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GUIA DE TRABAJO # 25
PROYECTO:
MAGIA MATEMÁTICA
SUBPROYECTO:
EL GEOPLANO Y SUS MARAVILLAS
ESTRATEGIA:
TRANSFORMACIONES EN EL GEOPLANO
OBJETIVO:
UTILIZAR EL GEOPLANO PARA LOGRAR
CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS MÁS
SIGNIFICATIVOS.
RESPONSABLE: JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ
MATERIALES:
GEOPLANO, CHINCHONES, BANDAS DE COLORES.
EL GEOPLANO Y SUS MARAVILLAS
En el geoplano (rectangular y circular) podremos hacer más concreto y vivencial
el trabajo en el plano cartesiano que abarcan desde la multiplicación trazado de
líneas, puntos, vectores, polígonos y movimientos en el plano como Reflexiones,
Traslaciones, Rotaciones y Homotecias.
Paso Nº 1: Construcción del Geoplano Rectangular
a) Consigue una tabla de triplex
espesor.
de 40 x 40cm y entre 6 y 8 milímetros de
b) Con regla o escuadra construye, en dicha tabla, cuadriculas de 2 x 2cm.
c) Consigue además chinches o chinchones y bandas o cauchos de colores.
a)
b)
Paso Nº 2: Construcción del Geoplano Circular.
a) Al dorso de dicho Geoplano Rectangular, si lo deseas, puedes construir el
Geoplano circular así:
b) Tal y como se muestra en la figura (b), con ayuda del transportador trazamos
ángulos (arcos) de 15º cada uno.
c) Luego con el compás medimos y trazamos circunferencias concéntricas de
radios 2cm, 4cm, 6cm, 8cm y así sucesivamente.
Paso Nº 3: Trazado de líneas, polígonos, vectores y puntos en el
Geoplano.
a) Utilizando los chinches ubica varios puntos en el Geoplano Rectangular.
(a)
(b)
b) Con bandas de colores podemos unir dos o más puntos y así obtener una
línea. Como en la figura (a) las líneas rectas AB y CD y la línea quebrada ABD.
c) Uniendo varios puntos y varias líneas poligonales podemos obtener algunos
polígonos y obtener su perímetro y área respectivamente. Observe la figura (b); el
triángulo DEF y el cuadrilátero ACDB.
Transformaciones
Paso Nº 4: Movimientos en el plano: Reflexión (I)
Dado un punto, línea o polígono y un eje de reflexión en el plano rectangular
obtengamos su reflexión.
Nota: El polígono original está en color negro y su reflexión en color diferente.
Dicho fenómeno se presenta en los espejos planos.
Ejemplo Nº 1: Obtener la reflexión para el trapecio dado.
a) Basta con formar cada punto, calcular su distancia a la línea de reflexión y
tomar dicha medida al otro lado de la línea para obtener la figura reflejada o
imagen.
b) Mide cada ángulo de la figura objeto (original), calcula su perímetro y área.
ABCD.
c) Realiza lo mismo que el paso anterior en la figura imagen cuadrilátero A’ B’ C’
D’. Compara los resultados de b y c. ¿Qué puedes concluir que le ocurre a un
polígono al ser reflejado?
Ejemplo Nº 2: Realizar la reflexión del pentágono
PQRST y responda las mismas preguntas que en el ejemplo Nº 1. Observe figura
(b).
Paso Nº 5: Traslaciones (2º Movimiento)
Dado un polígono y un vector que indica el movimiento o traslación a seguir, se
debe realizar la traslación y analizar los cambios y semejanzas entre la figura
original y la trasladada.
Ejemplo Nº 1: Para el polígono ABCD trasladarlo según el vector
a) Primero interpretamos el vector dado: A cada punto se debe trasladar 2
cuadrados a la derecha y 2 cuadros hacia arriba. Observemos.
Ejemplo Nº 2: Trasladar el polígono PQRST según el vector
; luego a la imagen obtenida realice una nueva traslación según el
vector
¿Qué se puede concluir en cada traslación? ¿Y en total?
Paso Nº 6: Homotecias
Una homotecia es la transformación que sufre una figura, conservando su forma y
modificando o no su tamaño.
Se guarda la proporción entre las parejas de segmentos correspondientes en el
polígono.
Nota: Para efectuar una homotecia se necesitan: un punto o centro (foco) de la
homotecia y un factor de conversión que es el que aumenta o disminuye el tamaño
de la figura.
Ejemplo Nº 1: Dado el polígono ABCD (ver figura) cuyos términos son: A (1,2). B
(5,2). C (4,1) y D (1,1) y la homotecia (H) cuyo centro (foco) es el punto (0,0) con
factor de conversión 3, para hallar su imagen (homotecia) proceda así:
1) Se trazan los rayos que salen del centro y pasan por cada uno de los vértices.
ABC Y D.
2) Se miden las distancias entre el centro y cada vértice y se multiplica por el
factor (3).
3) Se miden dichas distancias obtenidas a partir del centro sobre cada uno de los
rayos.
4) Se unen con segmentos de recta los vértices consecutivos obteniendo A’B’C’D’.
Se escribe H (ABCD) = A’B’C’D’ con homotecia de factor de conversión 3 y centro
(foco) (0,0)
Los ángulos que se corresponden son congruentes y los segmentos que se
corresponden son paralelos.
Ejemplo Nº 1:
Ejemplo Nº 2: Para el triángulo ABC con A (2,3); B (5,3) y C (5,6) aplicar la
homotecia (H) con foco en el punto (1,1) y factor de conversión 3.
No olvide aplicar los pasos 1, 2, 3 y 4 anteriores con mucho cuidado en el papel y
luego intente realizarlas directamente en el Geoplano.
H (ABC) = A’B’C’ con homotecia de factor 3 y foco (1,1).
Paso Nº 7: Rotaciones
Una rotación de una figura es un giro alrededor de un punto fijo interior, exterior o
sobre el contorno de la figura, al que se llama centro de rotación o centro de
simetría.
Inicialmente para mayor comprensión lo trabajaremos en el Geoplano circular.
No olvide que el sentido positivo; es el sentido contrario a las manecillas del reloj.
Se explica en clase O. K!
CONCLUSIONES Y/O SUGERENCIAS
EVALUACIÓN: