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Fractura de Barras Entalladas de Fundición Gris Frágil Sometidas a Torsión
Anales de Mecánica de la Fractura, 31 (2014)
FRACTURA DE BARRAS ENTALLADAS DE FUNDICIÓN GRIS FRÁGIL SOMETIDAS A TORSIÓN
M. Marcon1, *, D.A. Cendón2, F. Berto1, P. Lazzarin1 and M. Elices2
1
Department of Management and Engineering - University of Padova. Stradella S.Nicola 3 – 36100 Vicenza, Italy.
*
E-mail: [email protected]
2
Departamento de Ciencia de Materiales, Universidad Politécnica de Madrid. Calle Profesor Aranguren s/n,
28040. Madrid, España.
RESUMEN
El presente artículo resume los resultados fundamentales obtenidos en un estudio sobre el comportamiento a torsión de
probetas cilíndricas entalladas de fundición gris perlítica. Los trabajos comprenden una campaña experimental sobre
probetas con distintos radios de entalla sometidas a torsión, así como una serie de simulaciones numéricas utilizando el
modelo de fisura cohesiva en combinación con un material no lineal tipo Hencky en el continuo. Las simulaciones, que
únicamente precisan de parámetros de fractura en modo I, son capaces de proporcionar una buena predicción de los
resultados experimentales.
ABSTRACT
This paper summarizes the main results achieved in a research conducted about the behaviour of round notched
specimens made of pearlitic grey cast iron subjected to torsion. The work carried out entails an experimental campaign
over cylinders of different notch radii subjected to torsion, together with a series of numerical simulations using the
cohesive crack model in combination with the Hencky's non-linear material model for the continuum outside the crack.
The numerical simulations, that are solely fed by mode I fracture parameters, provide a good prediction of the
experimental results.
PALABRAS CLAVE: Probetas entalladas, Torsión, Fisura cohesiva.
1. INTRODUCCIÓN
La Mecánica de la Fractura Elástica y Lineal
proporciona un buen marco para estimar la carga de
rotura que un elemento estructural fisurado puede
soportar. Existen sin embargo situaciones en las que es
preciso mecanizar entallas romas y otros detalles
(taladros, ojales...etc.) que, no siendo fisuras en un
sentido estricto, actúan como concentradores de
tensiones, produciendo la rotura inesperada del
elemento estructural. Dada la diferencia entre este tipo
de entallas y las fisuras teóricas (radio nulo en la punta
de la fisura), en estos casos la Mecánica de la Fractura
Elástica y Lineal no proporciona resultados
satisfactorios para la predicción de carga máxima. Por
ello, durante los últimos años se han desarrollado
diversas herramientas encaminadas a predecir la carga
de rotura de piezas entalladas, como por ejemplo la
Teoría de las Distancias Críticas [1], el criterio de la
Densidad de Energía [2, 3] o el empleo del Modelo de
Fisura Cohesiva [4]. Sin embargo, aunque dichas
herramientas
proporcionan
unas
predicciones
satisfactorias, su uso se restringe a materiales elásticos y
lineales hasta rotura y modos de solicitación en el plano
de la fisura (Modo I y II), siendo necesario el empleo de
parámetros específicos cuando la solicitación de carga
es en Modo III [5].
En este trabajo se investiga la fractura de probetas
cilíndricas entalladas sometidas a torsión, esto es, en
modo III. Para ello se han ensayado probetas de
fundición gris perlítica, un material de fractura
macroscópicamente frágil, pero con comportamiento
marcadamente no lineal. Los resultados experimentales
son simulados con el modelo de fisura cohesiva [6] que,
combinado con el material no lineal de Hencky para el
continuo, proporciona una buena predicción de los
resultados experimentales.
2. PROBETAS
La fundición gris empleada en este estudio fue
suministrada por el fabricante en barras cilíndricas de
1m de longitud y 30mm de diámetro. A partir de estas
barras se fabricaron tres geometrías de probeta distintas.
Para los ensayos de caracterización mecánica se
realizaron dos tipos de probeta: probetas cilíndricas tipo
hueso de perro para obtención de curvas de
169
Anales de Mecánica de la Fractura, 31 (2014)
El tercer tipo de probeta mecanizada consistió en barras
cilíndricas entalladas en V, con distintos valores del
radio en la punta de la entalla. La geometría de estas
probetas se muestra en la Figura 1. Los radios
empleados en la punta de entalla fueron de R=0,1, 0,3,
0,5, 1 y 2mm.
