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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Docente: Manuel Salgado
Celular: 315 2 816069
Maximizar: Para maximizar cuando hay resultados no negativos a la derecha se realizan los siguiente pasos:





Igualar la función objetivo a cero expresando Z positivo.
Deshacer las desigualdades introduciendo variables de holgura para expresar las ecuaciones
Armar la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones
Resaltar la columna debajo del coeficiente más negativo de la función objetivo Z
Excepto en la fila de la función objetivo Z, dividir cada coeficiente de la columna anteriormente resaltada
entre los resultados de la correspondiente fila y seleccionar como fila pivote aquella que arroje el menor
cociente.
 Obtener uno en el pivote (intersección fila columna) y con base en éste obtener ceros en el resto de la
columna.
 Repetir el anterior procedimiento hasta que no se observen números negativos en la función objetivo.
Minimizar: Para minimizar cuando hay resultados no negativos a la derecha se realizan los siguientes
pasos:





Igualar la función objetivo a cero expresando Z negativo ( - Z).
Deshacer las desigualdades introduciendo variables de holgura para expresar las ecuaciones
Armar la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones
Resaltar la columna debajo del coeficiente más positivo de la función objetivo Z
Excepto en la fila de la función objetivo Z, dividir cada coeficiente de la columna anteriormente resaltada
entre los resultados de la correspondiente fila y seleccionar como fila pivote aquella que arroje el menor
cociente.
 Obtener uno en el pivote (intersección fila columna) y con base en éste obtener ceros en el resto de la
columna.
 Repetir el anterior procedimiento hasta que no se observen números positivos en la función objetivo
1) Pagina 16 resuelto en la 35 del Lieberman
Planta
1
2
3
Capacidad
Usada (%)
1
0
0
2
3
2
$3
$5
Expresando e introduciendo
variables de holgura
Z - 3 X1 - 5 X2 = 0
X1 + X3 = 4
2 X2 + X4 = 12
3 X1 + 2 X2 + X5 = 18
Problema
Maximizar:
Sujeta a:
Capacidad
Disponible (%)
4
12
18
Z = 3 X 1 + 5 X2
X1 ≤ 4
2 X2 ≤ 12
3 X1 + 2 X2 ≤ 18
X1 , X 2 ≥ 0
Z
X1
X2
X3
X4
X5
Resultado
Pivote
Operación
1
-3
-5
0
0
0
0
Más negativo
0
1
0
1
0
0
4
0
0
2
0
1
0
12
12/2=6 menor
0
3
2
0
0
1
18
18/2=9
1
-3
-5
0
0
0
0
f1 = 5 f 3 + f1
0
1
0
1
0
0
4
f4 = - 2 f 3 + f 4
0
0
1
0
1/2
0
6
0
3
2
0
0
1
18
1
-3
0
0
5/2
0
30
Más negativo
0
1
0
1
0
0
4
4/1=4
0
0
1
0
1/2
0
6
0
3
0
0
-1
1
6
1
-3
0
0
5/2
0
30
f1 = 3 f 4 + f1
0
1
0
1
0
0
4
f2 = - f 4 + f2
0
0
1
0
1/2
0
6
0
1
0
0
-1/3
1/3
2
1
0
0
0
3/2
1
36
0
0
0
1
1/3
-1/3
2
Z = 36
X3 = 2
0
0
1
0
1/2
0
6
X1 = 2
X4 = 0
0
1
0
0
-1/3
1/3
2
X2 = 6
X5 = 0
f3 = f 3 / 2
f4= f4 /3
6/3=2 menor
Respuestas
2) Resolver:
Expresando e introduciendo
variables de holgura
