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Elementos del plano
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Conoce, analiza, aplica...
Elementos
del plano
Ya conoces desde hace varios cursos qué es un punto o una recta, pero no fue fácil dar una definición precisa.
El primero que lo consiguió fue el matemático Euclides, de Alejandría, en el siglo III a. C., y la dejó reflejada en
el libro con más ediciones después de la Biblia: Los elementos.
Composición VIII (1923), de Vasili Kandinsky.
1.Punto, recta, semirrecta y segmento
2.Ángulos
2.1. Clasificación de los ángulos
2.2. Ángulos de la circunferencia
2.3. Relación entre ángulos
3.Posiciones relativas entre dos rectas
4.Medir distancias
5. Mediatriz
6. Bisectriz
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OBSERVA Y DESCUBRE
Recuerda
 ¿Sabes cómo se emplean los utensilios de dibujo: regla graduada, cartabón, escuadra, compás y transportador de ángulos?
 Utiliza el transportador para dibujar un ángulo agudo y un ángulo obtuso. Señala cuánto miden.
 Observa el cartabón (es la segunda regla de las imágenes). ¿Qué tipo de ángulos tiene?
Aplica las TIC
 A partir de esta unidad resolveremos ejercicios utilizando GeoGebra, que es un software matemático interactivo libre con muchas aplicaciones para geometría. Podremos, entre otras cosas: dibujar puntos; trazar
rectas, segmentos, semirrectas y ángulos; medir distancias y ángulos; trazar paralelas y perpendiculares; e
incluso trazar mediatrices y la bisectrices.
GeoGebra
Mejora tus competencias
Copia en tu cuaderno la silueta del siguiente mapa y
sitúa las ciudades de Toronto, Nueva York y Ottawa.
 Une la ciudad de Toronto con la de Nueva York mediante una línea recta (utiliza una regla).
 Une las ciudades de Toronto y Ottawa de la misma manera.
 ¿Cómo es el ángulo que se ha formado entre esas dos
líneas?
Si unimos Filadelfia con Nueva York y Toronto con
Ottawa, ¿cómo son las líneas obtenidas?
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Elementos del plano
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¿Sabías que...?
Los elementos de Euclides son en realidad
trece libros que contienen una recopilación
de todo el saber matemático hasta la época.
Se ha utilizado como libro de referencia para
estudiantes durante muchos siglos.
1. PUNTO, RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO
El punto es, según Euclides, “la parte que no tiene parte”.
Es el elemento más pequeño que podamos imaginar: no tiene dimensión (ni ancho
ni largo). Nos lo imaginamos semejante a un grano de arena o una mota de polvo. Se
suele nombrar con letras mayúsculas: A, B, C...
La recta es “una longitud sin anchura [...] que yace por igual respecto de los puntos
que están en ella”.
Nos lo imaginamos como una fila de puntos, ¡infinitos puntos! No tiene principio ni fin.
Representamos sólo una parte. Se nombra con letras minúsculas: r, s, t...
Por dos puntos sólo pasa una recta.
r
En este fragmento de la pintura La escuela
de Atenas, que decora las llamadas Estancias
de Rafael (ubicadas en el Palacio Apostólico
del Vaticano), se ve a Euclides utilizando un
compás.
B
A
Por un punto pasan infinitas rectas.
Analiza
Un punto puede pertenecer a una recta o
ser exterior a ella.
A
¿Tiene más opciones?
r
B
EJERCICIOS RESUELTOS
A
C
A y B pertenecen a la recta r y C es exterior.
1. Se llaman puntos alineados los que pertenecen a la misma recta. Dibuja tres puntos no alineados. ¿Cuántas rectas puedes dibujar que pasen por los tres puntos?
¿Y cuántas tomándolos de dos en dos?
Solución:
Por los puntos A, B y C no podemos dibujar
ninguna recta que los contenga. Podemos
trazar un total de tres rectas (r, s y t) tomando los puntos de dos en dos.
B
r
s
A
t
C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dibuja tres puntos P, Q y R alineados. Dibuja un cuarto punto S no alineado con
éstos. Traza todas las rectas que pasen por al menos dos de los puntos dibujados. ¿Cuántas rectas se obtienen?
