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Pontificia Universidad Católica de Chile
Escuela de Ingenierı́a
Teorı́a Electromagnética
Ayudantı́a 3
0.1.
Ecuaciones de Maxwell
Ya hemos revisado las leyes empı́ricas que se encuentran resumidas en las ecuaciones de
Maxwell. Éstas establecen la relación existente entre las fuentes (densidad de carga ρ(t, ~x), y
~ ~x)) con los campos E(t,
~ ~x), B(t,
~ ~x), D(t,
~ ~x), H(t,
~ ~x))
densidad de corriente J(t,
~ ·D
~ = ρ es la ley de Gauss, cuya forma integral es
La primera ecuación ∇
ˆˆ
˚
~
~
x) · D(t, ~x) =
d3 xρ(t, ~x)
dS(~
S
V (S)
~ ×E
~ = − ∂ B~ es la forma diferencial de la ley de inducción de Faraday, ésta
La ecuación ∇
∂t
dice que un campo magnético variable en el tiempo induce un campo eléctrico, en su forma
integral
˛
ˆˆ
d ~
~ x) · B(t,
~ ~x)
d~x · E(t, ~x) = −
dS(~
dt
S(Γ)
Γ
~ ·B
~ = 0 es la ley de Gauss magnética, y representa el hecho de que los
La ecuación ∇
monopolos magnéticos nunca han sido observados. Es decir, las lı́neas de campo magnético son
cerradas, consecuencia de esto es que el flujo magnético sobre una superficie cerrada es siempre
cero.
En su forma integral
ˆˆ
~
~ ~x)
x) · B(t,
dS(~
=0
S
~ ×H
~ = J~ + ∂ D~ es una extensión de la ley de Ampère (AmpèrePor último, la ecuación ∇
∂t
Maxwell), mencionada anteriormente. Hay que notar que mediante esta generalización, las
ecuaciones de Maxwell son consistentes con la ley de conservación de la carga eléctrica. Junto
~ +~v × B),
~ que describe la acción de los campos
con la expresión de la fuerza de Lorentz, F~ = q(E
sobre partı́culas cargadas, este conjunto de leyes nos da una descripción clásica completa de las
partı́culas que actúan electromagnéticamente.
0.2.
Ecuaciones de Maxwell en un Medio Lineal, Homogéneo e Isotrópico
~ yE
~ en general está dada por
Es bien sabido que la relación entre los campos D
~ ~x) = P~ (t, ~x) + 0 E(t,
~ ~x)
D(t,
y vimos que en medios lineales, homogéneos e isotrópicos, la relación es extremadamente
sencilla
~ ~x) = E(t,
~ ~x)
D(t,
con la permitividad del medio. Del mismo modo, en este tipo de medios simples, el campo
~
~ mediante
H está relacionado con B
~ ~x) = 1 B(t,
~ ~x)
H(t,
µ
donde µ es la permeabilidad del medio. De esta forma las ecuaciones de Maxwell se pueden
escribir como
~ · E(t,
~ ~x) = ρ(t, ~x)
∇
~ × E(t,
~ ~x) = − ∂ B(t,
~ ~x)
∇
∂t
~ · B(t,
~ ~x) = 0
∇
~ × B(t,
~ ~x) = µJ(t,
~ ~x) + µ ∂ E(t,
~ ~x)
∇
∂t
~ y B,
~ donde propiedades del medio
Es un sistema de ecuaciones diferenciales acoplado para E
se incluyen en y µ.
2
0.2.1.
Vector de Poynting- Conservación de la Energı́a
A continuación comenzaremos a estudiar las consecuencias de las ecuaciones de Maxwell.
En primer lugar, resulta interesante encontrar una expresión que describa la conservación de
la energı́a a partir de las ecuaciones de Maxwell. Recordemos que éstas son consistentes con la
ley de conservación de la carga eléctrica
~ · J(t,
~ ~x) + ∂ρ(t, ~x) = 0
∇
∂t
o, en su forma integral
ˆˆ
~ x) · J(~
~ x) = − d
dS(~
dt
S(V )
˚
d3 xρ(~x)
V
intentemos establecer una ley equivalente para la Conservación de la energı́a. Podemos comenzar el análisis definiendo una densidad de energı́a electromagnética por unidad de
~ ~x), donde
volumen, (t, ~x). Del mismo modo, definimos el vector de Poynting S(t,
~ ~x) · dS(~
~ x)
S(t,
~ x) por unidad de tiempo. Notar
es la energı́a electromagnética cruzando una superficie dS(~
~ ~x) están claramente inspiradas en ρ(t, ~x) y J(t,
~ ~x).
