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FACULTAD DE INGENIERÍA - DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FÍSICA II
ESPECIALIDADES: AGRIMENSURA-CIVIL-QUÍMICA-ALIMENTOS-BIOINGENIERÍA
GUÍA DE PROBLEMAS PROPUESTOS Y RESUELTOS - ELECTROSTÁTICA
Datos necesarios para resolver los problemas de la guía:
Constante Ley de Coulomb K = 9 x 109 N m2 /C2.
Permitividad del vacío
є0 =8,85x10-12 C2 /N m 2 =8,85x10-12 F/m
Carga del electrón
e = 1,6x10-19C
Masa del electrón
me= 9,1 x 10-31Kg
Problema Nº 1
En un sistema de coordenadas rectangulares se colocan tres cargas puntuales, q1= 2 x 10-9 C ;
q2= - 2 x 10-9 C y q3= - 3 x 10-9 C en los puntos (0,0); (3,0) y (3,4) respectivamente. Si las
coordenadas están dadas en metros. Calcular el módulo de la fuerza neta que actúa sobre cada
una de las cargas y el ángulo que cada vector forma con la horizontal.
Rta : F1 =5,57x10-9N; θ1= 18º
F2=5,23 x10-9N; θ2=220º
F3= 2,09 x10-9N; θ3= 128º
Problema Nº 2
Dos péndulos eléctricos, de 10cm de longitud y masas esféricas iguales de 5 mg en sus extremos,
cuelgan del mismo punto. Si al cargar cada una de las esferas con una carga q, los péndulos se
separan de la vertical hasta formar un ángulo de 60º entre sí ¿cuál es el valor de q?
60°
q
q
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía)
Problema Nº 3
Tres esferas tienen igual carga y están colocadas como indica la figura. La esfera A ejerce una
fuerza de 3x10-6 N sobre la esfera B. Calcular a) la fuerza que hace la esfera C sobre la B. b) el
módulo y el sentido de la fuerza total sobre la esfera B. (Considerar las esferas como cargas
puntuales).
C
B
2
cm
3
1cm
A
Rta : FCB= 4 x10-6 N
FB= 5 x10-6 N α=143,13º
Problema Nº 4
En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una carga de 2 x 10–10 C en el punto
(0;0), y otra de 4 x 10–10C en el punto (0;6), estando las coordenadas expresadas en metros. a)
Calcular el campo eléctrico resultante en los puntos P(0;3) y Q(0;8). b) Idem si la segunda carga
es negativa.
(La solución de la parte (a) de este problema se encuentra al final de esta guía).
Rta: (b) EP = 0,6 (N/C); EQ = 0,87 (N/C).
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Electrostática
Problema Nº 5
En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una carga de 3 x 10–10 C en el punto (x =
– 6 m; y = 0 m), y otra de – 2 x 10–10 C en el punto (x = 6 m; y = 0 m). a) Hallar el campo eléctrico
resultante en el punto (x = 0 m; y = 8 m) y el ángulo que E forma con la horizontal. b) Aplicando el
concepto de campo eléctrico, determinar la magnitud de la fuerza que actuaría sobre una partícula
de carga – 3 x 10–10 C, colocada en el punto anterior, y dibujar el vector correspondiente.
Rta: (a) E = 2,8 x 10–2 (N/C); ϕ = 14° (b) F = 8,34 x 10–12 N.
Problema Nº 6
Se coloca carga q1 =4nC en x=3m y otra q2= -8nc en x=6m. Calcular la distancia a la que debe
colocarse una carga de 6nC para que el campo en x=0 sea nulo.
Rta: 5,20m
Problema Nº 7
Tres cargas puntuales de valores q1 = q3= 3 x 10-9 C y q2= - 6 x 10-9C se encuentran colocadas
como indica la figura. Si a= 2m, Hallar el campo eléctrico resultante punto P y el ángulo que E
forma con la horizontal.
Rta: E= 27 N/C ϕ = 225°
q1
a
P
q2
q3
a
Problema Nº 8
Una varilla no conductora tiene una carga q uniformemente distribuida en toda su longitud.
Deducir la expresión del campo eléctrico en el punto P, ubicado sobre la perpendicular bisectriz a
la varilla y a una distancia a de la misma: a) Si la varilla es infinitamente larga. b) Si la varilla tiene
un largo l. (La solución de este problema se encuentra al final de esta guía).
Problema Nº 9
Un electrón se lanza dentro de un campo eléctrico uniforme de 5000 (N/C) dirigido verticalmente
hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 1,0 x 107(m/s) y forma un ángulo de 30° con la
horizontal. a) Calcular la altura máxima alcanzada por el electrón por encima de su altura inicial. b)
Calcular la distancia horizontal que recorre el electrón antes de volver a su altura inicial.
