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ARTÍCULO No. ELE 15 ARTÍCULO ACEPTADO POR REFEREO 15° CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS (CNIES 2015) Flujos de Carga Estocásticos ante
Contingencias incluyendo Robustez
Numérica
Ing. Carlos Jesús Ferrandon Cervantes
Dr. David Romero Romero
Profesor-Investigador Titular "C" ,SEPI-Eléctrica, ESIME Zacatenco
SEPI-Eléctrica, ESIME Zacatenco
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Departamento de Ingeniería Eléctrica
SEPI-ESIME Zacatenco
I. RESUMEN
En este artículo se analizan los flujos de carga bajo un enfoque
estocástico; específicamente se busca obtener la cargabilidad de las
líneas de transmisión. Posteriormente, se incluye en la simulación
contingencias en el sistema, seleccionadas previamente debido a una
clasificación de su índice de comportamiento y a su vez el índice de
robustez, que es un indicador de la cercanía a la singularidad de la
matriz del Jacobiano. Asimismo se observa la matriz de covarianza
obtenida y con base a ésta, es posible observar el intervalo de variación
de los flujos presentes en las líneas de transmisión. De esta forma, se
conoce la cargabilidad para dicha línea de transmisión. Los resultados
de flujos estocásticos obtenidos se comparan con simulación Monte
Carlo para validación. El sistema de prueba que se usó fue el de 14
nodos IEEE. Todo el estudio se realizó bajo el estado estacionario del
sistema.
II. ABSTRACT
In the following paper the Load Flow studies are addressed under
a stochastic approach, looking forward to achieve results that lead to
determine the loadability of a transmission line. Henceforth,
contingencies in the system are included in the simulation, previously
selected due to a performance index classification and the robustness
index; which is an indicator of the closeness to the singularity of the
Jacobian matrix. Likewise, the covariance matrix is observed and with
it it’s possible to verify the variation range of the load flows on the
transmission lines. In this manner the loadability for the transmission
line is obtained. The stochastic load flows results obtained are
compared with Monte Carlo simulation for validation. The test system
used for this paper is the IEEE 14 buses. The whole survey is
developed in the steady-state condition of the system.
Palabras Clave:
Simulación Monte Carlo
Cargabilidad
Robustez Numérica
Análisis de Contingencias
Flujos de Carga Estocásticos
Keywords:
Monte Carlo Simulation
Loadability
Numerical Robustness
Contingency Analysis
Stochastic Load Flow Studies
México D.F., 19 al 23 de octubre 2015
III. INTRODUCCIÓN
El estudio de flujos de potencia es actualmente la
subrutina más utilizada en la planeación y operación de los
Sistemas Eléctricos de Potencia. Mediante este estudio, se
obtienen las magnitudes y ángulos de voltaje en cada nodo en
estado estacionario. Un estudio de flujos de potencia
convencional arroja solamente una “estampa” del estado del
sistema, es decir, el punto de operación específico para ciertos
datos de entrada. Para este trabajo, se utiliza el método de flujos
estocásticos, en donde en una sola simulación, es posible
conocer el intervalo de variación de los datos de salida y así
obtener la cargabilidad estocástica de las líneas de transmisión
del sistema.
En el estudio de clasificación automática de
contingencias es necesario determinar qué contingencia es más
crítica con respecto a las demás en el sistema; lo cual se
determina mediante el índice de comportamiento
La
ventaja de utilizar este índice es que su cálculo se puede hacer
paralelo al estudio de flujos de potencia convencional, sólo
implica programar la subrutina que conlleva obtener dicho
valor. Asimismo, en busca de conocer la cercanía a la
inestabilidad en el sistema, se calcula el índice de robustez del
sistema
mediante un análisis de de valores singulares. Este
índice aparte de ser indicador de la robustez del sistema, arroja
resultados para realizar una clasificación de contingencias. El
único inconveniente es que requiere más tiempo de cómputo.
Para obtener el
se analiza la matriz del Jacobiano
de la última iteración del estudio de flujos de potencia, el cual
muestra, matemáticamente hablando, la cercanía a la
singularidad de dicha matriz. Físicamente hablando; entre
mayor sea el valor del
en el sistema, más cerca se encuentra
éste de la inestabilidad, justificando de esta forma un posible
escenario de colapso de una o más líneas de transmisión debido
a que alcanzaron su límite de cargabilidad.
