1. Educación

Taller Ondas Mecánicas
Fecha:
Universidad
de Pamplona
Docente:
Nombre:
Código:
Programa:
Día:
Mes:
A
Año:
Fís. Dudbil Olvasada Pabon Riaño
Grupo
B
C
D
Materia:
Nota:
E
Oscilaciones y Ondas
Departamento de
Física y Geología
Ondas mecánicas
Definición: Una onda mecánica es la propagación de una
perturbación a través de un medio.
Donde
. Así, la función de onda se puede
escribir de la siguiente manera,
Ondas transversales: Son aquellas ondas donde los
elementos del medio se desplazan en dirección
perpendicular a la dirección de propagación.
Ondas longitudinales: Son aquellas ondas donde los
elementos del medio se desplazan en dirección paralela a
la dirección de propagación.
Ondas longitudinales-transversales: Son aquellas ondas
donde los elementos del medio se desplazan de forma
circular en el medio.
(
)
(
)
La cual representa la función de onda de una curva
viajera. Donde tomamos el signo positivo (+) si la
onda se propaga hacia la izquierda y el signo negativo
(-) si la onda se propaga hacia la derecha.
Podemos concluir que la función ( )
(
)
es adecuada para describir una situación física que
no se deforma a medida que avanza en el tiempo.
Ecuación diferencial de onda
Usamos la función de onda ( )
realizando la siguiente sustitución
tanto,
( )
( )
Derivando esta función con respecto a
veces, tenemos,
Descripción matemática de una propagación
Supongamos una función de onda escrita de la siguiente
manera:
( )
( )
Que se puede representar mediante el siguiente grafico
(
),
, por
y
dos
Derivamos una vez con respecto a
( )
( )
( )
Derivamos una vez con respecto a
( )
( )
( )
Derivamos otra vez
( )
( )
Derivamos otra vez
( )
( )
( )
( )
Igualamos estas dos expresiones anteriores para
obtener
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Facultad de Ciencia Básicas
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)
(
( (
)
, tenemos,
(
)
( (
)
)
( (
)
Despejando y ordenando,
(
)
(( (
)
)
)
)
Esta expresión nos dice que la cantidad
corresponde al periodo espacial de la función de
onda, conocida como longitud de onda,
Podemos
obtener:
Como
combinar
y
algunas
Oscilaciones y Ondas
Departamento de
Física y Geología
expresiones
tenemos,
)
Ahora bien, usando las relaciones anteriores la
función de onda puede tomar las siguientes formas:
(
(
)
)
(
( (
(
)
)
(
(
)
)
)
)
Problemas
)
Esta ecuación es solución de la ecuación diferencial
de onda. Donde es el número de onda,
es la
frecuencia angular y
es la fase inicial del
movimiento.
Si
E
(
Ondas mecánicas sinusoidales
Una representación matemática sencilla de una
onda, es de tipo sinusoidal, escrita de la siguiente
manera:
)
Materia:
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)
Esta última expresión recibe el nombre de ecuación
de onda unidimensional. La cual se puede
generalizar de la siguiente forma,
(⃗ )
(⃗ )
(
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(
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para
[1] Distinguir entre (a) las palabras homogéneo y
heterogéneo (b) las palabras isótropo y anisótropo
(c) ¿puede ser un medio homogéneo y anisótropo,
heterogéneo e isótropo?
[2] Un bote en movimiento produce ondas
superficiales en un lago tranquilo, el bote ejecuta 12
oscilaciones en 20 segundos; cada oscilación
produce una cresta de onda. La cresta de la onda
tarda 6 segundos en alcanzar la orilla distante 12 m.
calcular la longitud de onda de las ondas de
superficie.
[3] La ecuación de una cierta onda es
(
), donde x se mide en metros
y t en segundos. Hallar (a) la amplitud (b) la longitud
de onda (c) la frecuencia y (d) la velocidad de
propagación de la onda. Dibujar la onda mostrando
la amplitud y la longitud de onda.
[4] Dada la ecuación
(
),
donde x está en metros y t en segundos determinar
(a) la longitud de onda (b) la frecuencia (c) el
periodo (d) la velocidad de propagación (e) la
amplitud; y (f) la dirección de propagación Escribir
la expresión para la onda que sea idéntica pero que
se propague en sentido opuesto.
[5] Dada la onda
(
), donde
t esta en segundos y x en metros, hacer el grafico de
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, extendiendo a varias longitudes de onda, para
t=0 y t=1/60 s. Repetir el problema para
(
). Comparar resultados.
[6] Una oda armónica
(
), se
propaga hacia la derecha. Seleccionar 13 puntos
equidistantes sobre una distancia de una longitud
de onda y hacer los gráficos correspondientes a los
instantes t=0, , ,
y segundos, después de
que la onda ha alcanzado su primer punto.
[7] Suponiendo que el problema anterior
corresponda a una onda elástica transversal,
mostrar en cada grafico la velocidad en cada punto.
