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M a e s t r í a
e n I n g e n i e r í a M e c á n i c a
- T e r m o f l u i d o s Mt19.6 Transferencia de Energía I
j.m. riesco a.
Tarea No. 2
1.
Usando el volumen de control mostrado en la
Figura P.1, obtenga la ecuación de calor en
coordenadas cilíndricas.
4.
Considere condiciones en estado permanente
para una conducción unidimensional en una
pared plana que tiene una conductividad
térmica k = 50 W/m.K y un espesor L = 0,25 m,
sin generación interna de energía-
Figura P.1
2.
Figura P.3
Usando el volumen de control mostrado en la
Figura P.2, obtenga la ecuación de calor en
coordenadas esféricas.
Determine el flujo de calor y la cantidad
desconocida para cada caso y dibuje la
distribución de temperatura, indicando la
dirección del flujo de calor.
Figura P.2
3.
Para determinar el efecto de dependencia de la
temperatura de la conductividad térmica sobre
la distribución de temperatura en un sólido,
considere un material para el que esta
dependencia puede representarse como
k = k 0 + aT
Donde k0 es una constante positiva y a es un
coeficiente que puede ser positivo o negativo.
Dibuje la distribución de temperatura en estado
permanente asociada con la transferencia de
calor en una pared plana para tres casos que
corresponden a a > 0, a = 0 y a < 0.
5.
Caso
T1(°C)
T2(°C)
1
50
-20
2
-30
-10
3
70
dT/dx (K/m)
160
4
40
-80
5
30
200
Un aparato para medir la conductividad térmica
emplea un calentador eléctrico intercalado entre
muestras idénticas de 30 mm de diámetro y
60 mm de longitud, prensadas entre placas que
se mantienen a una temperatura uniforme
T0 = 77°C mediante la circulación de un fluido.
Se pone grasa conductora entre todas las
superficies para asegurar un buen contacto
térmico. Se empotran termopares diferenciales
en las muestras con un espaciado de 15 mm.
Las caras laterales de las muestras se aíslan
para asegurar una transferencia de calor
unidimensional a través de las muestras.
Súbitamente el calentador se energiza para
proporcionar un flujo de calor uniforme
q0'' en
cada una de las interfaces de la muestra, y el
flujo de calor se mantiene constante durante un
intervalo ΔT0. Poco tiempo después de que se
inicia el calentamiento súbito, la temperatura en
su interfaz T0 se relaciona con el flujo de calor
como
⎛ t ⎞
⎟
T0 (t ) − Ti = 2q ⎜
⎜ πρ c k ⎟
p ⎠
⎝
1
2
''
0
Para un ejercicio de prueba particular, el
calentador eléctrico disipa 15,0 W por periodo
ΔT0 = 120 s y la temperatura en la interfaz es
T0(30 s) = 24,57°C después de 30 s de
calentamiento. Mucho tiempo después de que
el calentador se desconecta, t >> ΔT0, las
muestras alcanzan la temperatura uniforme
T0(∞) = 33,50°C. La densidad de los materiales
de la muestra, determinada por mediciones de
volumen y masa, es ρ = 3 965 kg/m3.
Figura P.5
(a) Con dos muestras de SS316 en el aparato,
el calentador toma 0,353 A a 100 V y los
termopares
diferenciales
indican
ΔT1 = ΔT2 = 25,0°C.
¿Cuál
es
la
conductividad térmica del material de la
muestra de acero inoxidable?¿Cuál es la
temperatura promedio de las muestras?
Compara su resultado con el valor de
conductividad térmica que se reporta en la
literatura para este material.
(b) Por error, se ha puesto una muestra de
hierro Armco en la posición inferior del
aparato con una de las muestras de SS316
de la parte (a) en la parte superior. Para
esta situación, el calentador toma o,601 A
a 100 V, y los termopares diferenciales
indican ΔT1 = ΔT2 = 15,0°C.¿Cuál es la
conductividad térmica y la temperatura
promedio de la muestra de hiero Armco?
