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Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Tema 4.
Análisis de la Respuesta Temporal de
Sistemas LTI
Automática
2º Curso del Grado en
Ingeniería en Tecnología Industrial
Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de
sistemas LTI
4.1. Introducción.
4.2. Análisis de la respuesta transitoria de un sistema:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
4.2.1. Sistemas de primer orden.
4.2.2. Sistemas de segundo orden.
4.2.3. Sistemas de orden superior.
4.3. Introducción a la identificación de sistemas.
4.4. Análisis de la estabilidad de un sistema.
4.5. Análisis de la respuesta estacionaria de un sistema.
Introducción
Señales de prueba:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
– En el análisis y diseño de sistemas de control es necesario
tener una base para comparar los sistemas de control. Esto
se hace especificando las señales de entrada de prueba y
comparando las respuestas de varios sistemas a estas
señales de entrada.
– Las señales de prueba que se usan regularmente son
funciones escalón, rampa, parábola, impulso, senoidal, etc.
Introducción
Respuesta transitoria y respuesta estacionaria
La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de
dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria.
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de Sistemas y Automática
La respuesta transitoria se
refiere a la que va del
estado inicial al estado final.
La respuesta estacionaria se
refiere a la manera en la
cual se comporta la salida
del sistema conforme el
tiempo tiende a infinito.
Introducción
• Estabilidad absoluta y error estacionario:
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de Sistemas y Automática
– Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de
cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el
mismo estado.
– Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es
estable si la salida termina por regresar a su estado de
equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición
inicial.
– Si la salida de un sistema en estado estable no coincide
exactamente con la referencia, se dice que el sistema tiene
un error estacionario (o en régimen permanente –erp-). El erp
indica la precisión del sistema.
– Al analizar un sistema de control se debe examinar el
comportamiento de la respuesta transitoria y el
comportamiento del error estacionario.
Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de
sistemas LTI
4.1. Introducción.
4.2. Análisis de la respuesta transitoria de un sistema:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
4.2.1. Sistemas de primer orden.
4.2.2. Sistemas de segundo orden.
4.2.3. Sistemas de orden superior.
4.3. Introducción a la identificación de sistemas.
4.4. Análisis de la estabilidad de un sistema.
4.5. Análisis de la respuesta estacionaria de un sistema.
Análisis de la respuesta transitoria
Respuesta Forzada y Natural:
– Sistema continuo representado por la ecuación diferencial
con salida y(t) y entrada u(t)
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a n y n )  a n 1 y n 1)    a1 y  a 0 y b m u m )   b1 u b 0 u
con un conjunto de condiciones iniciales y(0), y'(0),, y n1) (0)
No nulas !!!
siendo n el orden del sistema.
– La obtención de la respuesta del sistema y(t) ante entrada u(t)
se realiza por aplicación de la transformada de Laplace.
a n ( s n Y ( s)  s n 1 y (0)  s n  2 y ' (0)  )  a n 1 ( s n 1Y ( s)  s n  2 y (0)  )  a 0Y ( s) 
b m ( s mU ( s)  s m1u(0)  ) b m1 ( s m1U ( s)  s m 2 u(0)  ) b0U ( s)
Análisis de la respuesta transitoria
Respuesta Forzada y Natural (cont.):
– Reagrupando términos:
(an sn  an1sn1 a1s  a0 )Y ( s)  (bm sm b1s  b0 )U ( s)  P( s)
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con P(s) polinomio que depende de las condiciones iniciales.
– La transformada de la respuesta Y(s) de un sistema continuo
se puede expresar:
Y (s) 
bm s m    b1s  b0
a n s n  a n 1s n 1    a1s  a0
Respuesta forzada
U (s) 
P( s)
a n s n  a n 1s n 1    a1s  a0
Respuesta natural
Análisis de la respuesta transitoria
Respuesta Forzada y Natural (cont.):
– Se particularizará el calculo de la respuesta transitoria para
sistemas de orden 1º, 2º y superior.
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– Sistema caracterizado por la respuesta forzada, asumiendo
respuesta natural nula.
U(s)
G (s)
Y ( s )  G ( s )U ( s )
Y(s)
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden:
– Un sistema de primer orden (SPO) queda descrito por una
ecuación diferencial de la forma
y (t )  a0 y (t )  b0u (t )
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con función de transferencia
b0
G( s) 
s  a0
– La respuesta escalón de amplitud A será:
b0 A
Y ( s) 
s( s  a0 )
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden (cont.):
– Descomponiendo en fracciones simples:
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K1
K2
b0 A 1 b0 A 1
Y ( s) 



