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Modelización mecánica de elementos estructurales
Triángulo plano: Deformación plana
Viana L. Guadalupe Suárez
Carmelo Militello Militello
Departamento de Ingeniería Industrial
Área de Mecánica
Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil e Industrial
Universidad de La Laguna
Tenerife, España
Modelización mecánica de elementos estructurales
1. Elemento Triangular de 3 nodos (Constant Strain Triangular (CST))
Características:
 Permite resolver problemas de elasticidad plana
 Elemento sencillo, formulación similar al cálculo matricial de las barras
 Campo de desplazamiento dentro del elemento es lineal por lo tanto las deformaciones son
constantes por lo que es necesario utilizar mallas muy tupidas para discretizar el dominio.
Descripción del elemento:
1. Elegimos un sistema de coordenadas x-y
2. Identificamos el número de nodos = 3
3. Definimos los grados de libertad por nodo: u (desplazamiento en x), v (deplazamiento en y) = (u, v)
4. Se definen las posiciones de cada nodo en el sistema de coordenadas cartesianas:
Nodo 1: (x1, y1)
Nodo 2: (x2, y2)
Nodo 3: (x3, y3)
Área del triángulo:
Modelización mecánica de elementos estructurales
Vector de fuerzas externas:
Vector de desplazamientos nodales
u 
(e)
 u1 
v 
 1
u 
  2
 v2 
u 3 
 
 v3 
f 
(e)
ext
 f x(1e ) 
 (e) 
 f y1 
 f x(2e ) 
  (e) 
 f y2 
 f (e) 
 x(3e ) 
 f y 3 
Selección de la función que describe el campo de desplazamiento:
Seleccionamos dentro del elemento una función matemática que se aproxime a la solución de
los desplazamientos según la ecuación diferencial. Esta función se expresará mediante el
método de los elementos finitos sólo en función de los nodos del elemento, de manera que
cuando se calcule el valor de esos nodos podrá conocerse, interpolando, la solución en todos
los puntos dentro del elemento.
u ( x, y )  a1  a2 x  a3 y
v( x, y )  b1  b2 x  b3 y
Campo de desplazamiento lineal
(Polinomio de Pascal)
Modelización mecánica de elementos estructurales
Campo de desplazamiento expresado en función de las funciones de forma o
polinomios de interpolación
Funciones de formas lineales
del triangulo plano
u ( x, y )  N1 ( x, y )u1  N 2 ( x, y )u2  N 3 ( x, y )u3
v( x, y )  N1 ( x, y )v1  N 2 ( x, y )v2  N 3 ( x, y )v3
Relación deformación-desplazamiento nodales.
Matriz [B]


  x   x
  
  x, y     y    0
  
 xy   
 y


0

 u 
   B1
y v 

x 
B2
B3 d  B d
Modelización mecánica de elementos estructurales
Relación tensión-desplazamiento nodales:
 x 
 
 x, y     y   D  ( x, y )
 
 xy 
 DEFORMACIÓN PLANA

Un caso de deformación plana se
identifica cuando la cota del espesor es
mucho mayor que las cotas de las
sección.

Para estos problemas, se ignora una la
deformación que hay lo largo del
espesor.   0
z
Matriz [D]
z  0
z  0

 1
 
E (1   )

D 
1   (1  2 ) 1  

 0




1 
1
0



0 

1  2 
21    
0
Modelización mecánica de elementos estructurales
 EJEMPLOS DE DEFORMACIÓN PLANA: Cilindro bajo presión
Modelización mecánica de elementos estructurales
 EJEMPLOS DE DEFORMACIÓN PLANA: Presa o dique
Modelización mecánica de elementos estructurales
 EJEMPLOS DE DEFORMACIÓN PLANA: Tunel
Modelización mecánica de elementos estructurales
Matriz de Rigidez: (Tensión plana)
K    B DB dV  tAB D B
T
T

V
dV  dxdydz  tdxdy  tA  (espesor )(área)
 D 
Deformación
plana

 1
 
E (1   )


1   (1  2 ) 1  

 0




1
1
0



0 

1  2 
21    
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