Z - 2 X1. + 4 X2 - 5 X3 + 6 X4 = 0
X1 + 4 X2 - 2 X3 + 8 X4 + X5 = 2
- X1 + 2 X2 + 3X3 + 4 X4 + X6 = 1
Problema
Maximizar:
Z = 2 X1. - 4 X2 + 5 X3 – 6 X4
X1 + 4 X 2 - 2 X3 + 8 X 4 ≤ 2
- X1 + 2 X2 + 3X3 + 4 X4 ≤ 1
X1 , X 2 ≥ 0
Sujeta a:
Z
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Resultado
Pivote
Operación
1
-2
4
-5
6
0
0
0
Más negativo
f3 = f 3 / 3
0
1
4
-2
8
1
0
2
No uso el -
0
-1
2
3
4
0
1
1
Pivote
1
-2
4
-5
6
0
0
0
f1 = 5 f 3 + f1
0
1
4
-2
8
1
0
2
f2 = 2 f 3 + f2
0
-1/3
2/3
1
4/3
0
1/3
1/3
1
-11/3
22/3
0
38/3
0
5/3
5/3
Más negativo
0
1/3
16/3
0
32/3
1
2/3
8/3
Pivote
0
-1/3
2/3
1
4/3
0
1/3
1/3
No uso el -
1
-11/3
22/3
0
38/3
0
5/3
5/3
f1 = (11/3) f2 + f1
0
1
16
0
32
3
2
8
f3 = (1/3) f2 + f3
0
-1/3
2/3
1
4/3
0
1/3
1/3
1
0
66
0
130
11
9
31
0
1
16
0
32
3
2
0
0
6
1
12
1
1
f2 = f2 /(1/ 3)
Z = 31
8
Respuestas
X1 = 8
X4 = 0
3
X2 = 0
X5 = 0
X3 = 3
X6 = 0
3) Un agricultor dispone de aproximadamente 150 acres de tierra fértil para los cultivos A y B. El costo de A
es de $40 el acre, mientras que el cultivo de B cuesta $60 el acre. El agricultor tiene un máximo de $7400
disponibles para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo A necesita 20 horas de trabajo y cada acre del
cultivo B, 25. El agricultor dispone de un máximo de 3300 horas de trabajo. Si espera lograr una ganancia de
$150 por acre del cultivo A y $200 por acre del cultivo B, ¿cuántos acres de cada cultivo debe plantar para
maximizar su ganancia?
Expresando e introduciendo
variables de holgura
Z = 150 X1 + 200 X2
Z - 150 X1 - 200 X2 = 0
40 X1 + 60 X2 ≤ 7400
40 X1 + 60 X2 + X3 = 7400
20 X1 + 25 X2 ≤ 3300
20 X1 + 25 X2 + X4 = 3300
X1 , X 2 ≥ 0
X1 , X 2 ≥ 0
X1: Número hectáreas del cultivo A
X2: Número hectáreas del cultivo B
Problema
Maximizar:
Sujeta a:
Definir las variables
Z
X1
X2
X3
X4
Resultado
Pivote
Operación
1
- 150
- 200
0
0
0
Más negativo
0
40
60
1
0
7400
7400/60 = 123.3 menor
0
20
25
0
1
3300
3300/25 = 132
1
- 150
- 200
0
0
0
f1= 200 f2 + f1
0
2/3
1
1/60
0
370/3
f3= - 25 f2 + f3
0
20
25
0
1
3300
1
- 50/3
0
10/3
0
74000/3
Más negativo
0
2/3
1
1/60
0
370/3
(370/3)/(2/3) = 185
0
10/3
0
-5/12
1
650/3
(650/3)/(10/3)=65 menor
1
- 50/3
0
10/3
0
74000/3
f1= 50/3 f3 + f1
0
2/3
1
1/60
0
370/3
f2= - 2/3 f3 + f2
0
1
0
- 1/8
3/10
65
1
0
0
5/4
5
25750
Respuestas
Z = 25750
0
0
1
1/10
- 1/5
80
X 1 = 65
X3 = 0
0
1
0
- 1/8
3/10
65
X 2 = 80
X4 = 0
f2 = f2 / 60
f3= f3 / 10/3
4) Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales
fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se han vendido dos modelos, de manera que se limitará a
producir éstos. Estima que el modelo I requiere 2 unidades de madera y 7 horas del tiempo disponible,
mientras el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son $120 y $80,
respectivamente. ¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la
venta?