s s  a0
a0 s a0 s  a0
– Aplicando la transformada inversa:
b0 A
y (t ) 
(1  e a0t )ue (t )
a0
respuesta de tipo exponencial.
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden (cont.):
b0
1
, la constante de tiempo T 
a0
a0
como parámetros específicos de un SPO.
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– Se definen la ganancia K 
– Forma estándar del SPO:
b0 1
K
G (s) 

s
a0
 1 Ts  1
a0
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden (cont.):
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– Respuesta ante una entrada escalón unitario:
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden (cont.):
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– Respuesta ante una entrada impulso unitario:
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden (cont.):
– Respuesta ante una entrada rampa pendiente unitaria:
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Error en régimen
permanente (erp)
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden:
– Sistema de segundo orden (SSO) queda descrito por una
ecuación diferencial:
y  a1 y  a0 y  b0 u
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con función de transferencia:
G (s) 
b0
s 2  a1s  a0
– La respuesta escalón de amplitud A será:
Y (s) 
b0 A
s ( s 2  a1s  a0 )
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
– La respuesta depende de las raíces del denominador
( s 2  a1s  a0 )  ( s  s1 )( s  s 2 )
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– Casos particulares:
1. Raíces reales distintas.
2. Raíces reales repetidas.
3. Raíces complejas conjugadas.
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
Caso 1: Raíces reales distintas.
K1
K2
K3
Y ( s) 


s s  s1 s  s2
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Aplicando la transformada inversa de Laplace:
y (t )  ( K1  K 2e  s1t  K 3e  s2t )ue (t )
Se denominan sistemas sobreamortiguados.
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
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Caso 1: Raíces reales distintas.
La rapidez de respuesta depende de la colocación de los polos.
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
Caso 2: Raíces reales repetidas.
Y (s) 
K1 K 21
K 22


s s  s1 ( s  s1 ) 2
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Aplicando la transformada inversa:
y (t )  ( K1  K 21e  s1t  K 22te  s1t )ue (t )
Se denominan sistemas crítico-amortiguados.
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
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Caso 2: Raíces reales repetidas.
La rapidez de respuesta depende de la colocación del polo doble.
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
Caso 3: Raíces complejas conjugadas.
Y (s) 
K3
K1
K2


s s    j d s    j d
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Reagrupando las dos fracciones complejas:
Y (s) 
K '3 d
K1
K '2 ( s   )


s ( s   ) 2  d 2 ( s   ) 2  d2
con K '2  2 Re( K 2 ) y K '3  2 Im(K 3 ).
Aplicando la transformada inversa de Laplace:
y (t )  ( K1  K '2 e t cos d t  K '3 e t sin d t )ue (t )
Se denominan sistemas subamortiguados.
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
Departamento de Ingeniería
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Caso 3: Raíces complejas conjugadas.
La forma de la respuesta depende de la colocación de los polos
( , d ).
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
– La respuesta de SSO admite otra representación alternativa
en función de los parámetros:
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• Ganancia, K
• Relación de amortiguamiento, x
• Frecuencia natural NO amortiguada, n
G (s) 
K n2
Expresión paramétrica
de los SSO
s 2  2x n s   n2
– Las raíces de la ecuación característica son:
s1 , s 2  x n  j n 1  x 2    j d
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
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– Con parámetros   x n constante de tiempo inversa y
d  n 1 - x 2 frecuencia natural amortiguada.

