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COLEGIO DE LA SAGRADA FAMILIA
AREA DE CIENCIAS NATURALES Y EDUCACIÓN AMBIENTAL
ESTRUCTURA DE TRABAJO DE LA ASIGNATURA DE FÍSICA AÑO 2015
PLANEACIÓN Y EJECUCIÓN – GRADO 9
MODULO II – MECÁNICA CLÁSICA I
IV PERIODO ACADÉMICO – CINEMÁTICA II: EL MOVIMIENTO EN DOS DIRECCIONES (EN EL PLANO)
RESPONSABLE LICENCIADO NELSON JESUS CARDALES GALINDO
LAS MENTES MÁS BRILLANTES DE NUESTROS TIEMPOS – UN INSTANTE QUE NO SE REPETIRÁ JAMÁS
QUINTO CONGRESO DE CIENCIAS EXACTAS. SOLVAY, BRUSELAS 1927
FONDO DE PIE DE IZQUIERDA A DERECHA: Auguste Piccard, Émile Henriot, Paul Ehrenfest, Edouard Herzen,
Théophile de Donder, Erwin Schrödinger, Jules-Émile Verschaffelt, Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg, Ralph
Howard Fowler, Léon Brillouin.
SENTADOS FILA CENTRAL DE IZUIERDA A DERECHA: Peter Debye, Martin Knudsen, William Lawrence Bragg,
Hendrik Anthony Kramers, Paul Adrien, Maurice Dirac, Arthur Holly Compton,
Louis-Victor de Broglie, Niels
Bohr
SENTADOS FILA FRONTAL DE IZQUIERDA A DERECHA: Irving Langmuir, Max Planck, Marie Curie, Hendrik
Antoon Lorentz, Albert Einstein, Paul Langevin, Charles-Eugène Guye, Charles Thomson Rees Wilson, Owen
Willans Richardson.
LA FÍSICA: “La que en verdad abrió los ojos del hombre al universo y permitió acceder a la conquistas de sus
misterios y a la profundización de otros”.
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ACLARACION: El siguiente documento (dividido en módulos de acuerdo al número de
periodos académicos) no es un libro y no pretende serlo, solo es una recopilación de todas las
clases que durante años he desarrollado en la asignatura de física y que se encuentran en él.
Es claro que se usa como base diferentes libros y otros textos, inclusive de nivel superior que
enriquece la temática desarrollada.
Dicho documento no tiene ningún valor comercial por lo tanto no se vende a las estudiantes y a
ninguna otra persona dentro o por fuera de la institución. Las alumnas los pueden descargar
para su uso. Como se dijo al inicio son las clases preparadas de antemano y la metodología de
trabajo se acuerda con las estudiantes.
Las preguntas tipo Pruebas Saber aplicadas en el presente documento son tomadas de
módulos que se han usado en la institución legalmente, pruebas liberadas por el ICFES,
pruebas internacionales y páginas web que ofrecen banco de preguntas sin ningún tipo de
restricción pero que obviamente se hace mención de ellas en el presente documento como
reconocimiento al valioso aporte que realizan. Dichas preguntas son aplicadas como
evaluación de la temática.
A continuación se muestra una lista de textos, documentos y otros elementos que se usan en
él. Debido a la cantidad de enlaces a páginas web, ellas aparecen a lo largo de la temática las
cuales permiten profundizar en los temas.
TEXTOS DE REFERENCIAS - WEBGRAFIA
 FISICA 1 HIPERTEXTO Santillana. EDITORIAL SANTILLANA.
 FÍSICA 1. EDITORIAL NORMA. (Versión consultada anterior al 2007)
 FISICA SERWAY 7a Y 8a EDICION PARA INGENERIA Mc GRAWHILL.
 INSTITUCIÓN EDUCATIVA 10157 - “INCA GARCILASO DE LA VEGA” - MÓRROPE
2010 PROF. EDWIN RONALD CRUZ RUIZ.
-
 FÍSICA I PROFESOR: RODOLFO BERNAL UNIVERSIDAD DE SONORA
 CM2, CIENCIAS NATURALES: MODULO II, FÍSICA. RENE ALEXANDER CASTILLO.
 FÍSICA GENERAL 10 a Ed. Frederick J. Bueche Eugene Hecht, Serie Schaum, McGrawHill
 WWW.EDUCAPLUS.ORG
 WWW.XTEC.NET/~OCASELLA/
 PAGINAS WEB DE LIBRE USO (SIMULADORES – EVALUACIONES – PROYECTOS). Los
enlaces aparecen a lo largo del documento. Serán de gran ayuda y se requiere la Máquina
Virtual de Java, si no la tienes instalada hazlo es gratuita.
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COMPETENCIAS EN CIENCIAS NATURALES
Las competencias que se evalúan en ciencias naturales se describen a continuación. Cabe
anotar que son aplicables a la asignatura de física.
IDENTIFICAR: esta competencia enfatiza no en la memorización de los conceptos y las
teorías, sino que los comprenda, que encuentre relación entre la física y las demás áreas del
saber y que sepa aplicar sus conocimientos en la resolución de problemas.
INDAGAR: está orientada a la búsqueda de información que ayude a establecer la validez de
una respuesta preliminar. Uno de esos mecanismos es la experimentación, donde se recree un
fenómeno natural para deducir de él conclusiones aplicables.
EXPLICAR: es fundamental someter las explicaciones propuestas a debate y estar dispuestos
a cambiarlas cuando se reconozca que existen razones para ello. La creatividad y la
imaginación como también la crítica y la autocrítica ayudan a la elaboración de una explicación
coherente y creíble en el estudio de la naturaleza a través de la física.
Cada una de las competencias en ciencias naturales en especial física desde los siguientes
componentes:
 MECÁNICA CLÁSICA: está en relación con la manera como se caracteriza el
movimiento de un cuerpo y la argumentación que se hace sobre el cambio en el
movimiento del cuerpo.
-
¿Respecto a quién o qué se mueve un cuerpo? ¿Por qué cambia su movimiento? ¿El
movimiento es una característica intrínseca de los cuerpos?
-
Carácter direccional de algunas de las magnitudes físicas involucradas en el análisis del
movimiento de un cuerpo (posición, velocidad, cantidad de movimiento y fuerza).
 TERMODINÁMICA: involucra la manera como se relacionan las variables de estado en el
equilibrio termodinámico y cómo se incrementa la energía interna de un sistema.
-
Relaciones entre energía interna, temperatura, volumen, presión y número de partículas de
un sistema.
EVENTOS ONDULATORIOS: se relaciona con la forma como se caracteriza un movimiento
ondulatorio y lo que sucede cuando una onda interactúa con un cuerpo u otra onda.
- Análisis de la “ecuación de onda”.
- Interacciones onda-partícula y onda-onda.
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EVENTOS ELECTROMAGNÉTICOS: hace referencia a la manera como se puede cargar
eléctricamente un sistema, a la forma como se genera una corriente eléctrica y a las
condiciones necesarias para que un cuerpo interactúe con un campo magnético.
- Caracterización de la carga eléctrica de un sistema (su naturaleza, su ilustración gráfica,
entre otros).
- Análisis básico de las características atractivas y repulsivas de fuerzas eléctricas y
magnéticas y los procesos mediante los cuales es posible cargar eléctricamente un sistema.
- Noción de campo, potencial eléctrico y de las condiciones necesarias para generar una
corriente eléctrica (nociones de conductividad y resistividad eléctrica), así como las
condiciones necesarias para que un cuerpo interactúe en un campo magnético.
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REGLAMENTO Y MEDIDAS DE SEGURIDAD EN EL LABORATORIO DE FÍSICA
 Entrar en orden al laboratorio y ubicarse en grupo de ocho (8) en las mesas de la uno (1)
a la cuatro (4).
 No arrojar basura en el piso ni sobre las mesas, usar la caneca.
 No rayar las mesas ni las sillas de brazos. No subirse ni sentarse en las mismas.
 No ingerir alimentos ni bebidas durante la permanencia en el laboratorio.
 No manipular ninguna conexión eléctrica del laboratorio. El docente se encargará de ello.
 No manipular los experimentos de biología depositados en el laboratorio.
 Usar los materiales disponibles para los montajes planeados, solo cuando el docente lo
disponga.
 Cuando se trabaje con fuente de calor y/o corriente eléctrica, espere las indicaciones del
docente para ser manipulados. Hágalo con sumo cuidado.
 Al momento de retirarse, dejar las sillas sobre las mesas.
 En caso de evacuación siga las flechas de la ruta más cercana al laboratorio, manteniendo
orden en la salida y en los pasillos hasta el punto de encuentro.
 Verificar la medida de presión del extintor asignado al laboratorio.
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INFORME DE LABORATORIO
A continuación se hará una descripción sencilla, de las partes de un laboratorio, las cuales se
deben seguir de acuerdo al orden establecido.
PORTADA:
Nombre del colegio:
Título del laboratorio:
Grado y curso:
Nombre de las integrantes del grupo de trabajo:
Asignatura:
Nombre del profesor:
Fecha de entrega:
DESARROLLO:
Nombre de la práctica: aparece en la guía
Objetivo (s) de la práctica: aparecen en la guía
Materiales: los usados en la realización de la práctica, aparecen en la guía
Teoría relacionada: una breve descripción o resumen de la teoría vista sobre el tema.
Procedimiento: se hace una corta explicación de cómo se hizo la práctica, en primera persona.
Recolección de datos: se debe anotar todos los datos obtenidos durante la práctica, en sus
respectivas tablas de valores, si las hay.
Tablas y gráficas: representación en el plano cartesiano de los datos obtenidos.
Análisis de resultados: se responden las preguntas a partir de la teoría conocida y los
resultados que arroje el análisis de gráficas.
Conclusiones: se hace alusión si se llegó a la demostración práctica de la teoría vista en
clases.
Bibliografía – Webgrafía: se anotan los libros usados como textos guías y de consultas además
de los enlaces de páginas relacionadas con la temática.
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MECANÍSMOS DE EVALUACIÓN
Para lograr una profundización en la teoría y los conceptos en la asignatura de física, esta se
evaluara de la siguiente forma y dentro de los tiempos estipulados.
1. Se desarrollará durante el curso cuestionarios tipos PRUEBAS SABER y otras pruebas
internacionales cuyo material es de libre acceso y referente a la temática, dichas actividades
serán evaluadas.
2. La sección de CONSULTAS que aparecen a lo largo del documento es de obligatorio
cumplimiento, ya que serán evaluadas.
3. Al inicio de cada clase se harán preguntas teóricas que buscaran verificar si hay continuidad
y profundización en los temas estudiados en las clases anteriores, las cuales serán
valoradas.
4. Para trabajar los talleres se formaran grupos de 3 alumnas para su solución los cuales
deberán ser sustentados en clases para su discusión y corrección. Se aclara que todos los
grupos deben resolver los puntos de los talleres. Se aceptara si alguna alumna desea
hacerlo individual.
5. La preparación y ejecución de los laboratorios se llevara a cabo por grupo conformados por
4 alumnas. Los cuales desarrollaran dentro de la clase, para deducir y analizar las temáticas
estudiadas en el momento por lo tanto deben analizarse y socializarse los resultados en la
misma clase y posteriores. Se realizaran prácticas con materiales traídos por las alumnas
donde se evaluara la creatividad y el grado de profundización que aporte el experimento.
6. Los talleres y trabajos deben ser presentados dentro de la fecha estipulada. Serán revisados
y calificados y devueltos para socializarlos.
7. Se motivará a todas las alumnas que presenten en clases ejercicios, problemas y consultas
hechas en textos y en internet los cuales aporten a la de profundización de los temas vistos
en las mismas.
8. Los grupos de laboratorio que presenten experimentos a la comunidad serán evaluados y
podrán ser eximidos de evaluaciones posteriores. Periódicamente los grupos de laboratorio
deberá presentar actividades experimentales a los demás cursos, en las horas
concernientes al área de las ciencias naturales.
9. En colaboración con el área de informática (internet) se harán exámenes virtuales usando
los simuladores o en la biblioteca previo permiso para el uso del internet.
10. Todos exámenes serán de selección múltiple con la salvedad de que en algunos casos los
procedimientos deben acompañar las respuestas marcadas. La participación activa en
clases, aportando significativamente será de alta valoración, ya que indica el nivel de
asimilación de la temática.
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LISTADO DE ECUACIONES
GRADO 9 – ECUACIONES DE CINEMÁTICA
A continuación se enlistan las ecuaciones que se usaran durante el curso

