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ENCUENTRO # 15
TEMA:Fracciones algebraicas
CONTENIDOS:
1. Dominio. Simplificación.
2. Multiplicación y División.
DESARROLLO
EJERCICIO RETO
Factorice las siguientes expresiones:
1. x9 + 7x6 y 3 + 7x3 y 6 + y 9
2. 2x2 + 7xy − 4y 2 − 3x + 6y − 2
Simplificación de fracciones algebraicas:
Una fracción algebraica contiene literales y se simplifica al factorizar al numerador y
al denominador y al dividir aquellos factores que se encuentren en ambas posiciones,
como a continuación se ejemplifica.
Ejemplos:
2
+12ab
1. Simplifica la siguiente expresión 8a 8a
2
Solución:
Se factorizan tanto el numerador como el denominador.
8a2 +12ab
8a2
=
(4a)(2a+3b)
(2a)(4a)
Una vez factorizados los elementos de la fracción, se observa que en ambos se
encuentra la expresión (4a) la cual se procede al simplificar
(4a)(2a+3b)
(2a)(4a)
=
2a+3b
2a
3m
2. Simplifica la siguiente expresión 15m−12m
2
Solución:
Se factorizan el numerador y el denominador, simplificando el término que se
repite en ambos (3m)
3m
15m−12m2
=
1(3m)
(3m)(5−4m)
1
=
1
5−4m
2
2
3. Simplifica la siguiente expresión 6xxy−12xy
2 −4y 2
Solución:
Se factorizan tanto el numerador como el denominador.
6x2 y−12xy 2
x2 −4y 2
6xy(x−2y)
(x+2y)(x−2y)
=
Una vez factorizados los elementos de la fracción, se observa que en ambos se
encuentra la expresión (x − 2y) la cual se procede a simplificar
6xy(x−2y)
(x+2y)(x−2y)
=
6xy
x+2y
2
x −6x+9
4. Simplifica la siguiente expresión x2 +ax−3x−3a
Solución:
Se factorizan tanto numerador como denominador
x2 −6x+9
x2 +ax−3x−3a
=
(x−3)2
x(x+a)−3(x+a)
=
(x−3)2
(x−3)(x+a)
En esta fracción el elemento que se repite en el numerador y denominador es
(x − 3), entonces se realiza la simplificación
(x−3)2
(x−3)(x+a)
=
x−3
x+a
3
9x−x
5. Simplifica la siguiente expresión x4 −x
3 −6x2
Solución:
Se factorizan tanto numerador como denominador
9x−x3
x4 −x3 −6x2
=
x(9−x2 )
x2 (x2 −x−6)
=
x(3+x)(3−x)
x2 (x−3)(x+2)
Los factores que se repiten son (x) y (x − 3)
x(3+x)(3−x)
x2 (x−3)(x+2)
(3+x)(−1)
x(x+2)
=
2
x+3
= − x(x+2)
3
12+37x+2x −3x
6. Simplifica la siguiente expresión 20+51x−26x
2 +3x3
Solución:
Se factorizan tanto numerador como denominador
12+37x+2x2 −3x3
20+51x−26x2 +3x3
=
(−1)(3x+1)(x+3)(x−4)
(x−5)(3x+1)(x−4)
Los factores que se repiten en el numerador y denominador (3x + 1) y (x − 4), se
dividen, obteniéndose la simplificación de la fracción
12+37x+2x2 −3x3
20+51x−26x2 +3x3
2
=
(−1)(x+3)
(x−5)
x+3
= − x−5
Ejercicios Propuestos
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
1.
2a2 +2ab
3a2 b
2.
6a3 b2
3a2 b−6ab2
3.
4a2 +12a
8a2
4.
6m3 −18m2 −24m
15m−9m2
5.
m3 n−m2 n2
n2 −m2
6.
4x2 −12x
2x3 −2x2 −12x
7.
x2 −3xy−10y 2
5y 2 +4xy−x2
8.
x2 +7x−78
x2 −36
9.
n2 −5n+6
n2 −2n−3
10.
2x2 −xy−6y 2
3x2 −5xy−2y 2
11.
−x4 +3x3 y−2x2 y 2
5x3 −4x2 y−xy 2
12.
3x2 +10xy+8y 2
x2 −xy−6y 2
13.
ab2 m2 −2ab2 mn+ab2 n2
abm2 −abn2
14.
8−x3
x2 +2x−8
15.
x3 +y 3
x2 −y 2
16.
y 3 −27x3
y 2 −xy−6x2
17.
x3 −1
x3 −x2 −x−2
18.
x3 −3x2 y+3xy 2 −y 3
x3 −3xy 2 +2y 3
19.
3ax−bx−3ay+by
by 2 −bx2 −3ay 2 +3ax2
20.
a2 +ab−ad−bd
2a2 b+2ab2
21.
y 3 +y 2 −6y
3ay 2 +9ay+2y 2 +6y
22.