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Semirrecta. Si en una recta marcamos un punto, obtenemos dos semirrectas. Cada
una de ellas tiene un principio u origen (empieza en A) pero no tiene fin.
A
A
A
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¿Sabías que...?
Vasili Kandinsky, célebre pintor creador del
arte abstracto, escribió un libro titulado Punto y línea sobre el plano, en el que analizaba
los elementos geométricos que componen
cada pintura: el punto y la línea.
Segmento. Es la parte de una recta comprendida entre dos puntos, que son sus
extremos.
B
A
EJERCICIOS RESUELTOS
1.Dada la siguiente figura, nombra los elementos. ¿Cuántos segmentos hay? ¿Cuántas
semirrectas?
Solución:
Hay dos segmentos: AB y BC. Y dos semirrectas: la de origen en B y la de origen en C.
A
C
B
Analiza
¿Qué definición de superficie da Euclides en
Los elementos?
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Ponles nombre a los siguientes elementos:
Recuerda
El punto medio de un segmento es el punto
que lo divide en otros dos de la misma medida.
2. Dibuja un punto P y tres rectas r, s y t que pasen por él.
3. Dibuja un punto P y dos rectas r y s que pasen por él y otra t que no pase por él.
4. Se llama punto de intersección al punto que pertenece a dos elementos.
Nombra los elementos de esta figura. ¿Qué puntos son de intersección?
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¿Sabías que...?
El teodolito es un instrumento de medición
que se utiliza para obtener ángulos verticales
y horizontales.
2. ÁNGULOS
Ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas
que tienen el mismo origen (el vértice del ángulo). Se nombra con
^
la letra del vértice y el símbolo ^ sobre ella (por ejemplo, A) o con
tres letras (por ejemplo, ABC).
^
A
A
2.1. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Nulo: de 0°
Agudo: entre 0° y 90°
Recto: de 90°
^
A
A
^
A = 90º
^
A
A
Obtuso: entre 90° y 180°
A
Llano: de 180°
Completo: de 360°
^
Posiblemente hayas visto a un topógrafo utilizarlo en una obra, el arcén de una autovía o
una calle de tu ciudad.
A
^
A
^
A
A
A
A
Cóncavo: entre 0° y 180°
Convexo: entre 180° y 360°
^
A
^
A
A
A
EJERCICIOS RESUELTOS
1. M
ide y clasifica este ángulo:
Recuerda
El transportador de ángulos viene graduado
de 0° a 180° en los dos sentidos posibles.
A
Solución:
El ángulo mide 100°, como se ve en la figura. Es un
ángulo obtuso y cóncavo.
^
A = 100º
A
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Mide y clasifica los siguientes ángulos:
A
Analiza
¿Existen ángulos de más de 360°? ¿Y de menos de 0°?
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A
A
2. Usa el cartabón para dibujar un ángulo de 30° y otro de 60°.
3. Usa la escuadra para dibujar un ángulo de 45°.
Elementos del plano
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2.2. ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
La parte de circunferencia comprendida
entre los lados se llama arco.
Inscrito. Tiene como vértice un punto de
la circunferencia, y sus lados la cortan.
Si dos ángulos inscritos tienen el mismo
arco, son iguales:
D
BDC = BEC.
D
A
A
C
arco
Central. Tiene como vértice el centro de
la circunferencia.
Observa
Si un ángulo inscrito tiene como arco una
semicircunferencia (media circunferencia), es
un ángulo recto:
D
C
E
B
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B
B
A
C
Si un ángulo inscrito y uno central tienen el mismo arco, el inscrito BDC es la
mitad del central BAC:
D
C
A
A
C
B
B
Interior. Tiene como vértice un punto
interior de la circunferencia, y sus lados la cortan.
Analiza
Exterior. Tiene como vértice un punto
exterior a la circunferencia, y sus lados
la cortan.
¿Cuánto mide el ángulo central cuyo arco es
una semicircunferencia?
B
A
A
B
D
C
D
C
Observa
¿Qué ángulo central marcan las agujas de las
horas y los minutos?
