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CASINO MATEMÁTICO
“Vinculando conocimiento con entretenimiento”
Por
JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ
MEDELLÍN
2014
TORRES DE HANOI
INSTRUCCIONES:
1.
2.
(JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ)
Encuentran una torre con tres columnas y varias
arandelas o discos de diferentes tamaños…empezaremos
con tres (3) discos e iremos aumentando de uno en uno,
cada vez que se cumpla el reto propuesto.
El reto inicial consiste en pasar los 3 discos o arandelas
de la primer columna a la tercera, de acuerdo con las
siguientes condiciones o reglas:
a) Podemos pasar solo una arandela a la vez
b) No podemos colocar una arandela de tamaño mayor
encima de una de tamaño menor
c) Gana quien logre hacerlo en el menor número de
movimientos y explicarlo a la otra pareja, así:
Para 3 discos = 7 movimientos
Para 4 discos = 15 movimientos
Para 5 arandelas = 31 movimientos
Para 6 arandelas = ¿?
Para 7 arandelas = ¿?
NOTA: Si alguien intenta realizar o realiza fraude, se anulan
todos los puntos que lleve la pareja hasta ese momento
3) Podrían determinar una estrategia para cumplir con el reto
antes de 1 minuto al igual que la regla o fórmula a seguir para
determinar el menor número de movimientos, según el número
de discos a trasladar
CAPITULO 2: ALCANCE LA ESTRELLA O CONCENTRESE
ALCANCE LA ESTRELLA O CONCÉNTRESE
INSTRUCCIONES:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ)
Encuentran un tablero con fichas enumeradas del 1 al
20.
Las diez primeras, del 1 al 10, contienen diferentes
preguntas
Las diez restantes, del 11 al 20, contienes las respectivas
respuestas de dichas preguntas, pero en desorden
Cada pareja, por turnos, debe tomar al azar ( sin mirar su
contenido) una PREGUNTA y una RESPUESTA
En máximo 2 minutos, deben analizar si la respuesta
corresponde o da solución a la pregunta formulada y
explicar su solución a la otra pareja
Gana quien logre obtener el mayor número correcto de
parejas
NOTA: Si alguien intenta realizar o realiza fraude, se anulan
todos los puntos que lleve la pareja hasta ese momento
7. Podrían determinar una estrategia para cumplir con el reto
antes de 1 minuto al igual que la regla o fórmula a seguir para
determinar la suma de dicho cuadrado, según el número de
cuadritos con que se cuente
CAPITULO 3: CUADRADO MÁGICO
CUADRADO MÁGICO 4X4
INSTRUCCIONES:
3.
4.
(JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ)
Encuentran un tablero de 4x4 y fichas con los números
del 1 al 16.
El reto inicial consiste en colocar los números del 1 al 16
sin repetirlos, de acuerdo con las siguientes condiciones o
reglas:
d) La suma de los números en cada fila, columna o
diagonal debe ser siempre 34
e) No podemos repetir los números del 1 al 16
f) Gana quien logre hacerlo en el menor tiempo posible
NOTA: Si alguien intenta realizar o realiza fraude, se anulan
todos los puntos que lleve la pareja hasta ese momento
3. Podrían determinar una estrategia para cumplir con el reto
antes de 1 minuto al igual que la regla o fórmula a seguir para
determinar la suma de dicho cuadrado, según el número de
cuadritos con que se cuente
4. ¿Qué ocurre, con dicha estrategia; si el cuadrado es de 6x6;
para colocar los números del 1 al 36 y la suma, en cualquier
dirección debe ser 111?
CAPITULO 4: DADOS DESAFIANTES
DADOS DESAFIANTES
INSTRUCCIONES:
5.
6.
7.
(JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ)
Encuentran dos dados, marcados con las letras; R de reto
y D de desafío y unas fichas con los respectivos desafíos
o retos
El reto inicial consiste en cumplir un reto o desafío en
máximo 2 minutos, de acuerdo con las siguientes
condiciones o reglas:
g) Cada pareja, por turnos lanzan los dados
h) Si ellos caen en D y D, toman un desafío, lo leen duro y
lo intentan cumplir
i) Si ellos caen en R y R, toman un reto, lo leen duro y lo
intentan resolver
j) Si caen en D y R, se pierde el turno…y continúa la otra
pareja
k) Gana quien logre cumplir más retos o desafíos en el
tiempo
Podrían determinar una estrategia para cumplir con el
reto antes de 1 minuto al igual que la regla o fórmula a
seguir para cumplir el desafío correspondiente
NOTA: Si alguien intenta realizar o realiza fraude, se anulan
todos los puntos que lleve la pareja hasta ese momento
CAPITULO 5: ESTRELLA DE DAVID
ESTRELLA DE DAVID
INSTRUCCIONES:
8.
(JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ)
Encuentran 9 chaquiras o granos y un tablero con una
estrella de David, que tiene 10 puntos de intersección
Punto de intersección
9.
El reto inicial consiste en tapar nueve (9) de esos puntos
de intersección, de acuerdo con las siguientes
condiciones o reglas:
l) Antes de colocar un grano o chaquira en un punto de
intersección; debo contar tres puntos en línea recta
m)No podemos comenzar a contar desde un punto ya
tapado con un grano o chaquira
n) Gana quien logre hacerlo en el menor tiempo posible
3) Podrían determinar una estrategia para cumplir con el reto
antes de 1 minuto al igual que la regla o fórmula a seguir para
determinar la forma más adecuada de cumplir con lo propuesto
4) ¿Qué ocurre, con dicha estrategia; si el aumentamos el
número de puntas de la estrella a 7?
CAPITULO 6: KIKIRIKI
KIKIRIKI
INSTRUCCIONES:
(JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ)
10. Encuentran un POKER O REMIX o juego de cartas de salón
o) Se deben revolver y repartir, por partes iguales, entre
todos los integrantes
p) Cada participante debe tener su mazo o montón de
cartas, boca –abajo, e irá lanzando una por una, de
acuerdo al turno, de derecha a izquierda, iniciando el
juego quien reparta las cartas
q) Se debe tener en cuenta las siguientes cartas y cuando
salgan, cada jugador debe realizar la acción a que ella
invita…si no lo hace o se equivoca en la acción; debe
recoger todas las cartas que hayan en la mesa:
- Si sale un UNA K= REY…todos hacemos la venia o saludo
sin decir nada
-Si sale una JOTA (J)…todos decimos “buenas tardes
caballero”
-Si sale una Q= REINA…todos decimos “buenas tardes
señorita”
-Si sale un cinco (5)…todos decimos “KIKIRIKI”
-Pero si sale cualquier equis (X)….todos lanzamos la
mano (Sin decir nada); para tapar las cartas que hemos
tirado a
la mesa…EL ÚLTIMO EN COLOCAR LA
MANO….recoge todas las cartas que haya en la mesa.
CAPITULO 7: NUDO MÁGICO
NUDO EN LA CORREA
INSTRUCCIONES:
(JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ)
11. Encuentran dos cuerdas o pitas, una para cada pareja
12. El reto inicial consiste en realizar un nudo central en la
cuerda, de acuerdo con las siguientes condiciones o
reglas:
r) Se prohíbe soltar la cuerda, una vez que se tenga en
las manos
s) Nuestras manos deben quedar libres o por fuera del
nudo
t) Gana quien logre hacerlo en el menor tiempo
u) Felicitaciones a quien lo haya logrado realizar. Ahora,
intenten destruir el nudo siguiendo las mismas reglas
NOTA: Si alguien intenta realizar o realiza fraude, se anulan
todos los puntos que lleve la pareja hasta ese momento
3. Podrían determinar una estrategia para cumplir con el reto
antes de 1 minuto al igual que la regla o fórmula a seguir para
cumplir el desafío correspondiente
CAPITULO 8: TARJETAS MÁGICAS
CAPITULO 9: CUBOS DE SOMA O POLICUBOS
PIEZAS DE SOMA O POLICUBOS
INSTRUCCIONES:
(JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ)
13. Encuentran dos juegos de Soma, de siete piezas cada uno
14. El reto inicial consiste en construir un cubo o caja o
hexaedro, de acuerdo con las siguientes condiciones o
reglas:
v) Debemos utilizar las 7 piezas para construir el cubo
w) Gana quien logre hacerlo en el menor tiempo
x) Construir mínimo 3 figuras de la guía entregada por el
docente
NOTA: Si alguien intenta realizar o realiza fraude, se anulan
todos los puntos que lleve la pareja hasta ese momento
3. Podrían determinar una estrategia para cumplir con el reto
antes de 1 minuto al igual que la regla o fórmula a seguir para
determinar el desafío correspondiente
CAPITULO 10: EL TANGRAM CHINO
TALLER:
HACIENDO MATEMÁTICAS CON EL TANGRAM
MAURICIO CONTRERAS DEL RINCÓN
I.E.S. BENICALAP
VALENCIA
Introducción
Una parte de las matemáticas recreativas se ocupa de los problemas de
rompecabezas, en los que se corta en varias piezas una figura plana o un sólido y hay
que hacer encajar las piezas entre sí para recomponer la figura original. Entre los
pasatiempos recreativos de esta especie destacan, desde el Renacimiento, los
rompecabezas chinos conocidos como “tangrams”. El juego consta de siete piezas o
“tans” con los que es posible construir un cuadrado, tal como se indica en la siguiente
figura:
En un principio, el juego se ha utilizado popularmente para reproducir figuras de
animales, siluetas humanas u otros objetos conocidos. Resulta realmente
sorprendente la cantidad de figuras que se pueden llegar a hacer. El interés de los
matemáticos por el tangram nació a partir del hecho de que este rompecabezas da
lugar a un montón de interesantes problemas geométricos combinatorios. En este
taller pretendemos mostrar algunos de estos problemas, así como una colección de
actividades útiles para las clases de matemáticas tanto en Primaria como en
Secundaria.