Expresando e introduciendo
variables de holgura
Z = 120 X1 + 80 X2
Z - 120 X1 - 80 X2 = 0
2 X1 + X 2 ≤ 6
2 X1 + X 2 + X 3 = 6
7 X1 + 8 X2 ≤ 28
7 X1 + 8 X2 + X4 = 28
X1 , X 2 ≥ 0
X1 , X 2 ≥ 0
X1: Cantidad de unidades del modelo I
X2: Cantidad de unidades del modelo II
Problema
Maximizar:
Sujeta a:
Definir las variables
Borrar
Problema
Maximizar:
Sujeta a:
Z = 3 X 1 + 5 X2
X1 ≤ 4
2 X2 ≤ 12
3 X1 + 2 X2 ≤ 18
X1 , X 2 ≥ 0
Expresando e introduciendo
variables de holgura
Z - 3 X1 - 5 X2 = 0
X1 + X3 = 4
2 X2 + X4 = 12
3 X1 + 2 X2 + X5 ≤ 18
5) Ejercicio numeral b) de la página 72 del Taha.
Expresando e introduciendo
variables de holgura
0 = - Z + X1 + 2 X2 - 3 X3 – 2 X4
X1 + 2 X 2 - 3 X 3 + 4 X 4 = 4
X1 + 2 X2 + X3 + 2 X4 = 4
Problema
Minimizar:
Sujeta a:
Z = X1 + 2 X2 - 3 X3 – 2 X4
X1 + 2 X 2 - 3 X 3 + 4 X 4 = 4
X1 + 2 X2 + X3 + 2 X4 = 4
X1 , X 2 ≥ 0
Hay 5 incógnitas y 3 ecuaciones por lo que existen 2 grados de libertad.
Z
X1
X2
X3
X4
Resultado
Pivote
Operación
-1
1
2
-3
-2
0
Más positivo
f2 = f2 / 2
0
1
2
-3
4
4
4/2=2 Pivote
0
1
2
1
2
4
4/2=2
-1
1
2
-3
-2
0
0
1/2
1
- 3/2
2
2
0
1
2
1
2
4
-1
0
0
0
-6
-4
Respuestas
Z=4
0
1/2
1
- 3/2
2
2
X1 = 0
X3 = 0
0
0
0
4
-2
0
X2 = 2
X4 = 0
f1 = - 2 f 2 + f 1
f3 = - 2 f 2 + f 3
Teniendo en cuenta que había la posibilidad de otro pivote se hace la prueba con el otro:
Z
X1
X2
X3
X4
Resultado
Pivote
Operación
-1
1
2
-3
-2
0
Más positivo
f3 = f3 / 2
0
1
2
-3
4
4
4/2=2
0
1
2
1
2
4
4/2=2 Pivote
-1
1
2
-3
-2
0
0
1
2
-3
4
4
0
1/2
1
1/2
1
2
-1
0
0
-4
-4
-4
Respuestas
Z=4
0
0
0
-4
2
0
X1 = 0
X3 = 0
0
1/2
1
1/2
1
2
X2 = 2
X4 = 0
f1 = - 2 f 3 + f 1
f2 = - 2 f 3 + f 2
Se observa que el resultado es el mismo y que no se avanza más porque no hay más positivos en la función
objetivo.
También se puede revisar que sucede si se toma el menos positivo.
Z
X1
X2
X3
X4
Resultado
Pivote
Operación
-1
1
2
-3
-2
0
Menos positivo
0
1
2
-3
4
4
4/1=4 Pivote
f1 = - f 2 + f 1
f3 = - f 2 + f 3
0
-1
0
1
0
1
2
0
2
1
0
-3
2
-6
4
4
-4
4
4/1=4
Respuestas
X1 = 4
Z=4
X3 = 0
0
0
0
4
-2
0
X2 = 0
X4 = 0
Teniendo en cuenta que había la posibilidad de otro pivote se hace la prueba el con menos positivo pero
con otro pivote:
Z
X1
X2
X3
X4
Resultado
Pivote
Operación
-1
1
2
-3
-2
0
Menos positivo
f1 = - f 3 + f 1
0
1
2
-3
4
4
4/1=4
f2 = - f 3 + f 2
0
-1
0
1
0
0
2
0
0
1
-4
-4
2
-4
2
4
-4
0
4/1=4 Pivote
Respuestas
X1 = 4
Z=4
X3 = 0
0
1
2
1
2
4
X2 = 0
X4 = 0
Se observa que el resultado es el mismo y que no se avanza más porque no hay más positivos en la función
objetivo
4) Página 202 del Lieberman
Maximizar:
Sujeta a:
MINIMIZAR
2Z = - 9 X1 - 14 X2 – 5 X5 = 90
X1 + X3 = 4
3 X1 + 4 X2 + X5 = 18
- 3 X1 - X2 + X4 – X5 ≤ 6
X1 , X 2 ≥ 0
Introduciendo
variables de holgura
5) Resolver
Expresando e introduciendo