que nuestras definiciones de (t, ~x) y S(t,
Uno podrı́a pensar entonces que la ley de conservación de la energı́a se escribe en la forma
˚
ˆˆ
d
3
~ x) · S(t,
~ ~x)
d x(t, ~x) = dS(~
−
dt
V
S(V )
Es decir, uno esperarı́a (basándose en la ley de conservación de la carga), que si la energı́a
electromagnética contenida en un volumen V disminuye en el tiempo, entonces debe existir
un flujo positivo de energı́a a través de la superficie S(V ). Sin embargo, si ésta ley fuera ası́,
la generación de campos electromagnéticos no tendrı́a prácticamente ninguna utilidad, pues su
energı́a no se utilizarı́a en nada. Lo que falta en este modelito es incluir un término que involucre
el trabajo realizado (por unidad de tiempo) por los campos sobre las cargas presentes en la
región V . La fuerza neta que actúa sobre un elemento de carga ρ(~x) por unidad de volumen es
(de acuerdo a la fuerza de Lorentz)
~ x) + J(~
~ x) × B(~
~ x) = ρ(E(~
~ x) + ~v (~x) × B(~
~ x))
f~(~x) = ρ(~x)E(~
de forma que el trabajo realizado sobre las cargas por unidad de tiempo es
˚
˚
˚
3 ~
3
~
~ x) · E(~
~ x)
W =
d xf (~x) · ~v (~x) =
d xρ(~x) E(~x) · ~v (~x) =
d3 xJ(~
V
V
V
Luego, la ley de conservación de la energı́a debe ser como sigue
˚
ˆˆ
˚
d
3
~
~
~ x) · E(~
~ x)
−
d x(t, ~x) = dS(~x) · S(t, ~x) +
d3 xJ(~
dt
V
S(V )
V
La interpretación es bien clara: la disminución de energı́a por unidad de tiempo en un
volumen V es igual al flujo de energı́a electromagnética por unidad de tiempo a través del
contorno de V más el trabajo reaizado sobre las cargas en V por unidad de tiempo. En su
forma diferencial
3
∂(t, ~x) ~ ~
~ ~x) · E(t,
~ ~x)
+ ∇ · S(t, ~x) = −J(t,
∂t
Veamos que una expresión de este tipo se obtiene a partir de las ecuaciones de Maxwell
~
~ ~x) = 1 ∇
~ × B(t,
~ ~x) − 0 ∂ E(t, ~x)
J(t,
µ0
∂t
~
1 ~
~
~
~
~
~ ~x) · ∂ E(t, ~x)
−J(t, ~x) · E(t, ~x) = − E(t, ~x) · ∇ × B(t, ~x) + 0 E(t,
µ0
∂t
y
~ ~x) · ∇
~ × B(t,
~ ~x) = B(t,
~ ~x) · ∇
~ × E(t,
~ ~x) − ∇
~ · E(t,
~ ~x) × B(t,
~ ~x)
E(t,
~
~ ~x) · ∇
~ × E(t,
~ ~x) − ∇
~ · E(t,
~ ~x) × B(t,
~ ~x) +0 E(t,
~ ~x) ∂ E(t, ~x)
~ ~x)·E(t,
~ ~x) = − 1 B(t,
−J(t,
µ0
∂t
Además
~
~ × E(t,
~ ~x) = − ∂ B(t, ~x)
∇
∂t
~
~
~ ~x) · ∂ B(t, ~x) + 0 E(t,
~ ~x) ∂ E(t, ~x) + ∇
~ ·
~ ~x) · E(t,
~ ~x) = 1 B(t,
−J(t,
µ0
∂t
∂t
~ ~x) · E(t,
~ ~x) = ∂
−J(t,
∂t
1 ~2
1 ~2
~ ·
0 E (t, ~x) +
B (t, ~x) + ∇
2
2µ0
~
~ ~x) × B(t, ~x)
E(t,
µ0
~
~ ~x) × B(t, ~x)
E(t,
µ0
!
!
~
Comparando con nuestra expresión anterior, obtenemos fórmulas explı́citas para y S
1 ~2
1 ~2
(t, ~x) = 0 E
(t, ~x) +
B (t, ~x)
2
2µ0
~ ~x) = 1 E(t,
~ ~x) × B(t,
~ ~x)
S(t,
µ0
4
Problema
Un cable coaxial consiste de dos conductores cilı́ndricos concéntricos , el interior de radio a y
el exterior de radio b (ambos con resistencia nula). La longitud de ambos cables l es tal que
l >> b. El cable transmite energı́a en DC desde una baterı́a a una carga. La baterı́a provee
una fem ε entre ambos conductores en un extremo del cable , y la carga es una resistencia R
conectada entre los conductores al otro extremo del cable. Una corriente I fluye a través del
conductor interior y regresa por el conductor exterior. La baterı́a carga el conductor interno
con carga −Q y el externo con +Q
a) Encuentre el campo eléctrico en todas partes
~ en todas partes
b) Encuentre la dirección y magnitud de B
c) Calcule el vector de Poynting al interior del cable
~ sobre una superficie apropiada, encuentre la potencia que fluye en el cable
d) Al integrar S
coaxial
Solución
a) Despreciando efectos de borde, se puede calcular el campo eléctrico mediante la ley de Gauss,
utilizando como superficie de integración un cilindro de largo h y radio r, con a < r < b, como
se muestra en la figura
ˆˆ
~ 0
~ x0 )
x ) · E(~
dS(~
S
ˆˆ
=
~ x0 )
x0 )n̂(~x0 ) · E(~
dS(~
S
ˆˆ
~ 0
~ x0 )
x ) · E(~
dS(~
ˆˆ
= dS(ϕ, z)r̂ · E(r)r̂
S
ˆˆ
= E(r) dS(ϕ, z) = E(r)2πrh
S
S
la carga encerrada por S es
qint = 2πahσ
5
donde σ es la densidad de carga (homogénea) en el conductor interno
−Q
2πaL
σ=
con esto
2πah
E(r)2πrh =
0
E(r) =
−Q
2πaL
−Q
2πrL0
de forma que el campo eléctrico entre ambos conductores está dado por
~
E(r)
=
−Q
r̂
2πrL0
Además, se sabe
ˆ
b
~ x0 )
d~x0 · E(~
ε = φ(b) − φ(a) = −
a
0
tomando una curva parametrizada por ~x = rr̂, con r̂ alguna dirección radial fija, y a < r < b,
se obtiene
ˆ
ˆ
b
drE(r) = −
ε=−
a
a
ε=
b
−Q
Q
dr
=
2πrL0
2πL0
ˆ
a
b
dr
r
Q
ln(b/a)
2πL0
luego
Q = ε2πL0 ln(a/b)
y
−ε ln (a/b)
~
E(r)
=
r̂
r
por supuesto, que el campo eléctrico para r < a es nulo (interior de un conductor), y lo
mismo ocurre para r > b, pues el cable coaxial es eléctricamente neutro.
b) El campo magnético para a < r < b puede se obtenido mediante la ley de Ampère,
utilizando como contorno una curva circular Γ concéntrica al conductor interno y de radio r.
