1. No category

4.6 Método de Newton
a. Explique por qué es suficiente considerar valores de x en el intervalo [0, 2p].
62. La derivada dtydx del ejemplo 4
a. Demuestre que
ƒsxd =
225
b. ¿Es f negativa en algún punto? Explique.
x
65. a. La función y = cot x - 22 csc x tiene un valor máximo absoluto
en el intervalo 0 , x , p. Encuéntrelo.
2a2 + x2
es una función creciente de x.
T b. Grafique la función y compare lo que ve con la respuesta que dio
en el inciso (a).
b. Pruebe que
g sxd =
66. a. La función y 5 tan x 1 3 cot x tiene un valor mínimo absoluto en
el intervalo 0 , x , py2. Encuéntrelo.
d - x
2b2 + sd - xd2
T b. Grafique la función y compare lo que ve con la respuesta que dio
es una función decreciente de x.
en el inciso (a).
c. Demuestre que
dt
d - x
x
=
2
2
2
dx
c1 2a + x
c2 2b + sd - xd2
es una función creciente de x.
67. a. ¿Qué tan cerca está la curva y = 2x del punto (3y2, 0)? (Sugerencia: Si minimiza el cuadrado de la distancia, puede evitar las
raíces cuadradas).
T b. Grafique juntas la función distancia D(x) y y = 2x luego ajuste
sus resultados con la respuesta que obtuvo en el inciso (a).
63. Sean f (x) y g(x) funciones derivables cuyas gráficas aparecen aquí.
El punto c es el punto donde la distancia vertical entre las curvas es
mayor. ¿Hay algo especial en las tangentes a las dos curvas en c?
Justifique su respuesta.
y
(x, 兹x)
y 兹x
y f(x)
y g(x)
0
a
c
b
x
64. Le han pedido determinar si la función f (x) 5 3 1 4 cos x 1 cos 2x
es negativa en algún punto.
4.6
⎛ 3, 0⎛
⎝2 ⎝
x
68. a. ¿Qué tan cerca está la semicircunferencia y = 216 - x2 del
punto A 1, 23 B ?
T b. Grafique juntas la función distancia y = 216 - x2 luego ajuste
sus resultados con la respuesta que obtuvo en el inciso (a).
Método de Newton
En esta sección estudiamos un método numérico, denominado método de Newton o método de
Newton-Raphson, el cual es una técnica para aproximar la solución de una ecuación f(x) 5 0.
En esencia, utiliza rectas tangentes en vez de la gráfica de y 5 f(x) cerca de los puntos donde
f es cero. (Un valor de x donde f es cero es una raíz de la función f y una solución de la
ecuación f(x) 5 0).
Procedimiento para el método de Newton
El objetivo del método de Newton para la estimación de una solución de la ecuación f (x) 5 0
es producir una sucesión de aproximaciones que tiendan a la solución. Seleccionamos el primer número x0 de la sucesión. Luego, en circunstancias favorables, el método hará el resto al
ir paso a paso hacia un punto donde la gráfica de f cruza al eje x (figura 4.41). En cada paso,
el método aproxima un cero de f con un cero de una de sus linealizaciones. A continuación
veremos cómo funciona.
La estimación inicial x0 puede determinarse mediante graficación o con una simple conjetura. Entonces, el método utiliza la tangente a la curva y 5 f(x) en (x0, f(x0)) para aproximar
la curva, denotando por x1 al punto donde la tangente corta al eje x (figura 4.41). Por lo regular,
226
Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
y
el punto x1 es una mejor aproximación a la solución que x0. El punto x2, donde la tangente a
la curva en (x1, f(x1)) cruza al eje x, es la siguiente aproximación en la sucesión. Continuamos
así, usando cada aproximación para generar la siguiente, hasta que estemos suficientemente
cerca de la raíz para detenernos.
Es posible deducir una fórmula para generar las sucesivas aproximaciones de la siguiente
manera. Dada la aproximación xn, la ecuación punto pendiente para la tangente a la curva en
(xn, f (xn)) es
y f(x)
(x0, f(x0))
y = ƒsxn d + ƒ¿sxn dsx - xn d.
(x1, f(x1))
Podemos determinar dónde cruza el eje x si hacemos y 5 0 (véase la figura 4.42):
0 = ƒsxn d + ƒ¿sxn dsx - xn d
(x2, f(x2))
Raíz
buscada
0
ƒsxn d
x3 x2
Cuarta Tercera
-
x
x1
x0
Segunda Primera
FIGURA 4.41 El método de Newton
comienza con una aproximación inicial x0
y (en circunstancias favorables) en cada
paso mejora la aproximación.
