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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES
Departamento de Mecánica
Curso 03/04
1ª Prueba Personal, 1ª Vuelta
Tiempo: 2 horas
CÁLCULO, CONSTRUCCIÓN Y ENSAYO DE MÁQUINAS I
Código 104248
SE PERMITE LA UTILIZACIÓN
DE TODO TIPO DE MATERIAL
(Incluido calculadoras programables)
Problema 1 (5 puntos). Una probeta de acero de resistencia última 1000 MPa y límite de
fatiga corregido 400 MPa se someterá a la acción de dos solicitaciones axiales P1 y P2. La
primera produce, en al punto más desfavorable, unas tensiones que fluctúan entre 140 y 660
MPa; la segunda entre –160 y –80 MPa. Ambas tienen la misma frecuencia y fase de pulsación. Calcular por aplicación del criterio de Goodman
a) La duración estimada de la probeta.
b) Factor de seguridad frente a aumentos de P1 para vida infinita y para una duración
de 100 kciclos.
c) Factor de seguridad frente a aumentos de P2 para vida infinita; comentar el resultado obtenido (se sugiere dibujar el diagrama de Goodman y la línea de carga, determinando con precisión, en esta última, el punto de trabajo y la intersección con
el eje de ordenadas).
d) Valor máximo del factor de carga de P2 que asegura vida infinita.
e) Valor máximo del factor de carga de P2 que asegura una duración de al menos 100
kciclos.
Problema 2 (5 puntos). Un fabricante de cojinetes de bolas tabula las capacidades de carga
de sus cojinetes para una duración de 3000 horas de funcionamiento a 500 rpm, con una fiabilidad (probabilidad de supervivencia) del 95%. Se han de seleccionar dos cojinetes iguales
para soportar un eje que inducirá una carga radial de 80 kN en uno de ellos y de 50 en el otro.
Se desea que trabajen 5000 horas a 600 rpm, y que ninguno de los dos cojinetes tenga una
fiabilidad inferior al 98%.
a) Calcular la vida L10 y L2 (correspondientes a fiabilidades del 90% y 98%, respectivamente) de los cojinetes de la tabla, cuando la carga radial es igual a su capacidad
de carga.
b) Calcular el valor de la capacidad de carga requerido.
c) Si el valor inmediato superior que se encuentra en las tablas del fabricante supera
al requerido en un 10%, calcular la probabilidad de que no se produzca fallo en
ningún cojinete tras las 5000 horas requeridas y tras 1000 horas más.
d) Factor de seguridad frente a aumentos de la carga radial en los cojinetes para asegurar las 5000 horas a 600 rpm con el 98% de probabilidad de supervivencia en el
cojinete más cargado.
GUÍA PARA LA RESOLUCIÓN
Problema 1
a)
Calcular las componentes media y alternante de las tensiones producidas por cada una
de las cargas, así como las totales
σ 1m = 400 MPa, σ 1a = 260 MPa
σ 2 m = −120 MPa, σ 2 a = 40 MPa
σ m = 280 MPa, σ a = 300 MPa
Calcular la tensión alternante equivalente de Goodman, para la combinación de ambas
cargas
σ a 0 = 416,667 MPa
Con el diagrama de fatiga calcular la duración
N = 706,281 kciclos
b)
Calcular las resistencias media y alternante, afectando del factor de seguridad las debidas a P1
σ m = 400n1 − 120 MPa
σ a = 260n1 + 40 MPa
Sustituir en la ecuación de Goodman para vida infinita y despejar el factor de seguridad
n1,∞ = 0,971
Calcular la resistencia de fatiga para una duración de 100 kciclos
S f = 524,148 MPa
Sustituir en la ecuación de Goodman para 100 kciclos de duración y despejar el factor
de seguridad
n1,100 k = 1,165
c)
Calcular las resistencias media y alternante, afectando del factor de seguridad las debidas a P2
σ m = 400 − 120n2 MPa
σ a = 260 + 40n2 MPa
Sustituir en la ecuación de Goodman para vida infinita y despejar el factor de seguridad
n2,∞ = 2,5 > 1
Para explicar el paradójico resultado obtenido (factor de seguridad para vida infinita
mayor que 1, pero duración finita de 706,281 kciclos), representar la línea de carga en
el diagrama de Goodman calculando las coordenadas (σm,σa) del punto de trabajo y
del corte con el eje de abscisas
Punto de trabajo : σ m = 280 MPa
σ a = 300 MPa
Corte eje abscisas : σ m = 0 = 400 − 120n MPa ⇒ n = 3,333
σ a = 260 + 40n = 393,333 MPa
σa
Punto de
trabajo
400
393,3
300
0
280
Línea de
carga de P2
σm
Discutir el resultado obtenido
La pendiente de la línea de carga es menor que la de la línea de Goodman
A medida que n (factor de carga) aumenta, σa aumenta, pero σm disminuye,
y el punto de trabajo se acerca a la línea de Goodman
Habrá vida infinita para un intervalo de valores del factor de carga n
El valor máximo de n corresponderá al punto de corte de la línea de carga
con la parte negativa del diagrama de Goodman
d)
Con la ecuación de Goodman para tensión media negativa, calcular el factor de carga
para vida infinita
n2 = 3,5
e)
Con la ecuación de Goodman para tensión media negativa, calcular el factor de carga
para 10 kciclos de duración
n2 = 6,604
Problema 2
a)
Calcular la duración en revoluciones, correspondiente a las 3000 horas de las tablas
L5 = 90 ⋅ 10 6 rev
Teniendo en cuenta que esa duración corresponde a un 95% de fiabilidad, calcular la
vida L10 de los cojinetes (si la carga radial fuera igual a su capacidad de carga) y, a
partir de ella, la duración L2, correspondiente a un 98% de fiabilidad
L10 = 145,383 ⋅ 10 6 rev
L2 = 49,372 ⋅ 10 6 rev
b)
Calcular la duración L2 requerida, en revoluciones
L2,req = 180 ⋅ 10 6 rev
Calcular la capacidad de carga requerida por el cojinete 1 para soportar una carga radial de 80 kN
F1 = 123,127 kN
c)
Calcular la capacidad de carga de los cojinetes seleccionados
F = 135,44 kN
Con la capacidad de carga y la duración L10 correspondiente a una carga igual a ella,
calculada en el apartado a), calcular la duración L10 del cojinete 1 cuando soporta su
carga radial de 80 kN
L10 (1) = 705,48 ⋅ 10 6 rev
Determinar la fiabilidad del cojinete 1 para una duración de 180 millones de revoluciones, correspondientes a 5000 horas, como se determinó en el apartado b)
R1,5000 = 0,987
Proceder del mismo modo con el cojinete 2 y sus 50 kN de carga
L10( 2 ) = 2889,645 ⋅ 10 6 rev
R2,5000 = 0,999
Calcular la fiabilidad de ambos cojinetes en conjunto
R5000 = 0,986
Calcular la duración en revoluciones correspondiente a 6000 horas de trabajo
L = 216 ⋅ 10 6 rev
Calcular, de modo análogo al caso anterior, la fiabilidad de ambos cojinetes y la de los
dos en conjunto, para esta duración
R6000(1) = 0,983
R6000( 2) = 0,999
R6000 = 0,982
d)
Calcular directamente el factor de seguridad, teniendo en cuenta que la capacidad de
carga era un 10% superior a la requerida en el cojinete más cargado
n = 1,1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES
Departamento de Mecánica
Curso 03/04
1ª Prueba Personal, 2ª Vuelta
Tiempo: 2 horas
CÁLCULO, CONSTRUCCIÓN Y ENSAYO DE MÁQUINAS I
Código 104248
SE PERMITE LA UTILIZACIÓN
DE TODO TIPO DE MATERIAL
(Incluido calculadoras programables)
Problema 1 (5 puntos). Se ha de fabricar una probeta a partir de una barra de acero cuyo coeficiente de endurecimiento por deformación plástica es de 750 MPa y su exponente de endurecimiento por deformación plástica de 0.21. Primero se someterá el material a un trabajo en
frío y, posteriormente, se mecanizará hasta un diámetro de 20 mm.
a) Calcular la resistencia última del material, suponiendo que el punto U de resistencia última es un máximo en el diagrama tensión-deformación.
b) Si la probeta ha de tener duración infinita frente a un momento flector alternante
rotatorio de 160 N·m, calcular la resistencia última requerida, el trabajo en frío necesario para obtenerla y el diámetro mínimo de la barra de partida.
c) Para contrastar los cálculos se fabrica una probeta de prueba (estirada y mecanizada) y se somete a un momento flector no rotatorio, que oscila entre 0 y 300 N·m.
Calcular el número de ciclos que habrían de transcurrir hasta la rotura.
d) Transcurrido el 50% de esos ciclos, se desea acelerar el proceso incrementando el
momento flector, de manera que, si todo va como está previsto, la probeta rompa
después de 5000 ciclos más de ensayo. Determinar el valor máximo del momento
flector, supuesto que oscila entre 0 y ese valor.
