iv. circuitos resistivos

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PROGRAMA DE BIOINGENIERIA
CIRCUITOS ELECTRICOS
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
IV. CIRCUITOS RESISTIVOS
En este capítulo se presentaran de forma sintética fundamentos teóricos básicos para
el análisis de circuitos eléctricos. Una vez definidas los puntos teóricos se pasara a
analizar
distintas
configuraciones
eléctricas.
Sobre
ellas
los
distintos
comportamientos de distintos parámetros como ser la tensión y la corriente en los
distintos puntos y un circuito eléctrico. Para ello es necesario recordar las leyes de
Ohm y estudiar las leyes Kirchoff. Es importante que el estudiante adquiera estos
fundamentos básicos ya que todos los conocimientos posteriores requieren de estos
conocimientos.
4.1. APLICACIONES DEL CIRCUITO ELECTRICO
La electricidad es un fenómeno físico que se origina por cargas en reposo o
movimiento.
La electricidad se genera mediante unas maquinas llamadas alternadores; La
electricidad se transporta desde los centros de la producción hasta los centros de
consumo. En la industria se consume electricidad en el alumbrado y grandes
maquinarias. En las viviendas se utiliza para el alumbrado y aparatos domésticos.
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Es tan común la aplicación del circuito eléctrico en nuestros días que tal vez no le
damos la importancia que tiene. El automóvil, la televisión, la radio, el teléfono, la
aspiradora, las computadoras y videocaseteras, entre muchos y otros son aparatos
que requieren para su funcionamiento, de circuitos eléctricos simples, combinados y
complejos.
Recordemos que se denomina circuito eléctrico al camino que recorre una
corriente eléctrica. Este recorrido se inicia en una de las terminales de una pila,
pasa a través de un conducto eléctrico (cable de cobre), llega a una resistencia
(foco), que consume parte de la energía eléctrica; continúa después por el conducto,
llega a un interruptor y regresa a la otra terminal de la pila.
Los elementos básicos de un circuito eléctrico son: Un generador de corriente
eléctrica, en este caso una pila; los conductores (cables o alambre), que llevan a
corriente a una resistencia foco y posteriormente al interruptor, que es un dispositivo
de control.
Todo circuito eléctrico requiere, para su funcionamiento, de una fuente de energía,
en este caso, de una corriente eléctrica.
No olvidemos que recibe el nombre de corriente eléctrica al movimiento de cargas
eléctricas (electrones) a través de un conducto; es decir, que la corriente eléctrica es
un flujo de electrones.
¿Qué es un interruptor o apagador? No es más
que un dispositivo de control, que permite o impide
el paso de la corriente eléctrica a través de un
circuito, si éste está cerrado y que, cuando no lo
hace, está abierto.
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Existen otros dispositivos llamados fusibles, que pueden
ser de diferentes tipos y capacidades. ¿Qué es un
fusible? Es un dispositivo de protección tanto para ti como
para el circuito eléctrico.
Sabemos que la energía eléctrica se puede transformar en energía calorífica.
Hagamos una analogía, cuando hace ejercicio, tu cuerpo está en movimiento y
empiezas a sudar, como consecuencia de que está sobrecalentado. Algo similar
sucede con los conductores cuando circula por ellos una corriente eléctrica
(movimiento de electrones) y el circuito se
sobrecalienta. Esto puede ser producto de un corto
circuito, que es registrado por el fusible y ocasiona
que se queme o funda el listón que está dentro de
él, abriendo el circuito, es decir impidiendo el paso
de corriente para protegerte a ti y a la instalación.
Los circuitos eléctricos pueden estar conectados en serie, en paralelo y de manera
mixta, que es una combinación de estos dos últimos.
4.1.1. Tipos de circuitos eléctricos
Circuito en serie
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Circuito en paralelo
Circuito con un timbre en serie con dos ampolletas en paralelo
Circuito con una ampolleta en paralelo con dos en serie
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Circuito con dos pilas en paralelo
4.2. ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS
Tal y como vimos en anteriormente, en los circuitos eléctricos suelen emplearse
unos dispositivos que se oponen al paso de la corriente eléctrica de una forma más
pronunciada de los normal. Estos dispositivos reciben el nombre de resistencias y
pueden asociarse de tal forma que en conjunto equivalgan al valor de otra
resistencia, llamada resistencia equivalente.
Se denomina resistencia resultante o equivalente, al valor de la resistencia que se
obtiene al asociar un conjunto de ellas.
Principalmente las resistencias se pueden asociar en serie, paralelo o una
combinación de ambas llamadas mixta.
4.2.1. Asociación de Resistencias en Serie
Dos o más resistencias se dice que están en serie, cuando cada una de ellas se
sitúa a continuación de la anterior a lo largo del hilo conductor.
Los resistores se usan en combinación en circuitos eléctricos.
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Cuando se conectan resistencias de tal forma que la misma carga pasa a través
de ellas, se dice que están conectados en SERIE.
Cada uno de ellas porta una misma corriente i cuando la diferencia de potencial
es V =VA - VC
La diferencia de potencial V es igual a la suma de las diferencias de potenciales
a través de cada resistor individual.
A
i
+
R1
B
-
VA
+
R2
VB
-
C
Misma carga,
Misma corriente
Vc
V = VAB + VBC = iR1 + iR2 = i ( R1 +R2)
El siguiente diagrama muestra un resistor equivalente (Req) a la combinación de
dos resistores anteriores, en la cual pasa la misma corriente i, la diferencia de
potencial es la misma para Req.
Req
i
+
VC
VA
Req 
-
V i( R1  R2 )