ƒsxn d
ƒ¿sxn d
Si f 9(xn) Z 0.
Este valor de x es la siguiente aproximación xn11. A continuación hacemos un resumen del
método de Newton.
Método de Newton
1. Conjeture una primera aproximación a la solución de la ecuación f(x) 5 0. Una
gráfica de y 5 f(x) será de utilidad.
2. Utilice la primera aproximación para obtener una segunda, con ésta obtenga una
tercera, y así sucesivamente, mediante la fórmula
y
y f(x)
Punto: (xn, f(xn))
Pendiente: f'(xn)
Ecuación de la recta tangente:
y f(xn) f'(xn)(x xn)
xn + 1 = xn -
Recta tangente
(gráfica de la
linealización
de f en xn)
Raíz buscada
ƒsxn d
ƒ¿sxn d
,
si ƒ¿sxn d Z 0.
(1)
Aplicación del método de Newton
xn
0
xn1 xn = x - xn
x = xn -
APROXIMACIONES
(xn, f(xn))
ƒ¿sxn d
x
f(xn)
f '(xn)
FIGURA 4.42 La geometría de los pasos
consecutivos del método de Newton. A partir
de xn subimos a la curva y seguimos la recta
tangente hacia abajo para determinar xn11.
Por lo general, las aplicaciones del método de Newton implican muchos cálculos numéricos, lo
que las hace muy adecuadas para computadoras o calculadoras. No obstante, los cálculos, aun
cuando se hagan manualmente (lo cual podría ser muy tedioso), constituyen una muy buena
forma de determinar soluciones de ecuaciones.
En nuestro primer ejemplo determinamos aproximaciones decimales a 22 estimando la
raíz positiva de la ecuación f(x) 5 x 2 2 2 5 0.
EJEMPLO 1
Determine la raíz positiva de la ecuación
ƒsxd = x2 - 2 = 0.
Solución
Con f(x) 5 x 2 2 2 y f 9(x) 5 2x, la ecuación (1) se transforma en
xn + 1 = xn -
xn 2 - 2
2xn
= xn -
xn
1
+ xn
2
=
xn
1
+ xn .
2
4.6 Método de Newton
La ecuación
y
20
xn + 1 =
y x3 x 1
xn
1
+ xn
2
nos permite ir de una aproximación a la siguiente con unos cuantos tecleos. Con el valor inicial
x 0 5 1, obtenemos los resultados de la primera columna de la tabla que aparece a continuación.
(Con cinco cifras decimales, 22 = 1.41421.)
15
10
5
Error
0
–1
227
1
2
x
3
x0
x1
x2
x3
FIGURA 4.43 La gráfica de f (x) 5
x3 2 x 2 1 cruza una vez al eje x; ésta es la
raíz que queremos encontrar (ejemplo 2).
(1.5, 0.875)
-0.41421
0.08579
0.00246
0.00001
1
1
3
5
EJEMPLO 2
Determine la coordenada x del punto donde la curva y 5 x3 2 x cruza a la recta
horizontal y 5 1.
Raíz buscada
x1
x2
1
1
1.5
1.41667
1.41422
El método de Newton es el método utilizado por la mayoría de las calculadoras para calcular raíces, ya que converge muy rápido (veremos más acerca de esto posteriormente). Si la aritmética en la tabla del ejemplo 1 hubiera llevado 13 cifras decimales en vez de 5, entonces con
un paso más hubiéramos obtenido 22 con más de 10 cifras decimales correctas.
y x3 x 1
x0
=
=
=
=
Número de
dígitos correctos
x
1.5
1.3478
(1, –1)
FIGURA 4.44 Los primeros tres valores de
x en la tabla 4.1 (con cuatro decimales).
La curva cruza a la recta cuando x3 2 x 5 1 o x3 2 x 2 1 5 0. ¿Cuándo es f (x) 5
2 x 2 1 igual a cero? Como f(1) 5 21 y f(2) 5 5, sabemos, por el teorema del valor intermedio, que existe una raíz en el intervalo (1, 2) (figura 4.43).
Aplicamos el método de Newton a f con el valor inicial x0 5 1. Los resultados se presentan en la tabla 4.1 y la figura 4.44.
En n 5 5, llegamos al resultado x6 5 x5 5 1.3247 17957. Cuando xn11 5 xn, la ecuación (1) indica que f(xn) 5 0. Hemos encontrado una solución de f(x) 5 0 con nueve
decimales.