Se utilizarán los criterios de Goodman y Manson.
Problema 2 (5 puntos). Un cojinete de fricción soporta una carga radial de 3 kN, inducida
por un eje al que soporta, que tiene un diámetro de 40 mm y gira a 1800 rpm. El cojinete tiene
una holgura radial de 0.02 mm y una longitud total de 45 mm, y tiene una ranura centrada
respecto a los extremos de 5 mm, por la que se inyecta aceite SAE 30 a una presión de 200
kPa y 30 ºC.
a) Calcular la temperatura de salida del aceite y la potencia perdida por fricción en
vatios (iniciar el tanteo suponiendo un incremento de temperatura de 140 ºC).
b) Calcular la temperatura a que se debería suministrar el aceite si se desea reducir las
pérdidas al 60% de las anteriores.
GUÍA PARA LA RESOLUCIÓN
Problema 1
a)
Calcular el factor de trabajo en frío necesario para un hipotético estirado hasta el punto
de resistencia última
Wu = 0,189
Calcular la resistencia última inicial por igualación de las resistencias última y de
fluencia obtenidas tras el hipotético estirado
S ut = 438,276 MPa
b)
Calcular la tensión alternante producida por el momento flector
σ a = 203,718 MPa
Calcular los factores de Marin y el límite de fatiga sin corregir, todos en función de la
resistencia última, y obtener la expresión del límite de fatiga corregido
S e = 2,037 S ut0, 735 MPa
Calcular la resistencia última requerida por igualación del límite de fatiga y la tensión
alternante
S ut = 526,188 MPa
Calcular el factor de trabajo en frío necesario para obtener esa resistencia a partir de la
inicial de 438,276 MPa, y comprobar que es posible
W = 0,167 < 0,189
Calcular el diámetro de partida que, tras ese estirado, quede reducido a 20 mm
d i = 21,913 mm
c)
Calcular el límite de fatiga corregido de la probeta de prueba
k a = 0,857, k b = 1.003
S e = 227,957 MPa
Calcular las tensiones media y alternante a que se somete, así como la tensión alternante equivalente de Goodman
σ m = σ a = 190,986 MPa
σ a 0 = 299,803 MPa
Calcular la duración correspondiente
N max = 75,137 kciclos
d)
Calcular el número de ciclos de vida restantes y el límite de fatiga del material deteriorado
N res = 37,569 kciclos
S e* = 198,224 MPa
Calcular la resistencia a fatiga para una duración de 5000 ciclos
S f = 386,599 MPa
Teniendo en cuenta que las tensiones media y alternante son iguales, determinar su valor para que la alternante equivalente coincida con la resistencia para 5000 ciclos
σ a = σ m = 222,860 MPa
Calcular la tensión máxima y el momento que produce esa tensión
σ max = 445,720 MPa
M F = 350,068 N ⋅ m
Problema 2
a)
Calcular los parámetros característicos del problema
r = 20 mm
N = 30 rev/s
l ' = 20 mm
P = 1,875 MPa
 l'  1
 =
d  2
Calcular las expresiones del índice del cojinete y del incremento de temperatura (teniendo en cuenta que la lubricación es a presión) que se emplearán en las iteraciones
S = 0,016 µ ( µ en mPa ⋅ s)
r 
 f S
c 
∆T = 550,125 
1 + 1,5 ∈2
Tanteo 1: para un incremento de temperatura de 140 ºC, calcular la temperatura media
de operación, con ella y la gráfica de viscosidad la viscosidad media, y con ésta el índice del cojinete
Tm (SAE 30) = 100 º C
µ = 6,8 mPa ⋅ s
S = 0,109
Obtener de las gráficas los valores de los coeficientes, y calcular con ellos el
incremento de temperatura
∈= 0,78
r 
 f  = 3,8
c 
∆T = 119,137 º C
Calcular la temperatura media de operación para una viscosidad de 6,8 mPa·s
Tm = 89,5 º C
Tanteo 2: puesto que la temperatura media es menor que la correspondiente a esa viscosidad del aceite SAE 30, se habrá de probar con una viscosidad mayor: 7,5 mPa·s,
procediendo del mismo modo
Tm (SAE30) = 97 º C
S = 0,12
∈= 0,77
§r ·
¨ f¸=4
©c ¹
∆T = 139,762 º C
Tm = 100 º C
Tanteo 3: puesto que la temperatura media es mayor que la correspondiente a esa viscosidad del aceite SAE 30, se habrá de probar con una viscosidad menor: 7,25 mPa·s,
procediendo del mismo modo
Tm (SAE30) = 98 º C
S = 0,116
∈= 0,775