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
AX = ACosθ

AY = ASenθ
VECTOR RESULTANTE
║A║ = √ (A2x + A2y)

ANGULO VECTOR RESULTANTE
Tanθ = AY / AX

ECUACIÓN DE LA PENDIENTE DE UNA LÍNEA RECTA.
m = (x2 + x1) / (y2 + y1)

MU
x = vt

MUA
v = v0 ± at

v2 = v20 ± 2ax
x = (v + vo) t / 2
y = v0t ± gt2/2
v2 = v20 ± 2gy
g = 9,8m/s2
MOVIMIENTO SEMIPARABOLICO
x = v0t

x = v0t ± at2/2
CAIDA LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICAL
v = v0 ± gt

x = x0 + vt
y = - gt2/2
vy = -gt
y = - x2g/2v2o
MOVIMIENTO PARABOLICO
vx = v0 Cosθ
tv = 2ts
ts =v0senθ/g
vy = v0 Senθ
x = v0tcosθ
Ymax = v20 sen2θ/2g
Xmax = v20 sen (2θ)/g
y = v0tSenθ ± gt2/2
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


MOVIMIENTO CIRCULAR
-
El desplazamiento angular (θ)
-
Velocidad angular (w) w = θ / t
-
La velocidad lineal (v)
θ = θ2 – θ1 (en radianes)
v = wr
MCU
-
El desplazamiento angular (θ)
-
Periodo (T) T = t / n
-
Frecuencia (f)
-
La velocidad angular (w)
-
Aceleración centrípeta (aC)
f=n/t
θ = wt
Tf = 1
w = 2π /T
T=1/f
f=1/T
w = 2πf
ac = v2/R
MOVIMIENTO CIRCULAR ACELERADO O VARIADO (MCV)
-
Aceleración lineal o tangencial aT = r
-
Velocidad angular (w)
-
Desplazamiento angular (θ)
θ = w0t – t2 / 2
-
La aceleración del sistema
a2 = a2T + a2C
w = w0 + t

TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
w1R = w2r
F = G Mm / R2
G = 6,67x10-11Nm2 / kg2
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FACTORES DE CONVERSIÓN
VELOCIDAD
LONGITUD
1 mi/h = 1.47 pie /s = 0.447 m/s = 1.61 km/h
1 m/s = 100 cm/s = 3.281 pie /s
1 mi/min = 60 mi/h = 88 pie /s
1 pulg. = 2.54 cm (exactas)
1 m = 39.37 pulg. = 3.281 pie
ACELERACIÓN
1 pie = 0.304 8 m = 34.08 cm
1 m/s2 = 3.28 pie /s2 = 100 cm/s2
1 pie /s2 = 0.304 8 m/s2 = 30.48 cm/s2
12 pulg. = 1 pie
3 pies = 1 yarda
1 yarda = 0.914 4 m = 91.44 cm
PRESIÓN
1 km = 0.621 mi
1 bar = 105 N/m2 = 14.50 lb/pulg.2
1 atm = 760 mm Hg = 76.0 cm Hg
1 atm = 14.7 lb/ pulg.2 = 1.013x 105 N/m2
1 Pa = 1 N/m2 = 1.45x10-4 lb/ pulg.2
1 km = 1000 m
1 mi = 1.609 km = 1609 m
1 mi = 5280 pie
1 µm = 10-6 m = 103nm
TIEMPO
1 año–luz = 9.461 x 1015 m
1 año = 365 días = 3.16x107s
1 día = 24 h = 1.44x103 min = 8.64x104s
ÁREA
2
ENERGÍA
4
2
2
1 m = 10 cm = 10.76 pie
1 pie2 = 0.0929 m2 = 144pulg.2
1 pulg.2 = 6.452 cm2
VOLUMEN
1 m3 = 106 cm3 = 6.102x104 pulg.3
1 pie 3 = 1 728 pulg.3 = 2.83x10-2 m3
1 L = 1 000 cm3 = 1.0576 qt = 0.0353 pie3
1 pie3 = 7.481 gal = 28.32 L = 2.832x10-2 m3
1 gal = 3.786 L = 231 pulg.3
1 J = 0.738 pie.lb
1 cal = 4.186 J
1 Btu = 252 cal =1.054x103 J
1 eV = 1.6 x 10-19 J
1 kWh = 3.60 x106 J
POTENCIA
1 hp = 550 pie.lb/s = 0.746 kW
1 W = 1 J/s = 0.738 pie.lb/s
1 Btu/h = 0.293 W
MASA
APROXIMACIONES
1 000 kg = 1 t (tonelada métrica)
1 slug = 14.59 kg
1 u =1.66 x10-27 kg = 931.5 MeV/c2
FUERZA
1 N = 0.2248 lb
1 lb = 4.448 N
1 kgf = 9.8 N
1 N = 100000 dinas
1 m ≈ 1 yd
1 kg ≈ 2 lb
1 N ≈ 1/4lb
1 L ≈ 1/4gal
1 km ≈ 1/2mi
60 mi/h ≈ 100 pie /s
1 m/s ≈ 2 mi/h
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SOLUCIÓN DE ECUACIONES
Para plantear una solución se debe anotar primero los datos conocidos y luego los no conocidos de
la siguiente forma
DATOS CONOCIDOS
DC
Se
debe
leer
cuidadosamente
el
problema planteado y
sacar los datos que
son dados, incluyendo
aquellos que son
constantes y por lo
tanto
no
son
mencionados pero se
usa para la solución
del problema.
DATOS DESCONOCIDOS
DD
Se
debe
leer
cuidadosamente el
problema planteado
y sacar los datos
que no son dados,
es decir la (s)
incógnita (s) para la
solución
del
problema.
OBSERVACIONES:
 Siempre se trabajara en el Sistema Internacional de unidades. Sólo excepcionalmente nos
saltaremos esta norma.
 Los cambios de unidades se realizaran siempre por factores de conversión. Cualquier
resultado (aunque sea intermedio) o medida debe ir siempre acompañado de su unidad.
 Nunca es válido decir "no lo sé hacer...", siempre podemos (como mínimo) llegar a la
resolución.
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UNIDAD 4
EL MOVIMIENTO EN DOS DIRECCIONES (EN EL PLANO)
ESTÁNDAR: explico los tipos de movimiento en dos direcciones, sus características y los
modela matemáticamente dándole solución a problemas cotidianos.
COMPETENCIAS BÁSICAS:
 Reconoce y aplica las ecuaciones del movimiento en dos direcciones (Tiro horizontal o
Semiparabólico, Parabólico y Movimiento circular) en la solución de problemas cotidianos.
 Interpreta mediante grafica la solución de problemas cotidianos de un cuerpo con
movimiento en dos direcciones (Tiro horizontal o Semiparabólico, Parabólico y Movimiento
circular).
 Plantea soluciones a situaciones donde un móvil está sometido a un movimiento en dos
direcciones (Tiro horizontal o Semiparabólico, Parabólico y Movimiento circular).
CLG: TRABAJO EN EQUIPO
Aporto mis recursos para la realización de tareas colectivas.
RESPONSABILIDAD AMBIENTAL
Conservo en buen estado los recursos a los que tengo acceso.
CC: CONVIVENCIA Y PAZ
Construyo, celebro, mantengo y reparo acuerdos entre grupos.
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EL MOVIMIENTO EN DOS DIRECCIONES
(EN EL PLANO)
Puede ser
Movimiento
de
proyectiles
Lanzamiento
horizontal
Movimiento Circular, M.C
Movimiento Circular
Variado, M.C.U.V
Composición de
movimientos rectilíneos
Vertical
Horizontal
Movimiento Circular
Uniforme, M.C.U
Lo describen
Los planetas
MUA
MU
Se rigen por
Las leyes de Keppler y
La ley de gravitación
universal
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MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
Llamados así porque el movimiento de los cuerpos se debe describir desde el eje horizontal y
vertical de un plano cartesiano, es decir, la velocidad del cuerpo, se expresa mediante dos
componentes una horizontal y otra vertical. Ellos son:
 MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO (TIRO HORIZONTAL)
Llamamos tiros horizontal o semiparabólico, al movimiento que describe un proyectil cuando se
dispara horizontalmente desde cierta altura con velocidad inicial v 0. Es decir el movimiento se
da perpendicularmente a la aceleración de la gravedad g.
Analicemos gráficamente dicho movimiento.
Supongamos que se lanza una pelota desde la
superficie de una mesa e forma horizontal de
acuerdo a la figura siguiente:
La pelota al caer se desplaza horizontalmente. El
movimiento se produce en dos direcciones: una en
el eje X, el cual es un MU ya que no está sujeto a la
acción de la gravedad (Proyección en el x). Es decir
recorre espacios iguales en tiempos iguales.
Proyección en el eje x
La otra se da en el eje Y cuyo movimiento es una MUA, ya que el móvil está sujeto a la acción
de la gravedad, observamos que la distancia entre las posiciones de la pelota es cada vez
mayor, significa que su velocidad aumenta en la medida que cae.
La combinación de estos dos movimientos, el MU en el eje X y MUA en el eje Y, determinan la
trayectoria que describe el objeto al caer.
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Tomemos como punto de referencia el momento justo antes de lanzarse la pelota y
supongamos que el aire no ofrece resistencia. Ese punto es (0, 0). De tal forma que la
velocidad tiene dos componentes v = (vx, vy) y su dirección es tangente a la trayectoria.
Para el movimiento horizontal la componente v x de la velocidad del proyectil coincide con la
velocidad inicial vx, es decir, v0 = vx sabemos que el movimiento horizontal es un MU luego la
distancia recorrida o coordenada de posición horizontal viene dada por x = v0t. O simplemente
x = vt. Siendo v la componente horizontal de la velocidad de inicial.
Para el movimiento vertical la componente v y el cuerpo está sometido a un movimiento de
caída libre, con velocidad inicial cero (nula).
Para cualquier posición, la componente v y de la velocidad del proyectil coincide con la
velocidad de caída de un cuerpo, que se suelta desde la misma altura.
De caída libre sabemos que: v = v0 – gt, el cambio radica en escribir
vy = v0y – gt,
donde
v0y = 0  vy = gt,
De caída libre sabemos que: y = y0 + v0t - gt2 / 2, el cambio radica en escribir y = y0 + v0yt –
gt2/2, donde v0y = 0 y y0 = 0
Entonces: y = – gt2 / 2. ¿Porque el signo menos en la ecuación?
Para determinar la forma de la trayectoria seguida por el proyectil, a partir de la ecuación x =
v0t. Despejamos t  t = x / v0
Sustituimos esta expresión en y = - gt2 / 2  y = - g (x / v0) 2 / 2 
y = - x2 g / 2v0 2,
La gráfica corresponde a una parábola invertida.
Enlaces de apoyo.
-
http://rsta.pucmm.edu.do/profesor/nestorc/cinematica/parabolico/parabolico.htm
-
http://www.iesaguilarycano.com/dpto/fyq/thoriz.html
1. Ejercicio
Un avión deja caer un paquete de alimentos a un grupo de excursionistas situados
horizontalmente a 230m del punto más próximo al avión. Este vuela en forma horizontal a 140m
de altura y su vector de velocidad es 45m/s. ¿A qué distancia caerá el paquete de alimentos y
cuanto deben caminar los excursionistas para recogerlo?
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2. Ejercicio
Desde la superficie de una mesa de 1,4m de altura se lanza una pelota horizontalmente, con
una velocidad inicial de 5m/s. Determinar la posición de la pelota 0,2 segundos después del
lanzamiento y la posición de la pelota al chocar contra el piso y La velocidad del apelota en ese
instante.
3. Ejercicio
Desde lo alto de un edificio de 80m sobre el nivel de la
calle, se lanza un proyectil horizontalmente con velocidad
inicial de 50m/s. Determina la posición del proyectil
3,0segundos después de ser lanzado y la ecuación de la
trayectoria que describe el móvil y La velocidad y
oposición del móvil al incidir sobre la calle.
4. Ejercicio
El alcance de un proyectil disparado horizontalmente desde lo alto de un edificio es igual a la
altura de este. ¿Cuál es la dirección del vector velocidad cuando el proyectil choca contra el
suelo?
5. Ejercicio
Como se muestra en la figura, desde la cima de un
risco de 80 m de alto se dispara un proyectil con una
rapidez horizontal de 30 m/s. a) ¿Cuánto tiempo
necesitará para chocar contra el suelo en la base del
risco? b) ¿A qué distancia del pie del risco será el
choque? c) ¿Con qué velocidad se estrellará?
6. Ejercicio
Un piloto acróbata vuela a l5 m/s en
dirección paralela al suelo plano que se
encuentra l00 m debajo, como se muestra
en la figura. ¿A qué distancia x del objetivo
debe estar el avión para que, si deja caer un
saco de harina, éste choque con el blanco?
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 MOVIMIENTO PARABÓLICO – MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Supongamos que se lanza un objeto con
velocidad inicial v0, que forma con la
horizontal un ángulo θ de acuerdo a la
figura
En la gráfica se forma un triángulo
rectángulo, de acuerdo a las componentes
rectangulares de los vectores en posición
se deduce
Cosθ = vox / v0  vox = v0 Cosθ y Senθ = voy / v0  voy = v0 Senθ
En la dirección horizontal (eje X) el movimiento es un MU, luego a = 0 (nula), luego vx = v0x
sustituyendo vx = v0 Cosθ
La coordenada de posición en x viene dada por x = vxt,
x = v0tCosθ
pero
vx = v0 Cosθ sustituyendo
En la dirección vertical el movimiento es un MUA, pues el proyectil es atraído hacia la superficie
terrestre con una aceleración constante, que corresponde a la aceleración de la gravedad:
g = 9,8m/s2.
Las anteriores ecuaciones permiten calcular la posición horizontal del proyectil y su velocidad
en los dos ejes. Deduciremos unas que nos permitan calcular el tiempo de subida, de vuelo,
altura y alcance máximo logrado por el proyectil.
 Tiempo de subida y de vuelo
Inicialmente ubicamos el punto de referencia en el punto (0,0) donde x = 0 y y = 0. Como la
