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PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRE EN
El CÁLCULO DE ARMÓNICOS
Title
Registration Nº: (Abstract)
850
Empresa o entidad
CORPOELEC – Región Capital (Venezuela)1 y UCV, Facultada de Ingeniería2
Name
Héctor Briceño
1
Claudio M. Rocco S.
2
Authors of the paper
Country
e-mail
Venezuela
[email protected]
Venezuela
[email protected]
Keywords
Armónicos, incertidumbre, sensibilidad, Monte Carlo
El aumento vertiginoso en el desarrollo tecnológico ha venido acompañado de la implementación de
sistemas electrónicos, que además de proporcionar control en los procesos y aligerar las tareas diarias,
también ha introducido problemas asociados a la calidad del servicio, entre los que se destaca la generación
de armónicos (voltaje y corriente). La presencia de estos armónicos es responsables de operaciones
erráticas de equipos, circulación de corrientes por neutro hasta el punto de sobrecárgalo, operación no
deseada en protecciones, entre otros.
El siguiente trabajo intenta describir la variación que se puede presentar en cada armónico (h), a través de
la respectiva impedancia equivalente vista en un punto específico de un sistema eléctrico (|Zv,h|), mediante
un análisis de propagación de incertidumbre, utilizando para ello las ventajas que ofrece la técnica de
simulación de Monte Carlo. Además, este estudio permite obtener la función de distribución de
probabilidades empírica asociada a la salida del modelo (impedancia para cada armónico, |Zv,h|), como valor
agregado de la técnica de análisis de incertidumbre seleccionada.
El enfoque descrito se evalúa en un sistema de potencia, a la salida de una subestación de distribución de
energía eléctrica, contando con elementos en serie y derivación, los cuales son luego resumidos en un
equivalente de Thevenin para su posterior análisis. La expresión algebraica de la impedancia es común para
cada armónico en estudio, pero considera el orden (h) o frecuencia (fh) de cada armónico seleccionado.
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INTRODUCCIÓN
La creciente modernización de los equipos ha
venido acompañada de una serie de fenómenos
que hasta hace unos años no eran tomados en
cuenta, como son los armónicos presentes en un
sistema eléctrico. Sin embargo, una vez que se
comenzó a estudiarlos, los mismos eran
analizados desde un punto de vista determinista
donde la incertidumbre asociada a las
características de la red no era considerada. No
obstante, la realidad del mundo donde esta nueva
tecnología interactúa, ha orientado la revisión de
estos esquemas tradicionales, por estudios que
involucren el análisis de sensibilidad e
incertidumbre de los modelos adoptados [1] [4].
El presente trabajo ofrece una forma de realizar
estos análisis, utilizando la técnica de simulación
de Monte Carlo, la cual no sólo presenta la
cuantificación de la incertidumbre a la salida de un
modelo, sino que además proporciona una
función de distribución de probabilidades (fdp)
empírica que puede ser utilizada para iniciar otras
evaluaciones.
El tema se desarrolla en cuatro partes: la primera,
refleja el fenómeno de los armónicos, la segunda,
hace una breve descripción sobre el análisis de
sensibilidad e incertidumbre, la tercera, presenta
la técnica de simulación empleada (Monte Carlo)
y la cuarta parte ilustra la aplicación de la técnica
a un caso de estudio.
METODOLOGÍA
1. Armónicos
Es la componente sinusoidal de una onda
periódica a una frecuencia con múltiplo entero de
la frecuencia fundamental (f1 ) [6]. Por ejemplo,
una componente de frecuencia al triple de f1, es
llamada tercer armónico, 3* f1 (ver Figura N° 1).
De acuerdo con esto, en un sistema de potencia,
operando a f1, una componente armónica h es una
sinusoidal que tiene una frecuencia expresada
como [8]:
f h  h * f1
(1)
Donde:
fh: componente armónica en Hz.
h: orden del armónico (1, 2, 3, 4, …, m)
f1: frecuencia fundamental del sistema, 50 o 60
Hz.
Figura N°1. Descomposición en armónicos (series
de Fourier) de una onda distorsionada, f1 = 60 Hz
[2].
La descomposición en armónicos de una onda
distorsionada es estudiada a través de las series
de Fourier (ver Figura N° 1), enfoque matemático
que permite describir a una función periódica
como la representación de una serie infinita de
sumas de funciones senos y cosenos múltiplo de
f1 (detalles de la descomposición pueden ser
consultados en [2]).
Varios análisis aplicados al estudio de armónicos
utilizan la impedancia equivalente vista en un
punto específico de un sistema eléctrico (|Zv,h|), la
cual es obtenida mediante el cálculo de un
equivalente de Thevenin, para evaluar otros
