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CLAVE-107-2-M-2-00-2015
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CURSO:
TIPO DE EXAMEN:
Matemática Intermedia 1
Segundo Examen Parcial
AUXILIAR:
Julio Isaí Santos Mayorga
FECHA:
18 de marzo de 2015
SEMESTRE:
Primero
HORARIO DE EXAMEN:
7 a.m. – 8:50 a.m.
REVISÓ:
Ing. César Ariel Villela Rodas
TEMA NO. 1
Se desarrolla el denominador de la expresión algebraicamente de la siguiente forma:
−1 =
−1 =
−1 =
−1 =
−1 = −1
−1 = −1
+1
−1
−1
+1
+1
+1
+1
+1
Sustituyendo en la expresión original:
−1
+1
1
+1
+1
=
−1
+
+1
+
+
+
+1
TEMA NO. 2
a)
+ 3 + 3√ + 1
Realizando una sustitución:
=√ +1→
=2
2
=
−1+3+3
=
2
=
+3 +2
−1
2
+2
Separándola en fracciones parciales:
2
+2
2 =
!
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
+1
=
+1 +
+2
+
+1
+2
2= + )
"#!" $% : '
0= +2
= −2
2 = −2 +
= −2
= −2 −2 = 4
+1
+
+1
Sustituyendo para integrar:
,
4
−
+2
2
+1
= 4 ln| + 2| − 2 ln| + 1| +
Regresando a la variable original:
#1/
#
= 4 ln3#1/ + 23 − 2 ln3#1/ + 13 +
+ 2 #1/ + 1
+ 3 + 3√ + 1
= 4 563 7 + 8
8/9
+ 93 − 9 563 7 + 8
8/9
+ 83 + :
b)
;
<
<=
<+1
Realizando una sustitución:
√<
<
√< + 1
<=#
< = 2# #
2#
√# + 1
#
+# + 1
#
1
sec @ = +# + 1
2
tan @ sec @
@=2
sec @
tan @ = #
sec @ @ = #
tan @ sec @ @ = 2
sec @ − 1 sec @ @
=2
sec C @ @ − 2
sec @ @
Resolviendo la segunda parte de la integral:
2
sec @ @ = 2 ln|sec @ + tan @| +
Resolviendo la primera parte de la integral:
2
sec C @ @ = 2
sec @ sec @ @
Integración por partes:
# = sec @
# = sec @ tan @ @
sec C @ @ = sec @ tan @ −
= sec @ tan @ −
2
= sec @ tan @ −
D = sec @ @
D = tan @
tan @ sec @ @
sec @ − 1 sec @ @
sec C @ @ +
sec @ @
sec C @ @ = sec @ tan @ + ln|sec @ + tan @| +
Reuniendo las dos partes de la integral:
2
tan @ sec @
@ = sec @ tan @ + ln|sec @ + tan @| − 2 ln|sec @ + tan @| +
sec @
= sec @ tan @ − ln|sec @ + tan @| +
Regresando a la variable original:
;
<
< = √< + 1 ∗ √< − ln3√< + 1 + √<3 +
<+1
;
<
< = +< < + 1 − ln3√< + 1 + √<3 +
<+1
c)
1
∗
√1 − "$
√1 − "$
√1 + "$
√1 + "$
%
Utilizando la identidad trigonométrica
=
√1 + "$
+ "$
=
√1 − "$
=1
√1 + "$
%
=
√ %
√1 + "$
Se lleva a cabo el siguiente desarrollo algebraico:
√1 + "$
%
=
√1 + "$
%
∗
% √1 + "$
∗
% √1 + "$
=
1 + "$
1 + "$
1/
∗ %
∗ %
La integral queda expresada de la siguiente manera:
1 + "$
=2
1 + "$
1
∗ ∗
1/
∗
%
%
Realizando la siguiente sustitución:
= √1 + "$
1
− %
= ∗
2 √1 + "$
= 1 + "$
"$
=
−1
1− % =
−1
% =1−
−1
−2
1−
−1
=2
= −2
1
−2
1−
=2
−2
+1
− √2
1
=2
+ √2
−2
Fracciones parciales:
− √2
1
=
+ √2
1 = F + √2G +
HI! $ 1:
HI! $ 0:
− √2
0=
+
− √2
+ √2
+
1 = √2 − √2
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
=
1
2√2
1
=−
2√2
La integral se expresa de la siguiente manera:
2
J
1
√
− √2
1
−
√
+ √2
K
=
2
2√2
ln3 − √23 −
2
2√2
ln3 + √23 +
Regresando a la variable original:
√1 − "$
=
8
√9
563√8 + LMNO − √93 −
8
√9
TEMA NO. 3
a)
a) Tipo II: Integrandos discontinuos.