EJERCICIOS RESUELTOS
D
^
1. C
alcula el ángulo A de la siguiente figura:
40º
A
Solución:
Como es un ángulo central que abarca el mismo arco
que el inscrito D, su medida es el doble, es decir, 80°.
C
B
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcula el ángulo central de cada una de estas figuras:
C
B
B
D
A
A
C
60º
D
A
80º
30º
D
B
C
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Analiza
El ángulo suplementario de uno obtuso, ¿puede ser también obtuso?
2.3. RELACIÓN ENTRE ÁNGULOS
Opuestos por el vértice. Tienen el vértice común y los lados forman rectas.
Consecutivos. Comparten el vértice y
un lado.
Complementarios. Al colocarlos consecutivos forman uno recto, es decir, suman 90°.
Suplementarios. Forman uno llano,
es decir, suman 180°.
Observa
Los jugadores de baloncesto calculan constantemente el ángulo de tiro para lograr la
canasta.
EJERCICIOS RESUELTOS
^
^
1. ¿ Cómo son los ángulos A = 25° y B = 65°?
¿Sabías que...?
Cuando las ruedas delanteras de un vehículo
son vistas desde el frente, el ángulo de caída (camber) es el formado por la línea central
del neumático y una línea perpendicular a la
superficie de la pista.
Solución:
Son ángulos complementarios, porque suman 90°.
^
B = 65º
^
A = 25º
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dibuja con el transportador un ángulo de 30°, otro de 75° y otro de 110°.
2. ¿Cómo dibujarías un ángulo de 200°?
3. Observa la figura y completa en tu cuaderno las siguientes frases:
^
^
a)
A y B son (...) y (...).
^
^
b)
A y C son (...) y (...).
^
^
c) A y D son (...) y (...).
^
^
d) B y C son (...) y (...).
^
^
e) B y D son (...) y (...).
^
^
f) C y D son (...) y (...).
^
B
^
A
^
C
^
D
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3. POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS
Secantes. Comparten un punto.
Coincidentes. Comparten todos sus
puntos.
Paralelas. No tienen ningún punto en
común.
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Observa
En esta imagen las dos calles se cortan perpendicularmente.
Dos rectas secantes son perpendiculares si forman cuatro ángulos rectos.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. T raza una recta paralela a otra.
Solución:
Analiza
Encuentra un mapa de tu barrio o población
y busca las dos calles perpendiculares más
cercanas y otras dos que sean paralelas.
2. T raza una recta perpendicular a otra.
Solución:
Por un punto exterior:
Por un punto interior:
Las vías del tren son rectas paralelas, al igual
que las líneas de la calzada.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Copia la siguiente figura en tu cuaderno y traza una recta paralela y otra perpendicular a la recta dada por el punto A.
Observa
A
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Observa
Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante se obtienen ángulos relacionados:
Ángulos correspondientes
En el juego del billar conviene tener conocimientos de ángulos relacionados para ganar
efectividad.
Ángulos alternos internos
Ángulos alternos externos
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Calcula los ángulos que faltan en esta figura:
Analiza
^
D
^
A = 30º
^
Busca información sobre los ángulos de incidencia de refracción y reflexión.
C
^
^
B = 150º
H
^
E
^
G
^
F
Solución:
^
^
^
^
A y C son opuestos por el vértice; entonces C es igual que A y mide 30°.
^
^
^
A y D son suplementarios; entonces D mide 150°.
^
^
^
^
A y E son correspondientes; entonces E es igual que A y mide 30°.
^
^
^
^
A y G son alternos externos; entonces G es igual que A y mide 30°.
^
^
^
^
B y H son alternos internos; entonces H es igual que B y mide 150°.
^
^
^
^
B y F son correspondientes; entonces F es igual que B y mide 150°.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En la siguiente figura, encuentra:
a) Dos rectas paralelas
F = 90º
b) Dos rectas secantes
c) Dos rectas perpendiculares
A = 40º
d) Dos ángulos alternos internos
e) Dos ángulos opuestos por el vértice
f) Dos ángulos suplementarios
g) Dos ángulos complementarios
h) Dos ángulos correspondientes
i) Dos ángulos alternos externos
^
^
2. Si en la figura anterior A = 40° y F = 90°, calcula todos los otros ángulos.
^
^
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4. MEDIR DISTANCIAS
La distancia entre una recta y un punto exterior a ella se mide sobre la perpendicular:
A
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Observa
En el golf es muy importante medir las distancias para realizar un buen golpe y no pasarse ni quedarse corto.