120º
5
Figura 1. Geometría de probetas empleada en los
ensayos de torsión (cotas en mm).
3. ENSAYOS
MECÁNICA
DE
CARACTERIZACIÓN
acuerdo con la normativa [9]. Sin embargo no fue
posible una propagación de grieta por fatiga, por lo que
en lugar de obtener la tenacidad de fractura en arreglo a
dicha normativa, se optó por medir la energía específica
de fractura propagando una fisura de forma estable a
partir de las entallas mecanizadas.
500
Tensión equivalente (MPa)
endurecimiento por deformación y también probetas
tipo TPB para la determinación de energía de fractura.
400
300
200
100
0
0
3.1. Curvas de endurecimiento por deformación
Mientras que la obtención de la curva tensióndeformación es evidente a partir de un ensayo de
tracción simple, la obtención de dicha curva a partir de
un ensayo de torsión cuando el material no es elástico y
lineal es notablemente más compleja. En este trabajo se
ha utilizado el procedimiento de Nadai, cuyos detalles
pueden encontrarse en [8]. La Figura 2 muestra las
curvas tensión-deformación obtenidas mediante ambos
tipos de ensayo. Como puede apreciarse en la figura, las
curvas son totalmente distintas, obteniendo valores más
altos de la tensión equivalente y de la deformación
equivalente de rotura para el estado tensional de
cortante (probetas ensayadas a torsión). A partir de los
ensayos de tracción se obtuvo un valor medio de la
resistencia a tracción de 230,0 MPa.
3.2. Energía de fractura del material
Para obtener las características en fractura de la
fundición gris se emplearon probetas tipo TPB, según se
ha señalado en el apartado 2 de este trabajo. La idea
inicial era la de obtener la tenacidad de fractura de
0,005
0,01
0,015
0,02
Deformación equivalente
0,025
Figura 2. Curvas tensión-deformación obtenidas para
el material de estudio, tanto a tracción, como a torsión.
La Figura 3 muestra las curvas experimentales cargadesplazamiento del punto de aplicación de carga
obtenidas en los ensayos de energía de fractura. Puede
verse cómo los ensayos resultaron estables,
proporcionando además resultados repetitivos.
3
2,5
Carga (N)
Es sabido que la plasticidad clásica de metales se basa
en la independencia del criterio de plasticidad con
respecto a la presión hidrostática. Sin embargo, la
fundición gris presenta la particularidad de que su
comportamiento plástico es altamente dependiente de la
presión [7]. Ello hace que las curvas tensión
equivalente-deformación equivalente obtenidas para
este material sean muy distintas si se obtienen a tracción
simple, compresión simple o torsión. Por este motivo,
en este trabajo se han realizado ensayos de medida de la
curva tensión equivalente-deformación equivalente en
torsión y en tracción. En ambos casos se utilizó la
misma geometría de probeta, tipo hueso de perro, ya
mencionada en el apartado anterior.
Torsión
Tracción
2
1,5
1
0,5
0
0
200
400
600
800
1000 1200
Desplazamiento (m)
Figura 3. Curvas carga-desplazamiento del punto de
aplicación de carga obtenidas en los ensayos de medida
de energía de fractura.
Integrando estas curvas y dividiendo entre el área del
ligamento de la probeta, pudo medirse la energía
específica de fractura (en modo I) del material,
obteniéndose un valor medio de 6017 N/m.
170
Anales de Mecánica de la Fractura, 31 (2014)
PROBETAS
b)
Par (Nm)
Los ensayos sobre probetas cilíndricas entalladas se
realizaron con una máquina electromecánica Instron,
TT-D1115. Además del par, también se registró el
ángulo de giro con una base extensométrica de 25mm
que incluía la entalla en su interior. Para realizar esta
medida, se empleó un extensómetro EPSILON
MD2555, con base de medida de 5 +7/-1 mm y una
precisión de 10 μm. Para traducir el giro entre secciones
de la probeta a una medida angular empleando un
extensómetro convencional, se diseñó el dispositivo que
se muestra en la Figura 4.
a)
Par (Nm)
4. ENSAYOS
SOBRE
CILÍNDRICAS ENTALLADAS
Par (Nm)
c)
Figura 4. Detalle del dispositivo empleado para medir
el ángulo de giro, en este caso, en una probeta lisa.
- En segundo lugar, en la Figura 6 se observa cómo el
par torsor máximo disminuye a medida que aumenta el
radio en la punta de la entalla, un resultado contrario al
que en principio podría esperarse, ya que los menores
radios de entalla suponen mayores concentraciones de
tensiones y, consecuentemente, cabría esperar una carga
de rotura menor.