El estudio de flujos estocásticos se realiza sobre el
sistema IEEE 14 nodos. Sobre la diagonal de la matriz de
covarianza de las variables de salida, se encuentra la varianza
de dichas variables, con ella se obtiene la desviación estándar y
el intervalo de variación de los datos de salida. Entre estos datos
de salida se encuentran los flujos de las líneas de transmisión
del sistema, que es donde se puede observar la cargabilidad de
1 ARTÍCULO No. ARTÍCULO 15° CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS (CNIES 2015) éstas. Los resultados de flujos estocásticos se validaron con
simulación Monte Carlo [1] [2], que es un método
probabilístico directo; su único inconveniente es el tiempo de
simulación que conlleva.
IV.FLUJOS ESTOCÁSTICOS Y LA MATRIZ DE
COVARIANZA
El método de Flujos Estocásticos está basado en los
principios estadísticos de estimación por mínimos cuadrados
para sistemas lineales [3]. Dado que el estudio de flujos de
potencia es un problema no lineal [4], su resolución consiste en
linealizar las ecuaciones no lineales mediante la expansión de
series de Taylor. Las ecuaciones de flujos de potencia,
suponiendo un error o desviación que siempre existe en las
variables de entrada, son las siguientes:
Y debido a que el sistema tiene cero grados de libertad en la
que el Jacobiano es una matriz cuadrada, entonces se tiene que:
(7)
Partiendo de que la ecuación (1) es no lineal, se interpreta
como el valor que se alcanza luego de la convergencia en la
simulación después de ciertas iteraciones en las que va
cambiando su valor. Correspondiente a
existe
que se
calcula directamente de la ecuación (2):
(8)
Y correspondiente al valor verdadero, pero desconocido de ,
esto es , así como para , siendo :
(9)
Asimismo, se tienen las siguientes propiedades estadísticas que
son importantes mencionar:
(1)
Siendo ′ el vector de estado verdadero. Mediante la expansión
de series de Taylor, se linealiza a (1):
0
(2)
Desarrollando el álgebra correspondiente, (12) se reduce a lo
siguiente, si es una matriz cuadrada:
(13)
0
La ecuación (10) representa la covarianza de , indica la
desviación que existe de con respecto al valor verdadero ;
siendo las variables de estado del sistema. La ecuación (12)
indica que la varianza es cero si existen tantas ecuaciones como
incógnitas. Esto significa que la solución de la ecuación (2) ha
sido obtenida, esto es
0. Otra propiedad importante es
la siguiente:
Donde:
|
′
Donde representa el valor promedio del intervalo de posibles
valores que pueden tener los datos de entrada. Asimismo, están
las variables de estado del sistema, esto es ′, con las cuales se
calculan los flujos de potencia. Estas variables de estado tienen
un valor verdadero, aunque desconocido, que representa las
condiciones en las que existirán en un punto de operación
posterior. El Jacobiano es el sistema de ecuaciones que consta
de las derivadas parciales de las variables de entrada con
respecto a cada una de las variables de estado, evaluado en ′.
El vector representa el error entre ′ y
′ . Dado que ′ no
se conocerá hasta que las condiciones futuras se obtengan,
puede ser descrito estadísticamente como una variable aleatoria
que tiene cierta media y varianza. Lo que se busca entonces es
que la esperanza matemática de sea cero, esto es:
(3)
0
(14)
Que se reduce a:
(15)
Eso quiere decir que no es posible obtener un valor de más
cercano de que los datos de entrada originales .
Suponiendo existen otras cantidades ′(fasores,
inyecciones de potencia, flujos de potencia, etc) que se
relacionan con ′, de la siguiente forma:
(16)
′
′
Mediante una expansión de series de Taylor, se linealiza a (16)
y se obtiene:
(17)
Donde son las variables de estado del sistema y
es el
Jacobiano de las variables de salida con las que se relacionan.
De donde se obtiene ̂ de :
(18)
̂
Donde el valor verdadero de se obtiene de :
Donde generalmente es una matriz diagonal que contiene la
varianza de los datos de entrada. Lo que se busca bajo un
enfoque de mínimos cuadrados es la minimización de la
función:
(19)
Las propiedades estadísticas de son las siguientes:
(20)
̂
(21)
̂
̂
La ecuación (20) indica que el valor promedio de ̂ tenderá a
ser el valor verdadero de , esto es, . La ecuación (21)
representa la covarianza de ̂ . Sobre su diagonal se encuentra
la varianza de cada una de las variables de salida relacionadas
con las variables de estado. El enfoque estocástico de flujos de
potencia se representa mediante los siguientes tres pasos:
(4)
Tendrá un mínimo cuando la derivada sea cero:
0
Se obtiene un valor de que minimiza a
:
(5)
y se conoce como
(6)
2 México D.F., 19al 23 de octubre 2015
(10)
(11)
(12)
ARTÍCULO No. ARTÍCULO 15° CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS (CNIES 2015) operación de descomposición por valores singulares. Cada
matriz es susceptible de contar con la factorización de
descomposición por valores singulares [7]. Revisando el
teorema fundamental de SVD:
Teorema 1
. Por lo tanto existen matrices ortogonales tales
Sea ∈
y ∈
tales que:
que ∈
(25)
Σ
(26)