aspectos de interés como [1] [2]:
- Cálculo de distorsión armónica total (THD) o
individual, ya que las variables de corriente y
voltaje se relacionan a través de la Ley de
Ohm con la impedancia.
- Problemas de resonancia paralela o serie
del sistema, que requieren el cálculo de
impedancia para obtener la reactancia.
- La impedancia característica, el factor de
amplificación y el diseño de filtros para
compensar corrientes de armónicos, que al
igual que al caso anterior requieren el valor
de la reactancia.
2. Análisis de sensibilidad e incertidumbre
Un modelo matemático puede considerarse una
aproximación a la realidad. En éstos se trata de
representar una o más funciones de salida
(denominadas funciones de desempeño) a través
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de relaciones funcionales entre las variables de
entrada y considerando, posiblemente, algún tipo
de simplificación. Los sistemas eléctricos no
escapan a este enfoque. Por lo general, los
modelos desarrollados consideran que las
variables de entrada (parámetros de elementos
pasivos, fuentes de energía, entre otros) se
conocen exactamente, lo cual no siempre ocurre
debido al grado de incertidumbre que éstas
presentan.
La incertidumbre es un estimado que caracteriza
el rango de valores donde se encuentra el valor
exacto y puede aparecer, entre otras cosas, por
imprecisión o por inhabilidad de poder realizar
mediciones adecuadas [5]. La incertidumbre
puede ser caracterizada de diversas maneras y
en este trabajo se considera representarla a
través de variables aleatorias con fdp conocidas.
La evaluación de cómo los efectos de la
incertidumbre afectan el rendimiento de los
sistemas puede ser analizada y calculada (ver
Figura Nº 2) con varias técnicas [4]:
2.1 Análisis de sensibilidad
Métodos que permiten comparar la importancia de
la incertidumbre de las entradas, en términos de
su contribución relativa a la incertidumbre de la
salida.
2.2 Análisis o propagación de incertidumbre
Son aquellos métodos o técnicas que permiten
calcular la incertidumbre en la salida de un
modelo, producida por la incertidumbre de las
variables de entrada.
Las técnicas de análisis de sensibilidad e
incertidumbre pueden incluir [11]:
- Análisis determinista en los que se evalúa un
modelo, variando sólo un parámetro de
entrada y manteniendo el resto constante.
- Análisis determinista en conjunto, donde el
valor de más de un parámetro es variado
simultáneamente.
- Análisis paramétrico que permiten variar uno o
varias entradas en un rango seleccionado
razonablemente, obteniéndose un límite
inferior y superior, para examinar la forma de la
respuesta.
- Análisis probabilístico usando funciones de
distribución de probabilidades y técnicas de
simulación (Monte Carlo).
Figura N°2. Propagación de incertidumbre [4].
Detalles de estas y otras técnicas así como de
métodos de cálculo pueden ser consultados en
[4].
3. Técnicas de simulación - Monte Carlo
Entre las técnicas existentes para realizar análisis
de sensibilidad e incertidumbre, se consideró el
uso de la técnica de simulación de Monte Carlo.
Ésta supone evaluar repetidamente el modelo
bajo estudio variando sistemáticamente los
valores asociados a las variables de entrada.
Cada variable de entrada es caracterizada a
través de una variable aleatoria, con fdp conocida.
Esto hace que la salida o salidas del modelo sean
consideradas a su vez como variables aleatorias
con fdp generalmente desconocida.
La técnica supone: 1) la extracción de valores
probables de cada variable de entrada (de
acuerdo con sus respectivas fdp) y 2) la
evaluación del modelo. Los pasos 1) y 2) se
repiten un número de veces prefijado por el
usuario.
Al final es posible tener una aproximación de la
fdp de la salida (o salidas) y estimar
características tales como media, varianza y, en
general, cualquier percentil de la distribución.
Una característica interesante de la técnica es
que permite la variación simultánea de las
variables de entrada. Esta situación puede
considerarse mejor ajustada a la realidad, ya que
estos modelos (aproximación a un problema),
pocas veces presentan el escenario de los
análisis tradicionales, donde sólo se varía un
parámetro a la vez, mientras que los demás
permanecen constantes en un valor nominal.
Adicionalmente es posible considerar posibles
efectos de correlación entre las variables de
entrada (por ejemplo, variaciones debidas a
efectos de temperatura).
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Entre sus principales desventajas se encuentran
el posible elevado costo computacional requerido
para estimar adecuadamente la fdp de la salida.
En general, la simulación se detiene cuando se
