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TALLER DE APOYO A LA SUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS GRADO 10-1 , 10-2 JT
Estudiar la teoría vista en clase y analizar y y problemascomprender los ejercicios realizados en
clase
RAZONES Y PROPORCIONES Y SEMEJANZA
1.
Un lápiz de 25 centímetros proyecta una sombra de 4 centímetros. ¿Cuánto mide un árbol que
proyecta una sombra de 1.20 metros?
2)
Dos números están a razón
. Si el menor de ellos es 189 ¿Cuál es el otro?
3)
Una inversión de $5500 produjo un rendimiento de $385 en un año, otra inversión produjo $560
a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo. ¿Cuál era el valor de la segunda inversión?
4)
Dos obreros trabajan en un fábrica empacando calcetines, pero mientras uno empaca 3 cajas,
el otro empaca 7 cajas. Si el más hábil ha empacado 91 cajas, ¿cuántas habrá empacado el otro?
5)
La suma de dos números es 2920 y se encuentra en razón
. ¿Cuáles son los números?
6)
Una inversión de $3500 produce un rendimiento de $420 en un año, ¿qué rendimiento
producirá una inversión de $4500 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo?
7)
Comiendo 90 gramos de cereal, se consumen 360 calorías. ¿Qué cantidad de cereal debe
comerse para consumir solamente 80 calorías?
8)
Una mapa señala en el borde inferior: escala 1:100,000,000 ¿A cuántos kilómetros equivale
una línea de 3 centímetros de largo?
9)
Dos ángulos están a razón 6 a 7. Si el menor mide 30º ¿Cuánto mide el otro?
10)
En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos están en razón . ¿Cuánto mide cada uno de
ellos?
11)
En un triángulo isósceles el lado desigual está en razón  a los dos iguales. Si el lado mayor
mide 1.8 centímetros. ¿Cuál es perímetro del triángulo?
12)
En 1970 en México el número de kilómetros cuadrados de superificie estaban en razón
con el
número de habitantes. Si la superficie de México es de 1,972,547 kilómetros cuadrados. ¿Cuántos
habitantes había en México en 1970?
13)
En la república de Haití, en 1970 la razón entre el número de kilómetros cuadrados de superficie
y el numero de habitantes estaba en razón 1 a 175. Si el número de habitantes en ese momento
era de 4,856,250. ¿Qué superficie tiene Haití?
14)
¿Qué longitud tiene en un mapa una distancia de 400 kilómetros si el mapa señala: escala
1:19,500,000?
La estatura de mi hija cabe 2 veces en la mía, sobrando cierta cantidad de centímetros que está
en razón 2 a 3 con la estatura de mi hija:
15)
a.
b.
¿En qué razón está la estatura de mi hija en relación con la mía?
Si mi estatura fuera de 160 metros con las condiciones del problema. ¿Cuál sería la de
mi hija?
c.
La pregunta (b) si mi estatura es de 1.72 metros.
17)
Se estima que uno de cada 25 bebés hijos de madres que contrajeron rubéola durante el cuarto
mes de embarazo sufre alguna anomalía congénita. ¿Qué número de bebés afectados habrá en
25,575 niños, hijos de madres que contrajeron la enfermedad?
18)
En 1974 la razón entre las especies de insectos descritos hasta entonces y el total de ellos era
. Si entonces se tenía la descripción de 950,000 especies. ¿Cuál era el total de especies de
insectos?
19)
Al aplicar la vacuna contra la tosferina, la posibilidad de que los niños tengan fiebre como
reacción está en razón 1 a 100,000. Si se detectaron 26 niños con fiebre. ¿Cuántos fueron
vacunados?
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y RECTÁNGULOS
1. Calcula el área de un paralelogramo cuyos lados miden 34 y 15 cm y el ángulo entre ambos es
62° 40′.
