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Estudio Numérico del Factor de Intensidad de Tensiones de Fisuras Semielípticas Contenidas en un Eje Giratorio
Anales de Mecánica de la Fractura, 31 (2014)
ESTUDIO NUMÉRICO DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE TESIONES DE FISURAS SEMIELIPTICAS
CONTENIDAS EN UN EJE GIRATORIO
P. Rubio, B Muñoz-Abella, L. Montero y L. Rubio*
Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad Carlos III de Madrid, Avda. de la Universidad, 30, 28911 Leganés,
Madrid, España.
*
E-mail: [email protected]
RESUMEN
Los fallos debidos a la propagación de fisuras de fatiga en los ejes es uno de los problemas más frecuentes en máquinas
rotatorias pues pueden provocar daños irreversibles y poner en riesgo vidas humanas. Una variable imprescindible para
conocer la propagación de las fisuras es el factor de intensidad de tensiones. Cuando un eje fisurado gira, la fisura
transversal que contiene presenta el mecanismo de apertura y cierre (“breathing crack”) con situaciones intermedias de
apertura/cierre parcial. Aunque la mayoría de los estudios sobre ejes fisurados consideran que las fisuras son rectas, en
realidad las fisuras reales de fatiga presentan un frente semi-elíptico. En este trabajo, se presenta el estudio numérico del
factor de intensidad de tensiones a lo largo de todo el frente de una fisura semi-elíptica durante el giro del eje, en el que
se considera el mecanismo de apertura y cierre de la fisura.
ABSTRACT
Failures due to the propagation of fatigue cracks in shafts is one of the most common problems in rotating machines as
they can cause irreversible damage and put lives at risk. The main parameter for the study of crack propagation is the
stress intensity factor. When a cracked shaft rotates, the transverse crack contained presents the opening and closing
mechanism ("breathing crack") with intermediate positions of partial opening / closing. Although most of the studies on
cracked shafts consider straight cracks, the real fatigue cracks have a semi-elliptical front. In this work, the numerical
analysis of the stress intensity factor along the entire front of a semi-elliptical crack during the rotation of the shaft has
been developed taking into account the opening and closing mechanism.
PALABRAS CLAVE: Factor de intensidad de tensiones, fisuras elípticas, ejes rotatorios.
1. INTRODUCCIÓN
El conocimiento de la propagación de fisuras resulta de
gran interés para el establecimiento de planes de
mantenimiento y reparación de elementos mecánicos
que sufren el fenómeno de la fatiga, y cuya integridad se
ve amenazada por su presencia. Como paso previo al
estudio de la propagación de las fisuras es necesario
determinar el factor de intensidad de tensiones (FIT), ya
que es precisamente su variación la que determina la
velocidad de crecimiento de las fisuras como se pone de
manifiesto en la Ley de Paris.
El estudio del FIT en elementos tipo viga está muy
extendido, encontrándose trabajos muy diversos en los
que la fisura se encuentra siempre abierta. Sin embargo,
para el caso de ejes estos estudios están menos
extendidos y en menor medida en el caso de ejes
giratorios en los que la fisura presenta el mecanismo de
apertura y cierre [1-5]. Asimismo, la mayoría de los
trabajos se centra en fisuras de frente recto [6-9] aun
cuando las fisuras de fatiga en ejes suelen presentar una
forma elíptica [10-13].
En este trabajo se ha analizado numéricamente la
evolución del FIT en el frente de una fisura semielíptica
durante un giro del eje giratorio que la contiene, en el
que se presenta el fenómeno de apertura y cierre de la
misma. Para realizar este estudio pormenorizado, se han
considerado distintas profundidades de fisura y distintas
formas del frente, así como distintas posiciones
angulares que simulan, cuasi-estáticamente, el giro y
distintas posiciones a lo largo del frente de la fisura.
2. MODELO DE EJE FISURADO
2.1. Modelo geométrico
Se ha considerado un eje de aluminio (E=72GPa, =
0.3 y = 2800 kg/m3) de longitud L= 900mm y
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diámetro D = 20mm que contiene en su sección central
una fisura transversal de frente semi-elíptico de
profundidad a. El eje se encuentra biapoyado y
sometido a sendas cargas puntuales F=100 N, que se
aplican a una distancia d de los extremos del mismo
(figura 1) asegurando estado de flexión pura en la
sección fisurada.
Figura 1. Modelo geométrico del eje fisurado
Los parámetros característicos que definen la fisura
elíptica son: la profundidad de la fisura a/D; el
factor de forma = a/b; y la posición relativa en el
frente = w/h. El estudio se ha centrado en el análisis
de 5 profundidades de fisura (de 0 a 0.5 en intervalos de
0.1), 5 factores de forma (0 a 1, correspondiendo el
valor 0 a fisura recta y 1 a fisura semicircular) y 11
posiciones en el frente como se muestra en la figura 2.