Masa del electrón = me = 9,1 x 10–31 Kg.
Carga del electrón = e = – 1,6 x 10–19 C.
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía).
Problema Nº 10
Un electrón que se mueve con una velocidad de 5x108cm/s, se dispara paralelamente a un campo
eléctrico de intensidad 1x103 N/C, colocado de modo que retarde su movimiento. a) ¿Hasta dónde
llegará el electrón en el campo antes de quedar momentáneamente en reposo? b)¿Cuánto tiempo
transcurrirá?
Rta: a)7,1cm b)2,9x10-8s
Problema Nº 11
Se aplica un campo eléctrico de 5,0.104N/C, a lo largo del eje x. Calcule el flujo eléctrico a través
de un plano rectangular de 0,2 m de ancho y 0,8 m de largo, si: a) éste es paralelo al plano yz,
b) es paralelo al plano xy y c) contiene al eje y y su normal forma un ángulo de 53° con el eje x.
Rta: a) ΦE = 8x10 3 N.m2/C b) ΦE = 0 Nm2/C c) ΦE =4,8x103N.m2/C
Problema Nº 12
En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una carga de − 3 x 10–9 C en el punto
(0;0), otra de 3 x 10–9C en el punto (0;2), y una tercera de 4 x 10–9 C en el punto (0;6), estando
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Electrostática
las coordenadas expresadas en metros. Calcular el flujo del campo eléctrico a través de una
superficie esférica con centro en el punto (0;0) y radio: a) 1m. b) 3 m. c) 10 m.
Rta: a) ΦE = − 339 Nm2/C
b) ΦE = 0
c) ΦE = 452 Nm2/C
Problema Nº 13
Dos esferas metálicas, huecas y concéntricas, de radios 3 cm y 6 cm, respectivamente, tienen
cargas de – 3 x 10–10 C y 3 x 10–10 C. Calcular el módulo del campo eléctrico: a) A 1 cm del
centro. b) A 5 cm del centro. c) A 8 cm del centro.
Rta:
a) E = 0;
b) E = 1080 (N/C)
c) E = 0
Problema Nº 14
Dos largos cilindros coaxiales, de radios 1 cm y 3 cm, tienen cargas de igual valor y signo
contrario, siendo la densidad lineal de carga de 3 x 10–9 (C/m). Calcular el módulo del campo
eléctrico en los siguientes puntos: a) A 0,5cm del eje. b) A 2cm del eje. c) A 5cm del eje.
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía).
Problema Nº 15
Una esfera no conductora de radio R está cargada con una carga Q uniformemente distribuida en
todo su volumen. Deducir la expresión del módulo del campo eléctrico: a) Para puntos interiores
(r ≤ R), b) Para puntos exteriores (r ≥ R) de la esfera.
c) Graficar E en función de la distancia al centro de la esfera (r).
Rta: a) E = kQr/R3
b) E = kQ/r2
Problema Nº 16
Dos grandes placas metálicas, de 4 m2 de área, están una frente a la otra, separadas 1 cm. Las
láminas tienen cargas iguales y de signo contrario sobre sus superficies interiores. a) Deducir la
expresión del módulo del campo eléctrico entre las placas. b) Calcular la carga de las placas si el
campo eléctrico entre ellas es de 6 (N/C). Despreciar los efectos de borde.
Rta: a) E = σ/εo
b) Q = 2,1 x 10-10 C
+q
+
+
+
+
+
+
_
_
_
_
_
-q
Problema Nº 17
Una esfera aislante sólida de radio a tiene una densidad de carga uniforme ρ y una carga total Q.
Concéntrica con esta esfera está otra esfera hueca conductora y descargada, cuyos radios interior
y exterior son b y c, respectivamente, como se ve en la figura. a) Determinar la intensidad del
campo eléctrico en las regiones : a) r < a, b) a < r < b c) b < r < c y d) r > c.
Rta: a) E = Q r / 4πε0 a3
b) E = Q / 4πε0 r2
c) E = 0
3
d) E = Q / 4πε0 r2
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Electrostática
PROBLEMA Nº 18
Un campo eléctrico uniforme de magnitud 400 V/m está dirigido en la dirección y negativa. Las
coordenadas del punto A son (-0,4;-0,6)m y las del punto B son (0,5; 0,7)m. Calcular la diferencia
en el potencial eléctrico entre A y B, utilizando la trayectoria ACB.
Y
C
B
r
X

E
A
Rta: VAB= 520 V
Problema N°19
En la figura la carga A tiene 20µC, mientras que la carga B tiene -10µC. a) Calcular el potencial en
los puntos C y D. b)¿Cuánto trabajo debe hacerse para llevar una carga de 50µC desde el punto
C al punto D?