5. SIMULACIONES NUMÉRICAS
5.1. Modelo de material
Las simulaciones se han realizado con el mismo modelo
de fisura cohesiva embebida en un material no lineal
Par (Nm)
- En primer lugar, en la Figura 5 puede observarse como
el comportamiento de las probetas es relativamente
dúctil, ya que muestran un máximo de carga previo a la
rotura de la probeta. Este comportamiento no se registró
en las probetas tipo hueso de perro empleadas en los
ensayos de caracterización a torsión.
d)
e)
Par (Nm)
La Figura 5 muestra las curvas par torsor-giro unitario
(giro por metro de base de medida) obtenidas para las
distintas probetas ensayadas. La Figura 6, por su parte,
muestra un resumen de los valores máximos de par
torsor obtenidos en función del radio de entalla. Del
análisis de ambas figuras, destacan los dos aspectos
siguientes:
70
60
50
40
30
20
10
0
80
70
60
50
40
30
20
10
0
80
70
60
50
40
30
20
10
0
70
60
50
40
30
20
10
0
70
60
50
40
30
20
10
0
0
0,4
0,6
0,8
1
Angulo unitario (rad/m)
1,2
0
0,5
1
Angulo unitario (rad/m)
1,5
0
0,5
1
1,5
Angulo unitario (rad/m)
2
0
0
0,2
0,2
0,4 0,6 0,8
1
1,2
Angulo unitario (rad/m)
0,5
1
1,5
Angulo unitario (rad/m)
1,4
2
Figura 5. Curvas par-giro unitario obtenidas para las
probetas de radios de entalla: a) 0,1mm; b) 0,3mm; c)
0,5mm; d) 1mm; e) 2mm.
171
Anales de Mecánica de la Fractura, 31 (2014)
cohesiva según la curva de
Matemáticamente se expresa como:
80
70
t
Par máximo (Nm)
60
50
ablandamiento.
~
f w
~ w
w
(3)
~ representa la norma euclídea del vector de
Donde w
abertura de fisura. La Figura 7 ilustra estos conceptos.
40
30
20
10
0
0
0,5
1
1,5
2
Radio de entalla (mm)
2,5
Figura 6. Valores máximos de par torsor obtenidos
para las probetas ensayadas.
empleado en [10]. A grandes rasgos consiste en un
material de Hencky en el continuo, combinado con una
fisura cohesiva que se inserta cuando la tensión
principal máxima supera el valor de la resistencia a
tracción.
El modelo de Hencky se basa en la obtención separada
de la parte hidrostática del tensor de tensiones, σ h , y de
la parte desviadora, σ  :
σh  K ε I
σ 
2 ~
ε'
3 ~
(1)
Figura 7. Ejemplo de curva de ablandamiento y
relación entre la abertura de fisura y el vector de
tracciones.
Una vez se inserta la fisura en el elemento, el campo de
deformaciones se modifica, ya que una abertura de
fisura implica una relajación de las deformaciones en la
parte continua del elemento en el que está insertada.
Desde un punto de vista matemático, este
comportamiento cinemático se expresa mediante [10]:


Siendo I el tensor unitario de segundo orden y K el
módulo de compresibilidad volumétrica. El símbolo
εcont  ε app  b  w
hace referencia a la traza del tensor, y las expresiones
~ y ~ representan la tensión equivalente y la
deformación equivalente, respectivamente:
Siendo ε cont y ε app las deformaciones del continuo y
~ 
3
σ' : σ'
2
~ 
2
ε' : ε'
3
(2)
La tensión equivalente y la deformación equivalente
están relacionadas mediante la curva tensióndeformación, ~  H ~  , que como ya se ha mencionado
en el apartado 3, en este material presenta una alta
dependencia de la presión hidrostática.
Una vez que la tensión principal máxima supera la
resistencia a tracción, se inserta una fisura cohesiva en
el elemento, en dirección perpendicular a la dirección de
la tensión principal, n. Para tener en cuenta los distintos
modos posibles de abertura de fisura, en este trabajo se
utiliza un modelo de fuerzas centrales [10]. De acuerdo
con este modelo, el vector de tracciones entre los labios
de la fisura, t, es paralelo al vector de abertura de fisura,
w, mientras que su módulo es igual a la tensión
S
(4)
aparente, respectivamente, y b  es el vector de
gradientes de funciones de forma de los nodos
solitarios, que son aquellos nodos del elemento que
quedan separados por la fisura (Figura 8):
b 
 gradN
i  solitary
nodes
i
(5)
Figura 8. Ejemplo de elemento con una fisura
embebida, indicando los nodos solitarios.