2.2 Modelo numérico
El estudio numérico se ha llevado a cabo mediante el
código de elementos finitos ABAQUS® [14]. Se ha
realizado un modelo 3D con elementos hexaédricos de
integración reducida (C3D8R según la nomenclatura de
ABAQUS®). La simulación de la fisura se ha realizado
considerando dos tramos de eje con una interacción
entre las superficies que constituyen la parte intacta de
la sección fisurada, mientras que la zona fisurada se ha
definido mediante un contacto entre las dos superficies
correspondientes a las caras libres que evita la
penetración en situación de cierre de fisura. El mallado
se ha refinado en la zona correspondiente a la fisura
hasta llegar a la convergencia tras realizar un análisis de
sensibilidad.
El estudio numérico se ha realizado mediante el módulo
específico de fractura del código denominado “crack”
que permite definir el frente de la fisura y la dirección
de propagación y el cálculo del FIT en los distintos
puntos del frente.
3. OBTENCIÓN
DEL
FACTOR
INTENSIDAD DE TENSIONES
DE
De acuerdo con lo indicado en el apartado precedente,
se ha obtenido el FIT en todos los casos considerados.
Como ejemplo de los resultados obtenidos, en la figura
4 se muestran los valores del FIT adimensionalizados
para una fisura de parámetros 0.25, = 0 y para
tres posiciones de giro (= 0; /2; ).
Figura 2. Parámetros característicos del frente
Con el fin de considerar el giro, se ha analizado el
comportamiento del eje en distintas posiciones
angulares entre 0 y 2 en intervalos 272 que se
corresponden con incrementos de 5º.
Figura 4. FIT a lo largo del frente de la fisura (0.25,
= 0)
En esta gráfica se observa cómo, cuando la fisura está
completamente abierta el FIT es positivo, cuando está
totalmente cerrada es negativo, y cuando está
parcialmente abierta el FIT pasa de valores positivos a
negativos. Es precisamente esta variación la que permite
identificar la apertura parcial de la fisura.
Figura 3. Algunas posiciones angulares durante el
estudio
El comportamiento encontrado en el frente de la fisura
en las distintas posiciones de giro utilizando el módulo
“crack” se ha comparado con los resultados obtenidos a
partir del cálculo del FIT mediante los desplazamientos
de los puntos de las caras de la fisura (CTOD). Esta
comparación se muestra en la figura 5. En ella se
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observa que, mientras la fisura está abierta, los
resultados son prácticamente idénticos con ambos
procedimientos. En la situación de cierre de fisura, el
cálculo del FIT mediante desplazamientos conduce al
valor cero, mientras que con la utilización del módulo
de fractura el FIT se hace negativo.
Figura 5. Comparación del FIT para fisura 0.25,
= 0 y = 3/2
que los resultados son muy similares cuando la fisura
está abierta, pero se producen discrepancias cuando la
fisura comienza a cerrarse. Cabe mencionar que en la
gráfica mostrada, el modelo propuesto por Carpinteri
[10] considera que en la posición de giro = 3/2, la
fisura está medio abierta aunque la realidad contrastada
con otros autores, por ejemplo [7], es que en esta
situación, más de la mitad de la fisura está abierta como
se corrobora en los resultados del modelo numérico
estudiado. Es necesario indicar que el modelo propuesto
en [10], parte del conocimiento del valor del FIT en dos
valores angulares, y extrapola a otras posiciones del
giro, lo que puede conducir a la introducción de errores.
Adicionalmente, el modelo considera el mismo valor
absoluto del FIT, pero distinto signo, cuando la fisura
está cerrada y cuando está abierta, posiblemente porque
en ese estudio no se ha evitado la penetración entre las
caras de la fisura cuando esta se cierra, aspecto de suma
importancia
cuando se
está
simulando el
comportamiento real de un eje giratorio.
Con el fin de validar los resultados obtenidos
numéricamente para fisuras que presentan el mecanismo
de apertura y cierre, se han comparado los mismos con
los correspondientes a modelos tomados de la literatura.
En concreto se han comparado los resultados para
fisuras completamente abiertas (sin giro) [11] y para
fisuras parcialmente abiertas (con giro) [10].
Shin y Cai [11] obtienen una expresión del FIT en
función de la posición en el frente, de la profundidad de
la fisura y de la forma que presenta la misma, pero lo
hacen para una fisura que está siempre abierta, es decir,
no presentan resultados para posiciones de giro del eje.