– Los SSO se pueden clasificar atendiendo al valor de la
constante de amortiguamiento y la ubicación de sus polos.
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
– x >1 (s1 y s2 reales distintos, parte real -)
SOBREAMORTIGUADO
– x =1 (s1 y s2 reales iguales, parte real -)
 CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO
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– 0<x<1 (s1 y s2 conj. complejos, parte real -)
 SUBAMORTIGUADO
– x=0 (s1 y s2 sobre el eje imaginario)
 LÍMITE DE ESTABILIDAD
– -1<x<0 (s1 y s2 conj. complejos, parte real +)
 INESTABLE OSCILANTE
– x<-1 (s1 y s2 reales distintos, parte real +)
 INESTABLE NO OSCILANTE
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
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En base a la relación de amortiguamiento x constante y la
frecuencia natural no amortiguada, n , constante se establecen
los correspondientes lugares geométricos en el plano s.
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
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– Existe un conjunto de curvas normalizadas de respuesta
escalón de SSO para valores de (x , n ) .
– Para x  0 , el sistema responde con una oscilación mantenida.
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden (cont.):
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– Existe un conjunto de curvas normalizadas de respuesta
impulso de SSO para valores de (x , n ) .
Kn2
Y ( s)  2
s  2xn s  n2
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior:
– Sistema de orden superior (SOS) queda descrito por la
función de transferencia
G( s) 
K ( s  z1 )(s  z2 ) ( s  zm )
( s  p1 )(s  p2 ) ( s  pn )
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con zi y pj ceros y polos en general complejos.
– La respuesta escalón de amplitud A será:
A K0 n Ki
Y (s)  G (s) 

s
s
i 1 s  pi
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior (cont.):
Caso 1: Polos en general distintos.
Aplicando la transformada inversa
n
y (t )  ( K 0   K i e  pit )ue (t )
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i 1
• La contribución de K0 es relativa al régimen estacionario.
• La contribución de cada polo pi en la respuesta transitoria
depende la magnitud del residuo Ki y de su colocación relativa:
1. si Ki es bajo  su contribución es despreciable, y
2. si Re(pi)<0 con |Re(pi)| alto  su contribución es despreciable.
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior (cont.):
Caso 1: Polos en general distintos.
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Forma de la respuesta no estandarizada.
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior (cont.):
Caso 2: Polos en general múltiples.
La respuesta escalón de amplitud A será:
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Kj
A K0
K1
K2
Y (s)  G (s) 




rj
s
s s  p1 s  p2
(s  p j )
y aplicando transformada inversa:
y(t )  ( K 0  K1e
 p1t
 K 2e
 p2 t