2. Si una carretera sube 12 m en una distancia horizontal de 200 m, halla el ángulo que forma la
carretera con la
3. Uno de los lados congruentes de un triángulo isósceles mide 6 cm y uno de los ángulos de la
base mide 27°10′; calcula la base y la altura
4. Para alcanzar la cima de un muro de 6 m de altura se utiliza una escalera de 10 m. Si la
escalera se extiende 2m más allá del muro, determine la inclinación respecto a la horizontal.
5. Desde un faro situado a 70m sobre el nivel del mar se observa un bote en un ángulo de
depresión de 20°30′, ¿a qué distancia está el bote del punto situado a nivel del agua y
directamente bajo el punto de observación?
6. La diagonal de un pentágono regular mide 9m. Calcula el radio de la circunferencia
circunscrita al polígono?
7. Calcula la altura de un globo que se encuentra directamente sobre una ciudad, si el ángulo de
depresión de otra ciudad situada a 7 km es de 12° 12′
8. Una bandera cuya asta mide 6 m está situada sobre una columna. Desde cierto punto, el
extremo superior de la bandera se ve con un ángulo de elevación de 20° y el extremo inferior
se observa con un ángulo de 12° 30′, calcula la altura de lo columna y la distancia al punto de
observación
9. Una estatua de 5,5m de alta está colocada sobre un pedestal. Si desde un punto situado a
25m se observa el extremo superior de la estatua con un ángulo de 27°40′¿Cuál es la altura
del pedestal?
10. Dos aviones parten de un mismo punto, el primero hacia el norte con una velocidad de
400km/h. ¿A qué distancia se encuentra uno del otro, después de dos horas?
11. Desde un punto situado a una distancia 100 m del pie de la perpendicular se observa una
cometa A con un ángulo de elevación de 86°40′ y otra cometa B situada justamente debajo de
esta con un ángulo de 4720′. ¿Cuál es la distancia entre las dos cometas?
12. Desde un avión a 1500m de altura se observa una embarcación, con un ángulo de depresión
de 34
°, y sobre el mismo plano, en sentido opuesto, se observa el puerto mediante un
ángulo de depresión de 45°. ¿A qué distancia se encuentra el barco del puerto?
13. Desde un faro de 30m de alto se divisa un barco con un ángulo de depresión de 26°, un
tiempo después, se observa el mismo barco con un ángulo de depresión de 62°. ¿Qué
distancia ha recorrido el barco?
14. Para medir el ancho de un rio un topógrafo selecciona dos puntos P y Q, uno en cada orilla y
directamente opuesto uno del otro. En la orilla donde está P se selecciona otro punto R, a
60m de P, de manera que el segmento rectilíneo PR sea perpendicular al segmento PQ. El
ángulo formado por el lado PR y RQ mide 75°.¿Cuál es el ancho del rio?
15. Para medir la altura de una montaña, un topógrafo toma dos visuales de la cima desde dos
posiciones separadas entre sí 900m sobre una línea directa a la montaña (visuales tomadas
desde el mismo nivel). La primera observación da un ángulo de elevación de 47° y la segunda
uno de 35°. Si el tránsito (instrumento para medir ángulos) está a 2 m del suelo, ¿cuál es la
altura de montaña?
16. Un sendero recto con inclinación uniforme conduce de un hotel con una elevación de 1100m a
un mirador, cuya elevación es de 4200m. La longitud del sendero es de 5600m. ¿Cuál es la
inclinación del sendero?
17. . Se desea medir la distancia entre dos colinas A y B; desde una tercera colina C situada a 12
Km de A, se pueden medir los ángulos A y C, que son 46°37′ y 38°35′
18. 2. . Dado el triángulo ABC, A =27°35′, B=105°52′, c=10m, resolver el triángulo
19. 3. Sobre un barranco situado en la ribera de un rio se levanta una torre de 100m de alta;
desde el extremo superior de la torre se observa un punto situado en la orilla opuesta con un
ángulo de depresión de 34°20′ y desde la base de la torre se observa el mismo punto con un
ángulo de depresión de 15°45′. Cúal es la altura de barranco y el ancho del rio?