1. Animales, personas y cosas
“La formación de diseños mediante siete piezas de madera... conocidas por tans... es uno de
los pasatiempos más antiguos del Oriente. Son centenares las figuras que es posible construir,
que remedan hombres, mujeres, pájaros, bestias, peces, casas, barcos, objetos domésticos,
dibujos, etc..”
W. W. Rouse Ball
Mathematial Recreations and Essays
En efecto, como dice Ball, este rompecabezas permite diseñar multitud de figuras, por
lo que es especialmente útil para trabajar la intuición espacial y la imaginación, tanto
en Primaria como en Secundaria. Las dos cosas −intuición e imaginación−son
fundamentales para el aprendizaje de la Geometría. Por ello, aunque el profesor tenga
la sensación de que sus alumnos solamente están jugando al realizar las siguientes
actividades, debería ser consciente de que con ellas se están desarrollando
habilidades que serán fundamentales para trabajos posteriores de matemáticas.
Página 1
A) ANIMALES
Utilizando las siete piezas del tangram cada vez, construye las siluetas de estos
animales que hemos visto en el zoo:
B) PERSONAS
Utilizando las siete piezas del tangram cada vez, construye las siluetas de estas
personas que hemos visto por la calle:
Página 2
C) COSAS
Utilizando las siete piezas del tangram cada vez, construye las siluetas de estas
figuras:
2. Problemas métricos
a) Suponiendo que el lado del cuadrado pequeño es 1 dm, calcula las dimensiones y
el perímetro de cada una de las piezas del tangram.
b) Si el cuadrado grande es la unidad, ¿qué fracción del cuadrado representa cada
una de las piezas del tangram chino? ¿Qué fracción del cuadrado es cada una de
las siguientes figuras?
c) Construye y dibuja, con las piezas del tangram, figuras equivalentes a las
4
5
8
siguientes fracciones: 1/16 , 16 , 16 , 16 , 16
Página 3
11
, 16
12 14
,
16 .
3. Construcción de figuras geométricas
a) Utilizando las siete piezas del tangram, intenta construir las siguientes figuras. Una
de ellas no se puede construir. ¿Cuál?.
Página 4
b) Utiliza todas las piezas del tangram para construir cada una de las siguientes
figuras:
c) Utilizando todas las piezas del tangram, intenta construir todos los pentágonos que
puedas. ¿Cuántas soluciones hay?.
Página 5
4. Las matemáticas de los rompecabezas
Hay muchos rompecabezas relacionados con el cuadrado o con otros polígonos,
aunque el más popular es el tangram. En las siguientes actividades, experimentadas
en los varios cursos de ESO, se propone investigar las posibilidades didácticas de
estos rompecabezas.
• TANGRAM EFE
El tangram F procede de la disección de la letra F en cinco piezas, tal como indica la
siguiente figura:
a) ¿Qué fracción del tangram F es cada una de las cinco piezas?
b) ¿Qué fracción del tangram F es cada una de las siguientes figuras?
c) Construye con las piezas del tangram F figuras que representen las fracciones:
1
4
5
8
11
12 14
16 , 16 , 16 , 16 , 16 , 16 , 16 .
Página 6
• JARRÓN
Divide esta figura de modo que puedas formar con todos los trozos un cuadrado.
• RECONSTRUIR EL CUADRADO
a) Juntando estas ocho piezas puedes construir un cuadrado. Inténtalo.
b) Por ejemplo, ésta es una de las formas de construir el cuadrado. ¿De cuántas
maneras puedes hacerlo?.
Página 7
• DIVISIÓN DEL TRAPECIO
Intenta dividir este trapecio en cuatro partes de igual área.