La comparación del modelo numérico desarrollado
mediante el módulo “crack” y los resultados de [11] se
muestran en la figura 6. Se observa que para el caso de
fisura completamente abierta los resultados del presente
trabajo son muy similares a los obtenidos por estos
autores.
Figura 7. Validación del modelo para fisura
parcialmente abierta (0.25, = 0 y = 3/2).
Estas comparaciones con diversos resultados de la
literatura (fisuras total y parcialmente abiertas) han
permitido validar el modelo numérico utilizado, y
avalan su utilización para realizar estudios posteriores y
para alcanzar otras conclusiones que se resumen en los
apartados siguientes.
4. ESTUDIO DE LA APERTURA Y CIERRE Y
LA VARIACIÓN DEL FIT DURANTE EL
GIRO
Figura 6. Validación del modelo
completamente abierta (= 0.25).
para
fisura
Por otro lado, para el caso de fisura parcialmente
abierta, se han comparado los resultados obtenidos con
los presentados en el trabajo de Carpinteri [10] (figura
7). En este caso, los resultados corresponden a distintas
posiciones de giro del eje y muestran resultados de FIT
para fisuras parcialmente abiertas. Se puede observar
En este apartado se muestran y discuten los resultados
más relevantes del estudio realizado. Se muestran dos
tipos de resultados, los primeros orientados a estudiar la
apertura y cierre de la fisura a lo largo de un ciclo
completo del eje, y los segundos destinados a estudiar la
variación del FIT a lo largo del frente durante el mismo
periodo.
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4.1. Estudio de la apertura y cierre
4.2. Estudio del Factor de Intensidad de Tensiones
El estudio del mecanismo de apertura y cierre de la
fisura tiene como objetivo determinar qué zona de la
sección fisurada se encuentra abierta durante un giro del
eje. En la figura 8 se muestra un ejemplo de los
resultados obtenidos para una fisura de parámetros
0.25 y =0. Se presentan las zonas abiertas y
cerradas de 8 de las 72 posiciones angulares analizadas.
La zona blanca de la sección se corresponde con la
porción de la misma que se encuentra cerrada para ese
ángulo de giro, mientras que en colores aparece la zona
abierta. Se puede observar que la fisura gradualmente se
va cerrando a medida que el eje gira, y que en las
posiciones /2 y 3/2 el porcentaje de fisura abierta es
superior al 50% a diferencia de los resultados aportados
por [10], pero similares a los obtenidos por [3] (ver
figura 9).
Se ha llevado a cabo la determinación del FIT en todos
los casos indicados en apartados precedentes, es decir
para fisuras con distintas profundidades y formas, en
distintos puntos del frente y para distintos ángulos de
giro. Se exponen en este apartado los valores del FIT
obtenidos para distintas tipologías (tamaños y formas de
frente) de fisura y para distintos ángulos de giro. En la
figura 10 se muestran los resultados del FIT para una
fisura con un factor de forma = 0.5 y distintos valores
de la profundidad (= 0.1; 0.2; y 0.4). En cada gráfica,
cada curva representa la evolución del FIT de cada
punto del frente en un giro completo. Se observa como
el FIT para un punto del frente (eligiendo una de las
curvas de cada gráfica) varía pasando de valores
máximos cuando ese punto del frente está abierto, a
valores nulos cuando se cierra, para después volver a
tomar valores positivos hasta alcanzar el máximo
nuevamente cuando la fisura está abierta.
Figura 8. Resultados de apertura y cierre en algunas
posiciones durante el giro (= 0.25, = 0).
Figura 10. Valores del FIT para una fisura con = 0.5 y
= 0.1; 0.2; y 0.4, respectivamente.
Figura 9. Comparación de apertura y cierre con otros
autores: a) [2], b) [3] y c) modelo propuesto
Los resultados correspondientes a fisuras de otros
tamaños y formas de frente son análogos a los
mostrados para este caso.
Para otros valores de los parámetros y los
resultados son análogos a los mostrados en la figura 10.
Resulta de interés analizar la evolución del FIT en cada
punto del frente durante el giro para cada caso de fisura,
ya que de esta manera es posible determinar los
instantes de comienzo de cierre o de comienzo de
apertura del frente, las posiciones angulares para las que
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el frente está parcialmente abierto, y las posiciones
angulares para las que la fisura está completamente
cerrada o completamente abierta (ver figura 11).
cierre) de cada punto del frente en función del tamaño
de la fisura y de la forma que presente el frente. El
interés radica en la posibilidad de analizar aspectos más
aplicados como puede ser la propagación de la fisura,
entre otros. La figura 12 muestra el detalle de la figura
11, en la que se indican los puntos, durante un giro, de
comienzo de apertura de la fisura, correspondiente al
ángulo en el que el primer punto del frente se abre
(toma valores del FIT distintos de cero), y de apertura
completa de la fisura, el correspondiente al momento en
que todo el frente presenta valores del FIT positivos.