variables de holgura
- Z + 4 X1 + X2 = 0
3 X1 + X 2 = 3
4 X1 + 3 X2 - X3 = 6 (no negativo)
X1 + 2 X 2 + X 4 = 4
Problema
Minimizar:
Z = 4 X1 + X2
3 X1 + X 2 = 3
4 X1 + 3 X 2 ≥ 6
X1 + 2 X 2 ≤ 4
X1 , X 2 ≥ 0
Sujeta a:
Z
X1
X2
X3
X4
Resultado
Pivote
Operación
-1
4
1
0
0
0
Más negativo
f1 = - 4 f 4 + f 1
0
3
1
0
0
3
0
4
3
-1
0
6
6/4=1.5
0
1
2
0
1
4
4/1=4 mayor
-1
0
-7
0
-4
- 16
f2 = - f 2
0
0
-5
0
-3
9
f3 = - f 3
0
0
0
1
-5
2
-1
0
-4
1
- 10
4
-1
0
-7
0
-4
- 16
0
0
0
0
0
1
5
5
2
0
1
0
3
4
1
9
10
4
-1
0
-7
0
-4
- 16
f1 = 7 f 2 + f 1
0
0
1
0
3/5
9/5
f3 = - 5 f 2 + f 3
0
0
5
1
4
10
f4 = - 2 f 2 + f 4
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1/5
3/5
1
- 1/5
4
- 17/5
9/5
1
2/5
f2 = - 3 f 4 + f 2
f3 = - 4 f 4 + f 3
f2 = f 2 / 5
Respuestas
Z = 17/5
X3 = 1
X1 = 2/5
X4 = 0
X2 = 9/5
6) Alumna Liliana
Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas.
Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar
sus ingresos. Se dispone de 400 horas de trabajo y 110 horas para revisión. Una auditoría en promedio
requiere de 20 horas de trabajo directo y 5 horas de revisión, además aporta un ingreso de 150.000 pesos.
Una liquidación de impuesto requiere de 4 horas de trabajo directo y de 2 horas de revisión, produce un
ingreso de 300.000. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 80
X1
X2
Valor hora de Auditoria
Valor hora de Liquidación
Auditoria:
Liquidación:
20 horas de trabajo directo + 5 horas para revisión = 150 000
4 X1 + 2 X2 = 300 000
X1: Número de Auditorias
X2: Número de Liquidaciones
X2 ≤ 80
X1: Horas de trabajo
X2: Horas para revisión
Auditoria:
Liquidación:
20 X1 + 5 X2 = 150 000
4 X1 + 2 X2 = 300 000
20 X1 + 5 X2 ≤ 400
Problema
Maximizar:
Sujeta a:
Z = 4 X1 + X2
3 X1 + X2 = 3
4 X1 + 3 X 2 ≥ 6
X1 + 2 X 2 ≤ 4
X1 , X 2 ≥ 0

Expresando e introduciendo
variables de holgura
- Z + 4 X1 + X2 = 0
3 X1 + X2 = 3
4 X1 + 3 X2 - X3 = 6 (no negativo)
X1 + 2 X 2 + X 4 = 4
Ver

Edición

Enlaces

Historia
Wiki: Modelemos un problema de investigación de operaciones
Solucion:
Auditores = Liquidaciones / Auditorias = empresas pequeñas.
¿ cuantas auditorias y liquidaciones = al mes = maximizar ingresos..
400 horas = trabajo.
110 horas = revision.
Auditoria Promedio = 20 horas = trabajo = directo.
5 horas = revision.
Ingreso = $ 150.000 pesos.
Liquidacion de impuesto = 4 horas = trabajo = directo.
2 horas = revision.
Ingreso = $ 300.000.
Max de liquidaciones disponibles = 80..
En conclusion :
400 +110 = 510 h.
$ 150.000 / 25 horas = $ 6.000 / h.
$ 300.000 / 6 horas = $ 50.000 / h. / 80 = $ 625 / minuto..
Alumna Leidy Triviño
Página 285 scaner
Graficar el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de desigualdades:
a
2x + 3y > - 6
3x – y < 6
Despejando y en 2 x  3 y  6 tenemos: y 
 6  2x
3