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V.A. MULTIDIMENSIONALES - EJERCICIOS
1. Sea ( X , Y ) una v.a. bidimensional con función de distribución conjunta:
(1 − e −αx )(1 − e − βy ) x ≥ 0, y ≥ 0
FX ,Y ( x, y ) = 
0
resto

Calcular, P ( X
≤ 1 , y ≤ 1 ) , P ( X > x, Y > y ) y P (1 < X ≤ 2,2 < Y ≤ 5) .
2. Sea ( X , Y ) una v.a. bidimensional continua, con función de densidad conjunta:
f ( x, y ) = ce − ( x + y ) ,
0≤ y< x<∞
Hallar las distribuciones marginales de , X e Y y P ( X + Y ≤ 1) .
3. Sea X el input (la entrada) a un canal de comunicación y sea Y el output (la salida).
La entrada es de +1 ó –1 (voltios), con igual probabilidad. La salida es igual a la entrada
más un ruido N uniformemente distribuido en el intervalo [-2,+2]. Calcular la
probabilidad de que la entrada sea +1 y la salida sea ≤ 0 .
4. Sean X e Y variables que representan la amplitud de señales de ruido
independientes de dos antenas, donde:
f ( x) = axe
f ( y ) = bye
−a
−b
x2
2
,
x > 0, a > 0
,
y > 0, b > 0
2
y
2
Calcular P( X > Y ) .
5. Sean X e Y dos v.a. independientes uniformemente distribuidas en [0,1]. Calcular:
a) P( X 2 < 1 , Y − 1 < 1 )
c) P( XY < 1 )
2
2
2
d) P(min( X , Y ) > 1 )
b) P( X < 1, Y > 0)
2
3
6. Sea f ( x, y ) = 2 , 0 < x < y < 1 la función de densidad conjunta de ( X , Y ) . Hallar la FW ,
siendo W = XY 2 y E (Z ) siendo Z = X + Y .
7. Sea ( X , Y ) una v.a. bidimensional continua, con función de densidad conjunta:
f ( x, y ) =
1
( x + 2 y) ,
12
0 ≤ x, y ≤ 2
Hallar FX ,Y , f X , f Y , f Y / X =1 2 , P(0 < X < 1,1 < Y < 3 ) y f Z siendo Z = XY .
2
8. El estadístico Karl Pearson estudió la relación entre la altura del padre ( X ) y la de su
hijo (Y ) tomando 1078 casos de padres con uno o dos hijos (datos de 1903) y observó
que la distribución conjunta de ( X , Y ) se ajustaba bien a una normal bidimensional de
parámetros:
µ X = 172 cms.
µ Y = 174,4 cms.
ρ = 0,51
σ X = 6,91 cms. σ Y = 6,98 cms.
a) Si se elige una familia al azar, calcular la probabilidad de que la altura del hijo supere
en 5 cms. la del padre.
b) Calcular la probabilidad de que la altura de un hijo supere los 180 cms. si su padre
mide 176 cms.
9. Se lanza dos veces un tetraedro regular con sus caras marcadas del 1 al 4. A partir de
este experimento se considera la siguiente v.a. bidimensional ( X , Y ) : X representa la
suma de los 2 lanzamientos e Y el valor absoluto de su diferencia. Definir la función de
masa conjunta de esta variable y la probabilidad de X condicionada a que Y = 2 .
También las funciones marginales.
10. Sea ( X , Y ) una v.a. bidimensional continua con f ( x, y ) = k (1 − xy ) , − 1 ≤ x, y ≤ 1 .
1
1
Hallar las funciones de densidad marginales, la f
, X = ) . ¿Son X e Y
1 y P (Y <
Y / X=
2
2
2
v.a. independientes?
11. Sea ( X , Y ) una v.a. bidimensional continua con f ( x) = kxy , x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1 .
Hallar la función de densidad conjunta de:
U = X +Y
V = X −Y
Calcular P(U < 1 )
4
12. Las calificaciones del primer y del segundo parcial de una asignatura se distribuyen
normalmente con media de 4 y desviación típica 1 en el primero, mientras que en el
segundo la media es de 5 y la desviación típica de 2. El coeficiente de correlación es de
0,8. Un alumno aprueba la asignatura si la media aritmética de las dos calificaciones es
al menos 5. ¿Cuál es entonces la probabilidad de que de un grupo de 8 amigos, sólo
aprueben 3?
13. Se lanzan 2 dados 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos veces una suma
igual a 7 ó 11, dos veces un doble y el resto cualquier otro resultado.
14. Una urna contiene 4 bolas blancas, 5 negras y 3 rojas. Sean X 1 , X 2 y X 3 el número
de bolas blancas, negras y rojas, respectivamente, obtenidas en tres extracciones con
reemplazamiento. Obtener la distribución de ( X 1 , X 2 ) sabiendo que se ha extraído una
bola roja.