TEOREMA DEL BINOMIO
4.5 TEOREMA DEL BINOMIO 4.5.1 Teorema y propiedades Teorema. n Sean a, b , n N , entonces: (a b) n §n· ¦ ¨¨ k ¸¸a nk b k k 0© ¹ Demostración. Sea P (n) : (a b) n n §n· ¦ ¨¨ k ¸¸a nk b k k 0© ¹ a) P (1) es verdadero ya que (a b)1 1 §1· §1· k 0© § 1 · 10 0 §1· 11 1 ¨¨ ¸¸a b ¨¨ ¸¸a b ©0¹ ©1¹ ¦ ¨¨ k ¸¸a1k b k k 0© 1 ¦ ¨¨ k ¸¸a1k b k , esto ¹ ab b) Si P(r ) es verdadero, es decir, si (a b) r ( a b) r 1 último dado que ¹ r §r· ¦ ¨¨ k ¸¸a r k b k debemos demostrar que k 0© ¹ § r 1· r 1 k k ¸¸a b . Veámoslo k ¹ 0© r 1 ¦ ¨¨ k (a b) r 1 ( a b ) r ( a b) r §r· ( ¦ ¨¨ ¸¸a r k b k )(a b) k 0©k ¹ ª§ r · r § r · r 1 § r · r ( k 1) k 1 §r· º ¸¸a b ... ¨¨ ¸¸b r » (a b) «¨¨ ¸¸a ¨¨ ¸¸a b ... ¨¨ ©1¹ © k 1¹ ©r¹ ¼ ¬© 0 ¹ §r· § r · r k 2 k 1 §r· § r · r 1 § r · r ¸¸a ¨¨ ¸¸a ¨¨ ¸¸a b ¨¨ ¸¸.a r 1b 2 ... ¨¨ b ... ¨¨ ¸¸ab r © 2¹ © k 1¹ ©r¹ © 0¹ ©1¹ §r· § r · r k 1 k §r· §r· ¸¸a b .... ¨¨ ¸¸b r 1 ¨¨ ¸¸a r b ¨¨ ¸¸a r 1b 2 .............. ¨¨ © 0¹ ©1¹ © k 1¹ ©r¹ 89 ª§ r · § r ·º ª§ r · § r ·º r § r · r 1 § r · r 1 ª§ r · § r ·º r ¨¨ ¸¸a «¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸» a b «¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸» a r 1b 2 .. «¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸» ab ¨¨ ¸¸b 1 0 2 1 1 r r © 0¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹¼ ©r¹ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ § r 1· r 1 2 § r 1· r § r 1· r 1 § r 1· r 1 § r 1· r ¸¸a b .. ¨¨ ¸¸ab ¨¨ ¸¸b ¨¨ ¸¸a ¨¨ ¸¸a b ¨¨ © 2 ¹ © r ¹ © r 1¹ © 0 ¹ © 1 ¹ (a b) r 1 Observación. 1) Desarrollando la sumatoria obtenemos: ( a b) n n §n· ¦ ¨¨ k ¸¸a nk b k k 0© ¹ § n · n § n · n 1 §n· § n · n ( k 1) k 1 ¨¨ ¸¸a ¨¨ ¸¸a b ¨¨ ¸¸a n 2 b 2 ... ¨¨ ¸¸a b ... ©0¹ ©1¹ © 2¹ © k 1¹ § n · n ( n 1) n 1 § n · n ¸¸a ¨¨ b ¨¨ ¸¸b ; es decir, en el desarrollo de © n 1¹ © n¹ (a b) n obtenemos (n 1) términos. 2) El término de lugar k , denotado t k , es: t k fácil, el (k 1) -ésimo término es t k 1 § n · n ( k 1) k 1 ¨¨ ¸¸a b , o quizás más © k 1¹ § n · nk k ¨¨ ¸¸a b . ©k ¹ Ejemplos. 1) Desarrolle: (2a b) 4 Solución. ( 2 a b) 4 4 § 4· ¦ ¨¨ k ¸¸(2a) 4k b k k 0© ¹ § 4· § 4· § 4· § 4· § 4· ¨¨ ¸¸(2a ) 4 ¨¨ ¸¸(2a ) 3 b ¨¨ ¸¸(2a ) 2 b 2 ¨¨ ¸¸(2a)b 3 ¨¨ ¸¸b 4 ©1¹ © 2¹ © 3¹ © 4¹ ©0¹ 1 16a 4 4 8a 3 b 6 4a 2 b 2 4 2a b 3 1 b 4 Observe que el coeficiente de ab 3 es 8 90 16a 4 32a 3 b 24a 2 b 2 8ab 3 b 4 x 2 14 ) determine: 2 a) el quinto término b) el(los) término(s) central(es) 2) En (1 Solución. a) t 5 §14 · 10 x 2 4 ¨¨ ¸¸1 ( ) 2 ©4¹ 1.001 x8 16 1.001 8 x 16 b) Si el exponente del binomio es un número par, entonces existe un único término central, así, si n es par, entonces el término central es : t n ; el término pedido es 2 : t8 §14 · 7 § x 2 · ¸ ¨¨ ¸¸1 ¨¨ ¸ ©7¹ © 2 ¹ 1 §14 · 1 ¨¨ ¸¸ 7 x 14 ©7¹2 3· § 3) Determine el coeficiente de x (si existe), en el desarrollo de ¨ x 2 ¸ x¹ © Solución: 15 18 Supongamos que x t t 1 18 §15 · x 18 ¨¨ ¸¸ x 30 2 k 3 k x k ©k¹ §15 · 2 ¨¨ ¸¸ x ©k¹ 15 k k § 3· ¨ ¸ , entonces © x¹ §15 · k 303k ¨¨ ¸¸3 x . Esto nos indica que x 18 ©k¹ x 303k , de donde §15 · 30 – 3k = 18, así, k = 4. Deducimos que el coeficiente de x 18 es ¨¨ ¸¸3 4 ©4¹ 4) Determine el coeficiente de x 10 (si existe), en (1 2 x 3 x 2 )(1 x)12 Solución. (1 2 x 3 x 2 )(1 x)12 = (1 x)12 2 x(1 x)12 3 x 2 (1 x)12 12 12 12 12 § · § · 12 Como 1 x ¦ ¨¨ k ¸¸112k x k ¦ ¨¨ k ¸¸ x k ,concluimos que: ¹ ¹ k 0© k 0© §12 · §12 · el coeficiente de x 10 es ¨¨ ¸¸ ; el coeficiente de x 9 es ¨¨ ¸¸ y que el coeficiente de ©10 ¹ ©9¹ §12 · x 8 es ¨¨ ¸¸ ,así, el coeficiente de x 10 en el desarrollo de (1 2 x 3 x 2 )(1 x)12 es ©8¹ 91 §12 · §12 · §12 · ¨¨ ¸¸ 2¨¨ ¸¸ 3¨¨ ¸¸ ©10 ¹ ©9¹ ©8¹ 66 2 220 3 495 1.991 5) ) Determine el coeficiente de x 6 en (2 x x 2 )10 , x ^1` Solución > Como (2 x x 2 )10 = (2 x) x 2 @ 10 10 10 § · = ¦ ¨¨ ¸¸(2 x) 10 k ( x 2 ) k k 0© k ¹ 10 10 ª10 k 10 k § · § · 10 k p p º 2 k ¸2 = ¦ ¨¨ ¸¸ « ¦ ¨¨ x »( x ) p ¸¹ k 0 © k ¹¬ p 0 © ¼ §10 ·§10 k · 10 k p p 2 k ¸¸2 x ,entonces se debe cumplir que 0© ¹© p ¹ 10 10 k ¦ ¦ ¨¨ k ¸¸¨¨ k 0 p p 2k (k 6 . Las posibilidades son: 0 p 6) (k 1 p 4) (k 2 p 2) (k 3 p 0) , así, el coeficiente §10 ·§ 9 · §10 ·§ 8 · §10 ·§ 7 · §10 ·§10 · de x 6 es: ¨¨ ¸¸¨¨ ¸¸21006 ¨¨ ¸¸¨¨ ¸¸2101 4 ¨¨ ¸¸¨¨ ¸¸210 2 2 ¨¨ ¸¸¨¨ ¸¸21030 © 1 ¹© 4 ¹ © 2 ¹© 2 ¹ © 3 ¹© 0 ¹ © 0 ¹© 6 ¹ = 1 210 16 10 126 32 45 28 64 120 1 128 139.680 4.5.2 EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1) Determine el sexto término en el desarrollo de ( a 3) 6 2 § x2 x · 2) Determine el sexto término en el desarrollo de ¨¨ ¸¸ © 2 3¹ 8 3· § 3) Determine el coeficiente de x 18 (si existe) en el desarrollo de ¨ x 2 ¸ x¹ © 1 · § 4) Calcule el coeficiente numérico del término central de ¨ 3s t ¸ 9 ¹ © 5) ¿Es cierto que el coeficiente de x 16 en x 2 2x § 1 · 6) Determine el coeficiente de x en ¨¨ 9 x 3 ¸¸ x¹ © 92 13 10 es 3.360? 8 15 7) Determine el coeficiente de x 4 en 1 x 1 x n 8) Determine el coeficiente de x n en 1 x x 2 1 x n 9) Determine el coeficiente de x 5 en 1 x x 2 n 10) Demuestre que § n· ¦ ¨¨ k ¸¸ k 0© 10 2n ¹ 11) En 3 x 219 ¿existen dos términos consecutivos con coeficientes iguales? 12) Determine el coeficiente de x 5 en x 2 x 3 7 3n 13) ¿Existe n N para que el cuarto término 3n 1 · 1 · § § de ¨ x 2 2 ¸ y ¨ x 2 ¸ sean x ¹ x ¹ © © iguales? 14) En x 1 2 n 1 2 determine a) el (los) termino (s) central (es) b) Coeficiente de x 0 14 § a4 b2 · 15) En ¨¨ 7 ¸¸ determine (si existen ) a ¹ © b a) el séptimo término b) el coeficiente de ab ( x h) 4 x 4 16) Determine . ¿Qué pasa si h es muy pequeño? h 17) En el desarrollo de (3 x 2)19 ¿Existirán dos términos consecutivos con coeficientes iguales? 18) Pruebe que los coeficientes de x 2 y x 3 en el desarrollo de ( x 2 2 x 2) n son, 1 respectivamente 2 n1 n 2 y n(n 2 1)2 n 1 3 § n· 19) Considere p, q tal que p q 1 y P (k ) ¨¨ ¸¸ p k q n k , k 0,1,.., n ©k ¹ Demuestre: n a) ¦ kP(k ) k 0 np n b) ¦ (k np) 2 P(k ) k 0 93 npq 94
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