(c) ¿Cuál es la ventaja de construir el aparato
con el calentador intercalado entre dos
muestras idénticas y en lugar de
construirlo con una sola combinación
muestra-calentador?¿Cuándo
resulta
significativo el escape de calor por la
superficie lateral de las muestras?¿Bajo
qué condiciones esperaría que ΔT1 ≠ ΔT2?
6.
Un método para determinar la conductividad
térmica y el calor específico de un material se
ilustra en la Figura P.6. Inicialmente las dos
muestras idénticas de diámetro D = 60 mm y
espesor L = 10 mm y el delgado calentador
están a una temperatura uniforme de
Ti = 23,00°C, mientras está rodeado por un
polvo aislante.
Figura P.6
Determine el calor específico y la conductividad
térmica del material de prueba. Con los valores de
las propiedades termofísicas reportadas en la
literatura, identifique el material de la muestra de
prueba.
7.
Un estanque solar con gradiente salino es un
cuerpo de agua poco profundo que consiste en
tres capas fluidas distintas y se utiliza para
colectar energía solar. Las capas superior e
inferior están bien mezcladas y sirven para
mantener las superficies superior e inferior de la
capa central a temperaturas uniformes T1 y T2,
donde T2 > T1. Aunque hay un movimiento de
fluido global en las capas mezcladas, no existe
este tipo de movimiento en la capa central.
Considere condiciones para las que la
absorción de la radiación solar en la capa
central proporciona una generación no uniforme
de
calor
de
la
forma
q& = Ae − ax , y la
distribución de temperatura en la capa central
es
T (x ) =
(a) Escriba la ecuación diferencial y las
condiciones de frontera para la conducción
unidimensional en estado permanente a
través de la pila de carbón.
A − ax
e + Bx + C
ka 2
(b) Obtenga una expresión para la distribución
de temperaturas en la pila de carbón y el
flujo de calor en x = L, resolviendo la
ecuación diferencial.
Las cantidades A (W/m3), a (1/m), B (K/m) y C
(K) son constantes conocidas que tienen las
unidades que se establecen, y k es la
conductividad térmica, que también es
constante.
(c) Evalúe las temperaturas en x = 0 y x = L
para las condiciones establecidas, así como
q’’.
(d) Los valores promedio diarios de Gs y h
dependen de un número de factores como la
época del año, la nubosidad y las
condiciones de viento. Para h = 5 W/m2.K,
calcule y elabore una gráfica de Ts y T(0)
como función de Gs para 50 ≤ Gs ≤ 500
W/m2. Para Gs = 400 W/m2, calcule y
elabore una gráfica de Ts y T(0) como
función de h para 5 ≤ h ≤ 50 W/m2.K.
Figura P.7
(a) Obtenga expresiones para la rapidez a la
que se transfiere calor por unidad de área
de la capa inferior mezclada a la capa
central y de la capa central a la capa
superior mezclada.
(b) Determine si las condiciones
permanentes o transitorias.
son
(c) Obtenga una expresión para la rapidez a la
que se genera energía térmica en la capa
central, por unidad de área superficial.
8.
Una pila de carbón de espesor L = 1 m
experimenta una generación volumétrica
uniforme a razón de q& = 20 W/m3 debido a la
oxidación lenta de las partículas de carbón.
Promediada en un periodo diario, la superficie
superior de la capa transfiere calor por
convección al aire del ambiente para el que
h = 5 W/m2.K y T∞ = 25°C, mientras recibe
irradiación solar por la cantidad de
Gs = 400 W/m2. La absortividad y emisividad
solar de la superficie son cada una
αs = ε = 0,95.
Figura P.8
9.
Cuando una sección larga de una línea de aire
comprimido pasa a través del exterior, se
observa que la humedad que existe en el aire
comprimido se congela cuando el clima es frío,
perturbando e incluso bloqueando por completo
el flujo de aire en el tubo. Con el fin de evitar
este problema, la superficie exterior del tubo se
envuelve con calentadores eléctricos de cinta y,
a continuación, se aísla.