3x2 −3xy
yz−xz−yw+xw
3
23.
w2 +w−2
x−wx−y+wy
24.
p+1−p3 −p2
p3 −p−2p2 +2
25.
2a3 −2ab2 +a2 −b2
2ab2 +b2 −2a3 −a2
26.
x3 +2x2 −x−2
x3 +4x2 +x−6
27.
x3 +4x2 +x−6
x3 +x2 −14x−24
28.
y 3 −9y 2 +26y−24
y 3 −5y 2 −2y+24
29.
(y−1)(y 2 −8y+16)
(y 2 −4y)(1−y 2 )
30.
(a−2)2 (a2 +a−12)
(2−a)(3−a)2
Multiplicación de fracciones algebraicas
Regla para multiplicar fracciones:
1. Descomponer en factores los elementos de las fracciones que se van a multiplicar.
2. Se simplifican aquellos términos que sean comunes en el numerador y denominador
de las fracciones que se van a multiplicar.
3. Multiplicar todos los términos restantes.
Ejemplos:
2
2
1. Multiplica 2x
· 6y
· 5xy
3y
4x
2y
Solución:
Se realiza la multiplicación de fracciones y se simplifi ca el resultado
2x2
3y
·
6y 2
4x
·
5xy
2y
=
60x3 y 3
24xy 2
=
(+6)(m+3)
m−5
=
5x2 y
2
2
2. Simplifica: m +9m+18
· 5m−25
m−5
5m+15
Solución:
Se factoriza cada uno de los elementos
m2 +9m+18
m−5
·
5m−25
5m+15
·
5(m−5)
5(m+3)
se procede a realizar la multiplicación y la simplificación
(+6)(m+3)
m−5
·
5(m−5)
5(m+3)
=
5(m+6)(m+3)(m−5)
5(m−5)(m+3)
4
=m+6
3. Efectúa y simplifica:
Solución:
(a−3)(a−2)
3(a−5)
2∗3a
(a−6)(a+5)
·
a2 −5a+6
3a−15
·
·
6a
a2 −a−30
(a+5)(a−5)
2(a−2)
=
·
a2 −25
2a−4
(a−3)(a−2)2∗3a(a+5)(a−5)
3(a−5)(a−6)(a+5)2(a−2)
a(a−3)
a−6
Finalmente, el resultado de la multiplicación es
a(a−3)
a−6
=
=
6a(a−3)(a−2)(a+5)(a−5)
6(a−5)(a−6)(a+5)(a−2)
a2 −3a
a−6
Ejercicios Propuestos
Efectúa la multiplicación de las fracciones algebraicas y simplifica:
1.
4a2
7x3
·
2.
5
x
2x
y2
3.
3x
10y 2
4.
16ab2
5a2 x
·
5.
3x2
4b
b2
2y 2
6.
5m+25
14
7.
b2 −5b+6
3b−15
8.
2m3 +2mn2
2mx2 −2mx
·
9.
14x2 −21x
24x−16
12x−8
42x−63
·
14x
5b4
3y
10
5y 4
14ab
·
·
·
5b2
7a3
·
·
10x3
4b3
7a
6x2
·
2a2
3bx
2y
3x3
·
7m+7
10m+50
·
b2 −25
2b−4
·
·
x
x+1
6b
b2 −b−30
·
·
x3 −x
m2 x+n2 x
10.
30x3 −18x2
6x3 +5x2
·
11.
7x2 +42x
3x2 −6x
·
15x−30
14x2 +84x
12.
x2 +x−6
x2 −5x+6
·
x2 −2x−3
x2 −4x−5
13.
x2 −10x+24
30+x−x2
·
x2 −2x−48
x2 −12x+32
14.
8x2 +10x+3
4x2 +4x+1
·
6x2 +x−1
9x2 +9x−4
15.
x2 −3x−4
x2 −7x+12
·
x2 +5x+6
x2 −3x−18
16.
x2 +9x+18
2x2 +9x+9
·
2x2 +7x+6
4x2 +9x+2
17.
x3 +2x2 −3x
4x2 +8x+3
42x+35
60x−36
·
2x2 +3x
x2 −x
5
=
a2 +a+1
x2 +3x+9
18.
x3 −27
a3 −1
19.
x2 +5x+6
4x2 +4x
20.
2n2 +5n−3
n2 −2n−8
·
·
8x+8
x2 −9
·
·
x2 −5x
x+2
n2 +4n+4
6n2 −5n+1
·
3n2 +11n−4
n2 +5n+6
División de fracciones algebraicas
Regla para dividir fracciones:
1. Primero se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de
la segunda, de lo que resulta el numerador de la fracción solución; el denominador
de la fracción solución se obtiene al multiplicar el denominador de la primera
fracción por el numerador de la segunda. De preferencia los productos se dejan
indicados.