Kj
rj  1!
t
r j 1  p j t
e
 )ue (t )
Para determinar la contribución de cada polo se sigue el mismo
razonamiento que el caso anterior.
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior (cont.):
– Concepto de dominancia:
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• Los polos más cercanos al eje imaginario jω prevalecen, y se
denominan polos dominantes.
• Transformamos un SOS en un SPO (un único polo dominante) o
en un SSO (un par de polos dominantes).
– Criterio de dominancia:
Relación Re(pi) / Re(pd) > 5, suponiendo que no hay ceros en
cercanía de pd (efecto cancelación).
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior (cont.):
Ejemplo:
Construimos la función de transferencia:
>> G = zpk([-4, -6+3.8j, -6-3.8j],[-1, -2, -6.2-4j, -6.2+4j, -10],[1])
(s+4) (s^2 + 12s + 50.44)
---------------------------------------(s+1) (s+2) (s+10) (s^2 + 12.4s + 54.44)
Pole-Zero Map
5
4
3
2
Imaginary Axis
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y la representamos los polos y ceros en el plano complejo:
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-10
-8
-6
-4
Real Axis
-2
0
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior (cont.):
Ejemplo (cont.):
Aplicamos un escalón de amplitud unitaria a ambos sistemas y el
SOS y al SSO*:
Step Response
2
1.8
Original
Aproximado
1.4
Al eliminar los polos
no dominantes se
modifica la ganancia
estática del sistema.
1.2
Amplitude
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
1.6
1
0.8
?
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
Time (sec)
4
5
6
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior (cont.):
Ejemplo (cont.):
Aplicamos un escalón de amplitud unitaria a ambos sistemas y el
SOS y al SSO*:
Step Response
0.2
0.18
0.1 × G(s)*
Original
Aproximado
0.14
0.12
Amplitude
Departamento de Ingeniería
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0.16
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
Time (sec)
4
5
6
Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superior (cont.):
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Efecto de añadir un polo/cero al sistema:
•
Los polos de G(s) afectan a los exponentes en los términos
pt
exponenciales e i (pi complejo en general) de la respuesta
transitoria.
•
Los ceros de G(s) no afectan a los exponentes en los términos
exponenciales, pero afectan las magnitudes y los signos de los
residuos.
•
Por ejemplo:
–
Si añadimos un polo real negativo  Influye con una nueva
exponencial  hace el sistema más lento y más estable
(relativamente).
–
Si añadimos un cero  Influye con un residuo  hace el sistema
más rápido y más inestable (relativamente).
Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de
sistemas LTI
4.1. Introducción.
4.2. Análisis de la respuesta transitoria de un sistema:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
4.2.1. Sistemas de primer orden.
4.2.2. Sistemas de segundo orden.
4.2.3. Sistemas de orden superior.
4.3. Introducción a la identificación de sistemas.
4.4. Análisis de la estabilidad de un sistema.
4.5. Análisis de la respuesta estacionaria de un sistema.
Identificación de sistemas
Identificación:
– Proceso de determinación de un modelo a partir del
conocimiento previo sobre el sistema y experiencias
prácticas realizadas sobre él.
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– Durante el proceso de identificación el sistema es
considerado como “caja negra”, realizándose experimentos
que proporcionan pares E/S.
u1
um
SISTEMA
DINAMICO
y1
yn
– Gran variedad de métodos de identificación, particularmente
los métodos de identificación paramétricos, a través de la
obtención de coeficientes de G(s).
Identificación de sistemas
Método de análisis del transitorio:
– Consiste en la aplicación de entradas tipo (escalón, impulso,
senoidal,…) analizando la forma de la respuesta transitoria
para determinar los parámetros del modelo del sistema.
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u( t )
SISTEMA
y(t )
– Asume comportamiento lineal o linealizado en torno a un
punto.
– Se considerará la identificación de sistemas de primer orden,
segundo orden y orden superior ante señal de entrada
escalón.
Identificación de sistemas
Sistemas de primer orden:
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K
G( s) 
Ts  1
1. Determinación de K por relación de amplitud salida-entrada
en régimen estacionario.
y ()  lim y (t )
y ( )
K
t 
u (sobre
)
2. Determinación de T por inspección
0.63%
de sYy(t)
y ()  lim
(s)
s 0
estacionaria.
3. Efecto posible de retardo e
 Tr s
.
Identificación de sistemas
Circuito RC:
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¿¿ vi(∞) y vo(∞) ??
5.8 × 0.2V=
1.15V
K
G( s) 
Ts  1
63% de 1.15 =
0.72V
K
vo 1,15

1
vi 1,15
T  100E - 6
¿¿ T ??
0.4 × 250E-6 s.
= 100E-6 s.
Identificación de sistemas
Circuito RC (cont.):
Step Response
1.2
1
Amplitude
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
1.4
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
Time (sec)
4
5
6
-4
x 10
Identificación de sistemas
Sistemas de segundo orden:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
K n2
G( s)  2
s  2x n s   n2
1. Determinación de K por relación de amplitud entrada-salida
en régimen estacionario.
2. Determinación de x y n a través de los parámetros
característicos de la respuesta transitoria de segundo orden.
3. Efecto posible de retardo e
 Tr s
.
Identificación de sistemas
Sistemas de segundo orden (cont.):
1. tiempo de subida, de 0% al 100% del valor final y(∞)
 
tr 
d
 d 

  
  tan 1 
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2. tiempo de pico, en el valor máximo de y(t)

tp 
d
3. sobreoscilación, definida por
SO 
y (t p )  y ()
y ( )
SO  e
100%



d
e
 t p
e
x  n t p
 e  tan
 100%
Identificación de sistemas
Sistemas de segundo orden (cont.):
4. tiempo de establecimiento, para alcanzar el régimen
permanente (y(t) incluida en banda sobre y(∞)).
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Dos criterios: t s 
4

(2 %) y t s 
3

(5 %)
Identificación de sistemas
Sistemas de segundo orden (cont.):
A partir de un par de valores de parámetros característicos se
determinan  y d y de ahí x y n según:
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  x n
x  cos   0.12
d  n 1 - x 2
– Para sistemas sobreamortiguados solo será posible computar la
función de transferencia en caso de que haya dominancia de primer
orden, ya que las expresiones anteriores son validas para el caso
subamortiguado.
– Para sistemas de orden superior no hay un método de validez
general, si bien hay métodos para el caso de sistemas con polos en
situación específica (dominancia de primero o segundo orden, …).
Identificación de sistemas
Circuito RLC:
¿¿ vi(∞) y vo(∞) ??
K n2
G( s)  2
s  2x n s   n2
1.9 × 0.5V=
0.95V
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tp 


 d   0.21 106
d
tp
SO 
v(t p )  v()
v ( )
 t p
¿¿ vo (tp) ??
SO  e
0.15×100E-6 s.=
15E-6 s.
3.2 × 0.5V=
1.6V
  tan 1 
v
0,95
K o 
1
vi 0,95
x  cos   0.12
¿¿ t p ??
 