 R1  R2
i
i
Para n resistores en serie, la expresión anterior se puede generalizar a:
Req = R1 + R2 +R3 +….+ Rn
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4.2.2. Asociación de Resistencias en Paralelo
La siguiente figura muestra a los mismos resistores pero conectados en
PARALELO. En este caso, el circuito puede considerarse como si fuese una
tubería de agua ¿Qué ocurre con el flujo de agua al llegar a la primera
bifurcación? Lo mismo pasa con la corriente, se divide.
R1
A
+
-
i1
i
i2
VA
R2
+
VB
-
Ambos resistores tienen la misma diferencia de potencial
V = V A - VB
Debido a que la carga no se acumula en el punto donde el alambre se divide, la
corriente portada es igual a la suma de las corrientes
i = i1 + i2
que pasan por R1 y R2 respectivamente.
El resistor equivalente Req de esta combinación se obtiene de la misma corriente,
de la siguiente forma:
i = i1 + i2
y del hecho de que los resistores están al mismo potencial
Req 
V
V

i
i1  i2
Donde: i1 
V
R1
e
i2 
40
V
R2
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Sustituyendo:
Req 
V
V
1


V V
1
1
i


R1
R2
R1 R2
O bien:
1
1
1


Req R1 R2
Lo cual se puede expresar como:
Req 
R1 R2
R1  R2
La resistencia equivalente es en este caso, siempre menor que cualquiera de las
dos resistencias individuales.
Para n resistencias en paralelo se tiene que:
1
1
1
1
1



 ...... 
Req R1 R2 R3
Rn
Y de nuevo, la resistencia equivalente es siempre menor que cualquiera de las
resistencias de la combinación.
Ejemplo: calcular la resistencia equivalente del siguiente dispositivo eléctrico.
R1=25
R2=15
i
VA
R3=40
41
VB
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4.3. REDUCCION DE CIRCUITOS RESISTIVOS
Analizar y simplificar un circuito serie o paralelo de resistencias es sencillo pues
sólo es necesario hacer la simplificación correspondiente con ayuda de las fórmulas
que se conocen. La situación es diferente cuando se tiene que simplificar un circuito
que está compuesto por combinaciones de resistencias en serie y paralelo. Para
simplificar un circuito complejo y obtener la resistencia equivalente, se utiliza un
método de reducción y se sigue el siguiente procedimiento:
1. Se reordena o reacomoda el circuito que se desea simplificar, de modo que vean
claramente las partes dentro del circuito, que ya estén conectados en serie y
paralelo.
2. A cada una de estas partes se le asigna un nuevo nombre, por ejemplo RA, RB,
RC, RD, etc.
3. Se obtiene la resistencia equivalente de cada parte con ayuda de las fórmulas ya
conocidas. (resistencias en serie y resistencias en paralelo)
4. Se reemplazan las partes dentro del circuito original con los valores de las
resistencias equivalentes (RA, RB, etc.) obtenidas en el paso anterior
5. Se analiza el circuito resultante y se busca combinaciones (partes) adicionales
serie y paralelo que hayan sido creadas.
6. Se repite nuevamente el proceso a partir del paso 2 con nombres diferentes para
las resistencias equivalentes para evitar la confusión (ejemplo: RX, RY, RZ,
etc.), hasta obtener una sola resistencia equivalente final de todo el circuito.
Problemas resueltos.
1. hallar la resistencia total del circuito entre los extremos A y B.
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Solución:
RTotal  R1  R2  R3
RTotal  15  25  20
RTotal  60
RTotal = 
2. del siguiente circuito hallar la resistencia equivalente entre los extremos A y
B.
R1
R2