• ROMPECABEZAS Y PUZLES
a) Divide la siguiente región en cuatro partes congruentes:
b) Copia y recorta las siguientes piezas y forma con ellas una letra T. Intenta formar
también con esas piezas un trapecio isósceles.
Página 8
c) Como puedes ver en la siguiente figura, es relativamente fácil construir un
cuadrado usando las cuatro piezas que se indican. Intenta construir un cuadrado
más grande utilizando esas piezas más el cuadrado que está fuera (cinco piezas
en total).
d) Muestra como se puede cortar la figura A en dos partes, de manera que, al
regresar a reunirlas, se pueda formar cualquiera de las figuras B, C, E, F y G.
Página 9
e) Como puede descomponerse un triángulo equilátero en cuatro partes de manera
que estas puedan reordenarse para formar un cuadrado?.
• CONSTRUCCIÓN DE TANGRAMS
Construye en cartón los tangrams que aparecen en los dibujos.
Página 10
• CORTANDO EL CUADRADO
En cada recuadro aparece un cuadrado y diversas piezas que se obtienen al cortarlo.
Como se deben colocar las piezas para recomponer el cuadrado?.
Página 11
5. El tangram informático
El tangram se ha implementado para ordenador con cuatro distintos niveles de
dificultad creciente, lo que permite que el usuario se familiarice gradualmente con el
programa y que su resolución sea asequible a estudiantes de muy diversos niveles.
Se pueden girar las piezas haciendo clic con el botón derecho del ratón. Para
desplazar las piezas hay que hacer clic y arrastrar el ratón hasta el lugar deseado.
Para anclar la pieza hay que hacer clic sobre la misma.
El programa dispone de una opción de Ayuda, en la que se puede visualizar la
solución del puzzle correspondiente.
El juego es muy útil para favorecer el desarrollo de la capacidad espacial y es muy
apreciado por los estudiantes. Algunos consiguen verdaderos logros en el uso del
programa. En general, hemos observado que los estudiantes son más rápidos con el
ordenador que con el puzzle de madera original. De todas formas, el nivel cuatro les
resulta especialmente difícil y la mayoría no alcanza este nivel.
6. Algunas soluciones
• DIVISIÓN DEL TRAPECIO
Página 12
• ANIMALES, PERSONAS Y COSAS
A) ANIMALES
B) PERSONAS
C) COSAS
Página 13
• PROBLEMAS MÉTRICOS
a)
b) Triángulo grande = 1/4, triángulo mediano = 1/8, triángulo pequeño = 1/16,
cuadrado pequeño = 1/8, paralelogramo = 1/8.
Primera figura = 1/8 + 1/16 + 1/16 + 1/8 + 1/8 = 1/2
Segunda figura = 1/4 + 1/4 +1/8 + 1/16 + 1/8 = 13/16
Tercera figura = 1/16 + 1/16 + 1/8 +1/8 = 3/8
Cuarta figura = 1/8 + 1/16 + 1/8 = 5/16
• JARRÓN
Página 14
• CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
a) No se puede construir el cuadrado con un cuadrado en blanco en el centro
(segunda figura).
b) Algunas soluciones:
Página 15
c) 53 pentágonos con el tangram
Página 16
Página 17
• RECONSTRUIR EL CUADRADO
Resolvemos primero un problema análogo más sencillo, con sólo dos piezas (un
triángulo y un trapecio):
El cuadrado se puede reconstruir de 8 formas diferentes.
¿De cuántas formas podemos reconstruir el rectángulo que se obtiene al juntar cuatro
piezas (dos triángulos y dos trapecios)?.
El rectángulo se puede reconstruir de 8 formas diferentes.
Ahora abordamos el problema inicial. El cuadrado grande se puede considerar como
combinación de cuadrados pequeños y de rectángulos. Las posibles formas de
reconstruirlo son las siguientes:
4
3
2
Por tanto, hay 8 +4 ⋅8 +2 ⋅8 =6272 maneras de reconstruir el cuadrado original.
Página 18
7. Conclusiones
Como hemos visto en las actividades anteriores, los rompecabezas en general y el tangram en particular
permiten tratar una gran variedad de contenidos matemáticos: construcciones geométricas, topología,
estudio de posibilidades, combinatoria, geometría métrica (teorema de Pitágoras, cálculo de áreas y
perímetros), números racionales e irracionales, particiones, equivalencia de figuras, etc.
Pero hay, sobre todo, una cosa que destaca sobre todas las demás: es el carácter lúdico del juego que
hace que la motivación esté siempre presente y haga que los estudiantes no se den por vencidos y
persistan en la búsqueda de soluciones, uno de los objetivos que está presente en casi todos los currícula
de matemáticas.
8. Bibliografía
•
[1994]. FERNANDO CORBALÁN. Juegos matemáticos para Secundaria y Bachillerato. Colección
Educación Matemática en Secundaria. Editorial SÍNTESIS. Madrid.
•
[1988]. MARTÍN GARDNER. Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas. Editorial LABOR.
Barcelona.
•
[2002]. F. CORBALÁN y otros. Matemáticas 3º ESO. ALFA 3. Editorial VICENS VIVES. Barcelona.
•
[1994]. C. AMIGÓ y otros. Matemáticas 3º ESO. Editorial McGRAW HILL. Madrid.
Página 19
CAPITULO 11: EL CUBO DE SOMA O POLICUBOS
Tomado de: www.taller-einstein.com
Cubo Soma
(Rompecabezas tridimensional)
¿Qué es?
El cubo de Soma fue inventado por el Danés Piet Hein en 1936 mientras estaba en una conferencia
de Física Cuántica. La idea fue concebida cuando se llegó al tema de un cuarto dividido en cubos.Cuando
finalizó la conferencia, Piet Hein se dirigió a su casa y tomó 27 dados con los cuales formó 7 piezas e
inmediatamente trató de llevar a cabo su idea. Es importante resaltar que el señor Hein no se inventó el
rompecabezas extrayéndo las piezas del cubo, sino que primero construyó las 7 piezas y luego trató de
armar el cubo.Cuando comprobó que podía formar el cubo, se dio cuenta que también podía armar
distintas figuras empleándo las mismas piezas y entonces se volvió un adicto a este rompecabezas. Por tal
razón lo llamó cubo Soma, pues 'Soma' es una droga que produce adicción en la novela “El Nuevo Mundo”
del autor Aldous Huxley.
¿Cómo hacer un cubo Soma?
b) El material que necesitas es:
27 cubos cuadrados de madera (aprox. 2 x 2 x 2 cm) o una combinación de piezas
rectangulares (2 x 2 x 4 cm) y cúbicos (2 x 2 x 2 cm), a lo mejor de una
carpinteria (también puedes utilizar dados o formarlos de papel o cartón)
pegamento de madera (usualmente blanco, en pequeñas botellas)
unas ligas de goma o pequeñas prensas para fijar las piezas
1 hoja de lija fina (min 320 granos) para lijar las piezas pegadas
aceite, barniz transparente o de color para pintar las piezas
un trapo (fibra fina) o un pincel para limpiar después de lijar
c) El procedimiento:
imprimir esta primera página de la instrucción con las 7 piezas (ver abajo)
agrupa tus piezas para que formen exactamente las siguientes 7 figuras
- pon unas gotas de pegamento entre las áreas de contacto, alínea las partes y fija
las piezas pegadas con las ligas o prensas
- deja secarlas muy bien (mejor unas horas o un día)
- lija las superficies, los bordes y las esquinas de las piezas para que se sientan lizas
- limpia las piezas con un trapo o pincel y quita todo el polvo de madera
- trata la superficie con aceite o barniz para que este bien protegida y limpiable. Cuándo esté
seco tu cubo Soma está listo para usarlo.
Ahora intenta armar el cubo (la figura básica del rompecabezas). En la suguiente
página vas a encontrar más figuras que se pueden armar con las mismas 7 piezas.
Según la literatura hay 1,105,920 formas diferentes de armarlo. Trata de encontrar una!!
¿Cómo jugar?
Busca pantallas de figuras del cubo Soma en el internet, libros, o elije uno de los siguientes
ejemplos. La tarea es bastante sencilla. Con todas las 7 piezas que contiene el cubo, hay que formar la
figura seleccionada. Por ejemplo la pantalla que recortaste representa el cuadrado. Para empezar busca
figuras donde desde el inicio puedes ubicar unas piezas por su geometría.
Avisos adicionales:
El cubo Soma todavía está protegido por patente internacional. Es decir, la producción y la venta
del cubo Soma no está permitida en el ámbito comercial. En el caso de este taller todo eso no aplica
porque la copia de cualquier producto para el própio uso no se puede prohibir.
Variantes:
Aparte del cubo Soma original existe un cubo (¿Soma?) de 4 x 4 x 4 cubitos que también incluye las
piezas del cubo 3 x 3 x 3. Es el cubo avanzado para todos a los cuales les gusta este rompecabezas.
Además hay unas figuras que se arman nada más con una parte de las 7 piezas. Navega un rato en el
internet y busca infomación adicional.
EL SUDOKU ALEMÁN Y EL PAISA O JGB