6
Notar que el sentido de la corriente por el conductor interno es según ẑ. Por simetrı́a, el
campo magnético sólo dependerá de la variable r, y será tangente a la curva Γ en todos sus
puntos
˛
ˆ 2π
~
~ ϕ̂ = 2πrB(r)
d~x · B(~x) =
dϕrϕ̂ · B(r)
Γ
0
la corriente encerrada por Γ es simplemente I, luego
˛
~ x) = µ0 I
d~x · B(~
Γ
2πrB(r) = µ0 I
µ0 I
~
ϕ̂
B(r)
=
2πr
El campo magnético es nulo para r > a (Cualquier curva encierra una corriente nula, pues
ambos conductores llevan I en sentidos opuestos).
c) El vector de Poynting al interior del cable (a < r < b) está dado por
1 ~
1 −ε ln (a/b)
µ0 I
~
~
S(r) = E(r) × B(r) =
r̂ × ϕ̂
µ0
µ0
r
2πr
−Iε ln (a/b)
~
S(r)
=
ẑ
2πr2
El vector de Poynting representa un flujo de energı́a por unidad de tiempo y área en dirección
−ẑ (es decir, desde la fem hacia la resistencia). Para calcular la potencia que se transmite a
través de la lı́nea se debe calcular el flujo del vector Poynting sobre una sección transversal
entre ambos conductores, esto es
¨
ˆ
~ x) · S(~
~ x) =
dS(~
P =
S
ˆ
2π
dϕ
0
a
b
−Iε ln (a/b)
ẑ = Iε ln (a/b)
drr(−ẑ) ·
2πr2
ˆ
b
dr
a
1
r
P = εI
que es efectivamente la potencia que se disipa en la resistencia. Con este ejemplo se ilustra
como los campos realmente son los que transportan la energı́a desde la fuente a la carga
7
Problema
Un condensador de placas paralelas circulares se está cargando de modo que entre las placas
~
existe un campo eléctrico E(t)
aproximadamente uniforme. Obtenga el campo magnético entre
las placas del condensador en función de la distancia r al eje del mismo.
Solución
De la cuarta ecuación de Maxwell, tenemos que
~
~ ×H
~ = J~ + ∂ D
∇
∂t
en este caso, para la región entre placas
J~ = ~0
~ = 0 E,
~ yH
~ = B/µ
~ 0 , con lo que
Además, en el vacı́o se tiene D
~
~
~ ×B
~ = 0 µ0 ∂ E = 1 ∂ E
∇
∂t
c2 ∂t
Ahora, integrando sobre una circunferencia a distancia r del eje de las placas, y utilizando
el teorema de Stokes
˛
¨
~
~ x) · 1 ∂ E(~x)
~
~
~
dS(~x) · ∇ × B(~x) =
dS(~
c2 ∂t
S
S
˛
¨
1 d
~
~ x) · E(~
~ x) = 1 d (Eπr2 )
d~x · B = 2
dS(~
c dt S
c2 dt
C
¨
~ =
d~x · B
C
˛
~ = B2πr =
d~x · B
C
Finalmente
B=
r dE
2c2 dt
8
πr2 dE
c2 dt
Capı́tulo 1
Ondas Planas Monocromáticas
Una de las consecuencias importantes de las ecuaciones de Maxwell, es la predicción de la
existencia de ondas electromagnéticas que se propagan a la velocidad de la luz (La luz es, en
efecto, una onda electromagnética)
1
c= √
µ
La razón es que un campo eléctrico variable en el tiempo produce un campo magnético y vice
versa. El acoplamiento entre estos dos campos lleva a la generación de ondas electromagnéticas.
Esta predicción fue confirmada por Hertz en 1887
Figura 1.1: Heinrich Hertz
Heinrich Hertz (1857-1894) Fı́sico Alemán. Clarificó y expandió la teorı́a electromagnética
de la luz que fue propuesta por Maxwell. Fue el primero en demostrar de forma satisfactoria la
existencia de ondas electromagnéticas al construı́r un aparato para producir y detectar ondas
de radio.
1.1.
Ondas electromagnéticas planas en medios no conductores y libres de fuentes
Sabemos que cargas y corrientes son fuentes de campos electromagnéticos. Más adelante
veremos exactamente como son creados estos campos a partir de cierta distribución de fuentes.
Por el momento, mostraremos algunas soluciones particulares a las ecuaciones de Maxwell, en
primer lugar, las ondas planas. Supongamos que se quiere estudiar el comportamiento de los
campos en una región del espacio libre de fuentes (Es evidente que para que existan campos,
deben existir fuentes en algun lugar del espacio). Lo que quiero decir con esto es que encontraremos un tipo de solución para regiones que están lejos de las fuentes (es decir ρ(t, ~x) = 0 en
la zona de interés). También asumiremos que el medio en el cual se propagan las ondas no es
9
~ ~x) en respuesta
buen conductor, en ese caso tampoco existirá una densidad de corriente J(t,
al campo eléctrico. En este caso las ecuaciones de Maxwell son
~ · E(t,
~ ~x) = 0
∇
~ × E(t,
~ ~x) = − ∂ B(t,
~ ~x)
∇
∂t
~ · B(t,
~ ~x) = 0
∇
~ × B(t,
~ ~x) = µ ∂ E(t,
~ ~x)
∇
∂t
Utilizaremos ahora la conocida identidad
~
~
~
~
~
~
~ 2 f~
∇×∇×f =∇ ∇·f −∇
De esta forma
~ ×∇
~ × E(t,
~ ~x) = ∇
~ ∇
~ · E(t,
~ ~x) − ∇
~ 2 E(t,
~ ~x)
∇
pero en regiones libre de fuentes
~ · E(t,
~ ~x) = 0
∇
como indica la primera ecuación de Maxwell. Ası́
~ ×∇
~ × E(t,
~ ~x) = −∇
~ 2 E(t,
~ ~x)
∇
por otro lado
~ ~x) = − ∂ ∇
~ × B(t,
~ ~x)
~ ×∇
~ × E(t,
~ ~x) = −∇
~ × ∂ B(t,
∇
∂t
∂t
∂
∂ ~
∂2 ~
~
~
~
∇ × ∇ × E(t, ~x) = −
µ E(t, ~x) = −µ 2 E(t,
~x)
∂t
∂t
∂t
de forma que
~ ~x) = 0
~ 2 E(t,
~ ~x) − µ ∂ E(t,
∇
∂t2
definiendo
1
c= √
µ
~ 2 E(t,
~ ~x) − 1 ∂ E(t,
~ ~x) = 0
∇
c2 ∂t2
Esta es la conocida Ecuación de Onda. Es decir, hemos llegado a que en un medio libre
de cargas y no conductor, el campo eléctrico satisface la ecuación de onda. Las soluciones
son ondas que se propagan a velocidad c. Es fácil verificar que el campo magnético satisface
exactamente la misma ecuación, en efecto
~ ×∇
~ × B(t,
~ ~x) = ∇
~ ∇
~ · B(t,
~ ~x) − ∇
~ 2 B(t,
~ ~x) = −∇
~ 2 B(t,
~ ~x)
∇
10
por otro lado
~ ×∇
~ × B(t,
~ ~x) = ∇
~ × µ ∂ E(t,
~ ~x)
∇
∂t
2
~ × E(t,
~ ~x) = −µ ∂ B(t,
~ ~x)
~ ×∇
~ × B(t,
~ ~x) = µ ∂ ∇
∇
∂t
∂t2
En resumen
2
~ ~x) = 0
~ 2 E(t,
~ ~x) − 1 ∂ E(t,
∇
c2 ∂t2
2
~ ~x) − 1 ∂ B(t,
~ 2 B(t,
~ ~x) = 0
∇
c2 ∂t2
~ ~x) y B(t,
~ ~x).