A
La distancia entre dos rectas paralelas se mide eligiendo un punto cualquiera en una de
ellas y midiendo del punto elegido a la otra recta.
A
A
EJERCICIOS RESUELTOS
¿Sabías que...?
1. ¿ A qué distancia se encuentra la bola
del borde de la mesa de billar en la
imagen?
Los códigos de barras son segmentos de rectas paralelas que son leídos por otro segmento transversal. El grosor y la separación hacen
que cada código sea único.
Solución:
Paso 1: Trazamos la recta perpendicular al borde de la mesa que pasa por el
centro de la bola.
Paso 2: Medimos con una regla el segmento rojo.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Traza una recta paralela a r que pase por P.
2. Mide la distancia de P a r. ¿Es igual a la distancia de
P a Q?
3. Mide la distancia de Q a la recta que has dibujado en
el ejercicio 1. ¿Es igual que la distancia de P a r?
Q
r
P
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5. MEDIATRIZ
Analiza
¿Qué ha ocurrido en estos casos al intentar
dibujar la mediatriz?
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento que
pasa por su punto medio.
Todos los puntos de la mediatriz están a la misma distancia de ambos extremos del
segmento.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Traza la mediatriz del siguiente segmento:
Solución:
Paso 1: Con el compás, tomamos una medida cualquiera mayor que la mitad del segmento y trazamos un arco desde cada extremo manteniendo esa
misma medida.
Paso 2: Unimos los puntos de corte de los arcos
con una recta: es la mediatriz.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dibuja un segmento de tamaño 5 cm y traza su mediatriz. Comprueba que los
dos segmentos resultantes miden 2,5 cm.
2. Dibuja la línea cuyos puntos están a la misma distancia de A y de B.
A
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B
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6. BISECTRIZ
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Observa
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide dicho ángulo en dos ángulos
iguales.
Bisectriz en la naturaleza:
Todos los puntos de la bisectriz están a la misma distancia de ambos lados del ángulo.
Se traza de la siguiente forma:
Paso 1: Tomamos una medida cualquiera con el compás y trazamos desde el vértice un
arco que corte los dos lados del ángulo. Pinchando en esos puntos de corte trazamos
dos arcos manteniendo la apertura del compás.
Paso 2: Unimos el vértice del ángulo con el punto donde se cortan los dos arcos.
Analiza
En la siguiente imagen ¿qué sería el obelisco
central respecto del ángulo que forman las
dos torres?
EJERCICIOS RESUELTOS
1. T raza un segmento de 3 cm de extremos A y B. Traza su mediatriz con regla
y compás. Elige un punto P cualquiera de la mediatriz. Dibuja el ángulo APB.
Traza su bisectriz. ¿Qué observas?
Solución:
Paso 1: Abrimos el compás más de 1,5 cm, trazamos
los dos arcos y los unimos con la regla. Ya tenemos la
mediatriz.
Paso 2: Señalamos sobre ella un punto P y dibujamos las semirrectas PA y PB. Abrimos el compás y
trazamos un arco desde P. Pinchamos en el punto de
intersección del arco con cada lado para trazar dos
arcos pequeños y luego unimos P con el punto de
intersección de los dos arcos.
Observamos que la bisectriz del ángulo APB coincide
con la mediatriz del segmento AB.
B
A
P
A
B
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dibuja un ángulo de 60° y traza su bisectriz. Comprueba con el transportador
que los dos ángulos resultantes miden 30°.
2. Señala un punto en la bisectriz del ejercicio anterior y mide la distancia de este
punto a cada lado, tal y como vimos en el apartado 4, “Medir distancias”. ¿Qué
observas?