Hacer el grafico de la velocidad
y de aceleración
en el instante t=0 segundos.
[8] Demostrar que una onda elástica transversal
que se propaga según el eje x con un
desplazamiento
cuyas dos componentes son
(
)y
(
) esta polarizada circularmente si
.
[9] Determinar el sentido de rotación de visto por
un observador situado sobre el eje x. escribir las
expresiones de y para una polarizada opuesta.
Dada la ecuación de onda de una cuerda
(
), donde
y x están en
metros y t en segundos, contestar lo siguiente: (a)
para t=0 segundos ¿cuál es el desplazamiento para
cuando x=0.1, 0.2 y 0.3 metros? (b) para x=0.1m
¿Cuál es el desplazamiento cuando t=0.1 y 0.2
segundos? (c) ¿cuál es la ecuación de la velocidad
de oscilación de las partículas de la cuerda? ¿Cuál es
la velocidad máxima de oscilación? (d) ¿cuál es la
velocidad de propagación de la onda?
[10] En t = 0, se describe un pulso transversal en un
alambre mediante la función
donde x y y están en metros. Encuentre la función
y(x, t) que describa este pulso si viaja en la dirección
x positiva con una rapidez de 4.50 m/s.
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[11] Las olas con una distancia de cresta a cresta de
10.0 m se describen mediante la función de onda
( ) (
(
))
)
(
donde v = 1.20 m7s. a) Bosqueje y(x, t) en t =0. b)
Esboce y(x, t) en t = 2.00 s. Compare esta grafica
con la del inciso a) y explique similitudes y
diferencias. ¿Que hizo la ola entre la descripción a)
y la b)?
[12] Dos puntos A y B en la superficie de la Tierra
están a la misma longitud y 60.0° separados en
latitud. Suponga que un terremoto en el punto A
crea una onda P que llega al punto B al viajar recta a
través del cuerpo de la Tierra con una rapidez
constante de 7.80 km/s. El terremoto también radia
una onda Rayleigh que viaja a lo largo de la
superficie de la Tierra a 4.50 km/s. a) ¿Cuál de estas
dos ondas sísmicas llega primero a B? b) ¿Cuál es la
diferencia de tiempo entre las llegadas de estas dos
ondas a B? Considere que el radio de la Tierra es de
6 370 km.
[13] Una estación sismográfica recibe ondas S y P de
un terremoto, separadas 17.3 s. Suponga que las
ondas viajaron sobre la misma trayectoria con
magnitudes de velocidad de 4.50 km/s y 7.80 km/s.
Encuentre la distancia desde el sismógrafo al
hipocentro del terremoto.
[14] La función de onda para una onda progresiva
en una cuerda tensa es (en unidades SI)
(
)
(
)
(
)
a) ¿Cuales son la rapidez y dirección de viaje de la
onda? b)
¿Cuál es la posición vertical de un elemento de la
cuerda en t = 0, x = 0.100 m? c) ¿Cuales son la
longitud de onda y frecuencia de la onda? d) ¿Cuál
es la máxima rapidez transversal de un elemento de
la cuerda?
[15] Cierta cuerda uniforme se mantiene bajo
tension constante. a) Dibuje una instantanea lateral
de una onda sinusoidal en una cuerda, como se
muestra en los diagramas del texto. b) Abajo del
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diagrama a), dibuje la misma onda en un momento
posterior de un cuarto del periodo de la onda. c)
Luego, dibuje una onda con una amplitud 1.5 veces
mayor que la onda en el diagrama a). d) A
continuacion, dibuje una onda que difiera de la del
diagrama a) solo por tener una longitud de onda 1.5
veces mayor. e) Por ultimo, dibuje una onda que
difiera del diagrama a) por tener una frecuencia 1.5
veces mayor. (Fisica seway 7E sección 16)
[16] Una onda sinusoidal viaja a lo largo de una
soga. El oscilador que genera la onda completa 40.0
vibraciones en 30.0 s. Además, dado un máximo
viaja 425 cm a lo largo de la soga en 10.0 s. ¿Cuál es
la longitud de onda de la onda?
[17] Para cierta onda transversal, la distancia entre
dos crestas sucesivas es 1.20 m, y ocho crestas
pasan un punto determinado a lo largo de la
dirección de viaje cada 12.0 s. Calcule la rapidez de
la onda.
[18]
Una
onda
se
describe
mediante
( ) (
(
)
)
donde k = 2.11 rad/m,
, x esta en
metros y t en segundos. Determine la amplitud,
longitud de onda, frecuencia y rapidez de la onda.
[19] Cuando un alambre particular vibra con una
frecuencia de 4.00 Hz, se produce una onda
transversal con longitud de onda de 60.0 cm.
Determine la rapidez de las ondas a lo largo del
alambre.
[20] La cuerda que se muestra en la figura 16.10 se
impulsa a una frecuencia de 5.00 Hz. La amplitud
del movimiento es 12.0 cm y la rapidez de la onda
es de 20.0 m/s. Además, la onda es tal que y =0 en x
=0 y t = 0. Determine a) la frecuencia angular y b) el
número de onda para esta onda. c) Escriba una
expresión para la función de onda. Calcule d) la
máxima rapidez transversal y e) la máxima
aceleración transversal de un punto sobre la cuerda.
[21] Considere la onda sinusoidal del ejemplo 16.2
con la función de onda
( ) (
(
)
)
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Física y Geología
En cierto instante, el punto A esta en el origen y el
punto B es
el primer punto a lo largo del eje x donde la onda
esta 60.0° fuera de fase con A. ¿Cual es la
coordenada de B? (Fisica seway 7E sección 16)
[22] Una onda sinusoidal se describe mediante la
función de onda
( ) (
(
)
)
donde x y y están en metros y t en segundos.
Determine para
esta onda a) la amplitud, b) la frecuencia angular, c)
el numero de onda angular, d) la longitud de onda,
e) la rapidez de onda y f) la dirección de
movimiento.
[23] a) Grafique y en función de t en x =0 para una
onda
sinusoidal
de
la
forma
( ) (
)
(
) donde
y
están en centímetros y t en segundos. b)
Determine el periodo de vibración de esta gráfica.
Argumente la comparación de su resultado con el
valor encontrado en el ejemplo 16.2.
[24] a) Escriba la expresión para y como función de
x y t para una onda sinusoidal que viaja a lo largo de
una soga en la dirección x negativa con las
siguientes características: A = 8.00 cm,
,
f = 3.00 Hz y y(0, t) = 0 en t =0. b) ¿Qué pasaría si?
Escriba la expresión para y como función de x y t
para la onda en el inciso a) si supone que y(x, 0) = 0
en el punto x = 10.0 cm.
[25] Una onda sinusoidal que viaja en la dirección -x
(hacia la izquierda) tiene una amplitud de 20.0 cm,
longitud de onda de 35.0 cm y frecuencia de 12.0
Hz. La posición transversal de un elemento del
medio en t = 0, x = 0 es y
, y el elemento
tiene en este caso una velocidad positiva. a)
Bosqueje la onda en t = 0. b) Encuentre su número
de onda angular, periodo, frecuencia angular y
rapidez de onda. c) Escriba una expresión para la
función de onda y(x, t).
[26] Una onda transversal en una cuerda se
describe mediante la función de onda
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(
)
a) Determine la rapidez y aceleracion transversales
de la cuerda en t = 0.200 s para el punto en la
cuerda ubicado en x=1.60 m. b) ¿Cuales son la
longitud de onda, periodo y rapidez de propagación
de esta onda?
[27] Una onda sinusoidal transversal en una cuerda
tiene un periodo T = 25.0 ms y viaja en la dirección x
negativa con una rapidez de 30.0 m/s. En t = 0, un
elemento de la cuerda en
x = 0 tiene una posición transversal de 2.00 cm y
viaja hacia abajo con una rapidez de 2.00 m/s. a)
¿Cuál es la amplitud de la onda? b) ¿Cuál es el
ángulo de fase inicial? c) ¿Cuál es la máxima rapidez
transversal de un elemento de la cuerda? d) Escriba
la función de onda para la onda.
[28] Una onda sinusoidal, con 2.00 m de longitud de
onda y
0.100 m de amplitud, viaja en una cuerda con una
rapidez de 1.00 m/s hacia la derecha. Al inicio, el
extremo izquierdo de la cuerda está en el origen.
Encuentre a) la frecuencia y frecuencia angular, b) el
número de onda angular y c) la función de onda.
Determine la ecuación de movimiento para
d) el extremo izquierdo de la cuerda y e) el punto en
la cuerda en x = 1.50 m a la derecha del extremo
izquierdo.
f) ¿Cuál es la máxima rapidez de cualquier punto en
la cuerda?
[29] Una onda en una cuerda se describe mediante
la función de onda
(
)
(
). a) Demuestre que un elemento de la cuerda
en x = 2.00 m ejecuta movimiento armónico. b)
Determine la frecuencia de oscilación de este punto
particular.
[30] Una onda senoidal se propaga por una cuerda
estirada en el eje x. El desplazamiento de la cuerda
en función del tiempo se grafica en la figura para
partículas en x=0 y en x =0.0900 m.
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a) Calcule la amplitud de la onda. b) Calcule el
periodo de la onda. c) Se sabe que los puntos en x=0
y x=0.0900 m están separados una longitud de
onda. Si la onda se mueve en la dirección 1x,
determine la longitud de onda y la rapidez de la
onda. d) Si ahora la onda se mueve en la dirección
2x, determine la longitud de onda y la rapidez de la
onda. e) ¿Sería posible determinar de manera
definitiva la longitud de onda en los incisos c) y d) si
no supiéramos que los dos puntos están separados
una longitud de onda? ¿Por qué?
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