son las ecuaciones desacopladas para los campos E(t,
Ecuación de Onda en una dimensión
La forma general de la ecuación de onda en una dimensión es
2
∂
1 ∂2
ψ(x, t) = 0
−
∂x2 c2 ∂t2
Resulta inmediato verificar que cualquier función de la forma ψ(x ± ct) satisface la ecuación
0
de onda en una dimensión. La demostración es la siguiente: Sea x0 = x ± ct, con esto ∂x
=1y
∂x
∂x0
= ±c. Usando la regla de la cadena
∂t
∂ψ(x0 ) ∂x0
∂ψ(x0 )
∂ψ(x0 )
=
=
∂x
∂x0 ∂x
∂x0
∂ 2 ψ(x0 )
∂ ∂ψ(x0 )
∂ 2 ψ(x0 ) ∂x
∂ 2 ψ(x0 )
=
=
=
∂ 2 x0
∂x
∂x0
∂x02 ∂x0
∂x02
Similarmente, las derivadas parciales con respecto a t son
∂ψ
∂ψ ∂x0
∂ψ
=
=
±c
∂t
∂x0 ∂t
∂x0
∂
∂ 2ψ
=
2
∂t
∂t
∂ψ
∂ 2 ψ ∂x0
∂ 2ψ
= c2 02
± 0 = ± 02
∂x
∂x ∂t
∂x
Luego
2
∂ 2ψ
∂ 2ψ
2∂ ψ
=
=
c
∂x02
∂x2
∂t2
lo cual muestra que ψ(x ± ct) es solución de la ecuación de onda en una dimensión. La
ecuación de onda es un ecuación diferencial lineal, lo que impica que si ψ1 (x, t) y ψ2 (x, t) son
soluciones de la ecuación de onda, entonces ψ1 (x, t) ± ψ2 (x, t) también es solución .Las ondas
electromagnéticas obedecen entonces el principio de superposición
11
Solución a la ecuación de Onda
Para resolver la ecuación de onda que satisfacen los campos electromagnéticos, supondremos que
la variación temporal de éstos es de la forma eiwt ( es decir, tienen una dependencia oscilatoria
en el tiempo a una frecuencia bien determinada, w). A este tipo de ondas las llamaremos
monocromáticas
~ ~x) = E(~
~ x)eiwt
E(t,
~ ~x) = B(~
~ x)eiwt
B(t,
de forma que
∂2 ~
~ ~x)
E(t, ~x) = −w2 E(t,
∂t2
~ x) satisface
Entonces la parte espacial E(~
2
~ 2 E(~
~ x) + w E(~
~ x) = 0
∇
c2
busquemos una solución de la forma
~ x) = E
~ 0 e−i~k·~x
E(~
~ 0 es un vector constante
donde ~k =| ~k | k̂ y E
~ 2 E(~
~ x) = ∇
~ 2E
~ 0 e−i(kx x+ky y+kz z) = −k 2 E
~ 0 ei~k·~x
∇
donde k =| ~k |, de forma que
~
~ 0 e−ik·~x +
−k 2 E
w2 ~ −i~k·~x
E0 e
=0
c2
En efecto, es solución si
k=
w
c
Finalmente, hemos encontrado que una solución de la ecuación de onda en medios no conductores y libres de cargas son campos de la forma
~ ~x) = E
~ 0 ei(wt−~k·~x)
E(t,
~ ~x) = B
~ 0 ei(wt−~k·~x)
B(t,
con | ~k |=
w
.
c
Sin embargo, los campos deben tener divergencia nula, de forma que
~ · E(t,
~ ~x) = 0 → ~k · E
~0 = 0
∇
del mismo modo
~ · B(t,
~ ~x) = 0 → ~k · B
~0 = 0
∇
Ambos campos deben ser transversales (perpendiculares a la dirección de propagación)
12
Propagación en el eje z
Supongamos ahora que la dirección de propagación de los campos es en la dirección del eje z,
es decir
~k = β k̂ = w k̂
c
y
~k · ~x = βz
entonces
~ z) = E
~ 0 ei(wt−βz)
E(t,
~ z) = B
~ 0 ei(wt−βz)
B(t,
además, ambos campos deben ser perpendiculares al eje z. Por ejemplo, si escogemos
~ z) = E0 ei(wt−βz) î
E(t,
de la ecuación
se obtiene
~ z)
~ × E(t,
~ z) = − ∂ B(t,
∇
∂t
∂
~ 0 ei(wt−βz)
E0 ei(wt−βz) ĵ = −iβE0 ei(wt−βz) ĵ = −iwB
∂z
entonces
~ 0 ei(wt−βz)
iβE0 ei(wt−βz) ĵ = iwB
y se desprende que
~ 0 = E0 ĵ
B
c
Finalmente
~ z) = E0 ei(wt−βz) î
E(t,
~ z) = B0 ei(wt−βz) ĵ
B(t,
B0
1
=
E0
c
w
β=
c
~ yB
~ están siempre en fase, es decir, alcanzan sus máximos y mı́nimos al mismo
Vemos que E
tiempo.