Considere un tubo de aire comprimido de L = 6
m, radio interior r1 = 3,7 cm, radio exterior r2 =
4,0 cm y conductividad térmica k = 14 W/m.K
equipado con un calentador de cinta de 300 W.
El aire está fluyendo por el tubo a una
temperatura promedio de -10°C y el coeficiente
promedio de transferencia de calor por
convección es h = 5 W/m2.K. Suponiendo que
15% del calor generado en el calentador de
cinta se pierde a través del aislamiento, (a)
exprese la ecuación diferencial y las
condiciones de frontera para la conducción
unidimensional de calor en estado permanente
a través del tubo, (b) obtenga una relación para
la variación de la temperatura en el material del
tubo, resolviendo la ecuación diferencial, y (c)
evalúe las temperaturas de las superficies
interior y exterior del propio tubo.
Figura P.10
11. Considere una placa grande de latón de 5 cm
de espesor (k = 111 W/m.K) en la cual se
genera uniformemente calor a razón de 2 x 105
W/m3. Uno de los lados de la placa está
aislado, en tanto que el otro está expuesto a un
medio a 25°C, con un coeficiente de
transferencia de calor de 44 W/m2.K. Explique
en qué sitios de la placa se localizarán las
temperaturas más alta y más baja, y determine
sus valores.
Figura P.9
10. En una instalación de procesamiento de
alimentos se usa un recipiente esférico de radio
interior r1 = 40 cm, radio exterior r2 = 41 cm y
conductividad térmica k = 1,5 W/m.K para
almacenar agua caliente y mantenerla a 100°C
en todo momento. Para realizar esto, la
superficie exterior del recipiente se envuelve
con un calentador eléctrico de cinta de 500 W y,
a continuación, se aísla. Se observa que, en
todo instante, la temperatura de la superficie
interior del recipiente está cercana a 100°C. Si
se supone que 10% del calor generado en el
calentador se pierde a través del aislamiento,
(a) exprese la ecuación diferencial y las
condiciones de frontera para la conducción
unidimensional de calor en estado permanente
a través del recipiente, (b) obtenga una relación
para la variación de la temperatura en el
material de ese recipiente, resolviendo la
ecuación diferencial y (c) evalúe la temperatura
de la superficie exterior del propio recipiente.
También determine cuánta agua a 100°C puede
suministrar este tanque de manera permanente,
si el agua fría entra a 20°C.
12. Una mezcla química reactiva se almacena en
un contenedor esférico de pared delgada cuyo
radio es r1 = 200 mm, y la reacción exotérmica
genera calor a una razón volumétrica uniforme,
pero dependiente de la temperatura de
q& = q& 0 exp(− A / T0 ) donde q& 0 = 5000 W/m3,
A = 75 K, y T0 es la temperatura de la mezcla
en kelvin. El recipiente está encerrado por un
material aislante de radio exterior r2,
conductividad térmica k y emisividad ε. La
superficie externa del aislante experimenta una
transferencia de calor por convección y un
intercambio neto de radiación con el aire
adyacente y los alrededores, respectivamente.
Figura P.12
(a) Escriba la forma de estado permanente de
la ecuación de difusión de calor para el
aislante. Verifique que esta ecuación se
satisfaga
con
la
distribución
de
temperaturas
⎡ 1 − (r1 r ) ⎤
T (r ) = Ts ,1 − (Ts ,1 − Ts , 2 )⎢
⎥
⎣1 − (r1 r2 ) ⎦
Dibuje la distribución de temperaturas,
T(r), y señale las características clave.
(b) Aplicando la ley de Fourier, muestre que la
rapidez de transferencia de calor por
conducción a través del aislante se
expresa como
qr =
4π k (Ts ,1 − Ts , 2 )
(1 r1 ) − (1 r2 )
Aplicando un balance de energía a una
superficie de control alrededor del
recipiente,
obtenga
una
expresión
alternativa para qr y exprese sus
resultados en términos de q& y r1.
