Simetrías y Mosaicos
Teselaciones Simetrı́as y Mosaicos Ma. Isabel Hernández CIMAT-Mérida [email protected] Taller de Ciencia para Jóvenes, Campeche, 2015 Teselaciones Mosaicos Teselaciones Mosaicos Teselaciones Mosaicos Teselaciones Mosaicos Teselaciones Mosaicos Teselaciones Mosaicos Teselaciones Mosaicos Teselaciones Palacio de Alhambra Grandana, España Teselaciones Teselaciones Maurits Cornelis Escher 1898 – 1972 Teselaciones Definición Una teselación del plano es un recubrimiento de él por conjuntos (ladrillos) sin dejar espacios entre ellos ni sobreposiciones. Teselaciones Definición Una teselación se dice regular si los ladrillos son polı́gonos regulares de un sólo tipo. Teselaciones Definición Una teselación se dice regular si los ladrillos son polı́gonos regulares de un sólo tipo. ¿ Cuáles polı́gonos regulares sirven como ladrillos de una teselación regular? Teselaciones Definición Una teselación se dice regular si los ladrillos son polı́gonos regulares de un sólo tipo. ¿ Cuáles polı́gonos regulares sirven como ladrillos de una teselación regular? El triangulo equilátero, el quadrado y el hexágono regular pueden ser utilizados como ladrillos de una teselación regular. Teselaciones Definición Una teselación se dice regular si los ladrillos son polı́gonos regulares de un sólo tipo. ¿ Cuáles polı́gonos regulares sirven como ladrillos de una teselación regular? El triangulo equilátero, el quadrado y el hexágono regular pueden ser utilizados como ladrillos de una teselación regular. Teselaciones Definición Una teselación se dice regular si los ladrillos son polı́gonos regulares de un sólo tipo. ¿ Cuáles polı́gonos regulares sirven como ladrillos de una teselación regular? El triangulo equilátero, el quadrado y el hexágono regular pueden ser utilizados como ladrillos de una teselación regular. ¡No existen más! Teselaciones Definición Una Teselación se dice semi-regular si está formada por dos o más polı́gonos regulares y los vértices de la teselación son todos del mismo tipo Teselaciones Definición Una Teselación se dice semi-regular si está formada por dos o más polı́gonos regulares y los vértices de la teselación son todos del mismo tipo Teorema Existen 8 teselaciones semi-regulares. Teselaciones Definición Una Teselación se dice semi-regular si está formada por dos o más polı́gonos regulares y los vértices de la teselación son todos del mismo tipo Teorema Existen 8 teselaciones semi-regulares. (3,3,3,3,6) (4,8,8) (4,6,12) (3,3,4,3,4) (3,3,3,4,4) (3,12,12) (3,6,3.6) (3,4,6,4) Teselaciones Una Isometrı́a en plano “es un movimiento en el plano que preserva la distancia entre cualesquiera dos puntos” Teselaciones Una Isometrı́a en plano “es un movimiento en el plano que preserva la distancia entre cualesquiera dos puntos” Translaciones Teselaciones Una Isometrı́a en plano “es un movimiento en el plano que preserva la distancia entre cualesquiera dos puntos” Translaciones rotaciones Teselaciones Una Isometrı́a en plano “es un movimiento en el plano que preserva la distancia entre cualesquiera dos puntos” Translaciones reflexiones rotaciones Teselaciones Una Isometrı́a en plano “es un movimiento en el plano que preserva la distancia entre cualesquiera dos puntos” Translaciones rotaciones reflexiones reflexiones con deslizamiento Teselaciones Ejemplos Teselaciones Ejemplos Teselaciones Ejemplos • Isometrı́as: dos translaciones una horizontal y una vertical. Pegasus, 1959. Escher Teselaciones Ejemplos Teselaciones Ejemplos Teselaciones Ejemplos • Isometrı́as: una translacion horizontal. y una reflexión deslizada vertical. bulldogs, Escher Teselaciones Ejemplos Teselaciones Ejemplos Teselaciones Ejemplos • isometrı́as: dos translaciones y una rotación de 180o . Lizards, Escher Teselaciones Ejemplos Teselaciones Ejemplos Teselaciones Ejemplos •Isometrı́as: dos translaciones y una rotacion de 90o . Lizards, Escher Teselaciones Definición Un mosaico o “papel tapiz” (wallpaper pattern) es un patrón repetitivo con dos translaciones independientes que llenan el plano. Teselaciones Definición Un mosaico o “papel tapiz” (wallpaper pattern) es un patrón repetitivo con dos translaciones independientes que llenan el plano. mosaico ↔ un conjunto de isometrı́as Teselaciones Definición Un mosaico o “papel tapiz” (wallpaper pattern) es un patrón repetitivo con dos translaciones independientes que llenan el plano. mosaico ↔ un conjunto de isometrı́as ¿ Cuántos tipos conjuntos de isometrı́as asociados a un mosaico existen? Teselaciones Notación E2 = {f : R2 → R2 |d(f (x), f (y)) = d(x, y)} Teselaciones Notación E2 = {f : R2 → R2 |d(f (x), f (y)) = d(x, y)} Proposición E2 es un grupo no conmutativo, i.e. (i) Si f, g ∈ E2 , entonces f ◦ g ∈ E2 , (ii) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h), (iii) x 7→ x, id ∈ E2 , (iv) Si f ∈ E2 , entonces f es biyectiva y f −1 ∈ E2 . Teselaciones Teorema Si un grupo de isometrı́as asociado a un mosaico tiene rotaciones, entonces éstas son por 60o , 900 , 120o ó 1800 . Teselaciones (Fedorov, 1891) Existen 17 grupos de simetrı́ıa asociados a mosaicos (17 grupos cristalográficos). Teselaciones (Fedorov, 1891) Existen 17 grupos de simetrı́ıa asociados a mosaicos (17 grupos cristalográficos). P1 p3 p2 pm cm pmm pmg cmm p4 p4m p31m p3m1 pg pgg p4g p6 p6m Teselaciones l l l l l p1 p2 pg cm p4 Teselaciones Referencias Bibliográficas • Groups and Symmetry, Amstrong, M.A. Springer. • The Beauty of Geometry, Coxeter, H.S.M. Dover Publications. • Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Douglas R. Hofstadter, Basic Books. • www.scienceu.com/geometry [email protected] https://sites.google.com/site/maisabelhernandezcv/
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