0
A
0 0
1. Flujos de Potencia Convencional.
En este paso se calculan las variables de estado para
cierto punto de operación. Para este artículo se programó el
método Newton-Raphson completo. Se guardan estos datos y
se obtienen los valores de inyecciones de potencia, flujos de
potencia.
2. Cálculo de covarianza de .
Se calcula la matriz de covarianza de , que ya incluye
el error (incertidumbre) o variación de los datos de entrada;
utilizando el Jacobiano de la última iteración de flujos de
potencia y la matriz diagonal .
(27)
0
∈
Donde Σ ,⋯,
,
,
0 0
⋯
0.Se tiene que:
El orden o tamaño de las submatrices se determinan por (que
debe ser
, ), esto es,
∈
,
∈
,
∈
,
∈
, y los sub-bloques de ceros en la
matriz Σ están dimensionados adecuadamente. La
demostración puede encontrarse en [8].
De acuerdo a la definición se observa que el rango de la matriz
es determinado por los valores singulares diferentes de cero
como se muestra en [9]. Teniendo la factorización por valores
singulares, se procede a encontrar el índice de robustez de la
matriz con respecto a la solución del sistema lineal. Se analizará
a Σ ya que de la diagonal de esta matriz se busca:
á
Ahora bien, contando con estos valores, el índice de robustez
/
el cual representa qué tan adecuado
es
está definido el vector con respecto a la transformación
. Este valor se utilizará en la siguiente sección y será el
indicativo de la cercanía a la singularidad de la matriz del
Jacobiano [10] de la última iteración del problema de flujos de
potencia.
(22)
3. Cálculo de covarianza de .
Se calcula matriz de covarianza de los datos de salida
̂ , utilizando la matriz de covarianza de .
̂
̂
̂
(23)
En este paso final, se guardan los valores de la diagonal de la
matriz
̂ ya que en ella está la varianza de las variables de
salida. Con estos datos, se obtiene la desviación estándar de
dichas variables.
V.CLASIFICACIÓN AUTOMÁTICA DE
CONTINGENCIAS
En el afán de buscar escenarios de falla que fueran los
más críticos se recurrió a usar el índice de comportamiento [5]
y bajo el criterio de que si existiere alguna contingencia
en el sistema, se presentase con la condición de N-1, es decir,
con la pérdida de uno de los elementos del sistema, ya sea línea
de transmisión, transformador o un generador. Este índice
indica qué tan crítica es una contingencia con respecto a otra.
El índice de comportamiento se obtiene mediante la ecuación
(24):
ℓ
ℓ
2
ℓ
(24)
ℓ
í
VII) PRUEBAS Y RESULTADOS
Para este artículo, se trabajó con el sistema IEEE de
14 nodos mostrado a continuación en la figura 1. Aunque es
posible que a futuro se pueda utilizar cualquier otro sistema
para probar el algoritmo programado. En la Figura 1 los
números negros se refieren a los nodos de carga o de paso, los
números azules son los nodos PV (voltaje controlado), siendo
el nodo compensador el 1, los números rojos son la numeración
de los elementos (líneas y transformadores). En FORTRAN se
utilizó la subrutina de IMSL para determinar el rango y el
índice de robustez de la matriz de la última iteración donde
converge o no el Jacobiano para cada caso. Se simularon los
siguientes dos escenarios de operación:
1) Sistema sin contingencias.
2) Sistema con la salida de la línea 1.
Para el caso de contingencia donde se encuentra fuera de
servicio la línea 1, se seleccionó este escenario porque de
acuerdo a la Tabla 1 es el panorama más crítico bajo
condiciones de N-1. Ambos índices coinciden que la salida de
la línea 1 es el escenario de operación más crítico al que se
puede enfrentar el sistema
Potencia real de la líneaℓ, (calculada mediante el
modelo de flujos de Corriente Directa CD [6]).
