1. Educación

DESICIÓN CONTRA LA
NATURALEZA
TEORÍA DE DECISIONES
† En terminos generales, la teoría de
decisiones trata de las decisiones
contra la naturaleza. Esta frase se
refiere a una situación en la que el
resultado (rendimiento) de una
decisión, depende de la acción del
otro jugador (naturaleza).
1
MODELO GENERAL (tabla de
retribuciones)
CLASES DE PROBLEMAS DE
DECISIONES
† Se manejan tres clases de problemas
de decisión contra la naturaleza. Cada
clase se define mediante una
conjetura sobre el comportamiento de
la naturaleza.
ESTADO DE LA NATUTALEZA
DECISIÓ
N
1
2
……..
m
d1
r11
r21
……..
r1m
d2
r12
r22
……..
r2m
d3
r13
r23
……..
r3m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
dn
rn1
rn2
2
„ Decisiones bajo certeza
„ Decisiones bajo riesgo
„ Decisiones bajo incertidumbre
.
……..
rnm
3
4
1
DESICIONES BAJO CERTEZA
DESICIONES BAJO RIESGO
† El que toma las decisiones sabe con
precisión cuál estado de la naturaleza
ocurrirá. Su “único” problema
consiste en elegir la mejor decisión.
En esta categoría están los problemas
deterministicos, tales como la
programación lineal y de enteros.
† Se especifica una distribución de
probabilidad para los estados. El que
toma la decisiones puede usar los
siguientes criterios para elegir la
mejor opción
5
6
EJEMPLO DE DECISIÓN BAJO
RIESGO
EJEMPLO DE DECISIÓN BAJO
RIESGO
Fórmula
Un vendedor de periódicos puede obtener la siguiente tabla de
retribución, donde costo x periódico =10 y Precio de venta =25
m
UEi = ∑ rij . pj = ri1 pi + ri 2 p 2 + .... + rimpm
DECISIÓN
0
1
2
3
j =1
Max UEi
Po= Probabilidad
P1= Probabilidad
P2= Probabilidad
P3= Probabilidad
7
0
0
-10
-20
-30
ESTADO DE LA NATUTALEZA
1
2
0
0
15
15
5
30
-5
20
{ demanda
{ demanda
{ demanda
{ demanda
= 0}
= 1}
= 2}
= 3}
3
0
15
30
45
= 1/10
= 3/10
= 4/10
= 2/10
8
2
CALCULO DE RENDIMIENTO
ESPERADO
DECISIONES BAJO
INSERTIDUMBRE
Reo=0(1/10)+0(3/10)+0(4/10)+0(2/10) =0
Re1=-10(1/10)+15(3/10)+15(4/10)+15(2/10)
=12.5
Re2=-20(1/10)+5(3/10)+30(4/10)+30(2/10) =17.5
Re3=-30(1/10)-5(3/10)+20(4/10)+45(2/10) =12.5
† El que toma la decisión no tiene
conocimiento de la probabilidad de
ocurrencia de los estados de la
naturaleza.
† Existen tres criterios que van a
permitir tomar una decisión:
Rendimiento máximo = decisión 2 => 17.5
9
10
EL MISMO EJEMPLO DEL
PERIODICO
CRITERIO DE LAPLACE
† Este enfoque se basa en el supuesto
de que todos los estados de la
naturaleza tienen la misma
probabilidad de ocurrencia.
Un vendedor de periódicos puede obtener la siguiente tabla de
retribución, donde costo x periódico =10 y Precio de venta =25
DECISIÓN
0
1
2
3
Po=
P1=
P2=
P3=
11
0
0
-10
-20
-30
ESTADO DE LA NATUTALEZA
1
2
0
0
15
15
5
30
-5
20
Probabilidad { demanda =
Probabilidad { demanda =
Probabilidad { demanda =
Probabilidad { demanda =
0} =
1} =
2} =
3} =
3
0
15
30
45
0.25
0.25
0.25
0.25
12
3
CALCULO DEL RENDIMIENTO
DEFICIENCIA
† Igual que el caso bajo riesgo:
† En algunos casos este enfoque de
“igual probabilidad” puede producir
resultados aceptables, en otras podría
ser inadecuado.
† Ejemplo: Partido de Futbol entre el
primero y el colero de la tabla de un
campeonato y existe las apuestas.