Solución
x3
TABLA 4.1 El resultado de la aplicación del método de Newton a f(x) 5 x3 2 x 2 1
con x0 5 1
y
n
xn
ƒ(xn)
ƒⴕ(xn)
xnⴙ1 ⴝ xn ⴚ
0
1
2
3
4
5
1
1.5
1.3478 26087
1.3252 00399
1.3247 18174
1.3247 17957
-1
0.875
0.1006 82173
0.0020 58362
0.0000 00924
-1.8672E-13
2
5.75
4.4499 05482
4.2684 68292
4.2646 34722
4.2646 32999
1.5
1.3478 26087
1.3252 00399
1.3247 18174
1.3247 17957
1.3247 17957
25
ƒsxn d
ƒ¿sxn d
B0(3, 23)
20
y x3 x 1
15
10
B1(2.12, 6.35)
5
–1兾兹3
–1
0
Raíz buscada
1兾兹3
x2 x1
1
1.6 2.12
x0
x
3
FIGURA 4.45 Cualquier valor inicial x0 a la
derecha de x = 1> 23 llevará a la raíz.
En la figura 4.45 indicamos que el proceso en el ejemplo 2 podría haber iniciado en el
punto B0(3, 23) en la curva, con x0 5 3. El punto B0 está muy lejos del eje x, pero la tangente
en B0 cruza al eje x alrededor de (2.12, 0), así que x1 sigue siendo mejor que x0. Si, como antes, utilizamos la ecuación (1) de manera repetida con f(x) 5 x3 2 x 2 1 y f 9(x) 5 3x2 2 1,
obtendremos la solución con nueve decimales, x7 5 x6 5 1.3247 17957 en siete pasos.
228
Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
Convergencia de las aproximaciones
y
y f(x)
r
0
x0
x1
x
En el capítulo 10 definiremos de manera precisa la idea de convergencia para las aproximaciones xn en el método de Newton. De manera intuitiva, queremos decir que cuando el número
n de aproximaciones aumenta, el valor xn se hace arbitrariamente cercano a la raíz deseada r.
[Esta noción es similar a la idea del límite de una función g(t) cuando t tiende a infinito, como
se definió en la sección 2.6].
En la práctica, el método de Newton por lo regular ofrece convergencia con una rapidez
impresionante, pero ésta no se garantiza. Una forma de probar la convergencia es iniciar con la
gráfica de la función para estimar un adecuado valor inicial para x0. Se puede probar qué tan
cerca se está de un cero de la función evaluando u f(xn)u , y verificar que las aproximaciones convergen al evaluar u xn 2 xn11u .
El método de Newton no siempre converge. Por ejemplo, si
ƒsxd = e
FIGURA 4.46 El método de Newton no
converge. Usted pasa de x0 a x1 y regresa
a x0; nunca estará más cerca de r.
- 2r - x,
2x - r,
x 6 r
x Ú r,
la gráfica fuera como la de la figura 4.46. Si iniciamos con x0 5 r 2 h, obtendremos x1 5 r 1 h,
y las aproximaciones sucesivas van y regresan entre estos dos valores. Sin importar la cantidad
de iteraciones, nunca estaremos más cerca de la raíz que lo que estuvimos con nuestra primera
suposición.
Si el método de Newton converge, lo hace a una raíz. Sin embargo, sea cuidadoso. Existen
situaciones en las que el método parece que converge, pero no hay una raíz allí. Por fortuna,
tales situaciones son poco frecuentes.
Cuando el método de Newton converge a una raíz, podría no ser la raíz que se tenía en
mente. La figura 4.47 muestra dos maneras en que esto puede suceder.
y f(x)
Raíz
encontrada
Punto
inicial
Raíz buscada
x0
x1
y f(x)
x
x2
x1
Raíz
buscada
Raíz
encontrada
x
x0
Punto
inicial
FIGURA 4.47 Si inicia demasiado lejos, el método de Newton tal vez no se aproxime a la raíz que
usted quiere.
Ejercicios 4.6
Determinación de raíces
1. Utilice el método de Newton para estimar las soluciones de la
ecuación x2 1 x 2 1 5 0. Empiece con x0 5 21 para la solución de
la izquierda y con x0 5 1 para la solución de la derecha. Después,
en cada caso, encuentre x2.
2. Use el método de Newton para estimar la solución real de x3 1 3x
1 1 5 0. Empiece con x0 5 0 y después encuentre x2.
3. Emplee el método de Newton para estimar los dos ceros de la función
f(x) 5 x4 1 x 2 3. Empiece con x0 5 21 para el cero (raíz) de la
izquierda y con x0 5 1 para el cero de la derecha. Después, encuentre
en cada caso x2.