R3


Solución:
R1
R4
R2 * R3
20 * 15

 8.6
R2  R3 20  15

R4 
REqui
REqui 
R1 * R4 10 * 8.6

 4.6
R1  R4 10  8.6
REqui  4.6
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3. Encuentre la resistencia equivalente del siguiente circuito Rab.
a
R1
R3
R5




R2


R4
R6
b
Solución:
a
R1
R3



R2
R7  R5  R6
R7

b
R7  10  10
R7  20
a
R1
R3



R8 
R8
R2
R7 * R4
20 * 20


R7  R4 20  20
R8  10
b
R1
a


R9  R3  R8  10  10 
R9
R2
b
R1
a
R10 

R10
R9  20
R2 * R9
20 * 20


R2  R9 20  20
R8  10
b
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a
REquiab  R1  R10
REquiab  10  10
REqui ab
b
REquiab  20
4. Encuentre las resistencias equivalentes [Rab] del siguiente circuito.

a













b
Solución:
Rx 
a

b

Rx




Ry
3* 6
 2
36
R1  5  15  20

R2 
20 * 60
 15
20  60
Ry  15  10  25
a

b






R3
75 * Ry 75 * 25

75  Ry
100
R3 
R3  18.75
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a

R4  R3  11.25  18.75  11.25

b
R6
R4  30

R5 
30 * 20
 12
30  20
R6  R5  2  12  2  14
R7 
a
REqui ab
14 * 26
 9.1
14  26
REquiab  2.5  9.1  3.4
REquiab  15
b
4.4. LEYES DE KIRCHHOFF
Definiciones:
Nodo: Punto de un circuito en el que se unen tres o más conductores.
Rama: Parte del circuito unida por dos nodos.
Malla: Recorrido cerrado dentro de un circuito.
Gustav Robert Kirchhoff, nace el 12 de marzo de 1824 y
muere en Berlín el 17 de octubre de 1887, fue un
físico prusiano cuyas principales contribuciones científicas
estuvieron en el campo de los circuitos eléctricos, la teoría de
placas,
la óptica,
la
espectroscopia y
de radiación de cuerpo negro.
la
emisión
Gustav Robert Kitchhoff
1824 - 1887
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Las dos primeras leyes establecidas por Gustav R. Kirchhoff (1824-1887) son
indispensables para los cálculos de circuitos, estas leyes son:
La suma de las corrientes que entran, en un nudo o punto de unión de un
circuito es igual a la suma de las corrientes que salen de ese nudo. Si
asignamos el signo más (+) a las corrientes que entran en la unión, y el signo
menos (-) a las que salen de ella, entonces la ley establece que la suma
algebraica de las corrientes en un punto de unión es cero:
(suma algebraica de I) Σ I = 0 (en la unión)
Para todo conjunto de conductores que forman un circuito cerrado, se
verifica que la suma de las caídas de tensión en las resistencias que
constituyen la malla, es igual a la suma de las f.e.ms. intercaladas. La suma
algebraica de las diferencias de potenciales (tensiones, voltajes) en una malla
cerrada es cero:
Σ E - Σ I*R = 0 (suma algebraica de E) y (suma algebraica de las caídas
I*R), en la malla cerrada.
Como consecuencia de esto en la práctica para aplicar esta ley, supondremos una
dirección arbitraria para la corriente en cada rama. Así, en principio, el extremo de
la resistencia, por donde penetra la corriente, es positivo con respecto al otro
extremo. Si la solución para la corriente que se resuelva, hace que queden invertidas
las polaridades, es porque la supuesta dirección de la corriente en esa rama, es la
opuesta.
Por ejemplo:
Si observamos el circuito mostrado en la
figura de la derecha, podemos notar unas
corrientes que entran y otras que salen.
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Las flechas representan la dirección del flujo de la corriente en el nudo. I1 entra a la
unión, considerando que I2 e I3 salen. Si I1 fuera 20 A e I3 fuera 5 A, I2 tendría 15 A,
según la ley de voltaje de I1=I2 + I3.
La ley de Kirchohff para los voltajes es, la suma de voltajes alrededor de un circuito
cerrado es igual a cero. Esto también puede expresarse como la suma de voltajes de
un circuito cerrado es igual a la suma de voltajes de las fuentes de tensión:
En la figura anterior, la suma de las caídas de voltaje en R1, R2 y R3 deben ser igual
a 10V o sea, 10V =V1+ V2+ V3.
Ejemplo 1:
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Las corrientes de I2 e I3 y la resistencia desconocida R3 centran todos los cálculos,
usando la teoría básica de la corriente continua. La dirección del flujo de la corriente
está indicada por las flechas.