Reo=0(1/4)+0(1/4)+0(1/4)+0(1/4) =0
Re1=-10(1/4)+15(1/4)+15(1/4)+15(1/4) =8.75
Re2=-20(1/4)+5(1/4)+30(1/4)+30(1/4) =11.25
Re3=-30(1/4)-5(1/4)+20(1/4)+45(1/4) =7.5
Rendimiento máximo = decisión 2 => 11.25
13
14
CRITERIO MAXIMIN
EJEMPLO DE CRITERIO MAXIMIN
† Este es un tratamiento conservador
en extremo, o quizá pesimista, para
la toma de decisiones. En él cada
decisión se evalúa según lo peor que
puede suceder al tomarla, el mínimo
de los rendimientos, y se selecciona
el máximo de ellos.
† Usamos el caso del vendedor de periódicos:
DECISIÓN
0
1
2
3
15
DECISIÓN
0
1
2
3
0
0
-10
-20
-30
ESTADO DE LA NATUTALEZA
1
2
0
0
15
15
5
30
-5
20
RENDIMIENTO
MINIMO
0
-10
-20
-30
3
0
15
30
45
16
4
COMENTARIOS
DEFICIENCIAS
† El criterio maximin se usa a menudo
en situaciones en las que quien
planea siente que no puede
arriesgarse a fallar. Como ejemplo la
planeación en cuestiones de Defensa.
† Qué sucede si tenemos el siguiente
caso:
DECISIÓN
1
2
ESTADO DE LA NATUTALEZA
1
2
4
5
6
7
8
9
3
100 100 2.9 100 100 100 100 100 100
3
3
3
3
3
3
3
3
3
17
18
CRITERIO MAXIMAX
EJEMPLO CRITERIO MAXIMAX
† Este criterio es tan optimista como el
maximin es pesimista. Evalúa cada
decisión conforme a lo mejor que
puede suceder si se le toma.
† Usamos el caso del vendedor de periódicos:
19
DECISIÓN
0
1
2
3
DECISIÓN
0
1
2
3
0
0
-10
-20
-30
ESTADO DE LA NATUTALEZA
1
2
0
0
15
15
5
30
-5
20
RENDIMIENTO
MAXIMO
0
15
30
45
3
0
15
30
45
20
5
DEFICIENCIA
CRITERIO DEL PERJUICIO MINIMAX
† Qué sucede si tenemos el siguiente
caso:
DECISIÓN
1
2
ESTADO DE LA NATUTALEZA
1
2
4
5
6
7
8
9
3
100 100 100 100 100 100 100 100 100
3
3 101 3
3
3
3
3
3
† Se introduce un nuevo concepto para medir
lo deseable de un resultado, es decir, un
nuevo modo de construir la tabla de
rendimientos. Ahora vamos a agregar el
concepto de costo de oportunidad. Los
pasos son los siguientes:
1. Encontrando el máximo elemento de cada
columna o estado.
2. Calculamos el nuevo elemento restando el
dato actual al máximo de la columna.
21
EL VALOR ESPERADO DE LA
INFORMACIÓN PERFECTA
EJEMPLO DEL PERIODICO
DECISIÓN
0
1
2
3
0
0
10
20
30
DECISIÓN
0
1
2
3
ESTADO DE LA NATUTALEZA
1
2
15
30
0
15
10
0
20
10
PERJUICIO
MAXIMO
45
30
20
30
22
Los gerentes no son capaces de alterar las
probabilidades de los eventos futuros, pero
sí pueden efectuar mejores predicciones.
El valor de la información perfecta es la
cantidad en la que podría mejorar el
resultado esperado si se conociera de
antemano cuál es el evento que va a
ocurrir.
3
45
30
15
0
23
24
6
EL VALOR ESPERADO DE LA
INFORMACIÓN PERFECTA
EL VALOR ESPERADO DE LA
INFORMACIÓN PERFECTA
† Desgraciadamente uno no puede
manipular las proba
† ¿Cuánto ESTARÍAMOS DISPUESTOS A
PAGAR POR ESA INFORMACIÓN Antes
de que se las proporcione?
† Veamos el ejemplo del vendedor de
periódicos, hasta ahora:
„ El vendedor solo conocía la de
probabilidad de la demanda y lo que le
generaba de rendimiento la ocurrencia
de cada una de ellas, para la elección de
la mejor decisión: Multiplicaba cada
rendimiento x la probabilidad de
ocurrencia y tomaba el mayor.