 0.68
 ln( SO)
 2.57  10 4
tp
 d 
  1.45

 
  x n   n 

 2.11 10 5
x
Identificación de sistemas
Circuito RLC:
Step Response
1.6
1.2
1
Amplitude
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
1.4
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
Time (sec)
2
2.5
-4
x 10
Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de
sistemas LTI
4.1. Introducción.
4.2. Análisis de la respuesta transitoria de un sistema:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
4.2.1. Sistemas de primer orden.
4.2.2. Sistemas de segundo orden.
4.2.3. Sistemas de orden superior.
4.3. Introducción a la identificación de sistemas.
4.4. Análisis de la estabilidad de un sistema.
4.5. Análisis de la respuesta estacionaria de un sistema.
Estabilidad de sistemas continuos
Análisis de estabilidad:
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– La estabilidad es una característica del sistema que asegura
que ante cualquier entrada acotada el sistema responde con
unas salida acotada.
– La estabilidad de un sistema LTI (lineal e invariante en el
tiempo) queda asegurada si todas las raíces del polinomio
característico se encuentran en el semiplano izquierdo del
plano complejo s.
– En efecto, para un sistema definido por
P( s )
G( s) 
an s n  an 1s n 1    a1s  a0
las raíces (polos) son la solución de
Q( s)  an s n  an 1s n 1    a1s  a0  0  s1 , s2 ,, sn
Estabilidad de sistemas continuos
Análisis de estabilidad:
– Si se encuentra alguna raíz con Re(si )   i  0 el término
K i e it crecería con el
correspondiente de la respuesta
tiempo, resultando por tanto el sistema inestable.
j
s1
x
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s2
x
0

x
s1*
– La estabilidad no depende de la función de entrada, es una
característica del sistema. Las raíces de la entrada
contribuyen solamente en los términos de respuesta
estacionaria en la solución.
Estabilidad de sistemas continuos
Análisis de estabilidad:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
– El problema más importante de los sistemas de control lineal
tiene que ver con la estabilidad, sobre todo con la estabilidad
del sistema en bucle cerrado.
Estabilidad de sistemas continuos
Análisis de estabilidad:
– El problema más importante de los sistemas de control lineal
tiene que ver con la estabilidad, sobre todo con la estabilidad
del sistema en bucle cerrado.
G (s )
+
G (s )
K
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-
H (s )
Gbc ( s ) 
KG ( s )
1  KG ( s ) H ( s )
– De hecho, sistemas que son inestables en bucle abierto,
pueden ser estabilizados al cerrar el bucle de control (K
variable).
OJO: no confundir con la
ganancia estática del sistema
Estabilidad de sistemas continuos
Criterio de Routh-Hurwitz:
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de Sistemas y Automática
– Es un método para determinar la estabilidad de un sistema
sin tener que factorizar el polinomio característico del
sistema.
– Este procedimiento no especifica la posición concreta de las
raíces, sino el número de raíces existentes en el semiplano
derecho (inestabilidad) y en el eje imaginario (estabilidad
critica).
Límite de la estabilidad
Estabilidad de sistemas continuos
Pasos del criterio de Routh-Hurwitz:
1. Escribir el polinomio característico (suponiendo a0  0 ).
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an s n  an 1s n 1    a1s  a0  0
2. Si cualquier ai ≤ 0 en presencia de, al menos, un aj > 0,
entonces hay una raíz o raíces que son imaginarias o con
una parte real positiva, siendo el sistema crítico-estable o
inestable.
Límite de la estabilidad
Estabilidad de sistemas continuos
Pasos del criterio de Routh-Hurwitz (cont.):
3. Si todos los coeficientes ai  0 , agrupar los coeficientes en
el siguiente arreglo:
n
n 1
a
s