A(20µC)
D
20cm
Rta:
a) Vc = -225000 V
C
20cm
60cm
VD = 787500 V
B(-10µC )
b) W = 50,625 J
Problema Nº 20
Una esfera pequeña de masa 1,5g cuelga de una cuerda entre dos placas verticales paralelas
separadas por una distancia de 5cm. Las placas son aislantes y tienen densidades superficial de
carga uniformes de + σ y - σ. La carga de la esfera es q= 8,9 x10-6C. ¿Cuál es la diferencia de
potencial entre las placas, que ocasionará que la cuerda forme 30° con la vertical?
Rta: V= 47,5V
Problema Nº 21
Se coloca una carga puntual de – 3 x 10–10 C en el origen de un sistema de coordenadas
rectangulares. a) Calcular el potencial eléctrico en el punto P, de coordenadas (8m; 0m). b) ¿Qué
trabajo hay que hacer para colocar una carga de 5 x 10–10 C en el punto P? c) Calcular el potencial
que ambas cargas crean en un punto S, de coordenadas (2m; 0m). d) ¿En qué punto del
segmento que determinan ambas cargas se anula el potencial? e) Si se coloca una carga de 2 x
10–10 C en el punto de coordenadas (0m; 4m), ¿cuál es la energía potencial eléctrica del sistema
formado por las tres cargas?
Rta: a) VP = – 0,34 V b) W 2 = – 1,7 x 10–10 J c) VS = – 0,6 V d) (3m:0m) e) U = – 2 x 10–10 J
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Problema Nº 22
A cierta distancia de una carga puntual la magnitud del campo eléctrico es de 500V/m y el
potencial eléctrico es igual a -3kV.a)¿Cuál es la distancia a la carga? b) ¿Cuál es la magnitud de
la carga?
Rta: a) r= 6m b) q=2x10-6 C
Problema Nº 23
Un trozo de varilla no conductora, de largo L, tiene una carga Q, uniformemente distribuida en
toda su longitud. Demostrar que el potencial en el punto P vale:
 (a + b ) 
;
V = kλ. ln 
 a 
donde:
k=
1
4πε 0
y
λ=
q
l
P
a
b
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía).
Problema Nº 24
a) Deducir la expresión de la diferencia de potencial entre dos esferas huecas y concéntricas, de
radios a y b, cargadas con cargas – Q y + Q, respectivamente.
b) Calcular la diferencia de potencial entre las dos esferas si: a = 3 cm, b = 4 cm y Q = 2 x 10-9 C
 (b − a )
 ab 
Rta: a) Vb − Va = kQ 
b) Vb – Va = 150 V
Problema Nº 25
Calcular la diferencia de potencial entre dos cilindros coaxiales de radios a = 1 cm y b = 3 cm,
cargados con cargas de igual valor y signo contrario, si la densidad lineal de carga es de 2 x 10–7
(C/m).
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía).
Problema Nº 26
Cuando se aplica una diferencia de potencial de 150V a las placas de un capacitor de placas
paralelas, las placas adquieren una densidad de carga de 30nC / cm2. Determinar cuál es el
espaciamiento entre las placas.
Rta: 4,42 x 10-6 m
Problema Nº 27
Calcular la capacitancia de un capacitor esférico de radios a = 1 cm y b = 2 cm. a) Con dieléctrico
de aire. b) Con dieléctrico de porcelana. (κ = 6,5).
Rta: a) C= 2,2 pF b) C' = 14,3 pF
Problema Nº 28
Determinar la capacitancia por unidad de longitud de un condensador cilíndrico de radio interior a
= 2 cm y radio exterior b = 3 cm: a) Con dieléctrico de aire. b) Con dieléctrico de papel (κ = 3,5).
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía).
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Electrostática
Problema Nº 29
En la conexión de la figura, Ca = 2 µF, Cc = 6 µF, Qc = 360 µC y Va = 40 V. Calcular qa, qb, V, Vb y
Cb
Cb
Ca
Cc
V
(La solución de este problema se encuentra al final de esta guía).
Problema Nº 30
En la asociación de capacitores de la figura, C1 = 2 µF, C2 = 3 µF, C3 = 3 µF, C4= 4 µF
La diferencia de potencial entre A y B es V = 30 V. a) Determinar la capacitancia equivalente. b)
Para cada capacitor calcular la carga, la diferencia de potencial y la energía almacenada.