í
Capacidad de potencia real de la línea ℓ. Esta
capacidad se puede proponer debido a experiencia operativa
del sistema o mediante simulación Monte Carlo, suponiendo
una distribución gaussiana en el intervalo 3 donde
∶ desviación estándar.
Número de líneas (o transformadores) en el sistema.
Exponente especificado (se utiliza
1).
Factor de peso. Coeficiente real que se encuentra
1. Se usa para reflejar la importancia de las
entre 0
ℓ
líneas. Siendo referencia la línea más cargada del sistema
1 y con respecto a ella se obtiene el factor de peso
de cada línea.
VI) DESCOMPOSICIÓN POR VALORES
SINGULARES Y DETERMINACIÓN DEL RANGO
En lo concerniente a encontrar el rango de una matriz,
el cual indica si una matriz es singular o no, se tiene la
3 México D.F., 19al 23 de octubre 2015
ARTÍCULO No. ARTÍCULO 15° CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS (CNIES 2015) Tabla 2- Flujos Estocásticos vs. Monte Carlo, caso base sin
contingencias (potencia real valores en pu)
Preal
DE A
Figura 1‐ Sistema de prueba IEEE 14 nodos
Tabla 1 Índice de comportamiento
Línea
fuera
1
bajo el escenario N-1
LÍMITES
LÍM. SUP. F.E. LÍM. SUP. M.C.
1
2 1.56882917
1.62010744
1.733125111
1
5 0.75510343
0.775178829
0.81773544
2
3 0.73237608
0.766063255
0.830209222
2
4 0.56131549
0.576506001
0.603303987
2
5 0.41516158
0.426014789
0.442636135
3
4 -0.2328566
-0.197165417
-0.157423293
4
5 -0.6115868
-0.58740549
-0.545096898
4
7 0.28074513
0.295662675
0.307687274
4
9
0.1607995
0.169326177
0.176169224
5
6 0.44086778
0.455706861
0.471015744
6
11 0.07353763
0.080254044
0.086021679
6
12 0.07785862
0.082126915
0.08549921
6
13 0.17747155
0.187247562
0.195395729
7
8
-1.13E-09
8.8774E-09
-1.12888E-09
7
9 0.28074516
0.295663342
0.307687302
0.068173285
9
10
0.0522707
0.06131089
9
14
0.0942739
0.104858315
0.112266387
10
11
-0.037858
-0.031279968
-0.025628669
12
13 0.01614056
0.019765988
0.022476464
13
14 0.05642846
0.064002749
0.070264942
348.94
Línea
fuera
1
4.293
10
218.101
3
3.116
2
151.76
10
2.928
3
129.81
2
2.514
Ahora, el escenario 2 bajo contingencias:
16
129.76
4
2.21
4
Tabla 3 - Flujos estocásticos vs. Monte Carlo, fuera línea 1 (potencia
real, valores en pu)
Equivalencia
128.908
7
2.187
9
127.75
13
2.02
17
13
126.56
17
1.934
126.41
16
1.846
5
125.25
12
11
122.19
12
DE A
Preal
LÍM ITES
media
LÍM. S UP. F.E. LÍM. S UP. M.C.