Nota
Por supuesto que los campos fı́sicos se obtienen al tomar la parte real de las soluciones encontradas
~ z) = E0 cos (wt − βz) î
E(t,
13
~ z) = E0 cos (wt − βz) ĵ
B(t,
c
Resumen
~ y B
~ son perpendiculares a la dirección de
1. Las ondas son transversales ya que tanto E
~ ×B
~
propagación, que coincide con la dirección del producto E
~ yB
~ son perpendiculares entre sı́. Es decir E
~ ·B
~ =0
2. Los campos E
3. La razón entre las magnitudes de los campos es
w
1
E0
= =c= √
B0
β
µ0 0
4. La velocidad de propagación es igual a la velocidad de la luz en el medio c =
5. Las ondas electromagnéticas obedecen el principio de superposición
√1
µ
Vector Poynting
El flujo de Energı́a por unidad de área (y tiempo) está descrito por el vector de Poynting
~ ~x) × B(t,
~ ~x) = E(t,
~ ~x) × H(t,
~ ~x)
~ ~x) = 1 E(t,
S(t,
µ
Debido a que los campos son perpendiculares
~ ~x) × B(t,
~ ~x) |= 1 | E(t,
~ ~x) || B(t,
~ ~x) |
~ ~x) |= 1 | E(t,
| S(t,
µ
µ
En el caso de las ondas planas monocromáticas recién visto
~ ~x) = 1 E0 B0 cos2 (wt − βx) k̂
S(t,
µ c
Como es de esperar, el vector de Poynting apunta en la dirección de propagación
~ | es
La intensidad de la onda I, definida como el promedio temporal de | S
I=
E0 B0
E0 B0 2
E2
cB02
cos (wt − βx) =
= 0 =
µ
2µ
2cµ
2µ
donde hemos usado
cos2 (wt − βx) = 1/2
Notar que la magnitud de la intensidad es constante. Por supuesto que esto no es muy realista, pues es bien sabido de la vida diaria que la energı́a de la radiación decae con la distancia.
14
Veremos más adelante que los campos electromagnéticos tienen en general la forma de ondas
esféricas, cuya amplitud decae como el inverso de la distancia 1/r, de forma que la magnitud
del vector poynting decae como 1/r2 . Por supuesto que las ondas planas, si bien son soluciones
de las ecuaciones de Maxwell, constituyen sólo un estudio aproximado de los campos electromagnéticos muy distantes de las fuentes. (Por ejemplo, de la radiación producida por el Sol en
la tierra, se puede suponer que la magnitud de los campos es constante). Veremos también que
es posible generar ondas planas teóricamente, pero en la práctica no
15
Ejemplo
En la superficie de la atmósfera terrestre, la magnitud del vector Poynting (en promedio temporal) es hSi = 1,35 × 103 (W/m2 ).
a) Asumiendo que la radiación solar en la superficie de la atmósfera consiste en una onda sinusoidal plana, ¿Cuáles son las magnitudes del campo eléctrico y magnético ?
b) ¿Cual es el promedio temporal de la potencial radiada por el Sol? La distancia media entre
el Sol y la Tierra es R = 1,5 × 1011 m
Solución
a) El promedio temporal del vector Poynting esta relacionado con la magnitud del campo
eléctrico según
0 cE02
hSi =
2
La amplitud del campo eléctrico es entonces
s
s
2 hSi
2 (1,35 × 103 W/m2 )
E0 =
=
= 1,01 × 103 V /m
c0
(3 × 108 m/s) (8,85 × 10−12 C 2 /N m2 )
La magnitud del campo magnético es
B0 =
E0
1,01 × 103 V /m
=
= 3,4 × 10−6 T = 3,4µT
c
3 × 108 m/s
Notar que este campo magnético es menor que el campo magnético terrestre, que varı́a entre
30 y 60 µ T
b) La potencia total irradiada por el Sol a una distancia R es (en promedio)
2
hP i = hSi 4πR2 = 1,35 × 103 W/m2 4π 1,5 × 1011 m = 3,8 × 1026 W
Por supuesto que aquı́ hemos supuesto que la radiación emitida por el sol corresponde a
ondas esféricas. La intensidad a una distancia r del Sol es
I = hSi =
hP i
4πr2
la cual decrece como 1/r2
Figura 1.2: Como veremos más adelante, los campos de radiación en general son ondas esféricas
16
1.2.
Ondas Planas en medios conductores
Veremos que las soluciones para las ondas electromagnéticas planas en medios conductores
difieren bastante en su comportamiento con respecto al caso de un medio dieléctrico perfecto (no
conductor) que vimos anteriormente. Aceptaremos ahora que el medio tenga una conductividad
σ, de forma que existirá una corriente eléctrica en el medio en respuesta al campo eléctrico. Si
el medio es ohmico
~ ~x) = σ E(t,
~ ~x)
J(t,
Claramente seguiremos suponiendo que el medio es lineal, homogéneo e isotrópico, de forma
que las ecuaciones de Maxwell quedan
~ · E(t,
~ ~x) = 0
∇
~
~ × E(t,
~ ~x) = − ∂ B(t, ~x)
∇
∂t
~ · B(t,
~ ~x) = 0
∇
~ × B(t,
~ ~x) = µσ E(t,
~ ~x) + µ ∂ E(t,
~ ~x)
∇
∂t
Al igual que antes, evaluamos
~ ×∇
~ × E(t,
~ ~x) = ∇
~ ∇
~ · E(t,
~ ~x) − ∇
~ 2 E(t,
~ ~x) = −∇
~ 2 E(t,
~ ~x)
∇
Además
~ ~x) = − ∂ ∇
~ × B(t,
~ ~x)
~ ×∇
~ × E(t,
~ ~x) = −∇
~ × ∂ B(t,
∇
∂t
∂t
~ ×∇
~ × E(t,
~ ~x) = − ∂
∇
∂t
∂ ~
∂ ~
∂2 ~
~
µσ E(t, ~x) + µ E(t, ~x) = −µσ E(t,
~x) − µ 2 E(t,
~x)
∂t
∂t
∂t
con esto,la ecuación para el campo eléctrico es
2
~ 2 E(t,
~ ~x) − µ ∂ E(t,
~ ~x) − µσ ∂ E(t,
~ ~x) = 0
∇
2
∂t
∂t
Es fácil verificar, siguiendo los mismos pasos, que el campo magnético satisface la misma
ecuación
2
~ ~x) − µ ∂ B(t,
~ ~x) − µσ ∂ B(t,
~ ~x) = 0
~ 2 B(t,
∇
2
∂t
∂t
La única diferencia con el caso anterior (propagación en medios dieléctricos perfectos) la
∂ ~
constituye el término µσ ∂t
E(t, ~x). Veremos que la conductividad del medio tendrá como efecto
una atenuación de las ondas a medida que penetra en el material. Nuevamente supondremos
que los campos son de la forma
~ ~x) = E(~
~ x)eiwt
E(t,
17
luego
2
2
~
~ x)eiwt = 0
∇ + µw − iµσw E(~
Definimos
k 2 = w2 µ − iµσw
y la ecuación queda de la forma
~ 2 + k 2 E(~
~ x) = 0
∇
Si la propagación es en el eje z, entonces la ecuación a resolver es
2
∂
2
~ x) = 0
+ k E(~
∂z 2
cuya solución es, por supuesto
~ x) = E
~ 0 e−ikz
E(~
y entonces la solución completa queda
~ ~x) = E
~ 0 ei(wt−kz)
E(t,
Hay que recordar que k es un número complejo, que escribiremos en la forma k = β − iα.