C3
C1
C4
B
A
Rta: a) 1,5 µF b) q1= 42µC
q2=25,5µC
q3=17µC
q4=42µC
C2
V1=21V
V2=8,5V
V3=8,5V
V4=10,5V
U1=441µJ
U2=108,37µJ
U3= 108,37µJ
U4= 220,5µJ
Problema Nº 31
Dos capacitores, a y b, están conectados en paralelo entre sí, y en serie con un tercero, c. Si Ca =
1 μF, Cb = 2μF, Cc = 5 μF, y se le aplica al conjunto una diferencia de potencial de 30 V,
determinar: la carga y la diferencia de potencial de cada capacitor, y la energía almacenada por
cada uno de ellos.
Rta: qa =18,75 µC; qb = 37,5 µC;
qc =56,25 µC ; Va =18,75 V ; Vb = 18,75 V ;
Vc = 11,25 V; Ua = 175,78 µJ; Ub = 351,56 µJ; Uc = 316, 4 µJ
Problema Nº 32
Dos capacitores, a y b, están conectados en serie entre sí, y el conjunto de ambos en paralelo con
un capacitor c. Si qa = 45 µC, Ca = 3 µF, Cc = 2 µF y Vb = 45 V, calcular: Va, qb, Cb, Vc, qc y la
energía almacenada por cada capacitor.
Rta: Va = 15 V; qb = 45 µC; Cb = 1 µF; Vc = 60 V; qc = 120 µC; Ua = 337,5 µJ;
Ub = 1012,5 µJ;
Uc =3600 µJ.
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Electrostática
Problemas optativos
Problema Nº 1
Una barra cargada uniformemente, con una densidad lineal de carga λ C/m, se dobla para darle la
forma de un arco circular de radio R, como en la figura. El arco subtiende un ángulo 2θ, en el
centro del círculo.
Demostrar que el módulo del campo eléctrico en el centro del círculo está dado por:
E=
y
λsenθ
2πε 0 R
2θ
R
x
Problema Nº 2
Una carga Q se distribuye uniformemente en un volumen esférico no conductor de radio R.
Demostrar que el potencial a una distancia a del centro, siendo a < R, esta dada por la siguiente
expresión:
V =
Q(3R 2 − a 2 )
8πε 0 R 3
Problema Nº 3
a) Formar todas las asociaciones posibles con tres capacitores de 2 µF, 3 µF y 4 µF y calcular la
capacitancia equivalente del conjunto. b) Se aplica una diferencia de potencial de 10 V a todas las
asociaciones del punto a. En todos los casos calcular la carga y la diferencia de potencial de cada
capacitor.
Problemas Resueltos
Problema Nº 2
Dos péndulos eléctricos, de 10cm de longitud y masas esféricas iguales de 5 mg en sus extremos,
cuelgan del mismo punto. Si al cargar cada una de las esferas con una carga q, los péndulos se
separan de la vertical hasta formar un ángulo de 60º entre sí ¿cuál es el valor de q?
60°
Solución
q
q
Se considerará la esfera de la derecha, ya que la situación es igual para ambas.
Como se ve en la figura 1, la esfera se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres
fuerzas: la tensión del hilo (T), el peso (mg) y la fuerza de origen eléctrico (F).
Se toma un sistema de ejes coordenados con origen en el centro de la esfera y se
descompone T en dos direcciones perpendiculares (figura 2).
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α
T
Tcosα
F
F
Tsenα
mg
mg
Figura 1
Figura 2
Las condiciones de equilibrio para un sistema de fuerzas concurrentes son:
Fx = 0 y
Fy = 0
∑
∑
Aplicando las condiciones de equilibrio a este caso, se tiene:
T cos α − mg = 0
F − Tsenα = 0 y
Despejando T de la segunda ecuación y reemplazando en la primera:
senα
=0
cos α
F = mg.tgα (1)
F − mg.tgα = 0
F − mg
De acuerdo con la ley de Coulomb:
De (1) y (2):
q=±
kq 2
(2)
r2
kq 2 = mg.tgα .r 2
m.g .tgα .r 2
(3)
k
m = 5mg = 5 x10 −6 kg
l = 10cm = 0,1m
k = 9 x10 9
g = 9,8m / s 2 ;
α = 30°
F=
senα = 0,5
Nm 2
C2
tgα = 0,58
De la figura, la separación r entre cargas es:
r = 2d = 2d .lsenα = 2.0,1m.0,5
r = 0,1m
α
d
q
r
Reemplazando los valores en (3):
. 0,1m )
5 x10 −6 kg (9,8m / s.2 )(0,58)(
q=±
9
2
2
9 x10 Nm / C
2
q = ±5,62 x10 −9 C
Las cargas son del mismo signo (positivas o negativas) y valen 5,62 x 10−9 C.
8
q
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Problema Nº 4
En un sistema de coordenadas rectangulares, se coloca una carga de 2 x 10–10 C en el punto
(0;0), y otra de 4 x 10–10C en el punto (0;6), estando las coordenadas expresadas en metros.
a)Calcular el campo eléctrico resultante en los puntos P(0;3) y Q(0;8). b) Idem si la segunda carga
es negativa.