2. Se simplifican los términos o factores que sean comunes, en el numerador y denominador, de las fracciones que se van a multiplicar.
3. Se multiplican todos los términos restantes.
Ejemplos:
2
2m
m
1. Realiza la siguiente división: 3n
2 ÷ n3 .
Solución:
Se efectúan los productos cruzados y se simplifica la expresión
m2
3n2
÷
2m
n3
=
(m2 )(n3 )
3n2 (2m)
=
m2 n3
6mn2
=
mn
6
3x2
2. Simplifica la siguiente división:
(x2 +1)2
x
.
(x2 +1)
Solución:
Se realiza el producto de medios por medios y extremos por extremos, para después simplificar al máximo.
3x2
(x2 +1)2
x
(x2 +1)
=
3x2 (x2 +1)
x(x2 +1)2
=
3
3x
x2 +1
2
−a
−5a
3. Realiza el siguiente coeficiente y simplifica: 2aa2 +6a
÷ 5a2a+6
Solución:
Se factorizan todos los elementos y se procede a efectuar la simplificación.
a3 −a
2a2 +6a
÷
5a2 −5a
2a+6
=
a(a−1)(a+1)
2a(a+3)
÷
6
5a(a−1)
2(a+3)
=
a(a−1)(a+1)(2)(a+3)
(2a)(5a)(a−1)(a+3)
=
a+1
5a
1
1
(x2 +1) 2
(x2 +1)
4. Simplifica la siguiente operación:
.
Solución:
En este caso se tiene una fracción sobre un entero, al que se le agrega la unidad como denominador, para después realizar el producto de medios y extremos,
entonces:
1
1
1
(x2 +1) 2
(x2 +1)
1
=
(x2 +1) 2
1
=
(x2 +1)
1
2
2
(2x+y)(2x−y)
(2x−y)(x+y)
÷
1
(x2 +1) 2 +1
=
1
3
(x2 +1) 2
2
2
−y
6x +7xy+2y
5. Resuelva la siguiente operación: 2x4x
2 +xy−y 2 ÷ 3x2 +5xy+2y 2 .
Solución: Se factoriza cada uno de los factores y se procede a realizar la división
4x2 −y 2
2x2 +xy−y 2
÷
6x2 +7xy+2y 2
3x2 +5xy+2y 2
=
(3x+2y)(2x+y)
(3x+2y)(x+y)
=
(2x+y)(2x−y)(3x+2y)(x+y)
(2x−y)(x+y)(3x+2y)(2x+y)
2
6. Efectúa y simplifica la siguiente operación: x + 4 + x+1
÷ x−1−
Solución:
Se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis:
x+4+
2
x+1
9
x−1
2
x +5x+6
x+1
÷ x−1−
÷
x2 +5x+4+2
2 x+1 x −2x−8
x−1
=
Ejercicios Propuestos
Realiza las siguientes operaciones y simplifica al máximo:
1.
2x3
y2
2.
12a4 b5
15x6 y 3
3.
6x2
(2x+3)3
2x4
(2x+3)
÷
8x5
3y 3
4a2 b
5x2 y 3
÷
12x5
1
4.
(2x3 +1) 3
2x2
2
(2x3 +1) 3
5.
4x3
3x2 −3xy
x2
x2 −y 2
6.
x3 +x
x2 −x
7.
x2 −9
x2 +2x−3
8.
x2 −7x+10
x2 −6x+5
÷
x3 −x2
x2 −2x+1
÷
x2 +6x−27
x2 −10x+9
÷
x2 +5x−14
x2 +8x+7
7
÷
x2 −2x+1−9
x−1
9
x−1
=
.
=1
9.
x2 −4x+3
x2 −6x+9
10.
4x2 −23x−6
3x2 −14x+8
11.
6x2 −5x+1
12x2 −x−1
12.
x2 −16
x3 −3x2 +9x
13.
8x2 −2x−3
16x3 −9x
14.
x3 −121x
x3 −49x
x2 −11x
x+7
15.
x3 +125
x2 −64
x3 −5x2 +25x
2
x +x−56
16.
a2 −6a
a3 +3a2
a2 +3a−54
a2 +9a
17.
15x2 +7x−2
25x3 −x
÷
÷
2
x+3
2n−1
n2 +2
22. 1 −
x2 −x−12
x3 +27
4x2 −1
4x2 +3x
6x2 +13x+6
25x2 +10x+1
÷
a
a+b
21. a + b +
4x2 −8x−5
8x2 +6x+1
÷
20. n −
4x2 +25x+6
x2 +x−30
÷
18. 1 +
19. x +
x2 +12x+32
x2 +3x−40
÷
÷ 1+
÷ x+
1
3
x+4
÷ n2 + 1 −
b2
a−b
x3 +2
2a
b
÷ 1−
÷ x+
n−1
n
b
a+b
1
x−1
8