25
26
EL VALOR ESPERADO DE LA
INFORMACIÓN PERFECTA
EL VALOR ESPERADO DE LA
INFORMACIÓN PERFECTA
Reo=0(1/10)+0(3/10)+0(4/10)+0(2/10) =0
† Si ahora tiene la facilidad de conocer
cual evento va a suceder pero
manteniendo la probabilidad de
ocurrencia.
† Acaso,¿no escogería aquellos eventos
que le generen mayor rendimiento?
Re1=-10(1/10)+15(3/10)+15(4/10)+15(2/10)
=12.5
Re2=-20(1/10)+5(3/10)+30(4/10)+30(2/10) =17.5
Re3=-30(1/10)-5(3/10)+20(4/10)+45(2/10) =12.5
Rendimiento máximo = decisión 2 => 17.5
27
28
7
CALCULO DEL VEIP
CALCULO DEL VEIP
† Entonces escogería, para el cálculo
del Rendimiento esperado con
Información perfecta:
Si el vendedor pudiera escoger cual evento va a suceder
DECISIÓN
0
1
2
3
Po=
P1=
P2=
P3=
0
0
-10
-20
-30
ESTADO DE LA NATUTALEZA
1
2
0
0
15
15
5
30
-5
20
Probabilidad { demanda =
Probabilidad { demanda =
Probabilidad { demanda =
Probabilidad { demanda =
0} =
1} =
2} =
3} =
3
0
15
30
45
† RE(IP)=0(1/10)+15(3/10)+30(4/10
)+45(2/10) =25.5
1/10
3/10
4/10
2/10
VEIP= 25.5 – 17.5 =8
29
30
ELEMENTOS DE UN ARBOL DE
DECISIÓN
ARBOL DE DECISIÓN
† Un árbol de decisión es un recurso
gráfico para analizar decisiones bajo
riesgo. Los árboles de decisión fuero
creados para usarse en problemas en
los que hay una secuencia de
decisiones, cada una de las cuales
conduce a uno de entre varios
resultados inciertos.
31
† Rama
Cada línea que emanan de los nodos.
† Nodo Cuadrado
Punto donde debe tomarse una decisión.
Cada línea que parte de él representa una
decisió
decisión.
† Nodo Circular
Punto de incertidumbre. Cada línea que
parte de él representa un resultado.
resultado
32
8
GRÁFICA DE UN ARBOL DE
DECISIÓN
EJEMPLO
† Una empresa acaba de completar la fase de
diseño y prueba de un nuevo producto para
lanzarlo al mercado y su departamento de
mercadotecnia tiene que tomar la decisión
de hacer una campaña publicitaria, la cual
puede ser Agresiva, Básica o Cautelosa. El
mercado puede reaccionar en dos formas,
Fuerte o Débil, en la siguiente tabla se
muestra los beneficios y las probabilidades
de ocurrencia:
decisiones
Eventos inciertos
33
EJEMPLO
34
EJEMPLO
† Según lo estudiado hasta ahora,
podríamos hallar las rentabilidades
esperadas de la siguiente manera:
Retribuciones (en millones de dólares) y probabilidades
Estado de la Naturaleza
Fuerte, F
Débil, D
Probabilidad
DESICIÓN
0.45
0.55
Agresivo (A)
30
-8
Básico (B)
20
7
Cauteloso ( C)
5
15
RE (A) = 30(0.45) - 8(0.55) = 9.10
RE (B) = 20(0.45) + 7(0.55) = 12.85
RE (C) = 5(0.45) + 15(0.55) = 10.5
35
36
9
USANDO ARBOL DE DESICIÓN
USANDO ARBOL DE DESICIÓN
30
F
II
D
A
B
I
F
III
D
C
F
IV
D
5
0.4
F)=
P(P
(D)=
0.
55
. 45
)=0
P(F P(D
)=
II
9.10
III
12.85
-8
A
20
B
I
0.55
. 45
)=0
P(F
P(D
)=0
. 55
7
C
5
IV
15
10.5
37
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
38
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Del ejemplo anterior tenemos:
RE(A)=(30)P(F)+(-8)P(D)
sabemos : P(F)+P(D)=1
o
P(D)=1-P(F)
Entonces :
RE(A)=30P(F)-8[1-P(F)]
RE(A)=-8 + 38P(F)
De la misma forma:
RE(B)=7 + 13P(F)
RE(A)=15 - 10P(F)
Entonces haciendo una gráfica de RE
vs. P(F)
39
40
10
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y
TEOREMA DE BAYES
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
35
30
RE
25
20
15
10
PROCESO DE 2
ETAPAS
RE(A)
RE(B)
ETAPA 1
5
0
-5 0
-10
0.2
(1)
P(1) = 1/6
RE(C)
0.4
0.348
0.6
P(F)
0.8
1
ETAPA 2
( 2 ,3 )
P(2) = 2/6
( 4 ,5, 6 )
P(3) = 3/6
28 B
72 N
40 B
60 N
92 B
8N
Urna 1
Urna 2
Urna 3
0.6
41
42
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y
TEOREMA DE BAYES
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y
TEOREMA DE BAYES
† P(B|1), significa una probabilidad
condicional, esto es la probabilidad de
B dado 1. Significa sacar una bola
Blanca (B) suponiendo que se saca de
la urna 1. Una vez que es elegida la
urna, la bola se elige al azar,
entonces todas las bolas tienen la
misma probabilidad de salir.
† Para el ejemplo las probabilidades
condicionales son:
P(B|1)= 0.28
Y
P(N|1)= 0.72
P(B|2)= 0.40
Y
P(N|2)= 0.60
P(B|3)= 0.92
Y
P(N|3)= 0.08
43
44
11
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y
TEOREMA DE BAYES
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y
TEOREMA DE BAYES
† Si en nuestro ejemplo queremos
calcular la probabilidad de sacar de
una urna una dado que el color de la
bola ya esta determinada, por
ejemplo: Color Negro de la urna1.
† Entonces lo que se nos pide es:
P(1|N) = ?
† Para el cálculo de P(1|N) usaremos lo
siguiente:
P(IyN)= P(NeI)=P(N|I)P(I)=P(I|N)P(N)
P(I|N) = P(N|I)P(I) ……. (a)
P(N)
donde P(NeI) es la probabilidad conjunta de
que ocurra tanto N como I.
45
46
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y
TEOREMA DE BAYES
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y
TEOREMA DE BAYES
† Usaremos el hecho de que:
† Como vemos con el Teorema de
Bayes o regla de Bayes podemos
calcular el valor inicial que nos
habíamos propuesto:
P(N)=P(N|1)P(1)+P(N|2)P(2)+P(N|3)P(3)
† Ahora reemplazando esta expresión en (a)
obtenemos el TEROREMA DE BAYES:
P(1|N)=
P(N|1)P(1)
P(N|1)P(1)+P(N|2)P(2)+P(N|3)P(3)
P(I|N)=
P(N|I)P(I)
P(N|1)P(1)+P(N|2)P(2)+P(N|3)P(3)
47
48
12
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y
TEOREMA DE BAYES
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y
TEOREMA DE BAYES
† Calculando y reemplazando los datos
en fórmula:
P(N|1)P(1) = (72/100)(1/6) = 0.12
P(N)=(72/100)(1/6)+(60/100)(2/6)
+ (8/100)(3/6)
P(N) = 0.36
† Un enfoque tabular:
LANZAMIENTO DEL DADO
Sacar
una bola
N
B
Probabilidad marginal
Urna 1
Urna 2
Urna 3
P(N&1) =72/600 P(N&2) =120/600 P(N&3) =24/600
P(B&1) =28/600 P(B&2) =80/600 P(B&3) =276/600
P(1) = 1/6
P(2) = 2/6
Probabilidad
marginal
P(N) = 36/100
P(B) = 64/100
P(3) = 3/6
P(1|N)= 0.12/0.36 = 1/3
49
50
APLICACIÓN DE ÁRBOLES DE DECISIÓN
CON INCLUSION DE NUEVA
INFORMACIÓN
PROBABILIDADES A PRIORI Y A
POSTERIORI
† Las probabilidades originales: P(1)=1/6,
etc., se refieren a probabilidades a priori
(es decir, antes de la nueva información del
resultado del color de la bola que se
extraiga).
† Las probabilidades condicionales [por
ejemplo, P(1|N)] se llaman probabilidades
a posteriori (después que se conoce el color
de la bola que se ha extraído)
51
† APLICACIÓN DE ÁRBOLES DE DECISIÓN
CON INCLUSION DE NUEVA INFORMACIÓN
EJEMPLO ANTERIOR (HOJA)
52
13