Solución parte (a)
Campo en el punto P (0;3)
Primero se dibujan los vectores representativos del campo que cada carga crea en el
punto. Para ello se imagina que se coloca en el punto una carga de prueba, que es positiva. La
dirección y el sentido en que tendería a moverse la carga de prueba, por acción de la carga, dan
la dirección y el sentido del campo que la carga crea en el punto.
EP1 : Campo en P debido a la carga q1.
EP2 : Campo en P debido a la carga q2.
q2
Ep1
Ep2
P
E P1 =
Ep
q1
E P1
kq1
2
=
9 x10 9 Nm 2 / C 2 x 2 x10 −10 C
= 0,2 N / C
(3m) 2
r1
= 0,2 N / C
kq 2
9 x10 9 Nm 2 / C 2 x 4 x10 −10 C
=
= 0,4 N / C
(r2 ) 2
(3m) 2
= 0,4 N / C
EP2 =
EP2
EP = EP1 + EP2 ; (Suma vectorial)
Como los vectores son colineales y de sentido contrario, el vector suma tiene la misma
dirección que los anteriores, módulo igual a la diferencia de los módulos y sentido el del mayor de
los vectores, como se muestra en la figura.
Por lo dicho anteriormente, el módulo de EP es:
E P = E P 2 − E P1 = 0,4 N / C − 0,2 N / C
E P = 0,2 N / C
Campo en el punto Q (0;8)
EQ
EQ1 : Campo en Q debido a la carga q1.
EQ2 : Campo en Q debido a la carga q2.
EQ2
EQ1
Q
q2
EQ1
EQ1
kq1
9 x10 9 Nm 2 / C 2 x 2 x10 −10 C
=
=
= 0,03 N / C
(r1 ) 2
(8m) 2
= 0,03 N / C
kq 2
9 x10 9 Nm 2 / C 2 x 4 x10 −10 C
=
= 0,9 N / C
(r2 ) 2
( 2m) 2
= 0,9 N / C
EQ 2 =
q1
EQ 2
EQ = EQ1 + EQ2 ; (Suma vectorial)
9
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Como los vectores son colineales y de igual sentido, el vector suma tiene la misma
dirección y sentido que los anteriores, como se muestra en la figura, y su módulo es igual a la
suma de los módulos.
Luego, el módulo de EQ es:
EQ = EQ1 + EQ 2 = 0,03N / C + 0,9 N / C
EQ = 0,93 N / C
Problema Nº 8
Una varilla no conductora tiene una carga q uniformemente distribuida en toda su longitud.
Deducir la expresión del campo eléctrico en el punto P, ubicado sobre la perpendicular bisectriz a
la varilla y a una distancia a de la misma: a) Si la varilla es infinitamente larga.
b) Si la varilla tiene un largo l.
dEy
dE
dE
dEx
dEx
a
θ
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
x
-x
dx
Se toma un sistema de coordenadas en el cual el eje x coincide con el eje de la varilla, y el
eje y con la bisectriz. Se considera un elemento de varilla de longitud dx, ubicado a una distancia
− x del origen de coordenadas, y cuya carga es dq. Esta carga crea en el punto P un campo dE,
cuyo módulo es dE = k.q/r2.
El campo resultante en P será E = ∫dE (Es una integral vectorial, y hay que integrar para
toda la longitud de la varilla).
Se descompone el campo dE en sus componentes dEx y dEy. Como dE = dEx + dEy, se
tiene: E =∫dEx + ∫dEy.
Considerando el elemento de varilla ubicado a una distancia x del origen, el cual es
simétrico, respecto del eje y, del primer elemento considerado, se ve que crea un campo dE cuya
componente horizontal es igual y opuesta a la que crea el primer elemento, mientras que la
componente vertical es la misma. Como lo anterior se cumple para cada par de elementos
simétricos, la primera integral del segundo miembro es nula.
∫
Luego: E = dE y
Como todos los vectores dEy son colineales y de igual sentido, se puede escribir:
E = ∫ dE y
(Integral escalar)
En la figura se ve que dE y = dEsenθ
luego: dE y =
k .dq.senθ
r2
Llamando λ a la densidad lineal de carga (carga por unidad de longitud), se tiene que
dq = λ dx. Luego, la integral queda:
E=∫
kλsenθ
dxsenθ
= kλ ∫
2
r
r2
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Como se tienen tres variables dentro del signo de integral (x, r y θ), hay que dejar una sola
para poder integrar.