20. 4. Dos rutas aéreas se cruzan bajo un ángulo de 46° 50′; en cierto momento un avión A está a
48Km del cruce, en tanto que otro avión se encuentra a 58 Km del cruce. Qué distancia separa
a los aviones en ese momento?
Ap l i c a c i o n e s d el t eo r e m a d e P i t á g o r as
1.La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella
60 m. Calcular: a. Los catetos. B. La altura relativa a la hipotenusa. C. El área del triángulo
2. Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos
sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma
cm.
3. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m
de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
4. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12
cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?
5. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12
cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?
6. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.
7.En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este
otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.
8. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este
otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.
9. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este
otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.
10. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este
otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo
11. A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra.
Hallar el área de la corona circular así formada.
12. En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del
círculo.
13. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm
respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
14. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del
segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco
correspondiente.
15. Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores
determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.
1 6 . Calcular el área de la c o r o n a c i rc u l ar determinada por las circunferencias inscrita y
circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.
1 7 . Si los lados no paralelos de un t r a p e c i o isósceles se prolongan, quedaría formado un
triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del
triángulo, calcular el área del trapecio.
1 8 . El área de un c u a dr a d o es 2304 cm². Calcular el área del h e x á g o n o regular que tiene su
mismo perímetro.
1 9 . En una ci r c u n f ere n c i a de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de
este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así
formada.
20.Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita
a un cuadrado de 8 m de diagonal.
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, si AB =14, BC=12, si el perímetro del triángulo es
38 cm, cuál es el valor AM?
Sea ABC un triángulo y AE una bisectriz interior (E esta en BC), si el ángulo C mide 70 y el ángulo
BAE mide 30, Calcular la medida del ángulo AEC
Se tiene un triángulo acutángulo ABC, Se traza la altura BH. Si el ángulo exterior adyacente a C
mide 150. Hallar la medida del ángulo HBC.
Cerca de dos pueblos A y B pasa la vía del tren. Después de muchos años de intentarlo,
consiguen que les construyan un paradero para los dos pueblos. Deciden situarlo a igual distancia
de los dos. Describe el método que utilizarán para localizar el punto en el que estará situado el
paradero. Haz un esquema gráfico del problema. ( Mediatriz de un segmento)
2. Tres pueblos desean construir un pozo para abastecer de agua las tres ciudades. Cada alcalde
desea que las conducciones de agua hasta su pueblo no sean más largas que las de cualquiera
de sus vecinos, por ello han decidido perforar en un lugar que se encuentre exactamente a la
misma distancia de los tres. ¿Cuál es ese punto? ( Circuncentro )
3. Tres pueblos están unidos entre sí por carreteras rectas. Una empresa desea construir un
hipermercado que esté situado entre los pueblos y después construirá vías de acceso desde el
centro comercial hasta cada una de las carreteras, con la condición de que estas tres conexiones
sean lo más cortas posible y tengan la misma longitud. ¿En que punto construirá el hipermercado?
( Incentro ).
Las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles forman un ángulo de 120°.
Cuánto miden los ángulos del triángulo?
El ángulo opuesto a la base de un triángulo isósceles mide 36°. Si se traza la bisectriz de uno de
los ángulos de la base, los triángulos son:
Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 36°. Si se traza la bisectriz
correspondiente a éste ángulo, el triángulo queda dividido en dos. Calcule los ángulos de estos
triángulos
En un triángulo escaleno, ABC, B=32° y C=70°. Se traza la altura relativa a BC. Cuánto vale cada
uno de los ángulos en que la altura divide al ángulo A
Dos ángulos externos de un triángulo miden 120° y 130°. Cuánto miden los tres ángulos del
triángulo
La bisectriz del ángulo recto de un triángulo rectángulo forma con la bisectriz de un ángulo agudo,
un ángulo de 110°. ¿Cuánto miden los ángulos agudos del triángulo?