a
s
   a1s  a0  0
n
n

1
n
an  2
...
a0
s n 1 an 1
s n  2 bn  2
an 3
...
a1

b0
s n  3 cn  3
 

s2
e2
e0
s1
f1
s0
g0
s
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bi
an

bn 2 
an 1an 2  an an 3
an 1
Estabilidad de sistemas continuos
Pasos del criterio de Routh-Hurwitz (cont.):
3. Si todos los coeficientes ai  0 , agrupar los coeficientes en
el siguiente arreglo:
n
n 1
a
s

a
s
   a1s  a0  0
n
n

1
n
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bi
an
an  2
...
a0
s n 1 an 1
s n  2 bn  2
an 3
...
a1

b0
s n  3 cn  3
 

s2
e2
e0
s1
f1
s0
g0
s

b0 
a n 1a0  a n a1
a n 1
De la misma forma se evalúan ci , di , ei , continuando el
proceso hasta completar la última fila.
Estabilidad de sistemas continuos
Pasos del criterio de Routh-Hurwitz (cont.):
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4. El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz establece que el
número de raíces del polinomio característico con parte real
positiva es igual al número de cambios de signo de los
coeficientes de la primera columna del arreglo.
Hay casos especiales de ceros en la primera columna o ceros en
una fila que producen sistemas inestables o crítico-estables.
Límite de la estabilidad
Estabilidad de sistemas continuos
Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz:
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a) Si el término de la primera columna de cualquier fila es cero,
pero los términos restantes no lo son, o no hay términos
restantes.
Sustituimos el cero con
un número positivo muy
pequeño e y se evalúa
normalmente.
0
Si el signo del coeficiente que está encima del cero (e) es
igual al signo que está por debajo de él, entonces hay un par
de raíces imaginarias.
Estabilidad de sistemas continuos
Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz:
Departamento de Ingeniería
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a) Si el término de la primera columna de cualquier fila es cero,
pero los términos restantes no lo son, o no hay términos
restantes.
dos raíces en el
semiplano derecho
Primer cambio
Segundo cambio
Si el signo del coeficiente que está encima del cero (e) es
opuesto al del que está abajo entonces hay un cambio de
signo.
Estabilidad de sistemas continuos
Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz (cont.):
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b) Si todos los coeficientes de cualquier fila son cero.
La evaluación del resto de la tabla
continúa mediante la formación
de un polinomio auxiliar, P(s), con
los coeficientes de la fila s4 y
sustituyendo la fila s3 con los
coeficientes de la derivada de P(s)
con respecto a s.
raíces de igual magnitud que se
encuentran radialmente opuestas en el
plano s, es decir, dos raíces con
magnitudes iguales y signos opuestos
y/o dos raíces imaginarias conjugadas.
hay dos pares de raíces de igual
magnitud y signo opuesto. Estos pares
se obtienen resolviendo la ecuación
del polinomio auxiliar P(s)=0.
Estabilidad de sistemas continuos
Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz (cont.):
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b) Si todos los coeficientes de cualquier fila son cero.
Cambio de signo
Despejando las raíces de la ecuación del polinomio auxiliar
se obtiene:
Estabilidad de sistemas continuos
Ejemplo 1:
Aplicar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz al polinomio de
tercer orden:
Todos los coeficientes > 0
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Se construye el arreglo:
Entonces, la condición de estabilidad viene dada por:
Estabilidad de sistemas continuos
Ejemplo 2:
Aplicar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz al polinomio de
tercer orden:
Todos los coeficientes > 0
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Se construye el arreglo:
Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera
columna. Esto significa que existen dos raíces con partes reales
positivas.
Estabilidad de sistemas continuos
Criterio de Routh-Hurwitz:
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– El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz tiene una utilidad
limitada en el análisis de un sistema de control lineal, sobre
todo porque no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa ni
cómo estabilizar un sistema inestable.
– Sin embargo, es posible determinar los efectos de cambiar
uno o dos parámetros de un sistema si se examinan los
valores que producen inestabilidad.
Estabilidad de sistemas continuos
Ejemplo:
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Hallar K para que el sistema en bucle cerrado sea estable.
1. La función de transferencia en bucle cerrado es:
2. Siendo la ecuación característica la siguiente:
Estabilidad de sistemas continuos
Ejemplo (cont.):
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Hallar K para que el sistema en bucle cerrado sea estable.
3. Construimos el arreglo de Routh-Hurwitz:
4. Para garantizar la estabilidad del sistema todos los
elementos de la primera columna deben ser positivos.
Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de
sistemas LTI
4.1. Introducción.
4.2. Análisis de la respuesta transitoria de un sistema:
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4.2.1. Sistemas de primer orden.
4.2.2. Sistemas de segundo orden.
4.2.3. Sistemas de orden superior.
4.3. Introducción a la identificación de sistemas.
4.4. Análisis de la estabilidad de un sistema.
4.5. Análisis de la respuesta estacionaria de un sistema.
Análisis de la respuesta estacionaria
Error en régimen permanente:
Error estacionario
Se considerarán sistemas en bucle cerrado donde la salida del
sistema C(s) tiene que seguir una consigna o referencia R(s).
R(s )
E (s)
+
G (s )
Señal referencia
-
C (s)
B(s)
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Señal medida
H (s )
– Se define el error en régimen permanente como:
e  lim e(t )  lim r (t )  b(t ) 
t 
t 
OJO: El erp es igual a la diferencia entre R(s)
y C(s) si y sólo si la ganancia H(s) es 1.
Análisis de la respuesta estacionaria
Error en régimen permanente (cont.):
– Aplicando la transformada de Laplace:
E(s)  R(s)  B(s)  R(s)  H (s)C(s)
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