De la figura se tiene:
− x = a. cot gθ
senθ =
dx = a (cos ecθ ) 2 dθ =
a
;
r
a
;
senθ
r=
r2 =
adθ
;
( senθ ) 2
a2
( senθ )
Reemplazando dx y r2 en la integral:
E = kλ ∫
adθ / (senθ ) senθ
2
a / (senθ )
2
2
=k
λ
a∫
senθdθ
a) Si la varilla es infinitamente larga, θ varía entre 0 y π.
E=
kλ
kλ π
 kλ 
π
(
− cos θ )0 =  (− cos π + cos 0 )
senθ .dθ =
∫
a
a 0
 a 
E=
λ
2kλ
=
2πε 0 a
a
b) Si la varilla tiene un largo l, θ varía entre α y β, como se ve en la figura.
y
α
ß
θ
І/2
E=
kλ
a
β
∫α senθ dθ =
Como α + β = π;
E=
kλ
kλ
β
(− cos β + cos α )
(− cos θ ) α =
a
a
cosβ = −cosα;
kλ.2. cos α
a
Como λ =
q
l
y k=
1
4πε 0
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E=
Electrostática
2.q. cos α
q. cos α
=
4π .ε 0 .l.a 2.π .ε 0.l.a
De la figura:
E=
cosα =
[a
(l / 2)
2
q
2πε 0 a.(4a 2 + .l 2 )1 / 2
[
+ (l / 2 )
=
]
2 1/ 2
(4a
l
2
+ l2
)
luego:
1/ 2
]
Problema Nº 9
Un electrón se lanza dentro de un campo eléctrico uniforme de 5000 (N/C) dirigido
verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 1,0 x 107(m/s) y forma un ángulo
de 30° con la horizontal. a) Calcular la altura máxima alcanzada por el electrón por encima de su
altura inicial. b) Calcular la distancia horizontal que recorre el electrón antes de volver a su altura
inicial. Masa del electrón = me = 9,1 x 10–31 Kg. Carga del electrón = e = – 1,6 x 10–19 C.
Solución
En este caso, como el campo eléctrico está dirigido hacia arriba, la fuerza que actúa sobre
el electrón es hacia abajo. La situación es semejante a la de un proyectil lanzado con un cierto
ángulo sobre la horizontal, dentro del campo gravitatorio.
Se desprecia la fuerza peso, por ser mucho menor que la fuerza de origen eléctrico, y se
considera que el electrón está sometido sólo a la acción de esta última. La trayectoria que
describe el electrón es la indicada.
E
y
V0
H
α
F
X
Se descompone el movimiento en dos: 1°) Un movimiento vertical, uniformemente
retardado y 2°) Un movimiento horizontal, uniforme.
Se llama H a la altura máxima que alcanza el electrón por encima de su nivel inicial y X a la
distancia horizontal que recorre el electrón hasta que vuelve a su altura inicial.
Se descompone la velocidad inicial en dos direcciones: una vertical, de módulo voy, y otra
horizontal, de módulo vox.
V0 y = V0 .senα = 1,0 x107 m / s.sen 30° = 5 x106 m / s
V0 x = V0 . cos α = 1,0 x107 m / s. cos 30° = 8,7 x106 m / s
a) Según el eje y el movimiento es uniformemente retardado.
De la definición de campo eléctrico, se tiene que el módulo de la fuerza de origen eléctrico
es:
F = E.e (1)
Por la segunda ley de Newton: F = m.a (2)
De (1) y (2):
12
Físíca II
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luego; a =
m.a = E.e
E.e
m
a=
Electrostática
5000 N / Cx1,6 x10 −19 C
= 8,8 x1014 m / s 2
9,1x10 −31 kg
a = 8,8 x1014 m / s 2
Cuando el electrón alcanza su altura máxima, la componente vertical de la velocidad se
luego:
hace cero: v y = v oy − at = 0 ;
t=
v0 y
(tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima).
a
(v0 y )
 v0 y  a (v0 y / a )
 −
Como
=
H = v0 y 
2
2a
 a 
(5 x10 6 m / s ) 2
25 x1012 (m / s ) 2
H=
=
= 1,42 x10 − 2 m
14
2
14
2
2 x8,8 x10 m / s
2 x8,8 x10 m / s
2
a.t 2
y = v0 t −
2
2
H = 1,42cm
b) y = v0 t −
a.t 2
2
a.t 2
0 = v0 t −
2
Cuando el electrón vuelve a su altura inicial, y = 0, luego:
;
t=
2v 0 y
a
(tiempo que tarda en volver a su altura inicial)
Por lo tanto, la distancia horizontal recorrida en ese tiempo es:
X = v0 x .2
v0 y
a
5 x10 m / s.(2 x8,7 x10 6 m / s )
X =
= 9,9 x10 − 2 m
14
2
8,8 x10 m / s
6
X = 9,9cm
Problema Nº 14
Dos largos cilindros coaxiales, de radios 1 cm y 3 cm, tienen cargas de igual valor y signo
contrario, siendo la densidad lineal de carga de 3 x 10–9 (C/m). Calcular el módulo del campo
eléctrico en los siguientes puntos: a) A 0,5 cm del eje. b) A 2 cm del eje. c) A 5 cm del eje.