alcanza un error predeterminado para alguna
característica de la fdp empírica (generalmente la
media),
4. Caso de estudio
El sistema eléctrico analizado, corresponde a la
salida de una subestación de distribución de
energía eléctrica, que posee elementos en serie y
derivación (ver Figura Nº 3 y 4), los cuales son
descritos más adelante. Las ecuaciones (2) y (3)
presentan el modelo que relaciona las entradas
(resistencias y reactancias) con la salida (|Zv,h|),
siendo ésta la impedancia vista en el punto “v” del
sistema eléctrico.
Z v,h  Rv ,h  jX v ,h
Z v ,h  ( Rv ,h ) 2  ( X v ,h ) 2
( 2)
(3)
Las expresiones respectivas para calcular la
resistencia (Rv,h) y la reactancia (Xv,h) de acuerdo
al orden del armónico (h), se encuentran en los
apéndices.
Aplicando la técnica de simulación de Monte Carlo
(10,000 muestras) en conjunto con las ecuaciones
(3), (4) y (5), y suponiendo incertidumbre del
+ 20 % con respecto al valor base, modelada a
través de fdp uniformes e independientes, se
obtuvo la incertidumbre asociada a |Zv,h| . La
Tabla Nº1 presenta el promedio de |Zv,h|, los
límites inferior y superior (correspondientes a los
percentiles 0 y 100) y el % máximo de variación
(desviación) entre el valor promedio y la máxima
diferencia con cualquiera de los límites, para
varios valores de h.
Tabla N°1. Resultados de la simulación para |Zv,h|
Límite
Límite % max. de
h
|Zv,h|
inferior superior variación
1 0.882
0.724
1.039
17.9
3 2.484
2.003
2.998
20.7
5 4.497
3.529
5.681
26.4
7 7.398
5.475
10.427
40.9
Figura N°3. Modelo de un sistema eléctrico [10]
A manera de ejemplo, la Figura Nº 4 muestra la
fdp empírica asociada a |Zv,5|.
Figura N°4. Circuito equivalente [10].
Los parámetros del sistema son:
h*Xkq= h * 0.05 %
Rl110= 0.012 %
h*Xl110= h*0.033 %
Rt = 0.01 %
h*Xt= h*0.5 %
h= orden del armónico
% en MVA
Pn= 4 MW
Rn= 100/Pn %
Qc= 1.2 MVA
Xc/h= -100/(h*Qc) %
Rl10= 0.384 %
h*Xl10= h*0.19 %
Figura N°5. Histograma (fdp empírica) de |Zv,5|.
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CONCLUSIONES
Assessing Scientific Models, John Wiley & Sons
Ltd, England, 2004.
[5] L. V. Kolev, Interval Methods for Circuit
Analysis, World Scientific Publishing Co., USA,
1993.
[6] Norma Técnica Venezolana COVENIN
3842:2004, Control de Armónicos en Sistemas
Electricos, Venezuela, 2004.
[7] A. Greenwood, Electrical Transients in Power
Systems. Second Edition, John Wiley & Sons, Inc,
Canada, 1991.
[8]
ANSI/
IEEE
Std
519-1992,
IEEE
Recommended Practice and Requirements for
Harmonic Control in Electric Power Systems,
USA, 1992.
[9] C.M.Rocco, N. Guarata “The Use of Interval
Arithmetic as an Alternative Method to Evaluate
Uncertainty in Input-Output Models”.
[10] C.M. Rocco. “Interval Methods Applied to
Variability Analysis of Power Systems”, Upec’98,
Edinburg, 1998.
[11] C.M. Rocco, J.A. Moreno, Carrasquero N.
“Robust Design Using a Hybrid-CellularEvolutionary and Interval-Arithmetic Approach: A
Reliability Application”. Reliability Engineering and
System Safety, 2003, 79/2 pp. 149-159.
El presente trabajo analiza cómo la incertidumbre
asociada a los elementos de un sistema eléctrico
de distribución afecta la impedancia vista por la
fuente de armónicos.
El análisis se basa en el uso de la técnica de
simulación de Monte Carlo. La aplicación
presentada determinó las fdp empíricas de la
impedancia vista por la fuente del armónico |Zv,h|,
para los armónicos, h= 1, 3, 5 y 7. De aquí es
posible cuantificar los valores extremos (límites
inferiores y superiores) y la máxima variación que
puede presentarse en el cálculo de |Zv,1 | (26.4 %
para h= 5).
BIBLIOGRAFÍA
[1] T. A. Short, Electric Power Distribution, CRC
Press LLC, USA, 2005.
[2] M. McGranaghan, R. Dugan, W. Beaty,
Electrical Power Systems Quality, McGraw-Hill
Books, Second Edition, 2004.
[3] M. Granger, M. Henrion, Uncertainty,
Cambridge University Press, USA, 1993.
[4] A. Saltelli, S. Tarantola, F. Campolongo, M.
Ratto, Sensitivity Analysis in Practice: A Guide to
APÉNDICES
Expresiones para calcular la resistencia (Rv,h ) y la reactancia (Xv,h) de acuerdo al orden del armónico (h):
Rl110  Rt
2
Rv, h 
( Rl110  Rt )  ( h * Xkq  h * Xl110  h * Xt )
2

1
Rn
2

Rl110  Rt
1  
h * Xkq  h * Xl110  h * Xt
h 




 ( Rl  Rt ) 2  ( h * Xkq  h * Xl  h * Xt ) 2 Rn   ( Rl  Rt ) 2  ( h * Xkq  h * Xl  h * Xt ) 2 Xc 
110
110
 110
  110

h * Xkq  h * Xl110  h * Xt
X v, h 
( Rl110  Rt ) 2  (h * Xkq  h * Xl110  h * Xt ) 2
2

2
 Rl10
2
 h * Xl10
h
Xc

Rl110  Rt
1  
h * Xkq  h * Xl110  h * Xt
h 




 ( Rl  Rt ) 2  (h * Xkq  h * Xl  h * Xt ) 2 Rn   ( Rl  Rt ) 2  ( h * Xkq  h * Xl  h * Xt ) 2 Xc 
110
110
 110
  110

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