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2º BACH. matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II
tema 8: inferencia estadística
IES Mata Jove
curso 2009/2010
Estimación por intervalos
Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor del parámetro
estimado con una cierta probabilidad. En la estimación por intervalos se usan los siguientes conceptos:
Intervalo de confianza o característicos
El intervalo de confianza es un intervalo de la recta real [θ 1 ,θ
θ 2 ] que contiene al parámetro estimado θ con una determinada certeza o nivel de confianza.
Nivel de confianza
Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro estimado en la población se
sitúe en el intervalo de confianza obtenido. El nivel de confianza se denota por 1-α, aunque habitualmente suele expresarse con un porcentaje, (1-α)·100%.
Nivel de significación
Es el valor de α. Mide la probabilidad de fallar en nuestra estimación.
Valores críticos
Se representan por Zα/2 y Zα. Son los valores de la abscisa en una determinada distribución que deja a su derecha un área igual a α/2 y α, respectivamente, siendo 1-α el nivel
de confianza.
Si F es la función de distribución de una N(0,1), los valores críticos verifican:
F(z α ) = 1 − α
( )
, F z α = 1−
2
α
2
Supongamos en lo que sigue que las poblaciones de partida son normales o que el tamaño de la
muestra n cumple que n ≥ 30 (para la estimación de la media) o que n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5 (para la
estimación de una proporción)
Intervalo de confianza para la media
Se desea estimar la media, µ , de una población con desviación típica conocida, σ . Tomamos una muestra de tamaño n y calculamos la media muestral x . El intervalo de confianza de µ para un nivel de confianza 1 − α es

σ
σ 
 x − z α ⋅
, x + zα ⋅

2
2
n
n

Intervalo de confianza para la proporción
Se desea estimar la proporción p de individuos de una población de tienen una determinada característica C. Tomamos una muestra de tamaño n y calculamos la proporción
muestral p r .Sea qr = 1 − p r . El intervalo de confianza de p para un nivel de confianza
1 − α es

 p r − z α ⋅ p r ⋅ qr , p r + z α ⋅ p r ⋅ qr

2
2
n
n

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1




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tema 8: inferencia estadística
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curso 2009/2010
Contraste de hipótesis
Un test de hipótesis (también denominado contraste de hipótesis o prueba de significación) es una metodología de inferencia estadística para juzgar si una propiedad que
se supone cumple una población estadística es compatible con lo observado en una
muestra de dicha población.
Mediante esta teoría, se aborda el problema estadístico considerando una hipótesis determinada H0 , llamada hipotesis nula y una hipótesis alternativa H1 , y se intenta dirimir cuál de las dos es la hipótesis verdadera, tras aplicar el problema estadístico a un
cierto número de experimentos.
Test de hipótesis para la media (nivel de confianza 1 − α )
Test bilateral → µ = µ 0
1. Enunciado de las hipótesis nula y alternativa
H0 : µ = µ 0
, H1 : µ ≠ µ 0
2. Cálculo de la zona de aceptación

σ
σ 
 µ 0 − z α ⋅
, µ0 + z α ⋅

2
2
n
n

x
3. Cálculo de la media muestral
4. Decisión

Si x ∈  µ 0 − z α ⋅

σ
n
2

Si x ∉  µ 0 − z α ⋅

σ
2
n
, µ0 + z α ⋅
σ 
 ⇒ aceptamos H0
n
, µ0 + z α ⋅
σ 
 ⇒ rechazamos H0 ⇒ aceptamos H1
n
2
2
Test unilateral → µ ≤ µ 0 ó µ ≥ µ 0
1. Enunciado de las hipótesis nula y alternativa
caso A: H0 : µ ≤ µ 0
, H1 : µ > µ0
caso B: H0 : µ ≥ µ 0
, H1 : µ < µ 0
2. Cálculo de la zona de aceptación

caso A:  − ∞ , µ 0 + z α ⋅


caso B:  µ 0 − z α ⋅

σ 

n
σ

, + ∞ 
n

3. Cálculo de la media muestral
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x
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4. Decisión
caso A

Si x ∈  − ∞ , µ 0 + z α ⋅


Si x ∉  − ∞ , µ 0 + z α ⋅

σ 
 ⇒ aceptamos H0
n
σ 
 ⇒ rechazamos H0 ⇒ aceptamos H1
n
caso B

Si x ∈  µ 0 − z α ⋅
σ

, + ∞  ⇒ aceptamos H0
n



Si x ∉  µ 0 − z α ⋅
σ


, + ∞  ⇒ rechazamos H0 ⇒ aceptamos H1
n

Test de hipótesis para la proporción (nivel de confianza 1 − α )
Test bilateral → p = p 0
1. Enunciado de las hipótesis nula y alternativa
H0 : p = p 0
, H1 : p ≠ p 0
2. Cálculo de la zona de aceptación

 p 0 − z α ⋅ p 0 ⋅ q0 , p 0 + z α ⋅ p 0 ⋅ q0

2
2
n
n

3. Cálculo de la proporción muestral




pr
4. Decisión
Si p r ∈  p 0 − z α ⋅



p 0 ⋅ q0
p 0 ⋅ q0
, p0 + z α ⋅
2
n
n

 ⇒ aceptamos H0





p 0 ⋅ q0
p 0 ⋅ q0
, p0 + z α ⋅
2
n
n

 ⇒ rechazamos H0 ⇒ aceptamos H1


2
Si p r ∉  p 0 − z α ⋅
2
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Test unilateral → p ≤ p 0 ó p ≥ p 0
1. Enunciado de las hipótesis nula y alternativa
caso A: H0 : p ≤ p 0
, H1 : p > p 0
caso B: H0 : p ≥ p 0
, H1 : p < p 0
2. Cálculo de la zona de aceptación

p 0 ⋅ q 0 

n 



p 0 ⋅ q0
caso B:  p 0 − z α ⋅
, + ∞


n


caso A:  − ∞ , p 0 + z α ⋅
3. Cálculo de la proporción muestral
pr
4. Decisión
caso A



p 0 ⋅ q0
n

 ⇒ aceptamos H0





p 0 ⋅ q0
n

 ⇒ rechazamos H0 ⇒ aceptamos H1


Si p r ∈  − ∞ , p 0 + z α ⋅
Si p r ∉  − ∞ , p 0 + z α ⋅
caso B




p 0 ⋅ q0
, + ∞  ⇒ aceptamos H0

n





p 0 ⋅ q0
, + ∞  ⇒ rechazamos H0 ⇒ aceptamos H1

n

Si p r ∈  p 0 − z α ⋅
Si p r ∉  p 0 − z α ⋅
Errores en un test de hipótesis
Todo test de hipótesis se hace con un determinado nivel de significación, α , que mide la
probabilidad de que el test esté llevándonos a una decisión equivocada.
Al aplicar un test de hipótesis se pueden cometer dos tipos de errores:
ERROR TIPO 1: La hipótesis nula es verdadera y como consecuencia del test se rechaza
ERROR TIPO 2: La hipótesis nula es falsa y como consecuencia del test se acepta.
La probabilidad de cometer un error tipo 1 es α
La probabilidad de cometer un error tipo 2 depende del tamaño de la muestra; a mayor tamaño de la muestra menor probabilidad de este tipo de error.
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