Solución
Para calcular el módulo del campo eléctrico se aplicará la ley de Gauss. Como la
distribución de carga tiene simetría cilíndrica, se toma como superficie gaussiana un cilindro
coaxial con los anteriores, suficientemente alejado de los extremos, de largo L y radio r, siendo r
la distancia genérica al eje común.
Se analizará primero el punto (b), que corresponde al caso general de puntos ubicados
dA
entre ambos cilindros, o sea para a ≤ r ≤ b.
dA
E
E
r
a
b
13
L
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Electrostática
+
+
+
+dA+
+
+
+
dA
-
+
E
-
dA
-
+
-
+
dA
E
-
- -
-
- -
-
+
+
+
+
a
E
-
-
- -
-
+
+
E
+
-
-
+
r
+
L
r
b
La expresión de la ley de Gauss es:
∫
E.dA = qn/εo
Se evaluará primero la integral del primer miembro. Como se ve en la figura, los vectores
E y dA no forman el mismo ángulo sobre toda la superficie. Por ello se divide la superficie
gaussiana, que es cerrada, en 3 superficies abiertas: la superficie lateral (S.L.) y las dos tapas (T y
T'). Entonces, se tiene:
∫ E.dA = ∫ E.dA + ∫ E.dA + ∫ E.dA
∫ E.dA = ∫ EdA cos180 + ∫ EdAcos90 + ∫ EdAcos90
SL
T′
T


SL

T′
T
∫ E.dA = ∫ EdA
SL
Por razones de simetría, el módulo de E es constante sobre la superficie lateral, luego se
puede sacar fuera del signo de integral.
∫ E.dA = − E ∫ dA = -EA = -2π .r.L
SL
(2)
Por otro lado, la carga neta encerrada dentro de la superficie gaussiana es:
qn = −L. λ (3)
− E.2π .r.L = −
E=
Lλ
De (1), (2) y (3):
ε0
λ
2π .r.ε 0
(a ≤ r ≤ b)
3 x10 −9 C / m
E=
= 2699 N / C
2π .(8,85 x10 −12 C 2 / N , m 2 ).(2 x10 − 2 m)
E = 2699 N / C
14
Físíca II
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Electrostática
a) En este caso la superficie gaussiana es de radio r < a, o sea es interior al cilindro menor.
+ + + + + + + + +
+
-
- -
- -
- -
-
- -
-
-
- -
- -
- -
-
-
+
+ + + + +
-
-
+
-
+
+
-
L
Se aplica la ley de Gauss como en el caso anterior:
∫
+ + + +
+
E.dA = qn/εo
∫ E.dA = ∫ E.dA + ∫ E.dA + ∫ E.dA
SL
T′
T
No se sabe si existe campo en el interior del cilindro menor, pero, de existir, debe ser
radial, por lo tanto las dos últimas integrales del segundo miembro son nulas. Luego:
∫ E.dA = ∫ EdA
Es este caso qn = 0,
SL
∫ E.dA = ∫ EdA = 0
luego:
SL
Si existe campo, además de ser radial puede apuntar hacia el eje o hacia afuera de éste,
luego:
∫ EdA cos 0
SL

=0
∫ EdA cos180
o
SL

= 0;
E ∫ dA = 0
así
o
SL
E ∫ (−dA) = 0
SL
Como se ve, la integral es positiva o negativa, pero nunca nula. Como el producto de E por
la integral es nulo, debe ser E = 0.
Para r < a
Luego:
E = 0.
c) En este caso se toma una superficie gaussiana de radio r > b, o sea es exterior al
cilindro mayor.
+ + + + + + + +
+ +
+
+
-
-
+
-
-
-
- -
-
- -
-
- -
+ + + + +
+
-
- -
- -
-
-
-
+ + + +
-
-
-
-
+ +
b
L
r
Acá también es qn = 0, y por un razonamiento semejante al del caso anterior se llega a que
E=0 para r > b.