Figura 11. Evolución FIT en el frente durante una vuelta
para una fisura de = 0.3 y = 0.
A la vista de los resultados mostrados en las figuras, y
que como se ha indicado son análogos a los obtenidos
para el resto de los casos, se puede concluir lo siguiente:



Cuando el eje gira, la fisura se abre y se cierra
con simetría. Esto quiere decir que, para una
posición de giro, la porción de fisura abierta es
la misma que para una posición de giro
simétrica. Por ejemplo cuando el eje ha girado
un ángulo =/2, la cantidad de fisura abierta
coincide con la correspondiente a un ángulo de
giro =3/2 (figura 11).
Independientemente del tamaño y forma
iniciales de la fisura siempre hay unas
posiciones en las que la fisura está
completamente abierta (FIT positivo en todo el
frente) y otras en las que está completamente
cerrada (FIT nulo en todo el frente). Por
ejemplo en el caso mostrado (figuras 10 y 11),
para un ángulo de giro entre =y  algo
mayor de /4 el FIT positivo en todo el frente
(todas las curvas tiene valores positivos), lo
que indica que la fisura está completamente
abierta, mientras que para ángulos ligeramente
inferiores y superiores a =, el FIT es siempre
nulo (todas las curvas toman valor cero), lo que
significa que la fisura está completamente
cerrada.
Para una misma forma de frente, el número de
posiciones en el frente con FIT nulo disminuye
a medida que aumenta la profundidad de la
fisura, por lo tanto el tiempo de apertura de la
fisura aumenta (figura 10).
Un dato muy interesante de este estudio, como se ha
indicado previamente, es el conocimiento de la posición
angular concreta en la que se produce la apertura (o el
Figura 12. Ángulos particulares de la apertura de la
fisura para el caso = 0.3 y = 0.
La tabla 1 recoge el resumen de los ángulos de giro
(expresados en radianes) en los que se produce el
comienzo de la apertura de la fisura en función de los
parámetros de la misma para todos los casos analizados.
Tabla 1. Ángulo (rad) en que se produce el comienzo de
la apertura para cada caso de fisura
=0.1
=0.2
=0.3
=0.4
=0.5
=0
4.27
3.93
3.66
3.49
3.23
=0.25
4.27
4.01
3.75
3.49
3.23
=0.5
4.44
4.09
3.83
3.57
3.31
=0.75
4.53
4.27
4.01
3.57
3.49
=1.0
4.62
4.36
4.19
3.93
3.66
Los datos de la tabla 1 muestran como, a medida que la
fisura crece, para una misma forma del frente, la
apertura se produce para ángulos de giro más pequeños,
y que cuanto más elíptica es la fisura, más tarda en
abrirse.
5. RESUMEN Y CONCLUSIONES
En este trabajo se ha realizado un estudio
pormenorizado de la evolución del FIT en el frente de
una fisura elíptica que presenta el mecanismo de
apertura y cierre como consecuencia del giro del eje que
la contiene. Se ha analizado dicho parámetro
considerando distintas profundidades de las fisuras y
distintas formas elípticas.
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Las conclusiones más relevantes a las que se ha llegado
se resumen en las siguientes:






Se ha evaluado el FIT mediante el módulo de
fractura del código ABAQUS® que permite su
determinación mientras que la fisura está
abierta, aunque no permite la evaluación
precisa cuando la fisura está cerrada.
Se ha evaluado el FIT en el frente de las fisuras
durante un giro del eje. La variación de este
parámetro durante el giro ha permitido
establecer las aperturas y cierres del frente.
Se han validado los resultados iniciales con los
de la literatura, y a partir de dicha validación se
han extraído otras conclusiones de interés.
A diferencia de lo indicado en algunos trabajos
previos de la literatura, cuando el eje ha girado
un cuarto de vuelta la fisura está abierta más de
la mitad de la misma.
Independientemente del tamaño y de la forma
iniciales de la fisura, durante el giro del eje
siempre hay zonas de apertura completa (FIT
positivo), zonas de cierre completo (FIT
negativo), y zonas de apertura parcial (FIT
positivo y cero en distintos puntos del frente).
El número de posiciones en el frente con FIT
nulo disminuye con la profundidad de la fisura,
por lo que el tiempo de apertura aumenta al
aumentar el tamaño de la fisura.
AGRADECIMIENTOS
Los autores quieren agradecer al Ministerio Ciencia e
Innovación la financiación recibida a través del
proyecto DPI2009-13264, que ha hecho posible el
desarrollo de este trabajo.
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