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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERIA
EXAMEN : SEGUNDO EXAMEN PARCIAL (2012-1).
PROFESOR : ING. GUILLERMO CASAR MARCOS.
MATERIA : PROBABILIDAD Y ESTADISTICA (GRUPO 30).
NOMBRE DEL ALUMNO : ___________________________________
1. Un robot posiciona diez unidades en un torno para maquinado cuando se gradúa el torno. Si el robot
no tiene la unidad posicionada de manera apropiada, ésta cae, y la posición del torno permanece
abierta, resultando de este modo un ciclo que produce menos de diez unidades. Un estudio del
funcionamiento pasado del robot indica que si x = número de posiciones de posiciones abiertas,
P (x) = 0.6
;
x=0
0.3
;
x=1
0.1
;
x=2
0.0
;
de otro modo
Si la pérdida debida a posiciones vacías está dada por Y = 20 x²
a ) Encuentre la distribución de probabilidad de Y
b ) Calcular E (Y)
Solución:
x: número de posiciones abiertas
a) Distribución de probabilidad de y
Px(y) = Y = 20 x2
Y = 20(0)2 = 0
Y = 20(1)2 = 20
Y = 20(2)2 = 80
X
0
1
2
P(x)
0.6
0.3
0.1
Px(y)
0
20
80
b) E(y) = ∑y P(x) = ∑ 20x2P(x) = 20x12 P(x1) + 20x22 P(x2) + 20 x32 P(x3) = 20(0)2(0.6) + 20(1)2(0.3) +
+ 20(2)2(0.1) = 0 + 6 + 8 = 14
2. La variable aleatoria que representa la porción de accidentes automovilísticos fatales en México, tiene
la siguiente función densidad de probabilidad:
42 x ( 1 – x ) 5 ; 0 < x < 1
f(x)=
0
; para cualquier otro valor.
Determinar : a) E (3 x + 1 ) y b) E ( 5 x 2 – x + 1 )
Solución :
f (x) = 42 x ( 1 – x )5
E(x) =
;
0<x<1
x 42x ( 1 – x )5 dx =
42 x2 ( 1 – x )5 dx = 42
x2 ( 1 – x )5 dx =
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x2( 1 – 5x + 10x2 – 10x3 + 5x4 – x5 ) dx = 42
E(x) = 42
E(x) = 42 [
-
E(x) = 42 (
+
+
+
-
]01 = 42 [ -
( x2 – 5x3 + 10x4 – 10x5 + 5x6 – x7 ) dx =
+2-
+ - ] = 42 [
]=
) = 0.25
x2 42x ( 1 – x )5 dx =
E(x2) =
42 x3 ( 1 – x )5 dx = 42
x3 ( 1 – x )5 dx =
x3( 1 – 5x + 10x2 – 10x3 + 5x4 – x5 ) dx = 42
E(x2) = 42
E(x2) = 42 [
- x5 +
E(x2) = 42 (
-
+
-
] = 42 [ - 1 +
-
( x3 – 5x4 + 10x5 – 10x6 + 5x7 – x8 ) dx =
+
-
] = 42 [
]=
) = 0.083333
a) E ( 3x + 1 ) = 3 ( 0.25 ) + 1 = 1.75
b) E ( 5x2 – x + 1 ) = 5 ( 0.083333) - 0.25 + 1 = 1.16665
3. De acuerdo con la Chemical Engineering Progress, aproximadamente 30 % de todas las fallas de
operación de tuberías en plantas químicas son ocasionadas por errores del operador ¿Cuál es la
probabilidad de que no más de cuatro de 20 fallas se deban al error del operador?
Distribución Binomial
P(x=n) = NCn pn qN-n
N = 20 ; p = 0.3 ; q = 0.7
P ( x < 4 ) = P ( x=0) + P ( x=1 ) + P ( x=2 ) + P ( x=3 ) + P ( x=4 ) =
(0.3)0 (0.7)20 +
P(x<4)=
+
(0.3) (0.7)19 +
(0.3)2 (0.7)18 +
(0.3)3 (0.7)17 +
(0.3)4 (0.7)16 = 0.237507784 = 23.75%
4. En un proceso de fabricación donde se manufacturan productos de vidrio ocurren defectos o
burbujas, lo que deja ocasionalmente a la pieza indeseable para su venta. Se sabe que, en promedio,
uno de cada 1000 de estos artículos que se producen tienen una o más burbujas. ¿Cuál es la
probabilidad de que una muestra aleatoria de 8000 tenga menos de siete artículos con burbujas?
Distribución Poisson
P(x=n) =
e-
N = 8,000 ; p=0.001 ; q=0.999
= Np = (8,000)(0.001) = 8
P (x < 7 ) = P ( x=0 ) + P ( x=1 ) + P ( x=2 ) + P ( x=3 ) + P ( x=4 ) + P ( x=5 ) + P ( x=6 ) =
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P ( x < 7 ) = e-8 (
+
+
+
+
+
+
) = e-8 ( 1 + 8 + 32 +
+
+
+
)=
P ( x < 7 ) = e-8 (934.1555556) = 0.313374277 = 31.34%
5. En el Centro de Investigación y Registro Sísmico de la Ciudad de México en un día determinado se
detectan siete sismos en una hora. Si se termina de detectar un sismo, cual es la probabilidad de que:
a. )
Transcurran cuando menos 15 minutos antes de que se detecte el siguiente sismo.
b. )
No pasen más de 10 minutos antes de detectar el siguiente sismo.
Distribución Exponencial
P( t1 < t < t2 ) =
f(t) = λe-λt
;
;
t>0
λ=7
a) P (t > 15 min) = P (t > hr ) =
b) P(0 < t < 10 min) = P(0 < t < hr ) =
7e.7t dt = -e-7t
∞
1/4
= e-7/4 = 0.17377 = 17.38%
7e-7t dt = - e-7t
1/6
0
= - e-7/6 + 1 = 0.688596 = 68.86%
6. Una empresa eléctrica fabrica focos ahorradores que tienen una duración, antes de fundirse, que se
distribuye normalmente con una media igual a 10,000 horas y una desviación estándar de 500 horas.
Encuentre la probabilidad de que un foco ahorrador se funda:
a. )
Entre 9,725 y 10,425 horas.
b. )
Cuando llegue a 10,725 horas o más.
Distribución Normal Estándar
a) P ( 9,725 < x < 10,425 ) = P ( - 0.55 < z < 0.85 ) = 0.80234 – 0.29117 = 0.51117 = 51.117%
z1 =
=
= - 0.55
z2 =
=
= 0.85
b) P (x > 10,725) = P (z > 1.45) = 1 – 0.92648 = 0.07352 = 7.352%
z=
=
= 1.45