El voltaje en el lado izquierdo (la resistencia R1 de 10 Ω), está saliendo del
terminal superior de la resistencia.

La d. d. p. en esta resistencia R1 es de I1 * R o sea, 5 voltios. Esto está en
oposición de los 15 voltios de la batería.

Por la ley de kirchohff del voltaje, la d. d. p. por la resistencia R2 de 10 Ω es
así 15-5 o sea, 10 voltios.

Usando la ley Ohm, la corriente a través de la resistencia R2 10 Ω es
entonces (V/R) 1 amperio.

Usando la ley de Kirchohff de la corriente y ahora conociendo el I1 e I3, el I2
se encuentra como I3=I1+I2 por consiguiente el amperaje de I2= 0.5A.
De nuevo, usando la ley de Kirchohff del voltaje, la d. d. p. para R3 puede calcularse
como, 20 = I2*R3 +10. El voltaje por R3 (el I2*R3) es entonces 10 voltios. El valor
de R3 es (V/I) o 10/0.5 o 20Ω.
Ejemplo 2:
Hallar los valores de I, I1 e I2 del siguiente circuito:
I1
I
E=100V
I2
20
20
49
40
40
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Solución:
I
E=100V
I1
Vx
I2
20 * 20
 10
40
40 * 40
 20
Ry Ry 
80
Rx 
Rx
Vy
I
Rx  Ry 10  20

Rx  Ry
30
REqui  6.67
REqui 
E=100V
REqui
I
V
R
por
la
I
ley
de
100
 15A
6.67
I  15A
E  Vx  Vy por estar en
I1 
paralelo.
Vx 100

 10A
R
10
I2 
ohm.
Vy 100

 5A
R
20
I  I1  I 2
15  10  5
15  15
Se demuestra que I = I1+ I2
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Ejemplo 3:
Use las leyes de Kirchhoff para encontrar Io, V1, V2, V3 y las potencias disipadas
por cada resistencia.
Io
R1
R2


V1
V2

Vo=100V
R3 V3
Solución:
Io
R Equi  R1  R2  R3
Vo=100V
REqui
R Equi  70  35  100
R Equi  205
Utilizando la ley de ohm.
V  R*I
Vo 100
Io 

 0.49A
R
205
Io  0.488A
Por encontrarse las 3 resistencias en serie la corriente que circula a través de ellas es
la misma que entra a la fuente de 100V.
Io=I1=I2=I3
V1  R *I 1 70 * 0.488
V1  34.2V 
V 2  R *I 2  35 * 0.488
V 2  17V 
V3  R *I 3 100 * 0.488
V1  48.8V 
y las potencies disipadas por cada resistencia es:
51
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PR1  V1 * I o
PR1  34.2 * 0.488
PR1  16.7W 
PR 2  V2 * I 2
PR3  V3 * I 3
PR 2  17 * 0.488
PR3  48.8 * 0.488
PR 2  8.3W 
PR3  23.8W 
La potencia disipada es igual a la potencia entregada por la fuente de alimentación.
Ejemplo 4:
Se tiene el siguiente circuito, calcular:
a. el voltaje que circula por la resistencia de 20
b. la corriente que circula por el resistor de 10
c. los voltajes V1 y V2.
I2=2A
Io