b) Tipo I: Intervalos infinitos.
c) Tipo II: Integrandos discontinuos.
b)
563√8 + LMNO + √93 + :
a)
"$
P/
√ %
Q
limU
T→Q
T
P/
"$
= limU 2√ %
√ %
T→Q
Z
limU X2; % Y [ − 2+ %
T→Q
2
b)
c
9
2
+3 −5
1
2 +5
1=
lim
T→c
T
,
−2
+
7 2 +5
7
T→c
= lim ,ln e
T→c
Aplicando L’Hospital:
c)
T
→ lim
T→c
−1
=
1
2 +5
2 +5
−1 +
=−
2
7
1
−1
= lim − ln 2 + 5 + ln
T
+
\ = 2√1 − 2√0 = 9 :M]^_`a_
+
2 +5
0= +2
1=− +5
Sistema de ecuaciones:
V
W
=
−1
−1
1
7
= lim − ln 2 + 5 + ln
T→c
−1
− 1 − ln 1 − 1 + ln 2 2 + 5
−1
−1
f + ln 9 - = h% i lim e
fj + ln 9
T→c 2 + 5
2 +5
1
k
= ln e f + ln 9 = 56 e f → :M]^_`a_
2
9
T
P
= lim
T
T→P Q
Q
!%l l
!%l l = lim ln| "l|
T→P
T
Q
= lim ln|sec
T→P
| − ln|sec 0 |
= ln|−1| − ln|1| = m → :M]^_`a_
TEMA NO. 4
a)
1
n=
Q
+1 + −
=
op
1
Q
+1 +
o p
Utilizando el método del trapecio con n=10:
1
Q
∆ =
+1 +
≈ s1Q =
o p
1−0
1
=
10
10
1/10
t 0 + 2t 0.1 + 2t 0.2 + ⋯ + 2t 0.9 + t 1
2
s1Q = 0.05 √2 + 2√1.818730 + 2√1.670320 + ⋯ + 2√1.165299 + √1.135335
s1Q = 8. 8k9y z]{|}|_N
b)
n=
1
Q
2Z
op +1
+ −
op
=
1
Q
2Z
op +
1+
o p
Utilizando el método del trapecio con n=10:
1
Q
∆ =
2Z
s1Q
1
1−0
=
10
10
1/10
t 0 + 2t 0.1 + ⋯ + 2t 0.9 + t 1
2
= 0.05 8.885766 + 2 7.667162 + ⋯ + 2 2.757614 + 2.462904
op +
1+
o p
≈ s1Q =
s1Q = 4. ~•~m z9
TEMA NO. 5
El problema se simplifica al verlo de la siguiente manera: la fuerza hidrostática sobre la roldana es la
diferencia entre la fuerza ejercida sobre una placa con forma circular (de radio mayor) y otra (de radio menor).
Dada la ecuación general de una circunferencia:
−ℎ
+ •−‚
=I
Tomaremos el centro de ambas circunferencias en (h,k) = (0,0).
La ecuación de la circunferencia mayor es:
+• =1
= ± 1 − • 1/
Y la de la circunferencia menor es:
+ • = 0.8
= ± 0.64 − •
1/
La fuerza hidrostática está dada por:
= „…
Q
o1
−• ∗ 2 ∗ 1 − •
1/
• − „…
Q
oQ.
−• ∗ 2 ∗ 0.64 − •
Realizando las siguientes sustituciones:
# =1−•
# = −2• •
Límites de integración:
# = 1 − −1 = 0
ℎ! ! # = 1 − 0 = 1
= 0.64 − •
= −2• •
Límites de integración:
ℎ! !
= 0.64 − −0.8 = 0
= 0.64 − 0 = 0.64
1/
•
= „…
=
=
1
Q
#1/
# − „…
Q.†
Q
1
2
2
= „… , #C/ - − „… ,
3
3
Q
2
„…‡ 1
3
C/
− 0
2
‚…
e1000 C f Y9.8
3
C/
1/
− 0.64
[ 0.488
-
C/
C
C/
Q.†
Q
+ 0
C/
ˆ
= ‰8~~. 9y Š