4. Use el método de Newton para estimar los dos ceros de la función
f (x) 5 2x 2 x2 1 1. Empiece con x0 5 0 para el cero de la izquierda
y con x0 5 2 para el cero de la derecha. Después, encuentre en cada
caso x2.
5. Use el método de Newton para encontrar la raíz cuarta positiva
de 2 resolviendo la ecuación x4 2 2 5 0. Inicie con x0 5 1 y encuentre x2.
6. Use el método de Newton para encontrar la raíz cuarta negativa de 2;
para ello, resuelva la ecuación x4 2 2 5 0. Empiece con x0 5 21 y
encuentre x2.
7. Conjetura de una raíz Imagine que su primera suposición es afortunada, en el sentido de que x0 es una raíz f (x) 5 0. Suponiendo que
f 9(x) está definida y no es cero, ¿qué pasa con x1 y las aproximaciones subsiguientes?
8. Estimación de pi Se quiere estimar py2 con cinco cifras decimales
usando el método de Newton para resolver la ecuación cos x 5 0.
¿Importa con qué valor se empiece? Justifique su respuesta.
Teoría y ejemplos
9. Oscilación Demuestre que si h . 0, la aplicación del método de
Newton a
ƒsxd = •
2x,
x Ú 0
2 - x,
x 6 0
lleva a x1 5 2h si x0 5 h y x1 5 h si x0 5 2h. Dibuje una figura para
mostrar qué pasa.
4.6 Método de Newton
10. Aproximaciones que van de mal en peor Aplique el método de
Newton a f(x) 5 x1y3 con x0 5 1 y calcule x1, x2, x3 y x4. Determine
una fórmula para uxn u. ¿Qué ocurre con u xn u cuando n : 2`? Dibuje una figura que muestre qué ocurre.
11. Explique por qué los siguientes cuatro enunciados solicitan la misma
información:
iii) Determine las raíces de f (x) 5 x3 2 3x 2 1.
iii) Encuentre las coordenadas x de las intersecciones de la curva
y 5 x3 con la recta y 5 3x 1 1.
229
22. Las gráficas de y = 2x y y = 3 - x2 se intersecan en un punto
x 5 r. Utilice el método de Newton para aproximar el valor de r con
cuatro cifras decimales.
23. Utilice el teorema del valor intermedio de la sección 2.5 para probar
que f(x) 5 x3 1 2x 2 4 tiene una raíz entre x 5 1 y x 5 2. Después
encuentre la raíz con cinco cifras decimales.
24. Factorización de una ecuación de cuarto grado
lores aproximados de r1 a r4 en la factorización
Encuentre los va-
8x4 - 14x3 - 9x2 + 11x - 1 = 8sx - r1 dsx - r2 dsx - r3 dsx - r4 d.
iii) Determine las coordenadas x de los puntos donde la curva
y 5 x3 2 3x cruza la recta horizontal y 5 1.
y
y 8x4 14x3 9x2 11x 1
2
iv) Encuentre los valores de x donde la derivada de g(x) 5
(1y4)x4 2 (3y2)x2 2 x 1 5 es igual a cero.
–1
12. Localización de un planeta Para calcular las coordenadas que
ocupa un planeta en el espacio, tenemos que resolver ecuaciones
como x 5 1 1 0.5 sen x. Graficar la función f(x) 5 x 2 1 2 0.5 sen x
sugiere que la función tiene una raíz cerca de x 5 1.5. Use una iteración del método de Newton para mejorar dicha estimación. Esto es,
empiece con x0 5 1.5 y encuentre x1. (Con cinco decimales, el valor
de la raíz es 1.49870). Recuerde utilizar radianes.
1
–2
–4
–6
–8
–10
–12
x
2
T 13. Intersección de curvas La curva y 5 tan x interseca la recta y 5 2x
T 25. Convergencia a distintos ceros Utilice el método de Newton para
entre x 5 0 y x 5 py2. Utilice el método de Newton para encontrar
dónde se encuentra esa intersección.
encontrar los ceros de f (x) 5 4x4 2 4x2 con los valores iniciales
dados.
a. x0 = - 2 y x0 = - 0.8 , que pertenece a A - q , - 22>2 B
T 14. Soluciones reales de una ecuación de cuarto grado Use el método de Newton para encontrar las dos soluciones reales de la ecuación
x4 2 2x3 2 x2 2 2x 1 2 5 0.
