1. No category

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2015
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
TEMA 1: MATRICES

Junio, Ejercicio 1, Opción B
www.emestrada.net
 2 0
 2 3
 2  3


Sean las matrices A  
 , B
 y C   0 2
1
 1 1
5
 3 0


a) Calcule las matrices X e Y si: X  Y  2 A y X  B  2Y
b) Analice cuáles de las siguientes operaciones con matrices se pueden realizar, indicando en los
casos afirmativos las dimensiones de la matriz D.
A D  C
A D  C t
D A  C
D A  C t
SOCIALES II. 2015 JUNIO EJERCICIO 1. OPCION B
R E S O L U C I Ó N
a) Resolvemos el sistema matricial
 4 6 
 4 6 
X Y  
  X Y  
 
 6 3
 2 1
  2 2 
  2 2 

  3Y  
Y 

3 
2
 2  3 
 3 3
 1 1
X  2Y  
 X  2Y  


1  
  5 1  
5
 2 1  4 6 
 2 5
X 

 X 

 1 1   2 2 
 3 1
b)
A (2,2)  D  C (3,2) No se puede, ya que para sumar matrices, éstas tienen que tener el mismo orden y
la matriz resultante, también es del mismo orden.
A (2,2) D(2,3)  C t (2,3) Si se puede, la matriz D es de orden (2,3)
D(3,2)  A (2,2)  C (3,2) Si se puede, la matriz D es de orden (3, 2)
D  A (2,2)  C t (2,3) No se puede, ya que la matriz resultante debe tener tantas columnas como
columnas tiene la matriz A, y 2  3
www.emestrada.net
PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2015
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL

Junio, Ejercicio 1, Opción A
www.emestrada.net
Con motivo de su inauguración, una heladería quiere repartir dos tipos de tarrinas de helados.
El primer tipo de tarrina está compuesto por 100 g de helado de chocolate, 200 g de helado de
straciatella y 1 barquillo. El segundo tipo llevará 150 g de helado de chocolate, 150 g de helado
de straciatella y 2 barquillos. Sólo se dispone de 8 Kg de helado de chocolate, 10 Kg de helado
de straciatella y 100 barquillos.
¿Cuántas tarrinas de cada tipo se deben preparar para repartir el máximo número posible de
tarrinas?.
SOCIALES II. 2015 JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A
R E S O L U C I Ó N
Lo primero que hacemos es plantear el sistema de inecuaciones que define el problema. Para ello
vamos a poner en una tabla los datos del problema.
Chocolate
Straciatella
Barquillo
x = Tipo A
100g
200g
1
y = Tipo B
150g
150g
2
Total
8000g
10000g
100
100 x  150 y  8.000 
200 x  150 y  10.000 

x  2 y  100 
Las inecuaciones del problema son:

x0

y0

La función que tenemos que maximizar es: F ( x, y )  x  y . A continuación dibujamos el recinto y
calculamos sus vértices.
Los vértices del recinto son los puntos:
A  (0, 0) ; B  (50, 0) ; C  (20, 40) ; D  (0,50) .
Calculamos los valores que toma la función F ( x, y )  x  y en dichos puntos
F ( A)  F (0, 0)  0 ; F ( B )  F (50, 0)  50 ; F (C )  F (20, 40)  60 ; F ( D)  F (0,50)  50
Se deben fabricar 20 tarrinas del tipo A y 40 tarrinas del tipo B
www.emestrada.net
PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2015
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
TEMA 4: FUNCIONES

Junio, Ejercicio 2, Opción A

Junio, Ejercicio 2, Opción B
www.emestrada.net
a) Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones:
3ln( x )
g( x )  (1  x 2 )  ( x 3  1) 2
f ( x) 
3
x
7x
b) Halle las asíntotas de la función p( x ) 
3 x  12
SOCIALES II. 2015 JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A
h( x )  3 x 2  7 x 
1
e 2x
R E S O L U C I Ó N
1
3   x 3  3x 2  3ln x
3x 2  (1  3ln x) 3  (1  3ln x)
a) f '( x)  x


( x3 ) 2
x6
x4
g '( x)   2 x  ( x 3  1) 2  2  ( x 3 1)  3x 2  (1  x 2 )  ( x 3  1)    2 x 4  2 x  6 x 2  6 x 4   ( x 3  1)    8 x 4  6 x 2  2 x 
h '( x)  6 x  7 
b) p ( x) 
2  e 2x
2
 6x  7  2x
2x 2
(e )
e
7x
3x  12
7x
28


3 x  12 0
7
7x

7 7
  lim 
La recta y  es una asíntota horizontal, ya que: lim
x   3 x  12
3
 x  3 3
La recta x  4 es una asíntota vertical, ya que: lim
x 4
No tiene asíntota oblicua, ya que tiene asíntota horizontal.
www.emestrada.net
x2  2
si 0  x  2

Se considera la función f ( x )   8 x  a
.
si
x

2

 x 1
a) Determine el valor de a, para que la función sea continua.
b) ¿Para a   10 , es creciente la función en x  3 ?.
c) Halle sus asíntotas para a   10
SOCIALES II. 2015. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
8x  a
es continua en   1  . La función polinómica x 2  2 es continua en
x 1
. Por lo tanto, solo tenemos que estudiar la continuidad en x  2 .
a) La función racional
Estudiamos la continuidad en x  2


f ( x)  f (2)  6  16  a  a  10
  lim f ( x)  xlim
8x  a
2 
lim
 16  a  x 2
x 2
x 1

lim ( x 2  2)  6
x 2 
b) Calculamos la derivada
f '( x) 
8( x  1)  1(8 x  10)
2
2 1

 f '(3)    0  Es creciente
2
2
( x  1)
( x  1)
4 2
b) La función polinómica x 2  2 no tiene asíntotas.
Calculamos las asíntotas de la función racional
Asíntota vertical: lim
x 1
8 x  10
x 1
8 x  10
   x  1 es una asíntota vertical, pero no está en su dominio
x 1
Asíntota horizontal: lim
x 
8 x  10 
  8  y  8 es la asíntota horizontal.
x 1

www.emestrada.net
PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2015
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
TEMA 5: PROBABILIDAD