componente y de la velocidad en la altura máxima es nula, entonces de la ecuación: v y = v0y gt  vy = v0senθ - gt pero v y = 0 
0 = v0senθ - gt despejando t  t =v0senθ / g,
ecuación del tiempo de subida y se escribe: ts =v0Senθ / g. como la parábola es un figura
simétrica el tiempo de subida es el mismo que el de bajada, luego el tiempo de vuelo del
proyectil sería tv = 2ts.
 Altura máxima
Tomando el tiempo de subida y sustituyéndolo en la ecuación y = y0 + v0yt - gt2 / 2, donde
y0 = 0, voy = v0 Senθ y y = ymax 
ymax = 0 + v0 senθ (v0senθ / g ) - g(v0senθ / g)2 / 2 = v2 0 sen2 θ /g - v2 0sen2 θ / 2g 
ymax = v2 0Sen2 θ / 2g.
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 Alcance máximo
Para calcular el alcance máximo partimos de x = v 0tcosθ. Por simetría del movimiento, para el
tiempo de subida el proyectil alcanza su altura máxima siendo este el mismo que demora en
regresar a la altura de lanzamiento es decir, el suelo. Entonces, t v = 2ts de donde tv = 2v0senθ /
gs sustituyendo esta expresión y en lugar de X se escribe Xmax, tenemos:
Xmax = v0tcosθ = v0 (2v0senθ / g) Cosθ = v2 0 2senθcosθ / g 
Xmax = v2 0 Sen (2θ) / g
Donde
sen (2θ) = 2senθcosθ.
VARIACIÓN DE LA VELOCIDAD EN EL MOVIMIENTO PARABÓLICO
Análisis: la componente horizontal de
la velocidad, v0x, permanece constante
durante la trayectoria del proyectil. La
componente vertical de la velocidad v 0y,
varia en la medida que el proyectil se
desplaza.
Dicha
componente
disminuye desde el punto A hasta ser
nula en B, debido a que esa es la altura
máxima y el móvil se detiene luego
empieza a caer.
Entre B y C la
componente v0y cambia de dirección, va
dirigida hacia abajo, en la misma
dirección en la que actúa la aceleración de la gravedad y aumenta su magnitud hasta ser igual
al momento de ser lanzada en el punto A.
El alcance máximo se da para un ángulo de 45 0
Para un ángulo de 150 el alcance será el mismo que para uno de 75 0 (ángulos
complementarios)
Enlaces de apoyo.
-
http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/movparab/appletsol2.htm
-
http://www.meet-physics.net/DavidHarrison/castellano/ClassMechanics/ProjKinematics/ProjKinematics.html
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19
7. Ejercicio
Un balón se dispara con velocidad de 15m/s formando, con la horizontal, un ángulo de 370.
a) Determinar las componentes de la velocidad inicial v0x, v0y y los valores de las
componentes de la velocidad para 0,5s y a los 1,2s. y los valores de las componentes de la
posición en los mismos tiempos.
b) Calcular el tiempo que demora en alcanzar su altura máxima.
c) Determinar la altura máxima y la distancia máxima horizontal.
d) Dibujar la trayectoria y representar el vector velocidad y sus componentes para los
siguientes casos: en el punto de partida, en el punto más alto y al cabo de 1,2s.
8. Ejercicio
Un jugador de básquet lanza un tiro al aro
como muestra la Figura. La distancia
horizontal es igual a 6 metros, el ángulo θ es
53,13° con respecto a la horizontal y la
distancia entre el aro y la pelota es igual a 1,2
metros. ¿Con qué velocidad inicial debe tirar
que la pelota ingrese en el aro?
9. Ejercicio
Un atleta arroja un disco con un ángulo de 60 0 y alcanza una distancia de 40m desde el punto
de lanzamiento. Halla el vector velocidad inicial con el cual se lanzó el disco.
10.
Ejercicio
Se lanza una pelota de béisbol con una
velocidad inicial de 100 m/s con un ángulo de
30.0° en relación con la horizontal, como se
muestra en la figura. ¿A qué distancia del
punto de lanzamiento alcanzará la pelota su
nivel inicial?
11.
Ejercicio
Como se muestra en la figura, se lanza una
pelota desde lo alto de un edificio hacia otro más
alto, a50 m de distancia. La velocidad inicial de
la pelota es de 20 m/s, con una inclinación de
40° sobre la horizontal. ¿A qué distancia, por
encima o por debajo de su nivel inicial, golpeará
la pelota sobre la pared opuesta?
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20
12.
Ejercicio
Encuentre el ángulo de elevación θ de la
pistola que dispara un proyectil con una
velocidad de salida de 120 m/s y alcanza un
blanco localizado en el mismo nivel, pero a
una distancia de 1300 m
13.
Ejercicio
Una manguera que se encuentra tendida en el piso lanza una corriente de agua hacia arriba
con un ángulo de 40° con la horizontal. La rapidez del agua es de 20 m/s cuando sale de la
manguera. ¿A qué altura golpeará sobre una pared que se encuentra a 8.0 m de distancia?
14.
Ejercicio
Un niño lanza un balón horizontalmente desde la
azotea de un edificio como muestra la figura. Si la
altura del edificio es 100m y el balón cae a una
distancia de 80m del pie del edificio. Determinar: el
tiempo que demora el balón en el aire, la velocidad
inicial y la final.
15. Ejercicio
Un avión vuela a 7500 m de altura con velocidad horizontal de 252,0 km/h y deja caer una
bomba.
a) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?
b) ¿A qué distancia horizontal se encuentra cuando llega al suelo respecto del punto que se la
soltó?
Enlaces de apoyo.
-
http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/Tiro/Tiro.htm
-
http://www.colegioheidelberg.com/deps/fisicaquimica/applets/Cinematica2/canonparabolico.htm
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21
 EL MOVIMIENTO CIRCULAR
Decimos que un objeto se mueve con movimiento circular si la trayectoria seguida por el objeto
es un circulo con centro en un punto O y radio r. Si la magnitud de la velocidad se mantiene
constante el movimiento se considera un M.C.U.
 Desplazamiento angular y velocidad angular
Ilustremos la situación de un objeto que se mueve con trayectoria circular. Tracemos un circulo
de radio con centro O y radio r; los cuales representan la posición del objeto en diferentes
instantes de tiempo. Sean P, Q y R dichos puntos.
Cuando el objeto se desplaza desde P
hasta Q trascurre un tiempo to y barre el
Dirección del movimiento
ángulo θ1; igualmente, al desplazarse
desde P hasta R pasa un tiempo t y
barre el ángulo θ2. En los puntos P, Q y
R se han trazado los vectores de las
velocidades,
v1,
v2
y
v3,
respectivamente, del objeto en su
trayectoria. Dichas velocidades son
tangentes a la trayectoria y de
magnitudes contantes.
 El desplazamiento angular (θ): se define de manera análoga al desplazamiento lineal x,
es decir, es el cambio de la posición angular, es decir, es el ángulo barrido por un objeto que
gira respecto a un radio fijo. Dado por θ = θ2 – θ1 las unidades del desplazamiento angular
son los radianes o los grados.
Un radian es la medida de un ángulo con vértice en el centro del círculo, el cual corresponde
a un arco, s, cuya longitud es igual al radio de la circunferencia, un arco viene dado por
s = 2πr, donde r es el radio de la circunferencia.
Un giro completo corresponde a un ángulo de 2π rad, es decir, 2πrad = 3600.
Donde 1 rad = 57.3°
 Velocidad angular (w): de acuerdo a la gráfica se puede observar que el objeto en el
instante t1 ocupa la posición determinada por el ángulo θ 1 y en un instante posterior t2 ocupa
la posición determinada por el ángulo θ 2. Por tanto la velocidad angular, w, que describe el
movimiento del objeto, es el cociente entre el ángulo de barrido θ y el tiempo empleado t.
Es decir, w = θ / t = θ2 - θ1 / t2 – t1 
w=θ/t
La velocidad angular se mide en radianes por segundo: rad/seg o simplemente s -1.
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22
 Relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular
Para un objeto que describe una trayectoria circular, como la mostrada en la figura, él vector
velocidad v es tangente a la trayectoria, cuya magnitud corresponde a la rapidez de v del objeto
en determinado instante. La velocidad en un movimiento circular se le denomina
velocidad lineal, v.
Cuando un objeto describe una trayectoria circular de radio r, al
desplazamiento angular θ, le corresponde una distancia
recorrida s, o sección de arco del círculo, tal como observas
en la figura.
t
Es decir, s = r. θ, de donde, θ = s / r sabemos que
w = θ / t Entonces θ = wt  wt = s / r  wr = s / t,
siendo la expresión de la derecha la velocidad lineal del objeto
es decir v,
v = wr
Cuyas unidades en el SI son el m/s
Enlace de apoyo.
- http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/movcirc/appletsol2.htm
1. Ejercicio
La distancia media de la tierra al sol es 1,5x10 11m. Si se considera que la trayectoria que
describe la Tierra alrededor del Sol es circular. Determinar: la w y la rapidez de la Tierra
alrededor del Sol.
2. Ejercicio
El segundero de un reloj mide 1cm. Para el movimiento del extremo y del punto medio del
segundero determinar:
a) La velocidad angular
b) La velocidad lineal
3. Ejercicio
Una banda pasa por una rueda de 25 cm de radio, como se
muestra en la figura. Si un punto en la banda tiene una
rapidez de 5.0 m/s, ¿qué tan rápido gira la rueda?
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23
 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Cuando la norma de la velocidad lineal de un objeto que describe un movimiento permanece
constante a lo largo de la trayectoria, se dice que es un movimiento circular uniforme, M.C.U.
Como v y r es constante y v = wr podemos suponer entonces que w también lo es. En
consecuencia el valor de v y w coinciden en cualquier instante de tiempo. Por tanto:
w=θ/t
 Gráfica del M.C.U
Se observa que:
Primero: en el instante t0 = 0 segundos el objeto se encuentra en
la posición P0 cuyo vector posición, con respecto al centro de
trayectoria, forma un ángulo θo con el semieje horizontal positivo.
Segundo: en el instante posterior t, el objeto se encuentra en la
posición Q cuyo vector posición, con respecto al centro de
trayectoria, forma un ángulo θ con el semieje horizontal positivo.
Luego el desplazamiento angular es θ = wt
Es importante tener en cuenta que en el M.C.U, w es constante, es decir,
“El objeto barre ángulos iguales en tiempos iguales”
Analogía entre M.U y el M.C.U
MU
MCU
v constante
w constante
x = vt
θ = wt
Cuando un objeto efectúa una vuelta completa
corresponde a un periodo.
θ = 2π rad, se dice que el intervalo t
 Periodo (T)
El tiempo que tarda un objeto en realizar un giro en la unidad de tiempo en un M.C.U, se
representa con la letra T y sus unidades son el, segundo, s.
Sea n el número de vueltas que da un objeto, entonces el periodo T, es equivalente a T = t / n
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24