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Elementos del plano
Ejercicios y problemas para reforzar
1. Dibuja un punto P y tres rectas r, s y t que pasen por él.
2. Dibuja un punto P, dos rectas r y s que pasen por él y otra t que no pase por él.
3. Dibuja una recta r y dos puntos P y Q que no estén en ella, y luego traza dos rectas paralelas s y t que pasen por P y Q.
4. Dibuja un ángulo agudo.
5. Dibuja un ángulo obtuso.
6. Dibuja dos ángulos suplementarios.
7. Dibuja dos ángulos complementarios.
8. Traza dos rectas secantes. ¿Cómo son los ángulos que forman?
9. Comprueba con el transportador que la medida de estos dos ángulos coincide:
10. Este cuadro es del famoso pintor suprematista Piet Mondrian. Encuentra dos rectas paralelas y
dos perpendiculares.
11. Dibuja por el punto P exterior a r:
a) La recta s perpendicular a r por P
b) La recta t paralela a r por P
c) Una recta u secante a r no perpendicular
P
r
12. Dibuja cinco rectas paralelas separadas 1 cm. Dibuja una recta perpendicular a ellas. Ahora dibuja cuatro rectas paralelas a
la anterior. Comprueba que se te ha formado una cuadrícula.
13. Copia el siguiente mapa en tu cuaderno. Traza sobre el plano el camino más corto entre la glorieta A y la glorieta B sin tener
en cuenta las calles. Después traza el camino más corto yendo por las calles. Mide las distancias y compara los resultados.
¿Cuántas rectas perpendiculares has trazado?
A
B
14. Dibuja un cuadrado con regla y compás de tamaño 5 cm de lado. Usa la estrategia de la mediatriz.
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Elementos del plano
Ejercicios y problemas para ampliar
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1. ¿Cuántas rectas pasan por tres puntos distintos?
2. ¿Cuántas rectas pasan por cuatro puntos distintos?
3. Dibuja un ángulo recto. ¿Cuál es su suplementario? ¿Tiene complementario?
4. Busca las dimensiones (incluidas todas las líneas) de un campo de tenis y dibújalo en tu cuaderno.
5. Copia este mapa y sobre él sitúa:
 Tres puntos no alineados
 Dos segmentos
 Dos rectas paralelas
 Dos rectas perpendiculares
a) Encuentra el punto que está a la misma distancia de los tres que has señalado.
b) Si quiero moverme estando siempre a la misma distancia de la calle de los Enamorados
y de la avenida de Antonio Fernández, ¿por
qué línea debo ir? Trázala aunque no coincida
con una calle del mapa.
6. Copia en tu cuaderno un pentágono regular como este y dibuja todas las rectas que se forman al unir los vértices. ¿Cuántos
segmentos se forman? ¿Cuántas semirrectas?
VOCABULARIO
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
ángulo
ángulo agudo
ángulo central
ángulo completo
ángulo cóncavo
ángulo convexo
ángulo exterior
ángulo inscrito
ángulo interior
ángulo llano
ángulo nulo
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
ángulo obtuso
ángulo recto
ángulos alternos externos
ángulos alternos internos
ángulos complementarios
ángulos consecutivos
ángulos correspondientes
ángulos opuestos por el vértice
ángulos suplementarios
bisectriz
intersección
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
mediatriz
punto
recta
rectas coincidentes
rectas paralelas
rectas perpendiculares
rectas secantes
segmento
semirrecta
teodolito
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Elementos del plano
Aplicaciones TIC
PRIMEROS PASOS CON GEOGEBRA
Lo primero que debemos hacer es tener instalado en nuestro ordenador el
programa GeoGebra. Para obtenerlo, entraremos en la página oficial y haremos la descarga gratuita: www.geogebra.org/cms/es
Una vez instalado, la pantalla de inicio es la de la figura 1.
Para situar puntos, hacemos clic en
y a continuación, en el desplegable, elegimos Nuevo punto. Con el ratón, situamos el punto donde deseemos. Por ejemplo, en el punto (2,2).
Observamos que en la vista algebraica nos aparecen las coordenadas del
punto (figura 2).
Fig. 1
Si seleccionamos el punto con
y lo movemos, observamos en la vista
algebraica cómo las coordenadas van cambiando.