1
5
2.608907494
2.95387431
2.916575852
2
3
0.480645406
0.573884865
0.557183749
1.842
2
4
0.017988691
0.046235069
0.046492846
11
1.824
2
5
-0.31544647
-0.238837041
-0.258397366
121.93
9
1.811
3
4
-0.471163103
-0.34447127
-0.380003428
20
118.388
20
1.784
4
5
-1.337008226
-1.12244556
-1.199850547
18
1.783
7
0.244384811
0.260533421
0.270841843
118.24
18
4
4
9
0.139516854
0.148860497
0.154573897
19
117.905
19
1.777
5
6
0.499778726
0.532729454
0.534439428
115.95
6
1.704
6 11
0.109166274
0.123661498
0.124318142
1.703
6 12
0.082664255
0.087833228
0.090494883
6 13
0.195963482
0.210617319
0.214850112
7
8
-1.12601E-09
7.61359E-09
-1.12405E-09
7
9
0.244384814
0.260533349
0.270841848
9 10
0.017364971
0.0310088
0.034813413
9 14
0.071401697
0.081773276
0.089665642
10 11
-0.072613159
-0.05861461
-0.057988735
12 13
0.020880632
0.025109127
0.027393219
13 14
0.07922045
0.091390895
0.094335747
6
7
5
77.243
En la Tabla 2 siguiente, se compara los resultados de
flujos estocásticos con simulación Monte Carlo para el caso
base sin contingencias. Se toma el ejemplo de los flujos cuando
estos tienen la dirección de a y en particular se observan los
valores para los límites superiores del flujo de potencia,
suponiendo que los flujos siguen un comportamiento normal
(gaussiano):
3
4 México D.F., 19al 23 de octubre 2015
media
ARTÍCULO No. ARTÍCULO 15° CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS (CNIES 2015) En las siguientes figuras, se observa la
correspondiente función de densidad del flujo de potencia real
para la línea 2 y voltaje nodo 5 (el 1 es el compensador, se
mantiene constante) obtenidas mediante simulación Monte
Carlo. Se elige esta línea ya que es la que tiene el mayor flujo
de potencia después de la contingencia:
Función de densidad de probabilidad
0.18
0.16
0.14
0.12
f(x)
0.1
0.08
0.06
Función de densidad de probabilidad - Caso 1 sin contingencias
0.2
0.04
0.18
0.02
0.16
0
0.14
f(x)
0.06
0.992
0.994
0.996
0.998
1
1.002
Gen. Extreme Value
En este artículo se supondrá que la línea 2 es de 230 kV donde
el SIL (potencia natural de la línea [11]) es de 145 MW.
0.04
0.02
0.7
0.72
0.74
0.76
Flujo en PU - línea 2
Histograma
0.78
0.8
0.82
ANÁLISIS CON RESPECTO AL SIL, CASO 1.
Ahora bien, comparando con respecto al sistema de
≅ 82
se
prueba que atañe a este trabajo donde
observa que en el caso 1 la línea opera por debajo del SIL, es
decir, la potencia capacitiva generada por la línea es menor a la
potencia inductiva que esta consume. En este caso, la línea
aporta potencia reactiva al sistema. Esto se da porque en el caso
1 no hay contingencias y el sistema opera normalmente.
ANÁLISIS CON RESPECTO AL SIL, CASO 2.
En el caso 2 se presenta la contingencia de la salida de
la línea 1 y la línea 2 opera casi dos veces por arriba del valor
del SIL cuando la línea es de 300 millas. Esto produce un
aumento en el flujo de potencia, en las pérdidas de potencia y
en el balance de reactivos. En este caso la potencia inductiva
consumida por la línea es mayor a la potencia capacitiva que
genera. Consecuentemente, el índice de robustez es mayor
comparado con el caso 1.
Para cuestiones de analizar la cargabilidad de la línea,
se observa que para la Figura 2 y la Figura 3 no es exactamente
una función de distribución normal. Pero los datos de varianza
y desviación estándar de flujos estocásticos sí son coincidentes
con la simulación Monte Carlo, delimitando el intervalo de
variación del flujo de potencia en la línea de transmisión.
Asimismo, el voltaje en el nodo 5 en el caso donde existe
contingencia, se mantiene por arriba de una caída de tensión del
5% aceptable [12]; que es un criterio que se considera correcto;
esto para el 100% de las pruebas realizadas en simulación
Monte Carlo. Se observa que gracias a la topología de la red,
este sistema es muy robusto; ya que perder la línea más crítica
de acuerdo a la Tabla 1, no implica que el sistema se acerque a
un posible colapso, teniendo como referencia el índice de
robustez del sistema, el cual es aproximadamente 3 veces
mayor al valor del caso base sin contingencias.
Johnson SB
Figura 2 – Función de densidad del flujo de potencia real en la
línea 2, escenario sin contingencias
Función de densidad de probabilidad - Caso 2 fuera línea 1
0.16
0.14
0.12
f(x)
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
2.4
2.5
2.6
Flujo en PU - línea 2
Histograma
2.7
2.8
2.9
Beta
Figura 3 - Función de Densidad del flujo de potencia real en la
línea 2, escenario: fuera línea 1
Función de densidad de probabilidad
0.22
0.2
0.18
0.16
0.14
f(x)
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
1.018
1.0184
1.0188
1.0192
Histograma
1.0196
x
1.02
1.0204
1.0208
1.0212
Kumaraswamy
VIII) CONCLUSIONES
Mediante el enfoque estocástico del estudio de flujos
de potencia, es posible obtener la media del flujo de potencia
alrededor de intervalos de confianza y como se pudo observar
en las tablas 2 y 3, los valores no distan mucho de la simulación
Figura 4 – Función de densidad voltaje nodo 5, escenario sin
contingencias
5 México D.F., 19al 23 de octubre 2015
0.99
Figura 5 – Función de densidad voltaje nodo 5, escenario fuera
línea 1
0.08
0
1.0176
0.988
Histograma
0.1
0
0.986
x
0.12
0
0.984
ARTÍCULO No. ARTÍCULO 15° CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS (CNIES 2015) Monte Carlo. Aun con la inclusión de la contingencia más
crítica en el sistema, es posible utilizar este método. La
principal ventaja es que es una manera rápida de conocer los
intervalos de variación de los flujos de potencia en las líneas de
transmisión, siempre y cuando se aproveche el teorema del
límite central, esperando tener una función de distribución
normal, lo cual es válido para estudios rápidos de operación.