Ası́
k 2 = µw2 − iµσw = β 2 − α2 − 2iαβ
se debe resolver
2αβ = µσw → α =
β 2 − α2 = µw2 → β 2 −
β2 −
β =
µ2 σ 2 w 2
= w2 µ
2
4β
µ2 σ 2 w 2
= w2 µ
2
4β
β 4 − β 2 w2 µ −
2
µσw
2β
µ2 σ 2 w 2
=0
4
p
w4 µ2 2 + µ2 σ 2 w2
2
q
2
2
2
w µ ± w µ 1 + wσ2 2
w2 µ ±
β2 =
2
Obviamente la solución correcta es con el signo positivo, pues β es real
!
r
σ 2
µ
β 2 = w2
1+
+1
2
w
v
!
r
u
σ 2
u µ
β = wt
1+
+1
2
w
18
y como
α2 = β 2 − w2 µ
µ
α2 = w 2
2
r
σ 2
1+
+1
w
µ
α2 = w 2
2
v
u
u µ
α = wt
2
r
!
− w2 µ
!
σ 2
1+
−1
w
!
σ 2
1+
−1
w
r
Solución
Se concluye que las ondas planas monocromáticas en un medio con conductividad σ son de la
forma
~ z) = E
~ 0 e−αz ei(wt−βz)
E(t,
~ 0 debe
donde hemos asumido que la propagación es en la dirección z, y al igual que antes E
ser un vector perpendicular a z. Notar que la amplitud de la onda es atenuada por un factor
exponencial e−iαz , por lo que α es llamada Constante de atenuación
v
!
r
u
σ 2
u µ
+1
1+
β = wt
2
w
v
u
u µ
α = wt
2
!
σ 2
1+
−1
w
r
Ésta es la solución exacta para ondas planas monocromáticas en un medio lineal y de conductividad σ. Notar que para un dieléctrico perfecto, la constante de atenuación es cero y se
recupera el caso visto anteriormente
Observación
Este factor exponencial atenuante es el que explica que en ciertos materiales las ondas no se
propaguen correctamente. Por ejemplo, para el agua de mar (que constituye un medio conductor), dentro de un gran rango de frecuencias el factor α es grande, de forma que las ondas
decaen bastante rápido. (Esto explica en parte por qué los submarinos no se comunican mediante ondas electromagnéticas)
La razón fı́sica de este factor atenuante radica en la naturaleza misma del medio. Por ser
conductor, existe una gran cantidad de cargas libres que son aceleradas por la prescencia del
campo eléctrico (principalmente, pues ya es sabido que su magnitud es muchı́simo mayor a
la del campo magnético). De esta forma, parte de la energı́a electromagnética que se propaga
es utilizada en trabajo para mover las cargas libres presentes en el medio. Con esto, resulta
natural que la onda electromagnética pierda energı́a a medida que avanza en el material
19
~ 0 = E0 î. Nuevamente, de la ley de Faraday podemos determinar
Supongamos ahora que E
la relación entre las magnitudes de los campos
~ × E(t,
~ ~x) = − ∂ B(t,
~ ~x)
∇
∂t
∂
~ 0 e−αz ei(wt−βz)
k̂ × E0 e−αz ei(wt−βz) î = −iwB
∂z
~ 0 e−αz ei(wt−βz)
(iβ + α) × E0 e−αz ei(wt−βz) ĵ = iwB
~ 0 = B0 ĵ con
Se obtiene B
B0 =
iβ + α
E0
iw
β − iα
k
E0 = E0
w
w
p
k = w2 µ − iµσw
B0 =
con
r
B0 =
iµσ
µ −
E0 =
w
r
µσ + iwµ
E0
iw
y entonces
E0
=
B0
o
E0
=
H0
s
r
iw
σµ + iwµ
iwµ
=η
σ + iw
Esta razón, que depende de las caracterı́sticas del medio (µ, , σ) y de la frecuencia w, se
conoce como impedancia caracterı́stica del medio. Notar que en general (σ 6= 0) es un
número complejo, esto quiere decir que para medios con conductividad, el campo eléctrico y
magnético no están en fase
La impedancia caracterı́stica en representación polar es
η =| η | eiϑ
donde
| η |=
!1/2
w
µ
p
(σ 2 + w2 2 )
=
µ/
p σ
( w )2 + 1)
!1/2
y
ϑ=
1
(π/2 − Arctan(w/σ))
2
σ
tan 2ϑ =
w
20
p
µ/
=
1/4
σ 2
1 + w
Con esto, la solución general para ondas planas que se propagan en dirección z queda
~ t) = E0 e−αz ei(wt−βz) ê1
E(z,
E0 −αz i(wt−βz−ϑ)
~
e e
ê2
H(z,
t) =
|η|
e1 × e2 = k̂
La velocidad de propagación es
c=
w
=s
β
1
q
µ
1+
2
σ 2
w
+1
y la longitud de onda
λ=
2π
=
β
s
w
1.3.