Frecuencia (f)
El número de vueltas que da un objeto en la unidad de tiempo en un M.C.U, se representa con
la letra f y sus unidades son el Hertz, Hz, rpm revoluciones por minuto, s - 1.
Sea n el número de vueltas que da un objeto, entonces la f, es equivalente a
f=n/t
Vemos que el periodo y la frecuencia son expresiones reciprocas es decir,
Tf = 1
Por lo tanto T = 1 / f y f = 1 / T.
La velocidad angular podemos expresarlas en función del periodo y la frecuencia, así:
w en función de T: w = 2π /T
w en función de f: como w = 2 /T y f = 1 / T entonces w = 2π f
4. Ejercicio
Los satélites geoestacionarios siempre se encuentran sobre el mismo punto de la tierra a una
distancia de 36000km de la superficie terrestre. Determinar:
a) El periodo y frecuencia de revolución de un satélite geoestacionario.
b) La distancia recorrida por el satélite en un día.
c) La velocidad angular de la trayectoria.
d) La rapidez del movimiento.
5. Ejercicio
Una sierra eléctrica gira con una frecuencia de 3000 rpm. Determina el periodo de revolución y
la velocidad angular con la que gira.
6. Ejercicio
Un ventilador gira a una tasa de 900 rpm a) Determina el periodo y la frecuencia de oscilación,
b) calcula la rapidez angular de cualquier punto que se encuentre sobre las aspas del
ventilador. c) determine la rapidez tangencial del extremo del aspa, si la distancia desde el
centro al extremo es de 20.0 cm.
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25
 Aceleración centrípeta (aC)
Cuando un objeto describe un movimiento circular
uniforme su rapidez permanece constante; sin embargo,
su velocidad cambia de dirección, es decir, experimenta
aceleración.
De acuerdo a la siguiente figura
El vector velocidad se ilustra en los puntos P y Q, los
cuales corresponden a los tiempos t 1 y t2. Además se
ilustran los vectores de posición y desplazamiento para
los mismos tiempos.
Por tanto de acuerdo a la semejanza s / R = v / v despejamos v = v (r / R) dividiendo por
t  v / t = v (r / R) /t recordemos que v / t es la aceleración media de un objeto.
Luego
a = v (r / R) /t reordenando a = (v / R) (r / t) si t  0, es decir, es muy pequeño,
entonces la expresión (r / t) tiende a r / t, donde r es la distancia recorrida y t el tiempo en
que lo hace, es decir, la velocidad lineal, v luego
a = (v /R) v se obtiene la aceleración
centrípeta.
ac = v2/R
Es un vector dirigido hacia el centro de la circunferencia. Sus unidades m/s 2.
Dado que v = wR, podemos expresar la aceleración centrípeta en función de w.
ac = v2/R