172
Anales de Mecánica de la Fractura, 31 (2014)
En la referencia [10] se proporcionan los detalles de la
obtención de los nodos solitarios. La deformación
aparente representa la deformación que existiría en el
elemento si, con los mismos desplazamientos nodales,
no tuviese una fisura embebida. La deformación de
continuo, por su parte, es la deformación real de la parte
del elemento fuera de la fisura.
En un elemento con una fisura embebida, para unos
desplazamientos nodales dados, todos las variables son
conocidas a excepción del vector de abertura de fisura.
Este vector se obtiene imponiendo equilibrio entre el
vector de tracciones en la fisura, dado por la expresión
(3), y la proyección del tensor de tensiones de Cauchy
en el continuo en la dirección normal a la fisura, n:
Para alimentar el modelo de material anteriormente
expuesto, es necesario proporcionar una serie de
parámetros relativos al continuo y otros relativos a la
fisura cohesiva.
Para el comportamiento del continuo, de acuerdo con la
ecuación (1), únicamente son necesarios el módulo de
compresibilidad volumétrica, K, y la curva que
relaciona la tensión equivalente con la deformación
equivalente. Como ya se ha mencionado en el apartado
3, este material presenta comportamientos muy
diferentes a torsión y a tracción, por lo que se ajustó una
curva distinta para cada tipo de solicitación. A partir de
los datos experimentales (Figura 2) se determinó una
curva en torsión dada por:
(7)
En el caso de tracción, la curva obtenida del ajuste fue:
~  0.0123~  51.584~ 6.3829  ( ~ en GPa)
(8)
Con respecto al módulo de compresibilidad
volumétrica, se empleó un valor elevado, de 333,3 GPa,
con el fin de despreciar las deformaciones volumétricas.
Para definir el comportamiento en fractura, de acuerdo
con el modelo de fisura cohesiva, son necesarias la
resistencia a tracción, la energía de fractura y la curva
de ablandamiento. Como se ha mencionado en el
apartado 3, los dos primeros parámetros se obtuvieron
directamente de los ensayos sobre probetas de
caracterización. Para la forma de la curva de
ablandamiento, sin embargo, no existe en la actualidad
ningún procedimiento estandarizado para obtenerla. Por
ello, en este trabajo se ha optado por realizar un análisis
inverso, probando distintas formas de curva de
ablandamiento hasta obtener la mejor simulación de los
Experimental
Rectangular
Lineal
Exponencial
3,5
3
(6)
5.2. Selección de parámetros del material
~  0.0082~  1.758~ 6.2129  ( ~ en GPa)
4
Carga (N)
~
f w
2 ~





'
K
ε
I
ε
n
cont
cont


~ w
3 ~
w


ensayos de medida de energía de fractura sobre probetas
de flexión en tres puntos. Las simulaciones se realizaron
con el modelo detallado en el apartado 5.1, empleando
la curva tensión-deformación dada en la ecuación (8),
puesto que en las probetas de flexión en tres puntos el
estado tensional es fundamentalmente de tracción. Se
probaron tres curvas de ablandamiento diferentes:
rectangular, lineal y exponencial. Como puede
observarse en la Figura 9, es esta última la que
proporciona los mejores resultados, por lo que fue la
finalmente seleccionada para la simulación de las
probetas cilíndricas entalladas sometidas a torsión.
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
100 200 300 400 500 600 700
Desplazamiento (m)
Figura 9. Curvas fuerza-desplazamiento obtenidas en
las simulaciones de los ensayos de medida de energía
de fractura con distintas curvas de ablandamiento.
5.3. Simulación de las probetas cilíndricas entalladas
sometidas a torsión
Teniendo en cuenta las consideraciones realizadas en
los apartados 3 y 5.2, los parámetros de material
utilizados en las simulación de probetas cilíndricas
entalladas son los que se señalan en la tabla 1.
Tabla 1. Propiedades del material utilizadas en las
simulaciones de las probetas entalladas sometidas a
torsión.
