1. Educación

ELEMENTOS DE MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
Profesor: Dr. Armando Ortiz Prado
Semestre: 2015-1
M.C. Juan Armando Ortiz Valera
Serie No 6. Tema: 7
Grupo del Dr. A. Ortiz Prado 31/octubre/2014 en el transcurso de la clase.
Grupo del Ing. J. A. Ortiz Valera 29/octubre/2014 en el transcurso de la clase.
Resolver los 7 ejercicios
7) Sólido Elástico
1. Verifique si para un material incompresible (ν → 1/2) se cumple que:
a. La ley de Hooke tome la forma:
 ij  2 ij  13 ( kk ) ij
b. Las constantes elásticas se expresen como:

E
;    ; k   ; pero k     2 3  
3
2. Un sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico presenta un módulo de elasticidad de
72 GPa. Una pieza del material antes mencionado es sometida a una serie de solicitaciones
las cuales provocan en un punto del cuerpo una distorsión representada mediante el tensor
eij
 4 1 2 
m


eij   1 4 3  x103
m
 2 3 6 


Con base a lo anterior y considerando que la deformación está dentro del rango elástico,
determine:
a) el tensor de deformación y rotación asociados
b) ¿cómo se puede definir el flujo del material con base en la respuesta anterior?
c) las deformaciones principales
d) el tensor de esfuerzos
e) los esfuerzos principales
f) el desviador de esfuerzos
g) los esfuerzos principales asociados al desviador
h) la energía por unidad de volumen asociada a la deformación elástica
3. Un barco pesquero es accionado por un motor diesel de 1000 Kw  W  , el cual genera su



máximo par T  a 2000 rpm  N  . El motor está conectado a la transmisión, la cual produce


una reducción en la velocidad angular  n  N motor  n  10 , accionado a su vez la flecha (eje)


N flecha 
que transmite el movimiento a la hélice.
a. ¿Cuáles serán los esfuerzos a los que estará sometido el eje que transmite el movimiento
a la hélice?
b. Desarrolle una expresión para determinar los esfuerzos en la flecha de transmisión
considerando que ésta es sólida, de sección circular, diámetro D y longitud L . Considere
que la deformación es elástica y que el material es un sólido elástico, homogéneo e
isotrópico.
c. Estado de esfuerzos en el eje si la hélice produce un empuje de 50KN. En qué puntos se
presentan las máximas solicitaciones y cuál es su magnitud.
3. La ecuación constitutiva de un sólido, elástico, homogéneo, lineal e isotrópico se expresa
como:
1
 ij 
 ij 1    kkij 
2 1  
donde:  - deformación
 - esfuerzo
 - Módulo de Rigidez a corte (Representa la relación del esfuerzo de corte a la
deformación angular)
 - Coeficiente de Poisson     T  l (Representa la relación de la deformación
transversal a la longitudinal)
Con base a lo anterior desarrolle las ecuaciones representadas a través de la notación índice.
En el rango elástico la relación esfuerzo deformación es lineal y la energía de deformación
se expresa como: dw   ij d  ij
Considerando lo antes expuesto determine la expresión, en notación índice que representa
el trabajo de deformación elástica.
4. Verifique si la siguiente función solución de Airy (), es solución de la para la viga
horizontal de la figura 1, considere que existe simetría con relación a la carga aplicada
 f  mg  . Asimismo considere que el cable que transmite la carga se encuentra a un ángulo
  . Con respecto a la horizontal. Defina los esfuerzos y deformaciones en la viga. Ambas
vigas tienen longitud L y momento de inercia I33 con respecto al momento flector M f
sobre el eje x3 . Con base en lo anterior, la carga f se podrá descomponer en dirección
longitudinal de la viga ( P) y en dirección vertical ( F ) .

3F
P 2
x1 x2  x1 x23  
x2

4 I 33
4ca
Además defina además cuál el estado de esfuerzos y de deformación asociado.
Considere que el material se comporta como un sólido elástico homogéneo e isotrópico,
con constantes elásticas E , ,  , K ,  .
Figura 1
5. Con base en las ecuaciones de la teoría infinitesimal de la elasticidad (ecuaciones de
Navier), las cuales en forma general se expresan como:
0
 2u
 0 B          u     u 
t 2
Determine la relación existente entre las constantes elásticas, como el módulo de
elasticidad y el de rigidez a corte con la velocidad de las ondas elásticas en dirección
longitudinal y transversal, esto para un sólido de Hooke  E  E  vL ,  ,    ;       , vT  ; E módulo de elasticidad,  -constante de Lamé,  - densidad, vT -velocidad de la onda
transversal, vT -velocidad de la onda longitudinal. Para el análisis desprecie el efecto de las
fuerzas de cuerpo. La ecuación de desplazamiento de las ondas elásticas se puede expresar
como:
ui  xi , t   u1  x1 , t  eˆ1  u2  x1 , t  eˆ2  u3  x1 , t  eˆ3
Donde el la onda longitudinal se desplaza en dirección de x1 , mientras que las ondas
transversales lo hacen en dirección x2 y x3 . La velocidad longitudinal de la onda elástica
está dada por vL y la transversal es vT
u1  a sin
2
 x1  vL t 

2
u2  a sin
 x1  vT t 

2
u3  a sin
x v t
 1 T
En virtud de tratarse de un fenómeno elástico y siendo éste lineal es factible de ser
necesario, aplicar el principio de superposición. Considerando que en un material isotrópico
el coeficiente de Poisson es   1 3 , determine el módulo de elasticidad en función de la
velocidad de la onda elástica.
6. Obtenga la función de Airy, a través de la cual se describe el estado de esfuerzos para
una viga simplemente apoyada que se encuentra bajo la acción de una carga concentrada,

de magnitud f 2 , la cual se aplica en el centro de la estructura
. La viga tiene una
2
longitud entre apoyos  , su altura es h y el momento de inercia de la sección transversal
es I33
7. Desarrolle el sistema de ecuaciones diferenciales, en coordenadas polares, para un estado
de deformación biaxial. Considerando un tubo de pared gruesa, tal como se presenta en la
figura 2. ¿Cuál es la función de Airy solución del problema?
Figura 2. Tubo de pared gruesa sometido a presiones interna y externa.