G (s)

E ( s )  R ( s )1  H ( s )
1  G (s) H (s) 

E (s) 
1
R( s)
1  G (s) H (s)
– El erp depende de la señal de referencia, r(t), y del “tipo” N de
la planta-sensor G(s)H(s), definido por:
G (s) H (s) 
K ( 1c s  1)...( mc s  1)
s N ( 1 p s  1)...( np s  1)
– Aplicando teorema del valor final:
s
R( s)
s 0 1  G ( s ) H ( s )
e  lim e(t )  lim sE ( s )  lim
t 
s 0
OJO: Sólo si e(t) está
acotado sistema estable.
Análisis de la respuesta estacionaria
Error en régimen permanente (cont.):
Error de posición
1. erp ante señal de entrada escalón:
s
1
s 0 1  G ( s ) H ( s ) s
e  lim
e 
1
1  lim G ( s ) H ( s )
s0
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Definiendo la constante de error escalón Kp
K p  lim G ( s ) H ( s )  G (0) H (0)
s 0
e 
1
1 K p
Cte. estática de error
de posición
El erp ante una entrada escalón será nulo cuando Kp∞ lo cual
se produce cuando el sistema es de tipo N ≥ 1.
Número de
integradores ≥1
Análisis de la respuesta estacionaria
Error en régimen permanente (cont.):
Error de velocidad
1. erp ante señal de entrada rampa:
s
1
s 0 1  G ( s ) H ( s ) s 2
1
1

s 0 s  sG ( s ) H ( s )
lim sG ( s ) H ( s )
e  lim
e  lim
s 0
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Definiendo la constante de error rampa Kv
K v  lim sG ( s ) H ( s )
s 0
e 
1
Kv
Cte. estática de
error de velocidad
El erp ante una entrada rampa será nulo cuando Kv∞ lo cual se
produce cuando el sistema es de tipo N ≥ 2.
Número de
integradores ≥2
Análisis de la respuesta estacionaria
Error en régimen permanente (cont.):
Error de aceleración
1. erp ante señal de entrada parábola:
s
1
s 0 1  G ( s ) H ( s ) s 3
e  lim
e  lim
s 0
1
s 2  sG ( s ) H ( s )

1
lim s 2 G ( s ) H ( s )
s 0
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Definiendo la constante de error parábola Ka
K a  lim s 2 G ( s ) H ( s )
s 0
e 
1
Ka
Cte. estática de error
de aceleración
El erp ante una entrada parábola será nulo cuando Ka∞ lo cual
se produce cuando el sistema es de tipo N ≥ 3.
Número de
integradores ≥3
Análisis de la respuesta estacionaria
Error en régimen permanente (cont.):
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Tabla resumen de errores en régimen permanente de sistemas
continuos: