enfocado sobre el cristal.
Trabajo Futuro
Como trabajo futuro se propone trabajar con otros tipos de partículas que difieran en
estructura geométrica y material. De igual manera, las partículas a utilizar se encuentren
inmersas en medios diferentes. Y por último, el tipo de haz de captura utilizando un haz
Bessel, hologramas o patrones de interferencia con un periodo espacial menor al utilizado
en este trabajo.
66
APÉNDICES
Se presenta a continuación los códigos de los programas elaborados en Matlab; los cuales
se utilizaron para la obtención de las gráficas y análisis de los datos de los resultados
obtenidos.
A. Campo de Carga Espacial
Para ilustrar el comportamiento del campo de carga espacial en estado estacionario en un
material fotorrefractivo, en este caso para el BSO, se realizo el siguiente programa.
%Campo de carga espacial en estado estacionario para el BSO
kB=1.3806504E-23;
%Constante de Boltzmann
e=1.602E-19;
%Carga del electrón
e0=8.8541878E-12;
%Permitividad en el vacio
NA=1E22;
%Densidad de aceptores ionizados
ND=1E25;
%Densidad de aceptores
eS=56*e0;
%Constante dieléctrica
T=294;
%Temperatura
m=1;
%Modulación
a=NA/ND;
%Constante para el campo de saturación
%Parte 1. Definir K.
N=303;
%Número de Elementos
67
L=linspace(0,30,N);
%Periodo espacial
L=L.*(1E-6);
K=(2.*pi)./L;
%Vector de onda
%Parte 2. Evaluar constantes según K
ED=(kB.*T.*K)./e;
%Campo de difusión
Eq=(e*NA)*(1-a);
Eq=Eq./(eS.*K);
%Campo de saturación
%Parte 3. Calcular Esc
for E0=0:3E5:12E5;
%Definir las constantes A, B para el Esc
c=ED+Eq+(1i*E0);
B=-E0+(1i*ED);
B=B.*Eq;
A=c;
Esc=(m*B./A);
%Campo de carga espacial
%Parte 4. Crear las Figuras
68
figure(1)
plot(L/1E-6,abs(Esc/1E5))
%Para el modulo de Esc
xlabel(' \Lambda ( \mum)')
ylabel('|E_{sc}| (kV/cm)')
hold on
figure(2)
plot(L/1E-6,imag(Esc/1E5))
%Para la parte imaginaria de Esc
xlabel(' \Lambda ( \mum)')
ylabel('Im(E_{sc}) (kV/cm)')
hold on
End
B. Fuerza de Dielectroforesis
El siguiente programa se desarrollo para obtener las gráficas de las componentes
paralela y perpendicular del campo evanescente y las fuerzas de dielectroforesis.
%Fuerza de dielectroforesis
R=0.5E-6;
%Radio de la partícula
e0=8.8541878E-12;
%Permitividad en el vacio
eM=29*e0;
%Constante dieléctrica del material
K=2*pi/4E-6;
%Vector de onda
69
em=78.5*e0;
%Constante dieléctrica del medio
ep=3.8*e0;
%Constante dieléctrica de la partícula
alpha=(ep-em)/(ep+2*em);
%Factor Clausius-Mossotti
m=1;
%Modulación
EPV=1E6;
%Campo fotovoltaico
Esc=m*EPV
%Campo de carga espacial
EB=((eM*Esc)/(eM-em));
%Campo de volumen
%Definir x y z
N=202;
%Número de Elementos
x=linspace(0,10,N);
%Eje x
x=x.*(1E-6);
z=linspace(0,10,N);
%Eje z
z=z.*(1E-6);
[X,Z]=meshgrid(x,z);
%Componentes paralela y perpendicular del
campo evanescente
Ex=-EB*exp(-K*Z).*(cos(K*X))-EB*exp((-
%Componente paralela
2*K)*Z).*(cos((2*K)*X));
Ez=EB*exp(-K*Z).*sin(K*X)+EB*exp((-
%Componente perpendicular
70
2*K)*Z).*(sin((2*K)*X));
divEkis=2*K*EB^2*exp((-
%Divergencia del campo evanescente
3*K).*z).*((sin(K.*x).*cos((2*K).*x))-
en eje x
(sin((2*K).*x).*cos(K.*x)));
F=2*pi*R^3*em*alpha*divEkis;
%Fuerza de dielectroforesis en x
divEzeta=-2*K*EB^2.*(exp((-
%Divergencia en z
2*K).*z)+2*exp((-4*K).*z)+3*exp((3*K).*z).*((cos(K.*x).*cos((2*K).*x))+(sin((2
*K).*x).*sin(K.*x))));
F1=2*pi*R^3*em*alpha*divEzeta;
%Fuerza de dielectroforesis en zeta
%Creación de las Figuras
figure(1)
mesh(X/1E-6,Z/1E-6,Ex/1E5)
title('Componente
Paralela
del
Campo
Eléctrico')
xlabel('x (\mum)')
ylabel('z (\mum)')
zlabel('E_x (kV cm^{-1})')
grid on
figure(2)
mesh(X/1E-6,Z/1E-6,Ez/1E5)
71
title('Componente Perpendicular del Campo
Eléctrico')
xlabel('x (\mum)')
ylabel('z (\mum)')
zlabel('E_z (kV cm^{-1})')
grid on
figure(3)
plot(x/1E-6,F/1E-12)
title('Fuerza de Dielectroforesis en x')
xlabel('x (\mum)')
ylabel('F (pN)')
figure(4)
plot(z/1E-6,F1/1E-12)
title('Fuerza de Dielectroforesis en z')
xlabel('z (\mum)')
ylabel('F (pN)')
72
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