I1
R1
Vo=100V

V1
R3
R2

V2
Solución:
Io


Vo=100V
RxRx
 R2  5
Rx  10
Io
Vo=100V
REqui
R Equi
52
10 * 10
20
 25
R Equi  20 
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Io 
Vo
100

REqui 25
Io  4A
La corriente circula por la resistencia de 20 es Io.
V20=R*Io = 20*4
V20=80[V]
Sabemos que:
Io=I1+I2
I1= Io-I2=4-2
I1=2[A]
I1=IR1=2[A]
VR1  R * I R1  10 * 2  20V   V1  20V 
VR 2  R * I R 2  5 * 2  10V   V2  10V 
Ejemplo 5:
Se tiene el siguiente circuito, calcular:
a. El voltaje que circula por R1, Utilizando divisor de tensión.
b. El voltaje que circula a través de las resistencias en paralelo
c. Verificar si cumple la ley de corrientes de Kirchhoff que dice que la entrada
de corriente a un nodo es igual a la suma de todas las corrientes en los nodos
(1).
V1
R1= 
Vo=50V
1
I1
I100

V2
2
53
Ix

V3


V4
V5
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Solución:
R1= 
1
Vo=50V
REqui.
REqui.

1
1
1
1



100 100 100 100
REqui.  25
ER1 
R1
10
* Eo 
* 50  14.3V 
R1  R2
10  25
ER1  14.3V 
EREqui 
REqui
REqui  R1
* Eo 
25
* 50  35.7V 
35
EREqui  35.7V 

ERe qui  ER 2  ER 3  ER 4  ER 5
I1 
I100 
ER1 14.3

 1.43A
R
10
ER 2 35.7

 0.357A
R
100
Ix  I1  I100
Ix  1.43  0.357
Ix  1.073A
I1  I100  Ix
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Ejemplo 6:
a. Use el método de voltajes de nodo del análisis de circuitos para calcular las
corrientes de las ramas I1, I2, I3.
b. Calcular la potencia que disipa cada resistor.

I2
I1

I3
 V1
1
I2
I1
+

100V

1

I3

100V
-
Solución:
a)
I2 
V1  100 V1 V1
  0
10
5 5
V 20

R
5
I 2  4A
I3 
V1 V1 V1 100
  
10 5 5
10
V1 20

R
5
I 3  4A
V1  20V 
I1  I 2  I 3
V  R * I2
b)
I1  4  4
P10  R * I 2
P10  10 * 82
P10  640W 
P5  5 * 42
P5  80W 
55
I1  8A

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Ejemplo 7:
Use el método de corrientes de malla para determinar las corrientes de malla y
redibuje el circuito con los verdaderos sentidos.

200V

I1


I2
I3


Solución:
R
Pr opias * I Pr opias 
R
ady * I ady

V
propios
(10  20) * I1  20 * I 2  0 * I 3  200
 20 * I1  (20  15  30) * I 2  30 * I 3  0
0 * I1  30 * I 2  (30  70  50) * I 3  0
30 I1  20 I 2  0 I 3  200
 20 I1  65I 2  30 I 3  0
0 I1  30 I 2  150I 3  0
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos los valores de I1, I2, I3.
I 1  8 .6 A
I 2  2 .9 A
I 3  0.58 A
56
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Ejemplo 8:
Use el método de corrientes de malla para encontrar.
a. i1.
b. Valor de tensión o caídas de tensión por resistencia.
c. Potencia disipada en R =3.
Solución:
a)

