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RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Resolver una ecuación de 2° grado es encontrar sus raíces o soluciones,
es decir, aquellos valores de la incógnita que satisfacen la ecuación
( verifican la igualdad )
Recordemos este concepto aplicándolo a una ecuación de 1° grado:
¿Cuál es la solución de la ecuación x + 5 = 12 ?
La respuesta es x = 7
Así
pues,
si reemplazamos la solución x = 7 en x + 5 = 12 satisface la ecuación
En efecto,
¡ x = 7 satisface la ecuación!
7 + 5 = 12
por tanto, es la solución
12 = 12
…veamos otro ejemplo
3x – 9 = 6
¿Cuál es la solución de la ecuación?
la respuesta es
x=5
?
reemplacemos la solución en la ecuación para verificar
3x – 9 = 6
3•5–9=6
15 – 9 = 6
6 =6
¡ x = 5 satisface la ecuación!
por tanto, es la solución
Seguramente estarás pensando en resolver las ecuaciones de 1° grado despejando la x.
Por ahora sólo lo hemos hecho por ensayo y error.
…ahora consideremos una ecuación de 2° grado (cuadrática)
X2
Piensa, piensa,
piensa…
– 7x + 12 = 0
¿La ecuación está ordenada a la
forma ax2 + bx + c = 0 ?
siiiiiiiiiiiiii
a= 1
b= -7
c= 12
¿Cuáles son los valores de a, b y c ?
¿Qué tipo de ecuación es ?
¡Completa general!
¿Cuál(es) es(son) el(los) valor(es) de x que satisface(n) la ecuación X2 – 7x + 12 = 0 ?
Probemos dándonos algunos valores para x…
En efecto,
la ecuación X2 – 7x + 12 = 0 tiene como raíces o soluciones los números
reales 3 y 4 que se designan usualmente x1 y x2
X2
– 7x + 12 = 0
X1 = 3
X2 = 4
Es sencillo comprobar que dichos valores satisfacen la ecuación:
X2 – 7x + 12 = 0
X1 = 3 :
32 – 7•3 + 12 = 0
9 – 21 + 12 = 0
0 = 0
X2 – 7x + 12 = 0
X2 = 4 :
42 – 7•4 + 12 = 0
16 – 28 + 12 = 0
0 = 0
Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas
Existe un método de resolución de ecuaciones de 2° grado que permite determinar las
raíces o soluciones de cualquier tipo de ecuación cuadrática en forma más simple.
Este método consiste en aplicar una fórmula general que expresa en forma abreviada las
dos raíces x1 y x2 de la ecuación ax2 + bx + c = 0, en función de los coeficientes a, b y c
Apliquemos esta fórmula para resolver la
ecuación vista anteriormente:
X2 – 7x + 12 = 0
a= 1
b= -7
c= 12
¡¡¡bien, la fórmula funciona!!!
Ejemplos:
1. Resolver la ecuación x2 – 2x – 3 = 0
En este caso
a=1
b = -2
c = -3
Entonces, reemplazando en la
fórmula general se obtiene:
el inverso
de b
b2 = (-2)2 = 4
Por lo tanto, las raíces o soluciones de la
ecuación son x1 = 3 y x2 = -1
2. Determinar las raíces de la ecuación 9x2 – 6x + 1 = 0
En este caso
a=9
b = -6
c=1
Reemplazando en la fórmula
general se obtiene:
Luego, ambas raices son iguales, por lo
tanto, la solución de la ecuación es
3. Resolver la ecuación x2 + 3x - 4 = 0
a=1
b=3
c = -4
Estos valores se reemplazan
en la fórmula general :
Por lo tanto, las raíces o soluciones de la
ecuación son x1 = 1 y x2 = -4
4. La solución de la ecuación x ( x + 11 ) + 4x = 7x2 - 9
Como puedes observar la ecuación no está escrita a la forma ax2 + bx + c = 0 , por lo tanto, lo
primero que debemos hacer es ordenarla para luego aplicar la fórmula general.
x ( x + 11 ) + 4x = 7x2 - 9
x2 + 11x + 4x = 7x2 - 9
X2 + 11x + 4x - 7x2 + 9 = 0
- 6 x2 + 15 x + 9 = 0
/ •-1
6 x2 – 15 x – 9 = 0
¡Ecuación ordenada!
…ahora podemos aplicar
la fórmula general
a=6
b = -15
c = -9
Por lo tanto, las raíces o soluciones de
la ecuación son x1 = 3 y x2 = -1/2
5. La solución de la ecuación ( x + 3 )2 = ( 2x + 3 ) ( x – 1 ) + 6
Primero ordenaremos la ecuación a la forma ax2 + bx + c = 0 para luego aplicar la fórmula general.
( x + 3 )2 = ( 2x + 3 ) ( x – 1 ) + 6
( x + 3 ) ( x + 3 ) = ( 2x + 3 ) ( x – 1 ) + 6
x2 + 3x+ 3x + 9 = 2x2 - 2x + 3x- 3 + 6
X2 + 3x + 3x +9- 2x2 + 2x- 3x + 3- 6 = 0
- x2 + 5x + 6 = 0
/•(-1)
X2 – 5x – 6 = 0
¡Ecuación ordenada! a la forma ax2 + bx + c = 0
a=1
b = -5
c = -6
Por lo tanto, las raíces o soluciones de la ecuación son x1 = 6 y x2 = -1
Practicando lo Aprendido (Autoevaluación)
Ordenar y resolver las siguientes ecuaciones de 2° grado, mediante la fórmula general:
1)
x2 + 7x + 12= 0
2) X2 - 14x + 45= 0
3)
4x2 - 4x + 1= 0
4)
5)
4y2 + 1 = 9 + 4y
2x2 + 7x - 4= 0
6) Desafío: El profesor de Lenguaje de Felipe le pidió como tarea que hiciera
un poema que tuviera rima e integrara las asignaturas de Lenguaje y
Matemática. A Felipe le gustaban los desafíos, así que después de un rato
escribió:
Un número entero soy y qué cansado estoy.
Ocho veces han multiplicado mi sucesor
por mi antecesor hoy
y nadie entiende cómo he terminado
ocho unidades
menor que yo mismo, aquí donde estoy…
PAUTA DE CORRECCIÓN
1)
( -3 ; -4 )
2)
(9 ; 5)
3)
( 4/8 = 1/2 )
4)
( 2/4 = 1/2 ; -4 )
5)
( 2 ; -1 )