También se puede cambiar la posición del punto haciendo clic en la vista
gráfica e introduciendo las nuevas coordenadas.
EJERCICIOS
1. Sitúa los siguientes puntos en la vista gráfica:
A(3,1)
B(–1,2)
C(–1,–1)
D(–2,1)
Fig. 2
2. Modifica el punto A en la vista algebraica y conviértelo en A(5,2).
Ahora vamos a aprender a dibujar rectas. Para ello, situamos dos puntos
cualesquiera A y B. A continuación hacemos clic en
y, en el desplegable,
elegimos Recta que pasa por dos puntos. Hacemos clic en los dos puntos
seleccionados y GeoGebra nos dibuja la recta que pasa por esos dos puntos y
nos da su expresión algebraica (figura 3). Esta expresión algebraica la dejaremos para cursos superiores.
Fig. 3
En el desplegable de
también podemos hacer clic en Segmento entre
dos puntos. En tal caso, GeoGebra dibuja el segmento que pasa por los dos
puntos seleccionados (figura 4). En la vista algebraica aparece la medida del
segmento.
EJERCICIOS
1. Dibuja todas las rectas que pasan por los puntos A(2,1), B(–1,0) y C(0,–3).
2. Dibuja los puntos A(2,0) y B(5,0) y comprueba que el segmento tiene longitud 3.
180
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Fig. 4
Elementos del plano
Aplicaciones TIC
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GeoGebra también puede medir ángulos. Primero dibujamos un triángulo con el botón
. Colocamos los puntos A(0,0), B(4,0) y C(0,4); de
esta forma estamos seguros de haber dibujado un triángulo rectángulo
isósceles. Con el botón
vamos a medir los ángulos (figura 5). Mucha
atención al orden de selección de puntos. Si seleccionamos BAC, mide
el ángulo interno (en este caso, 90°); pero si seleccionamos CAB, mide el
externo (en este caso, 270°).
EJERCICIOS
Fig. 5
1. Comprueba que la suma de los ángulos del triángulo anterior es 180°. Mueve los puntos y comprueba que, sea como sea el
triángulo, los ángulos internos suman 180°.
2. Dibuja un cuadrilátero cualquiera y mide los ángulos internos. ¿Cuánto suman?
Ahora vamos a dibujar una circunferencia de radio 3 y centro A(0,0), con
el botón
. Situaremos además los puntos B(3,0) y C(0,3) en la circunferencia y un cuarto punto D cualquiera también en la circunferencia. Por
último, trazamos los segmentos AB, AC, BD y CD (figura 6). Ahora medimos
^
^
el ángulo A y el ángulo D. ¿Qué ocurre? ¿Qué pasa si movemos el punto D?
Para trazar una recta paralela o perpendicular por un punto dado usamos el botón
.
Fig. 6
EJERCICIOS
1. Dibuja una recta que pase por los puntos A(2,2) y B(3,3), y luego traza la recta paralela y la
perpendicular a ella que pasan por el punto C(3,2).
Haciendo clic en el botón
bisectriz (figura 7).
tenemos también la posibilidad de trazar la mediatriz y la
2. Dibuja el segmento que tiene como extremos A(0,0) y B(6,0). Traza la mediatriz de dicho
segmento.
Fig. 7
^
3. Sitúa los puntos A(0,0), B(3,0) y C(0,2). Calcula el valor del ángulo A y traza su bisectriz.
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Elementos del plano
Aplica tus conocimientos
Después de estudiar el tema, realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
1. Construcción de un teodolito casero
Materiales:
Semicírculo graduado
Cinta adhesiva
Tijeras
Bolígrafo (realmente, sólo la carcasa)
Trozo de hilo
Arandela de metal (podría ser también una tuerca o algo que pese y
mantenga tenso el hilo)
Extraemos la carcasa del bolígrafo y la pegamos a lo largo del semicírculo
graduado.
Atamos un trozo de hilo a la arandela de metal y pegamos el extremo con celo
al centro del semicírculo graduado:
Mirando a través del tubo del bolígrafo, el hilo nos marcará el ángulo de inclinación respecto al suelo.