15
Físíca II
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Electrostática
Problema Nº 23
Un trozo de varilla no conductora, de largo L, tiene una carga Q, uniformemente distribuida en
toda su longitud. Demostrar que el potencial en el punto P vale:
 (a + L ) 
V = k ln 
 a 
donde:
k=
1
4π .ε 0
y
λ=
Q
L
P
a
L
Solución
Se divide la varilla en infinitos trozos de longitud dr y carga dq.
dq
P
a
L
r
dr
El potencial que una carga q crea a una distancia r es: V =
kq
r
Por analogía, el potencial que una carga elemental dq crea a una distancia r es: dV =
kdq
r
Para obtener el potencial en P debido a la varilla cargada hay que sumar los potenciales
que las infinitas cargas elementales dq crean en el punto, o sea hay que integrar. Luego:
V = ∫ dV = ∫
kdq
r
La densidad lineal de carga, λ, se puede expresar así: λ =
Reemplazando dq en la integral se tiene:
dq
dr
V = ∫ dV = ∫
Luego: dq = λdr
kλ.dr
r
La variable de integración es r, que es la distancia entre un elemento de carga cualquiera y
el punto P. Luego, r varía entre a y a + L.
V = kλ ∫
a+ L
a
dr
r
a + L
V = kλ . ln

 a 
16
Físíca II
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Electrostática
Problema Nº 25
Calcular la diferencia de potencial entre dos cilindros coaxiales de radios a = 1 cm y b = 3 cm,
cargados con cargas de igual valor y signo contrario, si la densidad lineal de carga es de 2 x 10 –7
(C/m).
Solución
Como ambos cilindros son equipotenciales, se calculará la diferencia entre dos de sus
puntos, B y A, siguiendo la línea radial que va de A a B.
Q
-
A
E
b
Q+
a
B dl
Vb − Va = − ∫ E.dl = ∫ Edl cos 180° = ∫ Edl
El módulo del campo eléctrico entre los dos cilindros, según se vio (problema 12), vale:
E=
λ
2π .rε 0
Vb − Va = ∫
Luego:
dl
λ
λ
dl =
∫
2πε 0 r
2πε 0 r
Como se tienen dos variables dentro del signo de integral (r y l), hay que dejar una sola
para poder integrar. Para eso se busca una relación entre ambas.
La variable r representa los radios, los cuales se miden desde el eje hacia afuera. La
variable l representa los desplazamientos de la carga de prueba, que en este caso se realizan a lo
largo de un radio, desde A a B, o sea de adentro hacia afuera. Por lo anterior, en este caso, dl =
dr. Reemplazando dl por dr y colocando los límites correspondientes a r, se tiene:
Vb − Va =
λ
2πε 0
Vb − Va = λ ln
∫
b
a
dl
r
(b / a )
2πε 0
Vb − Va = 2 x10 −7
C
. ln
m
(3 / 1)
 C2
2π .x8,85 x10 −12 
2
 N .m
Vb − Va = 3953,4V
17



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Electrostática
Problema Nº 28
Determinar la capacitancia por unidad de longitud de un condensador cilíndrico de radio interior
a = 2 cm y radio exterior b = 3 cm: a) Con dieléctrico de aire. b) Con dieléctrico de papel (κ = 3,5).
Solución
Por definición, la capacitancia de un condensador es:
q
(1)
Vb − Va
C=
donde Vb − Va es la diferencia de potencial entre las armaduras y q es la carga, en valor absoluto,
de una de las armaduras.
Según se vio (problema 21), la diferencia de potencial entre dos cilindros de radios a y b,
largo L, cargados con cargas de igual valor y signo contrario, y densidad lineal de carga λ es:
Vb − Va = λ ln
(b / a ) = q ln (b / a)
2πε 0
l
2πε 0
(2)
2πε 0
C
=
L ln (b / a )
De (1) y (2), la capacitancia por unidad de longitud es:
(3)
a) Con dieléctrico de aire
C 2π .8,85 x10 −12 C 2 / Nm 2
C2
=
= 1,37 x10 −10
L
ln(1,5)
J .m
C
= 1,37 x10 −10 F / m
L
b) Con dieléctrico de papel
C ′`= κ .C ;
C′
C 
= κ  ;
L
L
C′
= 3,5 x1,37 x10−10 ( F / m)
L
C′
= 4,8 x10−10 ( F / m)
L
Problema Nº 29
En la conexión de la figura, C a = 2 µF ; C C = 6 µF , QC = 360 µC y Va = 40V . Calcular qa, qb, V,
Vb y Cb
Ca
Cb
Cc
V
Solución
De la definición de capacitancia: q a = C a .Va ;
q a = 2 µF .40V = 80 µC q a = 80 µC
Como los capacitores a y b están en serie, sus cargas son iguales: q a = qb = 80 µC
V = VC =
qC 360 µC
=
= 60V
6 µF
CC
Como V = Va + Vb ; ⇒
Cb =
qb 80 µC
=
= 4 µF
Vb
20V
V = 60 V
Vb = V − Va = 60V − 40V = 20V ;
C b = 4 µF
***********
18
Vb = 20V