2π
q
µ
1+
2
σ 2
w
+1
Solución para buenos conductores
Si la conductividad es grande en el sentido σ >> w, entonces
v
!!
r
u
r
σ 2
u µ
µσ
1+
+1
≈w
β = wt
2
w
2w
v
u
u µ
α = wt
2
r
!!
r
σ 2
µσ
1+
−1
≈w
w
2w
Es decir, aproximadamente se tiene
r
α=β=
En términos de la frecuencia en Hertz f =
wµσ
2
w
2π
α=β=
p
πf σ
En este caso los campos son atenuados rápidamente. Se define la profundidad de penetración como la distancia dentro del material a la cual los campos han decaido en un factor
1/e (aproximadamente al 30 % de su valor original)
1
1
=√
α
πf σ
Además, en este caso la impedancia caracterı́stica queda
r
wµ iπ/4
E0
η=
e
=
σ
H0
δ=
Es decir, los campos se encuentran en un desfase de ϑ = π/4
21
~ t) = E0 e−αz ei(wt−βz) ê1
E(z,
E0 −αz i(wt−βz−π/4)
~
e e
ê2
H(z,
t) =
|η|
e1 × e2 = k̂
La velocidad de propagación es
w
c= =
β
r
2w
= wδ
σµ
y la longitud de onda
2π
2π
=√
= 2πδ
β
πf µσ
Nota: Notar que aquı́, la definición de un buen conductor no es una propiedad única del
material, puesto que debe tenerse σ >> w. Es decir, un material se considera buen conductor
en determinado rango de frecuencias.
λ=
1.4.
Resumen sobre las ondas planas monocromáticas
Hemos visto que las ecuaciones de Maxwell aceptan como solución campos electromagnéticos
que están descritos matemáticamente por ondas planas. Para una propagación según el eje z,
los campos son de la forma
~ t) = E0 e−αz ei(wt−βz) ê1
E(z,
E0 −αz i(wt−βz−ϑ)
~
e e
ê2
H(z,
t) =
|η|
e1 × e2 = k̂
1. En un dieléctrico perfecto (conductividad nula), la constante de atenuación es cero, y la
impedancia intrı́nseca es un número real puro
r
E0
µ
E0
1
=
→
= √ =c
η=
H0
B0
µ
En el espacio vacı́o, la impedancia intrı́nseca es
r
µ0
η=
≈ 120π
0
En este caso
~ t) = E0 ei(wt−βz) ê1
E(z,
~ t) = E0 ei(wt−βz) ê2
B(z,
c
e1 × e2 = k̂
22
Con
β=
w
√
= w µ
c
2. En un buen conductor (σ >> w), los campos son fuertemente atenuados a medida que
se propagan en el medio. Aquı́, en un análisis aproximado
r
wµσ p
= πf σ
α=β=
2
la impedancia intrı́nseca es un complejo con fase π/4 y su magnitud es
r
wµ
| η |=
σ
Los campos son atenuados por un factor 1/e al ingresar una distancia igual a la profundidad
de penetración
1
1
1
δ= = =√
α
β
πf µσ
23
Problema
~ ~x) = Em sin (wt − βz) ĵ en el espacio libre, encuentre D(t,
~ ~x), B(t,
~ ~x) y H(t,
~ ~x). DibuDado E(t,
~ yH
~ en t = 0
je E
Solución
Se tiene
~ ~x) = Em sin (wt − βz) ĵ
E(t,
de aquı́ es inmediato que
~ ~x) = 0 E(t,
~ ~x) = 0 Em sin (wt − βz) ĵ
D(t,
Además, de la ecuación de Maxwell
~
~ × E(t,
~ ~x) = − ∂ B(t, ~x)
∇
∂t
como la propagación es en z, la única derivada parcial espacial para el campo eléctrico que
no es nula es la que involucra z, es decir
~
∂
~ ~x) = − ∂ B(t, ~x)
k̂ × E(t,
∂z
∂t
~
∂
~ ~x) = − ∂ Em sin (wt − βz) î = βEm cos (wt − βz) î = − ∂ B(t, ~x)
k̂ × E(t,
∂z
∂z
∂t
Luego
~ ~x) = − β Em sin (wt − βz) î = − Em sin (wt − βz) î
B(t,
w
c
~ ~x) es, simplemente
Por último, el campo H(t,
~ ~x) = 1 B(t,
~ ~x) = − Em sin (wt − βz) î
H(t,
µ0
µ0 c
~ yH
~ están dados por
En t = 0, los campos E
~ ~x) = −Em sin (βz) ĵ
E(0,
Em
~
H(0,
~x) =
sin (βz) î
µ0 c
24
Problema
~ = Hm ei(wt+βz) î en el espacio libre, encuentre E
~
Dado H
Solución
~ representa una onda plana que se
Una forma de resolver este problema es notando que H
propaga en dirección −ẑ. Luego, debe tenerse que el vector poynting tenga esta dirección, lo
cual se logra con un campo eléctrico polarizado según ĵ, en efecto
~=E
~ ×H
~ = E ĵ × H î = −EH k̂
S
Además, se cumple que
1
E
=√
B
µ0 0
o, equivalentemente
E
=
H
y entonces
r
µ0
βµ0
=
0
w
~ = wµ0 Hm ei(wt+βz) ĵ
E
β
Otra forma, es recordando que el espacio vacı́o tiene conductividad nula y entonces
~
~ × H = ∂D
∇
∂t
~ × H = ∂ k̂ × H
~ = βHm ei(wt+βz) ĵ
∇
∂z
entonces
~
∂D
= βHm ei(wt+βz) ĵ
∂t
~ = β Hm ei(wt+βz) ĵ
D
w
~ = β Hm ei(wt+βz) ĵ
E
w0
En efecto, es el mismo resultado anterior
√
~ = µ0 0 Hm ei(wt+βz) ĵ = √µ0 Hm ei(wt+βz) ĵ
E
0
µ0 0
~ = wµ0 Hm ei(wt+βz) ĵ
E
β
25
Problema
Dados
~ = 30πei(108 t+βz) î, H
~ = Hm ei(108 t+βz) ĵ
E
en el espacio libre, encontrar Hm y β (β > 0)
Solución
Estas son ondas planas que satisfacen las ecuaciones de Maxwell en el vacı́o, de forma que
1
w
=√
= 3 × 108 (m/s)
β
µ0 0
Luego
β=
Además
108
w
1
=
=
c
3 × 108
3
|E|
|E|
=c→
=
|B|
|H|
r
µ0
= 120π
0
Luego
| Hm |=
1
30π
=
120π
4
Además, las ondas se propagan en la dirección −k̂, por lo que
~ ×H
~ = −k̂
E
entonces
Hm = −
1
4
y
~ = 30πei(108 t+ 13 z) î
E
~ = − 1 ei(108 t+ 13 ) ĵ
H
4
26
Problema
En un medio homogéneo no conductor donde µr = 1, encuentre r y w si
~ = 30πei(wt−(4/3)y) ẑ, H
~ = 1,0πei(wt−(4/3)y) î
E
¿Cuál es la velocidad de la luz en esta región?