EJERCICIOS
1. Desde tu sitio, mide la inclinación respecto de una esquina de la pizarra.
2. Ponte de pie y mide de nuevo la inclinación.
3. ¿Es mayor o menor? ¿Por qué?
4. ¿Cuál será la inclinación máxima que medirá nuestro teodolito? ¿Y la mínima?
5. Busca un punto de la clase que esté a una inclinación de 45° respecto a tu sitio.
6. Busca un punto de la clase que esté a una inclinación de 30° respecto a tu sitio.
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Elementos del plano
Aplica tus conocimientos
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2. Copia este mapa en tu cuaderno. En él aparecen tres paradas de metro de la ciudad de Madrid.
Los viajeros eligen a qué estación ir por cercanía.
Vamos a ver quiénes van a la estación de Tirso de Molina:
Paso 1: Une Tirso de Molina con Antón Martín y dibuja la mediatriz de este segmento.
Paso 2: Une Tirso de Molina con Lavapiés y
dibuja la mediatriz de este segmento. Pinta de color rojo la parte del plano que está
entre las mediatrices y que contiene la estación de Tirso de Molina.
Ese polígono coloreado es la zona de viajeros que irán a la estación de Tirso de Molina.
EJERCICIOS
1. Colorea de verde la zona correspondiente a la estación de Antón Martín, siguiendo los pasos vistos.
2. Colorea de azul la zona correspondiente a la estación de Lavapiés.
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183
9
Elementos del plano
Mapa conceptual
Elementos del plano
Elementos básicos
•• Punto
•• Recta
•• Semirrecta
•• Segmento
Mediatriz
de un
segmento
Ángulos
•• Nulo: igual a 0°
•• Agudo: menor de 90°
•• Recto: igual a 90°
•• Obtuso: mayor de 90°
•• Llano: igual a 180°
•• Cóncavo: menor de 180°
•• Convexo: mayor de 180°
•• Completo: igual a 360°
Posiciones relativas entre dos
rectas
•• Coincidentes
•• Paralelas
•• Secantes
•• Perpendiculares
Ángulos relacionados
Ángulos correspondientes
Ángulos alternos internos
Ángulos alternos externos
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Matemáticas 1º ESO - Editorial Donostiarra
Relaciones entre ángulos
•• Opuestos por el vértice
•• Consecutivos
•• Complementarios
•• Suplementarios
Ángulos en la
circunferencia
•• Central
•• Inscrito
•• Interior
•• Exterior
Bisectriz de
un ángulo
Elementos del plano
Autoevaluación
DE CONCEPTOS
DE CONCEPTOS
9
DE CONCEPTOS
DE COMPETENCIAS
1.Identifica los elementos básicos:
1.La siguiente imagen corresponde al barrio madrileño
de Vallecas. Cópialo y dibuja sobre él tres rectas paralelas y otras dos perpendiculares entre sí.
2.Indica qué número le corresponde a cada uno de los
siguientes ángulos: convexo, recto, agudo, cóncavo,
obtuso, llano.
1
^
4
A
^
A
A
A
^
¿Cómo son la calle Puente del Arzobispo y la avenida
de la Gavia?
A
^
A
2
5
A
¿Cómo son las avenidas de las Suertes y la Gavia?
A
3
6
2.¿Cómo trazarías el punto de penalti en un campo de
fútbol situado a 7 m de la portería y a la misma distancia de los dos laterales?
^
A
^
A = 90º
A
A
^
3.El complementario de A = 28° es...
^
4.El suplementario de B = 85° es...
5.Dibuja el ángulo complementario de:
^
A
A = 30º
6.Traza un ángulo de 80° y su bisectriz.
7.Dibuja un ángulo central que abarque el mismo arco.
^
Si A = 38°, ¿cuánto mide el ángulo central que has dibujado? Contesta sin medirlo con el transportador.
3.Dibuja un reloj y sitúa las agujas de modo que señalen
las 9 en punto. ¿A qué hora las agujas formarán un ángulo suplementario?
^
A = 38º
A
Matemáticas 1º ESO - Editorial Donostiarra
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