13. Considere una pieza esférica homogénea de
material radiactivo de radio exterior r0 = 0,04 m
que está generando calor a una razón
constante de q& =4 x 107 W/m3. El calor
generado se disipa hacia el medio de manera
permanente. La superficie exterior de la esfera
se mantiene a una temperatura uniforme de
80°C y la conductividad térmica de la esfera es
k = 15 W/m.K. Si se supone una transferencia
de calor unidimensional en estado permanente,
(a) exprese la ecuación diferencial y las
condiciones de frontera para la conducción de
calor a través de la esfera, (b) obtenga una
relación para la variación de la temperatura en
ella, resolviendo la ecuación diferencial y (c)
determine la temperatura en el centro de la
misma.
14. La pared plana con propiedades constantes y
sin generación interna de energía que se
muestra en la figura está inicialmente a una
temperatura Ti. La superficie en x = L se
calienta de pronto con un fluido a T∞ que tiene
un coeficiente de transferencia de calor por
convección h. La frontera en x = 0 está
perfectamente aislada.
(c) Aplicando un balance de energía a una
superficie de control alrededor de la
superficie externa del aislante, obtenga
una expresión de la cual Ts,2 pueda
determinarse como función de q& , r1, h, T∞,
ε y Tair.
(d) El ingeniero de procesos desea mantener
una
temperatura
de
reactor
de
T0 = T(r1) = 95°C en condiciones para las
k = 0,05 W/m.K,
r2 = 208 mm,
que
h = 5 W/m2K,
ε = 0,9, T∞ = 25°C y
Tair = 35°C. ¿Cuál es la temperatura de la
superficie externa del aislante, Ts,2?
(e) Calcule y elabore una gráfica de la
variación
de
Ts,2
con
r2
para
201 ≤ r2 ≤ 210 mm. El ingeniero está
preocupado por las lesiones y quemaduras
que pueda sufrir el personal que esté en
contacto con la superficie expuesta del
aislante. ¿El aumento del espesor del
aislante es una solución práctica para
Ts,2 ≤ 45°C? ¿Qué otros
mantener
parámetros hay que variar para reducir
Ts,2?
Figura P.14
(a) Escriba la ecuación diferencial e identifique
las condiciones inicial y de frontera que
servirían para determinar la temperatura
como función de la posición y del tiempo
en la pared.
(b) En coordenadas T – x, dibuje las
distribuciones de temperatura para las
siguientes condiciones: condición inicial
(t ≤ 0), condición en estado permanente
(t → ∞) y dos tiempos intermedios.
(c) En coordenadas q x – t, dibuje el flujo de
''
calor en x = 0 y x = L. Es decir, muestre de
forma cualitativa cómo q x (0, t ) y q x (L, t )
''
''
varían con el tiempo.
(d) Escriba una expresión para la energía total
transferida a la pared por unidad de
volumen de la pared (J/m3).
15. Una pared plana con propiedades constantes
está inicialmente a una temperatura uniforme
T0. De pronto, la superficie en x = L se expone
a un proceso de convección con un fluido a T∞
(>T0) que tiene un coeficiente de convección h.
También repentinamente la pared experimenta
un calentamiento volumétrico interno uniforme
q& que es suficiente para inducir una
temperatura de estado permanente máxima
dentro de la pared, temperatura que excede la
del fluido. La frontera en x = 0 permanece a T0.
Figura P.15
(a) En coordenadas T – x, dibuje las
distribuciones de temperatura para las
siguientes condiciones: condición inicial
(t ≤ 0), condición en estado permanente
(t → ∞) y dos tiempos intermedios.
Muestre también la distribución para la
condición especial cuando no hay un flujo
de calor en la frontera x = L.
(b) En coordenadas q x – t, dibuje el flujo de
''
calor en x = 0 y x = L, es decir, q x (0, t ) y
''
q x'' (L, t ) , respectivamente.