La parte más complicada de este método es sintonizar
los datos de entrada cuando se forma la matriz de covarianza
de , ya que es necesario detectar los nodos del sistema que son
sólo de paso y proponer el valor de los datos de entrada en esos
puntos. Otra ventaja de este método es que se puede agregar a
un programa de flujos de potencia convencional, siempre y
cuando éste se tenga acceso al código de éste.
[8] A. J. Laub, «Matrix Analysis for Scientists and Engineers,» Filadelfia, Pensilvania, SIAM, 2005. [9] G. Stewart, «Matrix Algorithms,» de Volume I: Basic Decompositions, Filadelfia, Pensilvania, SIAM, 1998. [10] V. A. Venikov, V. A. Stroev, V. I. Idelchik y V. I. Tarasov, «Estimation of Electrical Power System Steady‐State Stability,» IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 94, nº 3, 1975. [11] D. A. Douglass, J. R. Stewart y B. Clairmont, EPRI AC Transmission Line Reference Book ‐ 200kV and Above, Palo Alto, California: Electric Power Research Institute, 2005. [12] R. D. Dunlop y P. P. Marchenko, «Analytical Development of Loadability Characteristics for EHV and UHV Transmission Lines,» IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems,, vol. 98, nº 2, pp. 606‐617, 1979. XI) BIOGRAFÍA IX) AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen al Instituto Politécnico
Nacional, a la Sección de estudios de Estudios de Posgrado e
Investigación de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y
Eléctrica Unidad Zacatenco y al Consejo Nacional de Ciencia
y Tecnología.
X) REFERENCIAS
Referencias
[1] E. Zio, The Monte Carlo Simulation Method for System Reliability and Risk Analysis, París: Springer, 2012. [2] D. Romero Romero y C. J. Ferrandon Cervantes, «Análisis de Cargabilidad en Líneas de Alta Tensión mediante Simulación Montecarlo,» de Séptimo Congreso Internacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas (CIIES 2014), México, Distrito Federal, 2014. [3] J. F. Dopazo y A. M. Sasson, «Stochastic Load Flows,» IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 94, nº 2, 1975. [4] G. W. Stagg y A. H. El‐Abiad, «Computer Methods in Power System Analysis,» McGraw‐Hill, 1968. [5] G. C. Ejebe y B. F. Wollenberg, «Automatic Contingency Selection,» IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. 98, nº 1, Febrero, 1979. [6] X. F. Wang, Y. Song y M. Irving, Modern Power Systems Analysis, Nueva York: Springer, 2008. [7] V. C. Klema y A. J. Laub, «The Singular Value Decomposition: Its Computation and Some Applications,» IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 25, nº 2, pp. 164‐176, Abril, 1980. Dr. David Romero Romero
Profesor-Investigador Titular "C"
(TCE)
- Member, IEEE.
-Miembro del Comité Internacional de
IASTED.
- Doctor en Ciencias en Ingeniería
Eléctrica en la Universidad de Purdue,
USA, en 1984.
- Maestro en Ciencias en la
Universidad de Purdue, USA, 1981.
- Maestro en Ciencias en Ingeniería
Eléctrica. SEPI-ESIME-Zacatenco,
IPN, en 1976.
- Ingeniero Electricista, Escuela
Superior de Ingeniería Mecánica y
Eléctrica, IPN, 1974. Ing. Carlos Jesús Ferrandon
Cervantes
- Estudiante de 5to. Semestre,
Maestría en Ciencias en Ingeniería
Eléctrica, SEPI-ESIME-Zacatenco.
- - Ingeniero Mecánico Electricista,
Facultad de Ingeniería y Ciencias
Químicas, campus Xalapa,
Universidad Veracruzana, 2010. 6 México D.F., 19al 23 de octubre 2015