T 15. a. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación sen 3x 5 0.99 2
x2?
b. Utilice el método de Newton para encontrarlas.
b. x0 = - 0.5 y x0 = 0.25 , que pertenece a A - 221>7, 221>7 B
c. x0 = 0.8 y x0 = 2 , que pertenece a A 22>2, q B
d. x0 = - 221>7 y x0 = 221>7
16. Curvas que se intersecan
T 18. Estimación de pi Estime p con tantos decimales como pueda des-
26. El problema de la boya de sonar Cuando se necesita localizar un
submarino, con frecuencia es necesario encontrar el punto más cercano de la trayectoria (PCT) del submarino a una boya de sonar (un
detector de sonido) en el agua. Suponga que el submarino viaja por
la trayectoria de la parábola y 5 x2 y que la boya está localizada en
el punto (2, 21y2).
plegar su calculadora; use el método de Newton para resolver la ecuación tan x 5 0 con x0 5 3.
a. Demuestre que el valor de x que minimiza la distancia entre el submarino y la boya es una solución de la ecuación x 5 1y(x2 1 1).
a. ¿Alguna vez cos 3x es igual a x? Justifique su respuesta.
b. Use el método de Newton para determinar en dónde.
17. Encuentre los cuatro ceros reales de la función f(x) 5 2x4 2 4x2 1 1.
19. Intersección de curvas
¿En qué valor o valores de x cos x 5 2x?
20. Intersección de curvas
¿En qué valores de x cos x 5 2x?
b. Resuelva la ecuación x 5 1y(x2 1 1) con el método de Newton.
y
21. Las gráficas de y 5 x2(x 1 1) y y 5 1yx (x . 0) se intersecan en un
punto x 5 r. Utilice el método de Newton para estimar el valor de r
con cuatro cifras decimales.
y
y x2(x 1)
PCT
0
1
0
1
2
1
2
x
1
Boya sónica ⎛⎝2, – ⎛⎝
2
⎛r, 1 ⎛
⎝ r⎝
y 1x
2
Trayectoria del
submarino en
dos dimensiones
1
3
–1
y x2
T 27. Curvas casi planas en la raíz Algunas curvas son tan planas que,
x
en la práctica, el método de Newton se detiene demasiado lejos de la
raíz para dar una estimación útil. Intente usar el método de Newton en
f (x) 5 (x 2 1)40 con el valor inicial x0 5 2 para ver qué tanto se acerca su calculadora a la raíz x 5 1. Véase la figura a continuación.
230
Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
y
28. La siguiente figura muestra un círculo de radio r con una cuerda de
longitud 2 y un arco s de longitud 3. Utilice el método de Newton
para determinar r y u (en radianes) con cuatro cifras decimales. Suponga que 0 , u , p.
s3
r
u
y (x 1)40
Pendiente –40
(2, 1)
Casi plana
0
4.7
r
Pendiente 40
1
2
1
x
2
Antiderivadas
Hemos estudiado cómo determinar la derivada de una función. Sin embargo, muchos problemas requieren que recuperemos una función a partir del conocimiento de su derivada (es decir,
del conocimiento de su tasa de cambio). Por ejemplo, suponga que conocemos la función velocidad de un objeto que cae desde una altura inicial y que necesitamos conocer su altura en
cualquier instante. Con mayor generalidad, queremos conocer una función F a partir de su derivada f . Si tal función F existe, se denomina una antiderivada de f. En el siguiente capítulo
veremos que las antiderivadas son el enlace que relaciona los dos elementos principales del
cálculo: las derivadas y las integrales definidas.
Determinación de antiderivadas
DEFINICIÓN
Una función F es una antiderivada de f en un intervalo I si
F 9(x) 5 f(x) para toda x en I.
El proceso de recuperar una función F(x) a partir de su derivada f 9(x) se denomina antiderivación. Utilizamos letras mayúsculas, como F, para representar una antiderivada de una
función f; G representa la antiderivada de g y así sucesivamente.
EJEMPLO 1
(a) ƒsxd = 2x
Determine una antiderivada para cada una de las siguientes funciones.
(b) gsxd = cos x
(c) h(x) = 2x + cos x
Solución
Aquí necesitamos pensar al revés: ¿Qué función que conozcamos tiene una derivada igual a la función dada?
(a) Fsxd = x2
(b) Gsxd = sen x
(c) H(x) = x2 + sen x
Cada respuesta puede verificarse mediante derivación. La derivada de F(x) 5 x2 es 2x.
La derivada de G(x) 5 sen x es cos x, y la derivada de H(x) 5 x2 1 sen x es 2x 1 cos x.