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Tema 08:
Integrales Múltiples
Juan Ignacio Del Valle Gamboa
Sede de Guanacaste
Universidad de Costa Rica
Ciclo I - 2014
MA-1003 Cálculo III (UCR)
Integrales Múltiples
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Tabla de Contenidos
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Integral de una función real
Las integrales definidas calculan
el área bajo una curva y = f (x)
para una región definida [a, b] del
dominio de la función f .
Se repasará el desarollo de la
definición de integral para luego
extenderlo a las integrales
múltiples.
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Aproximación de una integral simple
Para aproximar el área bajo la
curva, se divide la región de
integración en n segmentos.
∆x =
(b−a)
n .
Para cada segmento i, se escoge
un punto arbitrario xi∗ , y se dibuja
un rectángulo cuya base mide ∆x
y la altura será f (xi∗ ).
Aproximación del área bajo la curva
A ≈
n
X
f (xi∗ )∆x
i=1
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Integral definida
Incrementando la cantidad de
rectángulos hasta el infinito (n → ∞),
la base de cada rectángulo será cada
vez más pequeña (∆x → 0) y la suma
anterior será exacta.
Integral como el lı́mite de una suma de Riemann
A = lı́m
n→∞
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n
X
f (xi∗ )∆x =
Z
b
f (x)dx
a
i=1
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Volumen bajo una superficie
De manera análoga, puede definirse el problema de calcular el volumen bajo
una superficie S sobre una región definida en el plano de las variables
independientes.
La región sobre la cual se calcula el volumen se conoce como la región de
integración R.
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Aproximación del volumen
Podemos aproximar este volumen de la siguiente forma:
La región de integración R se
particiona en n partes
rectangulares cuyas dimensiones
son ∆x en la dirección del eje X,
y ∆y en la dirección del eje Y.
Para cada rectángulo i se escoge
un par ordenado aleatorio (xi∗ , y∗i )
y se elabora un paralelepı́pedo
cuya altura será la función
evaluada en ese punto: f (xi∗ , y∗i ).
El volumen de cada
paralelepı́pedo será igual al área
de su base por la altura Vi =
∆Af (xi∗ , y∗i ) = ∆x∆yf (xi∗ , y∗i ).
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Aproximación del volumen (2)
El volumen total del área bajo la curva será aproximadamente igual a la suma
de los volúmenes de todos los paralelepı́pedos:
Vtot ≈
n X
n
X
i
f (xi∗ , y∗i )∆A
j
Esta aproximación será exacta si n → ∞, haciendo que ∆x, ∆y → 0:
Integral doble definida
V = lı́m
n→∞
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n X
n
X
i
f (xi∗ , y∗i )∆A
Z Z
=
f (x, y)dA
R
j
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Definición
Integrales triples
Las integrales triples evalúan una función w = f (x, y, z) dentro de una región
sólida tridimensional. Representan el cálculo de un hipervolumen en la cuarta
dimensión, por lo que no podemos relacionarlas con una propiedad
geométrica en R3 .
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Integrales triples
Ejemplo
Para calcular la masa de una región sólida R, cuya densidad viene dada por
ρ = f (x, y, z), se calcula la suma infinita de la masa de cubos infinitesimales
con volumen dV, que viene dada por dm = ρdV:
Z Z Z
M =
ρ(x, y, z)dV
R
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Principio de Cavalieri
Definición
El volumen de una región tridimensional se puede obtener si se puede
parametrizar su área de sección transversal a lo largo de una de sus
dimensiones de la siguiente forma:
Z
V =
b
A(x)dx
a
Esta idea puede utilizarse para evaluar una integral múltiple: se realizan dos (o
más) integrales iteradas: la primera produce una expresión parametrizada del
área en una dirección, la cual se integra respecto a la segunda variable.
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Principio de Cavalieri (2)
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Evaluación de las integrales dobles (1)
Z Z
I =
f (x, y)dA
R
Partes de una integral
Toda integral múltiple consiste de tres partes que deben ser claramente
definidas antes de poder resolverse:
La región de integración, que debe de estar claramente definida en sus
superficies, curvas o valores lı́mites. Como se verá, podrı́a ser necesario
subdividirla en varias sub-regiones para poder evaluar la integral.
La función a integrar, que debe de estar descrita en términos de las
variables de la integración.
El integrando, que debe incluı́r los factores de escalamiento
(determinantes Jacobianos) cuando se realizan cambios de variables.
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Evaluación de integrales dobles (2)
Z
b
Z
I =
g(v)
f (u, v)du dv
{z
}
Curvas
f (v)
a
|{z}
|
Numeros
El primer paso para evaluar una integral es escoger adecuadamente los
lı́mites de integración: la integral interna posee las curvas lı́mites en la
dirección de la variable u, mientras que la integral externa posee los
lı́mites numéricos en términos de la variable v.
La primera integral a ser evaluada es la integral interna, la cual se trabaja
como una integración parcial respecto a la variable u y se evalúa en las
funciones lı́mite g(v) y f (v).
La segunda integral será la externa. Observe que, al llegar a este paso, lo
que queda por resolver es una integral simple de una variable en términos
de la variable v.
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Evaluación de integrales triples
Z
b
Z
g(w)
Z
ψ(v,w)
I =
dudvdw
a
f (w)
ϕ(v,w)
|{z}
| {z }
| {z }
Numeros Curvas Superficies
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Tipos de regiones en integrales dobles
Región Tipo I
Región Tipo II
Z b Z f (x)
I
a
Z Z
Z d Z g(y)
f (x, y)dydx
=
g(x)
I
f (x, y)dxdy
=
c
Región Tipo III
f (y)
I
=
f (x, y)dA
R
Metodologı́a
Las regiones de integración básicas son de tipo I o tipo II. En estas, hay
un orden preferido de integración por donde se puede recorrer la región
siempre entrando por una misma curva y saliendo por otra curva.
Las regiones compuestas de tipo III deben subdividirse en sub-regiones
de tipo I o II para poder realizar la integración.
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Tipos de regiones en integrales triples
Z
b
Z
g(w)
Z
ψ(v,w)
I =
dudvdw
a
f (w)
ϕ(v,w)
|{z}
| {z }
| {z }
Numeros Curvas Superficies
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Tipos de regiones en integrales triples (2)
Regiones de integración para integrales triples
La integral interior se evalúa entre superficies en el sentido positivo de la primera
variable de integración.
La segunda integral se evalúa en la región proyectada sobre el plano de las coordenadas
restantes, según las reglas de integrales dobles.
La última integral es una integral simple entre valores numéricos de la última variable de
integración.
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