Junio, Ejercicio 3, Opción A

Junio, Ejercicio 3, Opción B
www.emestrada.net
De los 700 alumnos matriculados en una asignatura, 210 son hombres y 490 mujeres. Se sabe que
el 60% de los hombres y el 70% de las mujeres aprueban dicha asignatura. Se elige una persona
al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe la asignatura?
b) Sabiendo que ha aprobado la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?
SOCIALES II. 2015. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A
R E S O L U C I Ó N
Hacemos una tabla con los datos del problema y la completamos.
a) p (aprobar ) 
469
 0 '67
700
b) p (mujer / aprobar ) 
343
 0 '7313
469
www.emestrada.net
La proporción de personas de una población que tiene una determinada enfermedad es de 1 por
cada 500 personas. Se dispone de una prueba para detectar dicha enfermedad. La prueba detecta
la enfermedad en el 90% de los casos en que la persona está enferma, pero también da como
enfermas al 5% de las personas sanas.
a) se elige al azar una persona y se le hace la prueba, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido
diagnosticada correctamente?
b) Si la prueba ha diagnosticado que la persona está enferma, ¿cuál es la probabilidad de que
realmente lo esté?. ¿Y de que está sana?.
SOCIALES II. 2015. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
Hacemos un diagrama de árbol con los datos del problema
a) p (diagnostico correcto) 
1
499
 0 '9 
 0 '95  0 '9499
500
500
1
 0 '9
500
b) p (realmente enfermo / enferma) 
 0 '0348
1
499
 0 '9 
 0 '05
500
500
499
 0 '05
500
p ( sano / enferma) 
 0 '9651
1
499
 0 '9 
 0 '05
500
500
www.emestrada.net
PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2015
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

Junio, Ejercicio 4, Opción B
www.emestrada.net
Un fabricante de tuberías PVC sabe que la distribución de los diámetros interiores de los tubos
de conducción de agua que produce sigue una ley Normal con varianza  2  0.25 mm 2 . Para
estimar el diámetro medio de esas tuberías, toma una muestra aleatoria de 64 tubos y
comprueba que el diámetro medio de esa muestra es de 20 mm.
a) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para la media de los diámetros de
los tubos que fabrica.
b) Halle el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esa distribución para que la
amplitud de un intervalo de confianza, con ese mismo nivel de confianza, sea inferior a 2 mm.
SOCIALES II. 2015 JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
a) Con los datos del problema calculamos:
1  0 '98
 0 '99  z   2 '33
2
2
Luego, sustituyendo, tenemos:

0'5
0'5 
I .C.  20  2'33 
, 20  2'33 
  (19'8543 ; 20'1456)

64
64


b) Amplitud  2  2  Error  E  1
E  1  2 '33 
0 '5
 n  1'35
n
2
Luego, el tamaño mínimo de la muestra debe ser 2 tubos.
www.emestrada.net
PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2015
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
TEMA 7: CONTRASTE DE HIPÓTESIS

Junio, Ejercicio 4, Opción A
www.emestrada.net
La concejalía de Educación de una determinada localidad afirma que el tiempo medio dedicado
a la lectura por los jóvenes de entre 15 y 20 años de edad es, a lo sumo, de 8 horas semanales.
Para contrastar esta hipótesis ( H 0 :   8 ), se escoge al azar una muestra de 100 jóvenes, de
entre 15 y 20 años, y se obtiene una media de 8.3 horas de dedicación a la lectura. Supuesto que
el tiempo dedicado a la lectura sigue una ley Normal con desviación típica igual a 1 hora, ¿qué
se puede decir, a un nivel de significación del 5%, sobre la afirmación de la concejalía?.
SOCIALES II. 2014 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4 OPCIÓN A
R E S O L U C I Ó N
Etapa 1: Hipótesis nula H0 :  0  5 ; Hipótesis alternativa H1 :  0  5 , la cual nos indica la dirección
del contraste, es decir, la región crítica está a la derecha del punto crítico z 1
Etapa 2: Calculamos el punto o puntos críticos que nos darán las regiones críticas y de aceptación.
Para el nivel de significación de   0'05  1    0'95  valor crítico z 1  1'645
Etapa 3 y 4: Ponemos el estadístico del contraste y calculamos el valor observado.
X 0
Estadístico: Z 

n
Valor observado: z 0 
x   0 5'5  5

 1'317

1' 2
n
10
Etapa 5: Comparamos el valor observado con el punto crítico para tomar la decisión adecuada.
El valor observado z 0  1'317 , está a la izquierda del punto crítico 1’645, por lo tanto, estamos en
la zona de aceptación. Luego, aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la alternativa. Por lo tanto,
afirmamos que la calificación media de los alumnos en Matemáticas es a lo sumo de 5 puntos, con
una probabilidad de equivocarnos del 5 %.
b) Para el nivel de significación de   0'15  1    0'85  valor crítico z 1  1'04
El valor observado z 0  1'317 , está a la derecha del punto crítico 1’04, por lo tanto, estamos en la
zona de rechazo. Luego, rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa. Por lo tanto,
afirmamos que la calificación media de los alumnos en Matemáticas es mayor de 5 puntos, con una
probabilidad de equivocarnos del 15 %.
www.emestrada.net