§r ·
¨ f ¸ = 3,9
©c ¹
∆T = 130,923 º C
Tm = 95,5 º C
Tanteo 4: puesto que la temperatura media es menor que la correspondiente a esa viscosidad del aceite SAE 30, se habrá de probar con una viscosidad mayor: 7,375 mPa·s
(puesto que los puntos son ya muy próximos, en lugar de leer en las gráficas los valores se interpolarán entre los de los tanteos 2 y 3)
Tm (SAE30) = 97,5 º C
S = 0,118
∈= 0,7725
r 
 f  = 3,95
c 
∆T = 135,3 º C
Tm = 97,5 º C
Calcular la temperatura de salida del aceite y la potencia perdida por fricción, como
pide el problema
Ts = 165 º C
f = 0,00395
H = 44,673 w
b)
Calcular el coeficiente de fricción requerido para que las pérdidas se reduzcan al 60%
f = 0,00237
Calcular la variable adimensional de coeficiente de fricción y, con su valor, obtener de
las gráficas el índice del cojinete
r 
 f  = 2,37
c 
S = 0,055
Con el valor de S, calcular la viscosidad media, y con el diagrama de viscosidad, la
temperatura media de operación
µ = 3,438 mPa ⋅ s
Tm = 132 º C
Obtener de gráficas la relación de excentricidad y calcular el incremento de temperatura
∈= 0,85
∆T = 34,4 º C
Con la temperatura media y el incremento de temperatura, calcular la temperatura de
entrada del aceite
Te = 114,8 º C
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES
Departamento de Mecánica
Curso 03/04
1ª Prueba Personal, Original
Tiempo: 2 horas
CÁLCULO, CONSTRUCCIÓN Y ENSAYO DE MÁQUINAS I
Código 104248
SE PERMITE LA UTILIZACIÓN
DE TODO TIPO DE MATERIAL
(Incluido calculadoras programables)
Problema 1 (5 puntos). Una probeta se fabricó con un acero del que se sabe que su resistencia última
es de 1000 MPa, su límite de fatiga corregido para carga axial 300 MPa, y que se comporta de acuerdo
con las criterios de Goodman y Manson. La probeta se somete a un ensayo consistente en la aplicación
de dos cargas axiales, P1 y P2, que producen en el punto más desfavorable unas tensiones que fluctúan
entre –50 y 250 MPa, y entre –250 y 150 MPa, respectivamente, todas ellas proporcionales a sus respectivas solicitaciones.
a) Calcular la duración estimada de la probeta.
b) Determinar el máximo número de ciclos que puede trabajar la probeta en las condiciones del ensayo si se desea vida infinita para un ensayo posterior en el que solamente actuará P2.
c) Transcurridos 20 kciclos, y sin que desaparezca P1, calcular el factor de seguridad frente a aumentos de P1 para una duración de 10 kciclos adicionales. Lo mismo frente a aumentos de P2.
Problema 2 (5 puntos). Un motor eléctrico hace girar un rodillo de 200 mm de diámetro, sobre el que
se enrolla un cable de acero que sirve para elevar cargas de 120 N, que en condiciones de operación
subirán a una velocidad de 1 m/s. En previsión de que fallara la conexión entre el motor y el rodillo, y
la carga quedara suelta, se instalará en el otro extremo del rodillo un sistema de frenado de emergencia
como el de la figura, en el que el tambor externo, de 200 mm de diámetro, es fijo, y las zapatas giran
con el rodillo. Un muelle de constante k = 2 N/mm evita que las zapatas presionen el tambor, por efecto de la fuerza centrífuga, a la velocidad de giro de operación normal. El ancho de cada zapata es de 20
mm, la masa 0,5 kg, y los centros de gravedad G1 y G2 están situados donde se indica en la figura.
Sabiendo que tanto las articulaciones de las zapatas, A1 y A2,
como los puntos de enganche del muelle, E1 y E2, y los centros de gravedad están situados a una distancia de 80 mm del
centro del tambor, y que el coeficiente de fricción del revesk
timiento con el tambor es de 0,3, calcular:
E1
E2
120º
120º
G1
G2
A1
30º30º
A2
a) La longitud libre del resorte (entre ganchos), si se desea
que el freno no actúe hasta una velocidad de caída de la
carga de 1,2 m/s.
b) La velocidad máxima de caída que alcanzaría la carga
en caso de accidente.
c) La presión máxima que soportará el material del revestimiento.
GUÍA PARA LA RESOLUCIÓN
Problema 1
a)
Calcular las componentes media y alternante de las tensiones producidas por cada una
de las cargas, así como las totales
σ 1m = 100 MPa, σ 1a = 150 MPa
σ 2 m = −50 MPa, σ 2 a = 200 MPa
σ m = 50 MPa, σ a = 350 MPa
Calcular la tensión alternante equivalente de Goodman, para la combinación de ambas
cargas
σ a 0 = 368,421 MPa
Con el diagrama de fatiga calcular la duración
N = 274,783 kciclos
b)
Calcular la tensión alternante equivalente correspondiente a P2, y el valor del límite de
fatiga que deberá asegurar el material deteriorado para hacer frente a esa tensión
σ a 0 = 200 MPa
S e* = 200 MPa
Calcular, con el diagrama de fatiga, la duración que habría de restar tras la aplicación
de la tensión equivalente del apartado a), para que se tuviera ese límite de fatiga Se*
N res = 60,463 kciclos
Calcular el máximo número de ciclos de carga
N cons = 214,320 kciclos
c)
Calcular el número de ciclos de carga restantes, el límite de fatiga del material deteriorado y la resistencia de fatiga para 104 ciclos de duración
N res = 254,783 kciclos
S e* = 295,538 MPa
S *f = 620,916 MPa
Sustituir en la ecuación de Goodman para duración de 104 ciclos las expresiones de las
tensiones media y alternante en función del factor de carga de P1, y despejar éste
σ a = 150n1 + 200 MPa
σ m = 100n1 − 50 MPa
n1 = 2,131
4
Sustituir en la ecuación de Goodman para duración de 10 ciclos las expresiones de las
tensiones media y alternante en función del factor de carga de P2, y despejar éste
σ a = 150 + 200n2 MPa
σ m = 100 − 50n2 MPa
n2 = 2,420
Comprobar la validez del resultado obtenido
σ m (n2 = 2,42 ) = −21 MPa < 0, no vale
Recalcular para valores negativos de la tensión media
σ a = 150 + 200n2 MPa
σm = 0
n2 = 2,355
Problema 2
a)
Calcular, a la velocidad de caída de 1,2 m/s en que debe comenzar a actuar el freno, la
velocidad angular del rodillo y la fuerza centrífuga sobre cada zapata
ω = 12 rad/s
Fω = 5,76 N
Calcular la elongación que ha de tener el muelle para que, en esas condiciones, el par
sobre la articulación producido por la fuerza de recuperación del resorte sea igual y de
distinto signo al de la fuerza centrífuga
x0 = 1,44 mm
Calcular la longitud libre para que, en la situación de la figura, se tenga esta elongación
l 0 = 78,56 mm
b)
Determinar los valores de los ángulos característicos de las zapatas
θ1 = 0
2π
rad
θ 2 = 120 deg =
3
π
θ a = 90 deg = rad
2
Calcular las expresiones de los pares de las fuerzas normales y de las de fricción, respecto de a articulación, en función de la presión máxima en la zapata
M N = 202.192,624 p a N ⋅ mm
( p a en MPa )
M f = 72.000 p a N ⋅ mm
Calcular el par de accionamiento, producido por la fuerza del resorte y la centrífuga,
sobre la articulación de cada zapata, en función de la velocidad angular
M acc = 1,6 3ω - 230,4 3 N ⋅ mm (ω en rad/s)
Calcular la expresión del par de frenado, en función de la presión máxima en la zapata
T = 90.000 p a N ⋅ mm ( p a en MPa )
Mediante las expresiones de MN y Mf, calcular las expresiones de la presión máxima
en la zapata y el par de frenado, en función del par de accionamiento, para la zapata
autoenergizante
M acc
p a1 =
MPa
(M acc en N ⋅ mm)
130.192,624
T1 = 0,691M acc N ⋅ mm
Lo mismo para la zapata no autoenergizante
M acc
pa 2 =
MPa
(M acc en N ⋅ mm)
274.192,624
T2 = 0,328M acc N ⋅ mm
Calcular el par de frenado total, en función del par de accionamiento
T = 1,019M acc
Calcular el par ejercido por la carga en su caída y el par de accionamiento (teniendo en
cuenta que el par de frenado ha de absorber el par de caída)
M caída = 12.000 N ⋅ mm
M acc = 11.776,251 N ⋅ mm
Con el valor del par de accionamiento, calcular la velocidad angular en la situación de
equilibrio, así como la velocidad lineal de descenso de la carga
ω = 66,283 rad/s
v max = 6,629 m/s
c)
Calcular, a partir del par de accionamiento, la presión máxima en la zapata autoenergizante
p max = 36,181 kPa