ac = (wR)2/R 
ac = w2R2/R  eliminando términos semejantes
ac = w2R
7. Ejercicio
Un niño hace girar sobre el andén un aro de 45cm de radio. Determinar la aceleración
centrípeta y la velocidad angular si el aro da 6 vueltas en 4 segundos.
Consulta: aceleración centrifuga y sus efectos sobre un objeto en movimiento.
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 MOVIMIENTO CIRCULAR ACELERADO O VARIADO (MCV)
La figura representa un cuerpo que describe un M.C, el
cual experimenta una variación (aumento o disminución)
de la velocidad angular.
En el instante t0 la velocidad angular es w0 y un tiempo t
posterior la velocidad angular es w. luego la aceleración
angular viene dada por  = w / t  = (w – w0) / (t – t0)
sus unidades son el rad / s2, o s-2.
En el instante t0 la velocidad lineal es v0 = w0r y tiempo t
posterior
es v = wr. Por lo tanto  = (w – w0) / (t – t0) = (v/r – v0 / r) / (t – t0)
 = (v – v0) / r(t – t0) donde a = ( v – v0) / r(t – t0) entonces  = a/r de donde
→
at = r
La aceleración tangencial indica la variación de la velocidad lineal y tienen la misma dirección.
Un cuerpo describe un M.C.U.V, cuando la aceleración angular es constante. Si en t = 0 la
velocidad angular es w0 y un instante después t es w la aceleración angular se expresa como:
 = (w – w0) / t, es decir la velocidad angular de un M.C.U.V es
w = w0 + t
La ecuación para el desplazamiento angular vienen dado por
θ = w0t –  t2/2
 Las componentes de la aceleración
 La aceleración tangencial, at, se relaciona con la variación de la magnitud velocidad lineal.
 La aceleración centrípeta, aC, se relaciona con la variación de dirección velocidad lineal.
 La aceleración tangencial, at, tiene el mismo sentido de la velocidad v0, entonces el cuerpo
aumenta su velocidad.
 La aceleración tangencial, at, tiene sentido contrario a la velocidad v 0, entonces el cuerpo
aumenta su velocidad.
 La aceleración del sistema viene dado por a2 = a2t + a2C, es decir, se aplica el teorema de
Pitágoras.
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8. Ejercicio
Sobre una superficie, gira un objeto atado a una cuerda de 50cm de longitud con velocidad de
5m/s. Por efecto de la fricción, el objeto disminuye su velocidad con aceleración angular
constante y se detiene a los 4s. Determinar.
a) La velocidad y aceleración angular inicial del objeto, la aceleración tangencial del objeto y
la aceleración del sistema y el desplazamiento angular del objeto.
9. Ejercicio
Una rueda de 40 cm de radio gira sobre un eje estacionario. Su rapidez aumenta
uniformemente desde el reposo hasta una rapidez de 900 rpm en un tiempo de 20 s. Encuentre
a) la aceleración angular constante de la rueda y b) la aceleración tangencial de un punto que
se encuentra en su borde.
10. Ejercicio
Una polea de 5.0 cm de radio, en un motor, gira a 30 rev/s y disminuye su velocidad
uniformemente a 20 rev/s en 2.0 s. Calcule a) la aceleración angular del motor, b) el ángulo al
que da las vueltas en este tiempo y c) la longitud de la banda que se enrolla durante este lapso.
11. Ejercicio
Un automóvil tiene llantas de 30 cm de radio. Parte del reposo y (sin deslizamiento) acelera
uniformemente hasta una rapidez de 15 m/s en un tiempo de 8.0 s. Encuentre la aceleración
angular de sus llantas y el número de vueltas que da una llanta en este tiempo.
12. Ejercicio
¿Cuál es la máxima rapidez con la que un automóvil puede tomar una curva de 25 m de radio
en un camino plano si el coeficiente de fricción estática entre las llantas y la carretera es 0.80?
 Transmisión del movimiento circular
Supongamos dos ruedas de radios R y r, unidas por una
correa según la figura
La velocidad lineal que proporciona las correas, es la misma
en toda su extensión, por ende las ruedas giran a la misma
velocidad lineal, es decir v1 = v2 sabemos que en general
v = wr, por lo tanto:
w1R = w2r
f1R = f2r
T2R = T1r
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13. Ejercicio
Dos ruedas de 30cm y 20cm de diámetro, respectivamente, se unen mediante una correa. Si la
rueda de mayor radio diámetro gira a 10rev/s, ¿Cuál es la frecuencia de la otra rueda?
 El ángulo de peralte
Para un cuerpo como un vehículo o un vagón de tren que se mueven describiendo una
trayectoria curva de radio r, sobre el vehículo debe actuar una fuerza centrípeta para evitar que
continúe moviéndose en línea recta y se salga de la pista; esta es la fuerza para hacer que el
vehículo gire por la pista curva. La fuerza centrípeta necesaria la da el roce de los neumáticos o
las pestañas de las ruedas del tren.
Para no tener que confiar en el roce o reducir el desgaste de los rieles y pestañas, la carretera
o la vía pueden inclinarse, como en la figura. A la inclinación de la pista o vía se le llama ángulo
de peralte, θ. En este caso la componente de la normal dirigida hacia el centro de curvatura
proporciona la fuerza necesaria para mantener al móvil en la pista.
Para una pista curva de radio r, con ángulo de peralte
θ. Son estas componentes las que producen la
aceleración centrípeta que mantiene al vehículo de
masa m sobre la pista.
El ángulo necesario para mantener el auto en la curva
viene dado por
θ =Tan-1 (v2/rg)
Se observa que el ángulo de peralte α depende de la rapidez y del radio de la trayectoria curva
y es independiente de la masa del vehículo. Para un cierto valor del radio, no existe un ángulo
que satisfaga la ecuación para todas las rapideces, por lo tanto las curvas se peraltan para una
rapidez media.
Por ejemplo, si v = 72 km/h = 20 m/s, y r = 100 m, se obtiene: α =Tan-1 ((20m/s)2/(100m)
9,8m/s2) = 220
La rapidez máxima que puede tener el móvil al girar sobre una carretera o vía sin peralte,
corresponde a aquella en la cual está a punto de resbalar hacia afuera, en este caso debe
actuar la frmáx para obtener la rapidez máxima, que no se debe superar para que el vehículo no
se salga de la pista:
frmàx = μmàxN
→
frmàx = μmàxmg → mv2màx/r = μmàxmg → v2màx = μmàxrg
→
vmàx = √μmàxrg
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Este tratamiento completa una descripción básica para entender cómo se deben inclinar las
vías de trenes o carreteras en las curvas, para que los vehículos al entrar en las curvas no se
salgan de su pista para evitar accidentes.
14. Ejercicio
Una curva de 30 m de radio va a peraltarse para que un auto pueda tomarla con una rapidez
de 13 m/s sin depender de la fricción. ¿Cuál debe ser la pendiente de la curva (ángulo de
peralte)?
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30
 LAS LEYES DE KEPLER – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) formuló un conjunto de leyes para describir el
movimiento planetario, conocidas como las leyes de Kepler.
Enlace de apoyo.
-
http://arachnoid.com/gravitation/index.html
 Primera ley o ley de las orbitas
Los
planetas
describen
órbitas
elípticas y el sol está
sobre uno de los
focos de la elipse.
Según esta ley, como las orbitas de los planetas son elipses y el sol se halla en uno de sus
focos, entonces la distancia del planeta Tierra al sol varia. Cuando es la distancia más mínima,
el planeta está en el perihelio y cuando es máxima, el planeta está en afelio. La excentricidad
de las elipses de los planetas está próxima a cero, por tanto, sus órbitas son casi circulares
(elípticas con poco achatamiento)
Enlace de apoyo.
- http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=9.0
 Segunda ley o ley de las áreas
La línea que une al sol con el
planeta barre áreas iguales en
tiempos iguales.
Según esta ley, la velocidad del
planeta es uniforme, siendo mayor
en el perihelio que en el afelio, por
ser la distancia al Sol menor que en
el segundo. Es decir, en tiempos
iguales los arcos de elipse
recorridos por un planeta son
mayores cuantos más cercano se encuentra el planeta del Sol. Esta diferencia de velocidades,
como demostró Newton, es debida a la atracción que la masa del Sol ejerce sobre el planeta,
por lo que al estar el planeta próximo al Sol la atracción aumenta y su velocidad es mayor.
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31
Enlace de apoyo.
-
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=9.0
 Tercera ley o ley de los periodos
El cuadrado del periodo
de revolución de cada
planeta es proporcional
al cubo de la distancia
media al Sol (la mitad de
la suma de la distancia
mayor y la menor)
Esta ley puede expresarse mediante la siguiente formula: T 2 = Kr3. La constante K es la misma
para todos los planetas, K = 2,9x10-19 s2/m3.
De esta ley se deduce que la velocidad media con la que los planetas recorren órbitas es
menor cuanto más alejados estén estos del Sol.
Gracias a estas leyes los satélites artificiales son lanzados para el servicio de comunicación y
otras actividades.
En la siguiente tabla se muestra el periodo de revolución y las distancias o radios promedios de
los planetas alrededor del Sol.
 Tabla de valores
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 LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Los planetas describen una trayectoria elíptica
alrededor del Sol y puesto que no describen
movimiento rectilíneo uniforme, debe actuar sobre
ellos una fuerza centrípeta que produce el cambio
en la dirección del movimiento.
De acuerdo a la figura