Dibujo un triángulo equilátero de 4 cm de lado; después, sobre cada lado construye otro triángulo
equilátero. ¿Qué figura resulta? ¿por qué?
En un triángulo rectángulo la bisectriz de un ángulo agudo forma con el cateto opuesto un ángulo
de 120°. ¿Cuánto valen los ángulos agudos del triángulo?
Uno de los ángulos exteriores de un triángulo mide 120°, y uno de los interiores no adyacentes es
el triple del otro. Cuánto miden los tres ángulos del triángulo?
El ángulo exterior del opuesto a la base de un triángulo isósceles mide 130°. ¿Cuánto mide el
ángulo obtuso formado por las bisectrices de los ángulos de la base?
Cuánto suman los dos ángulos adyacentes a los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulos?
El perímetro de un triángulo isósceles es de 30m y la base mide 600cm. Cuánto miden cada lado
del triángulo?
La base de un triángulo isósceles mide 4 m menos que el lado igual y el perímetro es 32m.
¿Cuánto mide cada lado del triángulo?
Un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es 4 veces mayor que el otro. ¿Cuánto miden los
ángulos agudos de dicho triángulo?
¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo en el que el ángulo A es doble de B y la tercera parte
de C?
GRAFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Trace tres círculos goniométricos y trace en uno de ellos para un ángulo agudo el segmento
trigonométrico del seno, en otro segmento del seno, en otro el del coseno y en el otro el de la
tangente
Grafique cada una de las funciones trigonométricas analice cada una de ellas determinando
rango, cuadrante donde es +, donde es -, que valores no toma la función, por qué?
IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Demuestre las siguientes identidades
1. Cscx =(secx+cscx)/(1+tgx)
2. Sec2xcsc2x =sec2xcsc2x
2. 1/(secx-tanx)=secxtggx
4. Tg4+tg2x=sec4x-sec2x
Halle el valor de las siguientes ecuaciones trigonométricas :
1. Sec2x +4tagx=0
2. Cosx –sen2x +1=0
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON DOS VARIABLES
Calcule la distancia entre los siguientes puntos del plano y encuentre las coordenadas del punto
medio
a. (3,-4) y (0,1) b. (-1,5) y (-1,2)
c. (0,8) y ((7,0)
d. (9/2,4) y (5/3,4/5)
Halle la ecuación de la recta, sabiendo que : a. m=-4 y pasa por el punto (3,-4)
b. Pasa por los puntos (0,6) y (-4, 9)
Halle la pendiente de cada par de rectas y determine si son paralelas o perpendiculares
a.
4x+3-2y=0
y
8x-7-2y=0
b. -5x+3-y=0 y x+4+5y=0
DETERMINE SI LA CURVA CORRESPONDIENTE A UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO
GRADO CON DOS VARIABLES ES UNA CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, PARÁBOLA,
HIPÉRBOLA
a. Si el centro de una circunferencia es (3,-4), radio 8. Halle la ecuación
b. Halle el centro y radio de la circunferencia a partir de 2x2 + 2Y2 +16x -8y-40=0
c. Halle la ecuación de la parábola y grafique:
V(4,-2) y f(4,5)
V(2,6) y f(2,-3)
Halle la ecuación de la elipse si:
a. Centro en el origen, un foco en el punto (2,0) y un vértice en el punto (5,0)
b. Eje mayor mide 10cm, el eje focal es paralelo al eje x, pasa por el punto (-5,7) y su centro
es (-5,3)
d. Grafique y halle sus elementos
a. 4y2 -48x-20y=73
b. y2 +4x=0 c. 4x2+3y2+16x-6y+31=0
2
2
D, 18x -8y -108x+16y+126=0
CADA FRACASO SUPONE UN CAPÍTULO MAS EN LA HISTORIA DE NUESTRA
VIDA Y UNA LECCIÓN QUE NOS AYUDA A CRECER. NO TE DEJES DESANIMAR
POR LOS FRACASOS. APRENDE DE ELLOS Y SIGUE ADELANTE.