Módulo de compresibilidad K
333,3 GPa
Resistencia a tracción
230,0 MPa
Energía de fractura
6017 N/m
Tipo de curva de ablandamiento Exponencial
Relación tensión-deformación
Ecuación (7)
Dado el comportamiento no lineal del material, no
puede hablarse en rigor de una longitud característica,
ya que el proceso de fisuración se inicia cuando el
material se ha adentrado en la zona plástica. Por este
motivo, se estimó la longitud característica utilizando la
pendiente de la curva tensión-deformación, mediante la
expresión:
173
Anales de Mecánica de la Fractura, 31 (2014)
6. CONCLUSIONES
G d~ / d~ 
lch  F 2
ft
(9)
, siendo G F la energía de fractura del material.
Utilizando el valor mínimo de la pendiente de la curva
tensión-deformación (Figura 2), se obtuvo un valor de la
longitud característica de aproximadamente 1,13mm.
De esta forma, para conseguir que las simulaciones
tuviesen resolución suficiente, se empleó un tamaño de
elemento en la zona de fisura de 0,2mm, por debajo de
dicha longitud característica.
5.4. Resultados
Par (Nm)
La Figura 10 muestra, a modo de ejemplo, la curva parángulo unitario obtenida para el radio de entalla de
0,5mm. Como puede verse, el grado de acuerdo entre la
simulación y los resultados experimentales es bueno,
tanto en la predicción de la carga máxima, como en la
forma de la curva, incluyendo la ductilidad ya referida.
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Los ensayos se han simulado mediante el modelo de
fisura cohesiva, utilizando un material no lineal tipo
Hencky en el continuo. Los resultados obtenidos son
satisfactorios, tanto en el comportamiento de las
probetas en términos de par-giro unitario, como en las
predicciones de carga máxima en función del radio. El
carácter cohesivo de la zona en proceso de fractura,
parece ser responsable del comportamiento dúctil de
este tipo de probetas.
REFERENCIAS
[1] Taylor D. The theory of critical distances: a new
perspective in fracture mechanics. Elsevier, 2007.
[2] Sih G.C., Ho J.W. Sharp notch fracture strength
characterized by critical energy density, Theor Appl
Fract Mech, 16, pp. 179-214, 1991.
[3] Lazzarin P, Berto F. Some expressions for the strain
energy in a finite volume surrounding the root of blunt
V-notches. Int J Fract, 135, pp. 161-185, 2005.
Experimental
Pred. numérica
0
0.5
1
1.5
Angulo unitario (rad/m)
2
Figura 10. Simulación par- giro unitario, frente a los
resultados experimentales para el radio de 0,5 mm.
La Figura 11, por su parte, muestra las predicciones de
carga máxima proporcionadas por las simulaciones
numéricas frente a los resultados experimentales. Puede
apreciarse también un buen grado de acuerdo.
80
70
50
[5] Berto, F., Elices, M., Lazzarin, P. and Zappalorto, M.,
Fracture behaviour of notched round bars made of
PMMA subjected to torsion at room temperature. Eng.
Frac. Mech., 90, pp. 143-160, 2012.
[6] Planas, J., Elices, M., Guinea, G., Gómez, F.J.,
Cendón, D.A. and Arbilla, I. Generalizations and
specializations of cohesive crack models. Eng. Frac.
Mech. 70, Pp. 1759-1776. 2003.
[8] Sánchez-Gálvez, V. Comportamiento plástico de
materiales. Servicio de Publicaciones E.T.S.I.C.C.P.,
1999.
40
30
20
[9] ASTM E399. Standard Test Method for Linear-Elastic
Plane-Strain Fracture Toughness KIC of Metallic
Materials.
Experimental
Predicción numérica
10
0
0
[4] Gómez FJ, Elices M. Fracture of components with Vshaped notches. Eng. Fract Mech, 70, 2003.
[7] Stoychev, G. FE Analysis of gray cast iron structural
elements. Machine Design. 2010.
60
Par máximo (Nm)
Se ha realizado una campaña experimental sobre
probetas cilíndricas entalladas de fundición gris perlítica
sometidas a tracción. Como características más
reseñables de los resultados experimentales, caben
destacar un comportamiento dúctil a pesar de la
concentración de tensiones, así como un aumento del
par máximo a medida que disminuye el radio de entalla.
0,5
1
1,5
2
Radio de entalla (mm)
2,5
Figura 11. Predicciones numéricas de par máximo,
frente a los resultados experimentales.
[10] Cendón, D.A., Berto, F., Lazzarin, P. and Elices, M.
Extension of the cohesive crack model to PMMA
notched specimens exhibiting a non linear behaviour
under torsion. Anales de la Mecánica de la Fractura,
30, 2013.
174