I3

2 * I 1  (2  5  3) * I 2  3 * I 3  460
I 1  3 * I 2  (1  3  6) * I 3  0

7 I 1  2 I 2  I 3  230
i1
230V
I1
(1  2  4) * I 1  2 * I 2  I 3  230

I2
2 I 1  10 I 2  3 I 3  460
460V
I 1  3 I 2  10 I 3  0
I 1  18A

I 2  46A
i1  I 1  I 2

i1  18  46
i1  64A
b)
V1  R * ( I 1  I 3 )  1 * (18  12)
V1  30V 
V 2   R * ( I 1  I 2 )  2 * (18  46)
V 2   128V 
V 4   R * I 1  4 * 18
V 4   72V 
V3  R * ( I 2  I 3 )  3 * (46  12)
V3  102V 
V5  R * I 2  5 * 46
V5  230V 
V6   R * I 3  6 * 12
V6   72V 
57
c)
V32 102 2
P3 

R
3
P3  3468W 
P3  3.5kW 
I 3  12A
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EJERCICIOS
1. Hallar la resistencia equivalente entre los extremos A y B y sus unidades estan
en ohmios [].
R1
20
R3
15
R2
10
R4
35
2. Encuentre las resistencias equivalentes [Rab] de los circuitos mostrados y cada
uno de sus valores están en ohmios []
10
10
b
a
15
c
25
7.5
15
11.25
d

a

58

b









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3. Cuánto vale REquivalente de resistencias iguales, tres en serie conectados en
paralelo a otras dos formando tres ramas si R1=100[].
4. Cuanto vale la Rab de resistencias iguales, tres conectados en paralelo a otros dos
en serie formando así cuatro ramas si R = 125[]
5. Para el circuito de la figura:
R3= 
R4= 
R5= 
R1= 
R2= 
Vo=150V
R6= 
R7= 
R8= 
a. De acuerdo a los conceptos de la ley de ohm, leyes de Kirchhoff y
simplificación de resistencias, enuncie los pasos en forma ordenada para
reducir el circuito a su forma más simple.
b. Cuánto vale la corriente que suministra la fuente de tensión.
c. Describa los pasos para obtener las corrientes que circulan por cada
resistencia aplicando las leyes de Kirchhoff.
6. La corriente Io es de 2ª resuelva el circuito usando leyes de Kirchhoff y Ohm.
a. Encuentre I1.
b. Encuentre V2.
c. Encuentre la potencia disipada por R=50[].

I0


+
150V
I1

V2

-
59
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7. Hallar los valores de VR1, VR3, VR4, por el método de divisor de voltaje y divisor
de corrientes.
VR1
VR3
R1=100
R3=35
I1
100V
R2=50 VR2
55
VR4
8. Las corrientes i1 e i2 del circuito son de 20A y 15A.
a. Calcular la potencia que suministra cada fuente de voltaje.
b. Demuestre que la potencia total suministrada es igual a la potencia que
disipan los resistores.

230V
i1



260V
i2


9. La corriente io de la siguiente figura es 1ª.
a. Calcule i1.
b. Calcule la potencia que disipa cada resistor.
c. Verifique que la potencia total disipada en el circuito es igual a la
potencia que desarrolla la fuente de 180V.
60
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
i0

180V
i1


10. Use el método de voltajes de nodo para encontrar:
a. I1, I2, I3, I4, I5.
b. El valor de potencia que disipa cada resistor


I1
I2

I4
I3

50V
I5


11. Por el método de voltajes de nodo encontrar todas las potencias disipadas por
cada resistencia y comparar con la potencia que esta entregando la fuente de
240[V].





240V

12. Por el método de corrientes de malla encontrar:
a.
I1, I2, I3, I4.
b.
Potencia que disipa la resistencia de 50.
c.
Caída de tensión en las resistencias de 36 y 46.
61

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




230V
10

 460V
13. Para la siguiente figura hallar.
a. I1, I2, I3, I4, I5.
b. Todas las caídas de tensión en cada resistencia.
c. Potencias disipadas por la resistencias de 15 y 35.

I4
I3
I1


100V






150V
I2
I5


14. Encontrar I1, I2, I3, IA y redibúje el circuito.
IB=2A

I1
I2
500V
100V

I3
IA=

62
178V
IC=4A
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15. Encontrar la resistencia equivalente entre los extremos A y D.

B
C



E



A
16.
D
Encontrar la resistencia equivalente entre los extremos A y F

B

D

C



A
17.
Encontrar
E


F
. Entre A y D

A

B




D


63
C