Ley de gravitación universal: Dos cuerpos
cualesquiera de masa M y m, separados una
distancia R se atraen con una fuerza que es
directamente proporcional al producto de sus
masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que los separa.
La cual se expresa como
Fg = G Mm / R2
Donde G es la constante de gravitación universal y su valor en el SI es:
G = 6,67x10-11Nm2 / kg2
g = GM/R2
 Velocidad de escape
Para que un satélite se escape de la superficie de la Tierra
hemos de conseguir que la energía mecánica total sea cero.
Por tanto, la velocidad de escape de la superficie de la Tierra
se calcula de la siguiente forma:
Em = 1/2mv2esc – G MT m/RT = 0 → v2esc = 2GMT/RT =
2gR2T/RT → v2esc = 2gRT →
vesc = √2gRT o vesc = √2GMT/RT
Es independiente de la masa del satélite, aunque el empuje requerido para acelerarlo, que será
el producto de la masa por la aceleración necesaria para alcanzar dicha velocidad, y obtener
esa velocidad sí depende de la masa. En la práctica, se necesita una velocidad menor, debido
a que la Tierra está girando y, si lanzamos el satélite en el sentido de giro de la Tierra, es decir,
en sentido Oeste-Este ya lleva una velocidad relativa, y la de escape sería menor. Y, si el
lanzamiento se hace cerca del Ecuador mayor será esa velocidad relativa.
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33
Si el satélite se encuentra girando en una órbita, a una altura h sobre la superficie de la Tierra,
entonces la velocidad de escape de dicha órbita y la energía adicional para que escape de la
acción del campo gravitatorio terrestre sería:
Em = 1/2mv2esc – G MT m/(RT + h) = 0 → v2esc = 2GMT/(RT + h) = 2gR2T/(RT + h)
→
vesc = √2gR2T/(RT + h)
15. Ejercicio
Aunque la trayectoria de los planetas es elíptica, determinar la masa del Sol, a partir del
periodo de revolución de la Tierra alrededor de él y de la distancia que los separa, asumiendo
que la trayectoria es circular.
16. Ejercicio
Calculate the escape speed from the Earth for a 5000kg spacecraft, and determine the kinetic
energy it must have at the Earth’s surface in order to move infinitely far away from the Earth.
17. Ejercicio
Considerar que la trayectoria del Sol es circular y calcular la rapidez del movimiento de Plutón
alrededor del Sol. Compararla con la rapidez de la Tierra cuyo valor es 2,9x10 4m/s.
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TALLER – PREGUNTAS PRUEBAS SABER – MOVIMIENTO EN EL PLANO
Responde las preguntas 1 a la 4, con la siguiente información.
Durante un partido de béisbol, Juan y su padre observan el
lanzamiento de la pelota que realiza uno de los jugadores a
otro de su mismo equipo. La trayectoria seguida por la pelota
después de ser golpeada por el bate es como la mostrada en
la siguiente figura:
1. Luego de observar detenidamente la trayectoria Juan descubre que hay un punto en
particular a partir del cual la pelota deja de subir y empieza a caer. La mejor explicación que
podría brindar el padre de Juan sería:
A) La pelota empieza a caer a partir de ese punto porque la gravedad en ese instante se
hace igual a cero.
B) La pelota empieza a caer a partir de ese punto porque la componente horizontal de la
velocidad de hace igual a cero en ese instante.
C) La pelota empieza a caer a partir de ese punto porque las dos componentes de la
velocidad se hacen igual a cero en ese instante.
D) La pelota empieza a caer a partir de ese punto porque la componente vertical de la
velocidad se hace igual a cero en ese instante.
2. Durante el mismo juego Juan escucha a cuatro aficionados que están sentados junto a ellos
discutir acerca de !a forma en que la pelota lograría llegar más lejos (recorrer más distancia)
luego de ser bateada por el jugador. Cada aficionado afirma lo siguiente:
Aficionado 1: disminuir el ángulo con que el jugador impacta la pelota con el bate.
Aficionado 2: aumentar el ángulo con que el jugador impacta la pelota con el bate.
Aficionado 3: impactar la pelota con un ángulo de 45°.
Aficionado 4: impactar la pelota con un ángulo de 90°.
La afirmación correcta es la del aficionado:
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
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35
3. Juan les pregunta a los cuatro aficionados qué información necesitaría si quisiera saber (de
la forma más simple posible) cuánto tiempo permanece en el aire la pelota desde que la
batea el primer jugador hasta que la recibe el segundo jugador. Las respuestas de cada uno
de ellos son las siguientes:
Aficionado 1: conocer tanto el tiempo de subida corno de bajada ya que, incluso en
condiciones ideales, estos son diferentes.
Aficionado 2: solamente necesitaría conocer el tiempo de subida o de bajada de la pelota
ya que en condiciones ideales el tiempo total de vuelo es el doble de cualquiera de estos
dos.
Aficionado 3: conocer las velocidades inicia-les y finales y luego aplicar varias fórmulas
para encontrar de manera indirecta el tiempo total de vuelo.
Aficionado 4: conocer la velocidad inicial de la pelota y la gravedad es suficiente para
encontrar el tiempo total de vuelo de la forma más simple posible.
El aficionado que está en lo correcto es:
A)
B)
C)
D)
1
2
3
4
4. Si Juan y su padre dispusieran de un aparato muy sofisticado que les permitiera conocer la
aceleración y la velocidad de la pelota en todo momento, este les mostraría que:
A) Mientras la pelota sube, la velocidad aumenta y la aceleración permanece constante;
mientras que la pelota baja, la velocidad disminuye y la aceleración permanece
constante.
B) Mientras la pelota sube, la velocidad disminuye y la aceleración también; mientras que la
pelota baja, la velocidad aumenta y la aceleración también.
C) Mientras la pelota sube, la velocidad disminuye y la aceleración permanece constante;
mientras que la pelota baja, la velocidad aumenta y la aceleración permanece constante.
D) Mientras la pelota sube, la velocidad permanece constante y la aceleración disminuye;
mientras que la pelota baja, la velocidad permanece constante y la aceleración aumenta.
5. The graph below represents the displacement of an object
moving in a straight line as a function of time.
What was the total distance traveled by the object during the
10-second time interval?
A)
B)
C)
D)
0m
16 m
8m
24 m
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Responde las preguntas 6 a 9 con la siguiente información.
Angry Birds es un videojuego disponible para
diferentes plataformas, muy popular por estos
días; este, a su vez, constituye una clara
aplicación del movimiento parabólico tal como lo
muestra la siguiente figura:
El juego consiste en lanzar unos pájaros usando
una honda o cauchera con el objetivo de impactar
a unos cerdos que se encuentran a cierta
distancia de los pájaros.
6. Luego de preguntar a un grupo de cuatro estudiantes cuál era la clave para impactar con
más precisión a los cerdos, estos respondieron lo siguiente:




Felipe: variar, bien sea la velocidad, el ángulo o la aceleración con la que el pájaro sale
de la cauchera, ya que el resultado es igual, independiente de cuál de estas variables
sea modificada.
María: variar la aceleración con la que el pájaro es soltado de la cauchera.
Luis: variar el ángulo de inclinación con que el pájaro es sujetado de la honda o
cauchera.
Rutencia: variar la velocidad con que el pájaro es soltado de la cauchera.
El estudiante que tiene la razón es:
A)
B)
C)
D)
María.
Rutencia.
Luis.
Felipe.
7. Si usted fuera uno de los cerdos dentro del juego trataría de evitar a toda costa que los
pájaros impactaran sobre usted; además se sabe que un pájaro tarda en llegar al punto más
alto de la trayectoria exactamente seis segundos. Según lo anterior usted
A) podría estar tranquilo solamente luego de que hayan transcurrido seis segundos desde
que el pájaro fue lanzado.
B) podría estar tranquilo solamente luego de que hayan trascurrido doce segundos desde
que el pájaro fue lanzado.
C) podría estar tranquilo solamente luego de que hayan trascurrido dieciocho segundos
desde que el pájaro fue lanzado.
D) podría estar tranquilo solamente luego de que hayan trascurrido nueve segundos desde
que el pájaro fue lanzado.
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8. Se sabe que las expresiones para las velocidades horizontal (v x) y vertical (vy) del pájaro en
el juego son:
vx = vo cosα
vy = y0 senα — gt
Según lo expuesto anteriormente sería correcto afirmar que
A)
B)
C)
D)
tanto la velocidad vertical como la horizontal están en función del ángulo de disparo.
la velocidad vertical es constante y la horizontal no.
tanto la velocidad inicial como la final dependen de la aceleración de la gravedad.
tanto la velocidad vertical como la horizontal están en función del tiempo.
9. De acuerdo con el enunciado anterior, si se desea obtener una gráfica que muestre la
velocidad horizontal del pájaro en función del tiempo, el resultado más aproximado sería:
A)
C)
B)
D)
10. Se lanzan tres balones P, Q y R cuyas trayectorias están
representadas en la figura.
Sean tP, tQ, tR, el tiempo gastado respectivamente por los balones
P, Q y R desde el momento del lanzamiento hasta el instante que
alcanzan el suelo. De acuerdo a la gráfica es correcto afirmar:
A) tQ > tP = tR
B) tR > tQ = tP
C) tQ > tR > tP
D) tR > tQ > tp
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11. El grafico muestra el comportamiento del movimiento de un
proyectil.
De acuerdo a él podemos afirmar que
A) la gravedad y las velocidades horizontales del
movimiento parabólico
B) la gravedad y la velocidad del movimiento parabólico
C) las velocidades horizontal y vertical del movimiento parabólico
D) la gravedad y la velocidad vertical de una caída libre
12. Se dispara un proyectil de mortero con un ángulo de
elevación de 300 y una velocidad inicial de 40 m/s sobre
un terreno horizontal, como muestra la figura.
El tiempo que tarda en llegar a la tierra el proyectil es
A)
B)
C)
D)
ts =v0Senθ / g
3,49 s
4.08s
1,09s
5.21s
Sen30° = 0.5
13. Cuando un proyectil se mueve en su trayectoria parabólica, hay un punto cualquiera de su
trayectoria donde los vectores velocidad y aceleración son:
I. Perpendiculares entre si
II. Paralelos entre si
De las afirmaciones se puede decir que
A)
B)
C)
D)
Sólo I es verdadera
I y II son falsas
Sólo II es verdadera
I y II son verdaderas
14. Los puntos B y C de la figura están ubicados sobre la misma línea radial de un disco, que
gira uniformemente en torno a su centro 0.
Se puede afirmar que:
A)
B)
C)
D)
vB = vC
vB > vC
vB < vC
vB < vC
y
y
y
y
O
B
C
wB = wC
wB > wC
wB < wC
wB = wC
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15. Un motociclista está dando vueltas dentro de una “jaula de la muerte”,
la cual es esférica de radio r como muestra la figura. La masa del
conjunto moto-motociclista es m.
La fuerza centrípeta F ejercida sobre el conjunto moto-motociclista en el
punto A es la mostrada en
A)
B)
C)
16. Si un ciclista pedalea a 60 r.p.m. en forma constante,
podemos afirmar que:
I.
La rapidez circunferencial del plato y piñón son
iguales
II. La rapidez angular del piñón y de la rueda son iguales
III. La rapidez angular del plato y la rueda son iguales
D)
Rueda
Plato
Piñón
De estas afirmaciones es (son) verdadera (s):
A)
B)
C)
D)
Sólo I
Sólo II
Solo III
Sólo I y II
17. Un jugador de béisbol I lanza su pelota verticalmente hacia arriba, otro jugador II lanza su
pelota formando un ángulo  con la horizontal, con la misma V0. Desprecie el rozamiento con
el aire
Con respecto a la aceleración de la pelota en los dos casos es correcto afirmar que
A)
B)
C)
D)
es la misma en ambas situaciones.
en I es mayor.
en II es mayor.
es nula en el caso II.
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18. Dos poleas de radios R y r, respectivamente, están unidas por una correa de transmisión,
como muestra la figura.
La polea de radio r gira con velocidad angular constante w.
Según la figura anterior es correcto afirmar que
A)
B)
C)
D)
la polea de radio R gira con igual velocidad angular que la polea de radio r
la frecuencia de la polea de radio R es mayor que la de radio r
las velocidades lineales de ambas poleas son iguales
las velocidades lineales de las dos poleas son diferentes
19. Dos ciclistas A y B se mueven uno al lado del otro mientras le dan una vuelta al velódromo,
tal como muestra la figura.
Podemos afirmar que
A)
B)
C)
D)
El ciclista A posee mayor velocidad angular que B
El ciclista B posee mayor velocidad lineal que A
El ciclista A posee mayor velocidad lineal que B
El ciclista B posee mayor velocidad angular que A
20. Observa el lanzamiento de proyectil mostrado en la figura
¿Qué debe ocurrir para que la bala llegue hasta el punto de máximo alcance B?
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TALLER – PREGUNTAS PRUEBAS SABER – MOVIMIENTO EN EL PLANO
HOJA DE RESPUESTA
Rellene el cuadro cuya letra es la respuesta correcta, con lapicero. Hacerlo en más de una
opción anula la respuesta (incluye cualquier marca) No se permiten tachones ni enmendaduras.
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
ASIGNATURA: FÍSICA
OPCIONES
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
D
D
D
D
D
D
D
D
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D
D
D
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NOMBRE:
GRADO:
CURSO:
FECHA:
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