Solución
Se trata de ondas planas con β = 4/3. Luego
1
1
3 × 108
w
=√ =√
= √
β
µ
µ0 r 0
r
Además
E
= 30π =
H
r
µ
=
r
µ0
= 120π
r 0
r
Ası́
w
3 × 108
= √
4/3
r
r
1
30π = 120π
r
Resolviendo
r = 16
w = 108 (rad/s)
la velocidad de la luz en este medio es
1
1
3 × 108
c= √ = √
=
µ
4
µ0 160
es un cuarto de la velocidad de la luz en el vacı́o
27
1
r
Problema
~ = e−αz ei(wt−βz) î (V /m) con f = 100 Mhz, en la superficie de un conductor de cobre,
Suponga E
σ = 58 M S/m, localizado en z > 0 . Examine la atenuación a medida que la onda se propaga
en el interior del conductor
Solución
A una profundidad z, la magnitud del campo eléctrico es
~ |= e−αz = e−z/δ
|E
donde δ = 1/α es la profundidad de penetración
δ=√
1
= 6,61µm
πf µσ
Es decir, después de 6,61 micrómetros dentro del conductor, el campo es atenuado en 1e , a
un 36,8 % de su valor inicial. A 5δ o 33 micrómetros, la magnitud es 0,67 % de su valor inicial
28
Problema
Para agua de mar con µ = µ0 y conductividad σ ≈ 4,3 (S/m), ¿a qué frecuencia la profundidad
de penetración es de un metro?
Solución
Supongamos un rango de frecuencias en el que el agua de mar es considerado un buen conductor,
es decir
σ >> w
(notar que la permitividad del vacı́o es del orden de 10−12 , y la constante dieléctrica r en
general no es muy grande). La profundidad de penetración está dada por
r
r
2
2
=
δ=
µwσ
µ0 wσ
δ2 =
2
2
→w=
µ0 wσ
σµ0 δ 2
Se desea δ = 1 (m), entonces
w=
2
= 3,7 × 105
−7
2
4,3 × 4π × 10 1
o, en Hertz
f=
w
= 58,6 × 103
2π
o sea, una frecuencia de aproximadamente 60 kHz para una profundidad de un metro. Si un
submarino está equipado con un receptor de muy alta sensibilidad y si se utiliza un transmisor
de muy alta potencia, es posible comunicarse con otro submarino sumergido. Sin embargo, debe
utilizarse una frecuencia muy baja, y aún en este caso se produce una atenuación muy fuerte
de la señal. En efecto, a 5 profundidades de penetración (5 metros), la magnitud de los campos
se reduce al 1 % del valor original, y por consiguiente la potencia se reduce al 0,01 % de la
potencia incidente
29
Problema
Una onda plana uniforme que se propaga en un medio determinado, tiene un campo eléctrico
~ z) = 5e−γz ei108 t ĵ
E(t,
Si el medio se caracteriza por
σ = 3,5S/m
r = 1
µr = 18
~ , η y la profundidad de penetración para el medio. ¿Después de recorrer
Determine γ, H
qué distancia la onda se atenúa al 10 % de su valor inicial? ¿Cuál es la velocidad de propagación
en este medio?
Solución
Las ondas planas que son solución de las ecuaciones de Maxwell son de la forma
~ z) = E
~ 0 e−ikz eiwt
E(t,
donde
k = β − iα
~ z) = E
~ 0 e−iβz−αz eiwt
E(t,
comparando con
~ z) = 5e−γz ei108 t ĵ
E(t,
se aprecia que se trata de una onda plana a frecuencia w = 108 Hertz, polarizada según ĵ y
con
γ = α + iβ
Notemos que
σ
3,5
3,5
=
=
= 3953,02
8
w
0 × 10
8,854 × 10−12 × 108
Se aprecia que
σ >> w
de forma que el medio se puede considerar un buen conductor. En este caso
r
wµσ
108 × 18 ∗ 4π × 10−7 × 3,5
=
= 62,9159
α≈β≈
2
2
Con esto
γ = 62,9159 + i62,9159 =
62,9159 iπ/4
√
e
2
La profundidad de penetración es
δ=
1
= 0,0158942
α
30
La impedancia caracterı́stica del medio es (en una muy buena aproximación)
s
r
wµ iπ/4
108 × 18 × 4π10−7 iπ/4
η=
e
=
e
= 25,4219eiπ/4
σ
3,5
~ z) está dado por
El campo H(t,
H(t, z) = −
5 −αz i(108 t−βz −π/4)
5 −γz i108 t −iπ/4
e e
e
î = −
e e
î
|η|
|η|
H(t, z) = −0,196681e−62,9159z ei(10
8 t−62,9159z −π/4)
î
La velocidad de propagación está relacionada con la constante de propagación β
β=
w
108
→c=
= 1, 5895 × 108
c
62,9159
un poco más de la mitad de la velocidad de la luz en el vacı́o. Por último, para determinar
a que distancia dentro del material la onda se ha atenuado hasta un 10 % de su valor original,
se debe resolver
0,1 = e−αx = e−62,9159x
−2,30258 = −62,9159x
x = 3,65978 × 10−2 = 3,65978cm
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